Исследование графов Кэли групп Джевонса в качестве топологий многопроцессорных вычислительных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетнеескцие чтения. 2015

УДК 519.683.8

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФОВ КЭЛИ ГРУПП ДЖЕВОНСА В КАЧЕСТВЕ ТОПОЛОГИЙ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ*

А. А. Кузнецов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Исследованы свойства графов Кэли групп Джевонса, заданных различными порождающими множествами. Вычислены диаметры и средние диаметры указанных графов. Потребность в знаниях такого рода связана с тем, что графы Кэли широко применяются для моделирования топологий многопроцессорных вычислительных систем - суперкомпьютеров.

Ключевые слова: группа Джевонса, граф Кэли, многопроцессорная вычислительная система.

STUDY OF THE CAYLEY GRAPHS OF JEVONS GROUPS AS TOPOLOGIES OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS

A. A. Kuznetsov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

We studн the properties of the Cayley graphs of Jevons groups given with different generating sets. Diameters and average diameters of these graphs are calculated. The need for this kind of knowledge is linked to the fact that the Cayley graphs are widely used to model the topology of multiprocessor computing systems - supercomputers.

Keywords: Jevons group, Cayley graph, multiprocessor computing system.

Пусть - алгебраическая группа Джевонса размерности п. Отметим, что в различных литературных источниках группу Jn называют также обобщенной симметрической группой, или гипероктаэдральной группой. Данная группа зарекомендовала себя как эффективный инструмент при построении различных инженерно-технических решений. Строение Jn хорошо известно, однако характеристики графов Кэли этой группы, заданной различными порождающими множествами, изучены недостаточно [1; 2]. Потребность в знаниях такого рода связана с тем, что графы Кэли широко применяются для моделирования топологий многопроцессорных вычислительных систем (МВС) - суперкомпьютеров. Такие известные топологии сетей, как кольцо, гиперкуб, многомерный тор, баттерфляй, являются графами Кэли. Это связано с тем, что графы Кэли имеют много привлекательных свойств, из которых выделим их регулярность, вершинную транзитивность, малые диаметр и степень при достаточно большом количестве вершин в графе.

При рассмотрении графа в качестве топологии МВС берут во внимание следующие характеристики графа: количество вершин, степень (для регулярного графа), диаметр и средний диаметр. При сравнении двух графов Г1 и Г2 будем считать, что топология Г1 предпочтительнее Г2, если | У1 |=| У2\, но ^ < s2, Б1 < Б2 и d1 < d2.

Цель настоящей работы - восполнить указанный пробел, т. е. исследовать свойства графов Кэли групп Jn, заданных различными порождающими множествами.

Рассмотрим основные определения и понятия.

Определение 1. Пусть X - симметричное порождающее множество группы G, т. е., х е X » х- е X и G = (X). Графом Кэли Г = Cay (G,X) = (V, Е) называют неориентированный граф, обладающий следующими свойствами:

- множество вершин V(T) соответствуют элементам группы G;

- множество ребер Е(Г) состоит из всех неупорядоченных пар {g, xg}, где g е G и х е X.

Таким образом,

Г = Cay(G, X) = (V, Е), где V = G и

Е = {{g,хg}|g е G,х е X}.

Количество вершин Г равно порядку группы G. Граф Кэли является регулярным, и его степень s, т. е. количество ребер, выходящих из каждой вершины, равна числу порождающих элементов группы: s =| X |. Диаметр графа Кэли D (средний диметр d), т. е. максимальное (среднее) кратчайшее расстояние

* Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (проект МД-3952.2015.9).

Прикладная математика

■ sn

от произвольной фиксированной вершины до других вершин графа, равен максимальной (средней) длине минимальных слов группы, записанных через порождающие элементы [3].

Определение 2. Пусть 5п - симметрическая группа

степени п. Группой Джевонса 1п будем называть

внешнее полупрямое произведение на 5п .

Таким образом,

3п = .

Из определения следует, что Vg е g = (а,Ь), где а = [а1, а2,

( 1 2 ^ ( 1 ..

а, = I I е , Ь = I

г [а, (1) а, (2)) 2' ^Ь(1) ..

Поскольку | 52п |= 2п и | 5п |= п!, !Л1= 2пп!

Как известно, операцию умножения элементов группы при полупрямом произведении можно задавать различными способами, зависящими от выбора гомоморфизма группы 5п в группу автоморфизмов

Б'п . Поэтому зафиксируем данную операцию (обозначив ее о) следующим образом:

(а,Ь) о (с, й) = ([а!, а2,..., ап],Ь) о ([^,С2,...,Сп], й) =

, Ь ■ й).

n b( n)

: Sn

то, очевидно,

= (Га, • c , , a2

VL 1 b-ЧЦ' 2

, an • c

([е,...,е,(1, 2),е],(1, 2)), еслиI = 1, у1 = |([е,...,е,(1, 2)],(1, 3)), если г = 2, ([е,...,е],(1, г +1)), если 3 < г < п-1,

Тп = {у. | 1 < г < п -1}, 3п = (¥п).

При помощи компьютерных вычислений по алгоритму из [1] были получены следующие результаты (см. таблицу).

Характеристики графов Сау( 1п,Хп) и Сау(Зп, Уп)

n Jnl s DX DY dx Dy

4 24-4! = 384 3 10 10 6,3 6,4

5 25-5! = 3840 4 14 12 8,5 7,6

6 26-6! = 46080 5 22 16 12,6 9,1

(2) ' п Ь"1 (п^

Символом «■» обозначена операция умножения перестановок. Тождественную перестановку (как в 52, так и в 5п) будем обозначать символом е.

Начнем исследование графов Кэли Сау(, Хп) для п > 3 со случая, когда группа Бп задается транспозициями вида (г, . +1), где 1 <г < п -1, т. е. порождающими Коксетера:

([е,...,е,(1, 2),е],(1, 2)), еслиг = 1, х. = |([е,...,е,(1, 2)],(2, 3)), если г = 2, ([е,...,е],(г, г +1)), если 3 < г < п -1, Хп = {х | 1 < I < п -1}, =(Хп) .

После этого вычислим характеристики графов Сау(3п,Уп), в которых 5п задается транспозициями вида (1, г), где 2 < г < п, т. е. порождающими типа «звезда»:

Из таблицы видно, что топологии Cay(Jn, Xn) и Cay( Jn, Yn) обладают схожими характеристиками при n = 3. Однако при n > 3 топология Cay(Jn,Yn) предпочтительнее Cay( Jn, Xn). Следует также отметить, что при изменении порождающих элементов, сохраняя их количество, характеристики графов Кэли могут измениться.

Библиографические ссылки

1. Heydari M. H. On the diameter of the pankace network // J. of Algorihms. 1997. Vol. 30. P. 67-94.

2. Zhou S. M., Xiao W. J. A New Family of Interconnection Networks of Fixed Degree Three // J. Computer Science and Technology. 2004. Vol. 19. P. 218-223.

3. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Параллельный алгоритм для исследования графов Кэли групп подстановок // Вестник СибГАУ. 2014. № 1. С. 33-39.

References

1. Heydari M. H. On the diameter of the pankace network // Journal of Algorihms, 1997, Vol. 30, pp. 67-94.

2. Zhou S. M., Xiao W. J. A New Family of Interconnection Networks of Fixed Degree Three // Journal Computer Science and Technology, 2004. Vol. 19, pp. 218-223.

3. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. A parallel algorithm for study of the Cayley graphs of permutation groups // Vestnik SibGAU. 2014. No. 1, pp. 33-39.

© Кузнецов А. А., 2015