Дискретные толерантные вложения и гомологические эквивалентности Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. И. НЕБАЛУЕВ

УДК 513.6

Дискретные толерантные вложения и гомологические эквивалентности

Идеи дискретности, атомарности и прерывистости в научной традиции имеют столь же длинную историю, как и идеи пространственно временного континуума и непрерывности. Многие известные ученые, такие как Риман, Максвелл, и др., высказывались в пользу дискретных моделей пространства. В различных разделах кибернетики дискретные модели играют ведущую роль, поскольку живые организмы и технические устройства имеют дискретпое строение и тактовый режим работы. Зрительный анализатор, например, работает на базе конечной системы специальных клеток в сетчатке глаза, а мозг представляет собой конечную сеть нейронов, работающих в тактовом режиме. Английский тополог Зи-ман, изучая работу мозга и в частности зрительного анализатора, предложил использовать для описания их работы толерантные пространства. Зиман предположил, что благодаря толерантности, определяемой порогом чувствительности глаза, мы видим непрерывную картину на экране дисплея несмотря на то, что она нарисована конечным числом пикселов на экране дисплея и воспринимается конечным числом клеток в сетчатке глаза. Зиман дал математическое описание этого явления в виде следующей гипотезы.

Гипотеза Зимана: если г : (У, 0) —» (X, г) всюду плотное толерантное вложение, то оно индуцирует изоморфизм групп гомолоий толерантных пространств г, : Я(У) = Н(Х).

Идея этой гипотезы заключалась в том, что "непрерывные "(континуальные) пространства X с толерантпостями т могут заменяться "дис-кретными"(конечными или счетными) пространствами так чтобы

при этом в существенных чертах сохранялось бы геометрическое строение исходных пространств.

В общем случае гипотеза Зимана не верна, и легко привести контрпримеры. Однако, сама идея гипотезы Зимана подтверждается успешной работой человеческого глаза, и поэтому нуждается в уточнении формулировки, чему и посвящена настоящая статья.

Из сказанного выше понятно, что нас должен интересовать случай, когда (X, т) - толерантное пространство с бесконечным множеством X.

Определение 1. Пусть (Х,т) - толерантное прострапстоо с бесконечным множеством X. Покрытие Ь = множества X назовем

хорошим покрытием толерантного пространства (Х,т), если выполняются следующие условия :

1. покрытие Ь = {Ьп}а£1 является не более чем счетным, локально конечным покрытием множества X, в котором все покрывающие множества Ьа (а е I) являются классами толерантности пространства (Х,т);

2. если в пересечении (~) Кд классов толерантности Кд простран-

ри

ства (Х,т) имеется более одного элемента, тогда найдется конечное подмножество А(7) С I и соответствующее ему конечное покрытие П Кд С и Ьа такое, что множество ( П Кд) П ( П Ьа) равпо-

мощно исходному множеству X.

Пусть (Х,т) - произвольное толерантное пространство. Обозначим через Б(Х) симплициальный комплекс, чьи вершины - это точки пространства (X, г) ,а симплексы - конечные наборы попарно толеран тных точек, т.е. конечные наборы точек, для которых найдется класс толерантности К из пространства (X, г), содержащий все точки данного набора. Цепной комплекс С{Х), по которому строятся гомологии Н(Х), свободно порождается над кольцом Ъ ( или над полем к) всевозможными ориентированными симплексами из 5(Х).

Пусть теперь I/ — {Ьа}ае1 некоторое покрытие (не обязательно хорошее) пространства (X, т) классами толерантности. Обозначим через 8(Х,Ь) подкомплекс в состоящий из тех симплексов комплекса

5(А'), чьи вершины принадлежат какому-либо классу Ьа из Ь. Так как Ь покрытие, то вершины комплексов 5(Х) и Я(Х, Ь) совпадают с точками из А'. Соответствующий симилициалыюму комплексу 3(Х, Ь) цепной ориентированный комплекс обозначим через С(Х, Ь). Это, очевидно, будет подкомплекс в С(Х).

Базовым результатом работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть (X, т) - толерантное пространство, и пусть Ь = {¿0}„б/ - некоторое хорошее покрытие пространства {Х,т). Тогда цепные комплексы С(Х) и С{Х,Ь) ценно гомотопно эквивалентны.

В доказательстве этой теоремы используется метод ациклических моделей. Для этого симплициальный комплекс 5(Х) рассматривается как категория, объектами которой являются подкомплексы частично упорядоченные по включению. В этой категории выделяются модели, соответствующие симплексам из 5(Х). Пусть а произвольный симплекс из Обозначим через а подкомплекс в Б(Х), состоящий из всех граней симплекса а. Множество всех таких подкомплексов М — а С

возьмем в качестве моделей категории S(X).

Рассмотрим ковариантньтй функтор С = {С,},>о на категории S(X), сопоставляющий каждому подкомплексу Р из S(X) ориентированный ценной комплекс С(Р), свободно порожденный ориентированными симплексами из Р. Нетрудно проверяется, что С является свободным неотрицательным функтором из категории S(X) с моделями М в категорию ценных комплексов.

Построим еще один ковариантный функтор С' — {C'q}?>о из S(X) в категорию цепных комплексов, так чтобы все цепи С'(Р) порождались бы ориентированными симплексами, вершины каждого из которых принадлежали бы какому-либо классу La € L. Другими словами, С'(Р) С C(X,L). Возьмем произвольный симплекс а = {ж»,..., хя} в комплексе S(X). Вершины а попарно толерантны, и значит все они принадлежат хотя бы одному классу К в пространстве (X, г). Согласно свойству 2 определения 1, найдется конечное множество А(сг) С I, такое что стСП^С U и ( П *0П( П ¿о) -равномощно с X. Это поз-

аСК а€Л(<т) ас К а£Л(а)

воляет выбрать и зафиксировать точку ха 6 ( |"| К) р|( |~| La). Догорел аеЛ(о-)

воримся выбирать в качестве х„ одну из вершин симплекса а, если весь симплекс гт ппкривается одним множеством ZvQ(Oi £ I j. Н частности, для 0-мерных симплексов о = {io} имеем х„ — Хп- Выполнив процедуру выбора для всех симплексов из S(X) и, в частности, для всех граней симплекса <т, определим множество:

Sd(a) = {ха.\с' С о} .

11о построению а С Sdft) и, если для некоторого а £ / будем иметь а С La, то, опять же но построению, Sd(cr) = о.

Используя известные факты из теории множеств и свойство 2 определения 1, показывается, что для каждого симплекса а из S(X) можно выбрать свою точку ха, отличную от таковых для других симплексов. При таком выборе точек ха (а € S(X)) имеет место следующее важное свойство

Sdfa) П Sd(a2) = Sd(oTTia2). (1)

На множестве Sd(a), как на вершинах, можно построить симпли-диальный комплекс, аналогичный барицентрическому подразбиению. А именно, ДЛИ (7-мерных симплексов п, g-мсрпыми симплексами в Sd(7f) объявим множества вида {х„я, х„ч £„0}, соответствующие строго

убывающим цепочкам граней: а — aq С С • • • С (Го максимальной длины <j+l. Симплексы меньшей размерности в Sd(a) - это всевозможные грани этих д-мерных симплексов. В получившемся симплициаль-

ном комплексе Sd(cr), возьмем подкомплекс S(Il{?t), состоящий из тех симплексов в Sd(a), которые целиком включаются в некоторые классы La(a € I). Очевидно, что вершины симплициальпых комплексов £<¿/,(<7) и Sd(W) совпадают с множеством Sd(a). На комплекс Sdi(ä) можно смотреть как па симплициальный комплекс толерантного пространства (Sd(ä), Т/,), где толерантность Г/( определяется классами толерантности, представляющими собой симплексы в Sd(ä) максимальной размерности, целиком включающиеся в некоторые L„(a £ I). Проверяется, что толерантное пространство (Sd(<7),Ti) является толерантной звездой с центром в точке х„. Но все толерантные звезды являются толерантно стягиваемыми, и значит ацикличными в положительных размерностях.

Пусть теперь Р произвольный подкомплекс в S(X). Определим новый подкомплекс SdL(P) = (J SdL,(ö). Легко видеть, что при р С

«тер

Рг, имеем Sdi(Pi) С SdL(P2). Это позволяет определить ковариантный функтор С" из категории 5(A) в категорию ценных комплексов, полагая С"(Р) = C(Sdt{P)) - цепной комплекс ориентированных цепей симпли-циального комплекса SdL(P). Из выше сказанного следует, что функтор С ацикличен в положительных размерностях на категории S(X) с моделями М = {ст|(7 6 5(A)}.

Сравним теперь 0-мерные гомологии функторов С и С". Пусть Р -произвольный подкомплекс в 5(A). Тогда 0-мерные гомологии Я0(С(Р)) свободно порождены компонентами линейной связности симплициально-го комплекса Р. Аналогично, группа Я0(С"(Р)) = H0{C{SdiXP))) свободно порождена компонентами линейной связности комплекса Sd^^P). Используя определение комплекса 5d/,(P), можно показать, что компоненты линейной связности комплекса Р включаются в компоненты линейной связности комплекса Sdi(P). Поскольку различные компоненты линейной связности не могут пересекаться, то, сопоставляя компоненте комплекса Р включающую ее компоненту комплекса Sdi,(P), мы получим каноническое отображение <ро, между свободными образующими групп Н0{С(Р)) и Н0(С'(Р)). Нетрудно показать сюрьективность отображения </>о*- А, используя свойство (1), доказывается инъектинноегь </30„. Таким образом, имеется каноническая биекция между свободными базисами групп Я0(С(Р)) и Яи(С"(Р)). Это определяет канонический изоморфизм

•Ро. : НВ(С(Р)) " Я0(С"(Р)) ,

который оказывается естественным по Р в категории 5(A).

Полученные результаты позволяют применить метод ациклических моделей, и констатировать существование естественного цепного отоб-

ражения :

V = Ы,>о : с = {С,},>о -* С = {с;},>о ,

индуцирующего естественный изоморфизм (ро,„.

Построим еще одно естественное цепное отображение х '■ С' —> С функторов С" и С на категории ¿>(Х). Градуированный гомоморфизм X = {х?}?>о достаточно определить на образующих в группах С'(Р) = {С^(Р)},>о, где Р подкомплексы в комплексе 8{Х). Для этого сначала в каждом симплексе а из Р выберем и зафиксируем одну из его вершин х(ст) 6 а. При этом, договоримся, что при наличии включения а С Ьа, для некоторого а е /, выбирать х(сг) = х0. В частности для 0-мерных симплексов а = {1}, где х - вершина в Р, имеем ха — х = х(а). В остальных случаях, то есть когда а Ьа(\/ а € /), вершины 1(0") из а будем выбирать произвольным образом. Согласно определению функтора С", д-мерные ориентированные симплексы, являющиеся образующими в группах С£(Р) = С^БЛ^Р)), имеют вид [хао1ха1,..., х„9], где с0,01,...,Од некоторые грани какого-либо симплекса а из Р. Определим гомоморфизм Хя С'ч(Р) Ся{Р) формулой:

Непосредственной проверкой убеждаемся,

что х — {Хд}<?>0 является естественным по Р цепным отображением. При этом с помощью свойства (1) доказывается, что естественные гомоморфизмы Хо» и ¡ро» на 0-мерных гомологиях Но{С') и Яо(С) взаимно обратим друг другу:

ХО* О Ро. = (х ° Ч>)о» = 1но(С(7>))-

Рассмотрим теперь естественное цепное отображение х° V '■ С С функтора С на категории в(Х) в себя. Как отмечалось выше, функтор С является ковариантным, неотрицательным, свободным функтором на категории Б(Х) с моделями М = {(т|<т е 8(Х)}, принимающим зпачеиия в категории ценных комплексов. Но функтор С, одновременно с этим, является еще и ацикличным в положи тельных размерностях на моделях М. Отсюда, согласно методу ациклических моделей, два естественных цепных отображения х 0 </> и 1 с С —»С, индуцирующие одинаковые естественные гомоморфизмы 0-мерных групп гомологий, должны быть естественно ценно гомотопны: х 0 V — 1с-

Применим теперь полученные результаты для максимального подкомплекса Р = предварительно убедившись в том, что цепные комплексы С(Б(Х)) и С'(3(Х)) - это в точности комплексы С(X) и С(Х, Ь). В частности, мы имеем существование цепных отображений

<р : С{Х) С{Х, Ь) их: С(Х, Ь) С(ЛГ), таких что

\0 1р ~ 1с(Х)- (2)

Обратную композицию ^ о у достаточно рассмотреть на образующих {[ст]|сг € Но здесь, соглашения в определениях функтора С"

и цепного отображения х, дают нам :

Ч> 0 X = 1с(ВД- (3)

Формулы (2) и (3) представляют то, что и требовалось доказать в теореме X.

Обозначим группы гомологий цепного комплекса С(Х} Ь) через Н(Х(Ь)) = ®ц>цЯд(Х(£)) и назовем группами толерантных гомологий хорошего покрытия I = {¿а}а6/ толерантного пространства (X, г). Непосредственным следствием теоремы 1 является следующая теорема.

Теорема 2. Группы гомологий цепных комплексов С(X) и С(Х,Ь) изоморфны:

(V? > о) я,(Х)йн,(ад.

Займемся теперь уточнением гипотезы Зимана.

Определение 2. Толерантное пространство (X, т) назовем дискретным, если выполняются следующие свойства :

1. множество X не более чем счетно;

2. каждый элемент х ив X принадлежит лишь конечному числу классов толерантности.

Определение 3. Толерантное отображение / : (X, т) —» (У, в) будем называть дискретным толерантным вложением, если отображение / инъективное, а пространство (X, т) - дискретное, толерантное пространство.

Определение 4. Если толерантное отображение

/: (Х,г)-(У,в)

индуцирует изоморфизм групп гомологий

/.: ВДйЯ(У),

то отображение / будем называть гомологической эквивалентностью пространств (Х,т) и (У, в).

Пусть теперь (X, т) - толерантное пространство, имеющие хорошее покрытие Ь = Определим новое толерантное пространство

(Х(Ь),т(Ь)) с тем же базисным множеством Х[Ь) = X и с толерантностью т(Ь), чьи классы толерантности совпадают с элементами хорошего покрытия Ь = {Ьп}аб7- Рассмотрим еще присоединенное безъядерное толерантное пространство состоящее из толерантных ядер про-

странства (Х(Ь),т(Ь)), с толерантностью т/,, которая определяется т(Ь) толерантностью представителей ядер. Имеет место следующее утверждение.

Предложение 1.Пусть (Х,т) толерантное пространство обливающее хорошим покрытием Ь = {Ьа}а^1. Тогда толерантное пространство (Ль, 7х) является дискретным.

Если в каждом ядре х отношения т(Ь) зафиксировать какой-либо представитель х' € х (т.е. х' = х), то отображение у : Хл —> Х{Ь) задаваемое формулой д{х) = х', является дискретным толерантным вложением. Так как такие отображения являются толерантно гомотоиичсски обратными к каноническому отображению факторизации / : [X(£), т(Ь)) —» [Хь^ь), такому что /(а:) = х, то, из аксиомы гомотопии для толерантных гомологий, имеем

д. : Н{Х,) ^ Н(Х(Ь)). (4)

Заметим, что гомологии толерантного пространства (Х(Ь),т(Ь)) - это в точности гомологии ценного комплекса С(Х,Ь), что и отражено в их обозначениях.

При доказательстве теоремы 1 было получено цепное вложение \ : С(Х,Ь) —> С(Х), являющиеся цепной гомотопической эквивалентностью, индуцированной вложением симнлициальных комплексов 5(Х, Ь) —> Но это последнее вложение индуцировано толерантным

отображением 1(£) : (Х(Ь),т(Ь)) —» (Х,т), которое на множестве точек 1(£) : Х(Ь) — X —> X представляет собой тождественное отображение. Все это позволяет записать теорему 2 в виде изоморфизма

(1(Ь)). : Н(ХЩ) й Н(Х). (5)

Если рассмотреть композицию

№ = 1(Ь)о д : (Хить)-.(Х,т),

то формулы (4) и (5) дадут нам

](Ь), = (1 (£) о д)„ = 1(£), о д, , Н(Хг1 = Н(Х).

В результате мы получим следующую уточненную формулировку гипотезы Зимана.

Теорема 3. Пусть (Х,т) - произвольное толерантное пространство, имеющее хорошее, покрытие Ь = {£а}ае/. Тогда существует дискретное. толерантное вложение

т : (Хь,п)^(Х,т) ,

являющееся гомологической эквивалентностью для пространств (Хь,ть) и (Х,т), то есть индуцирующее изоморфизм их групп гомоло-гий:

ЦЬ). : ЩХЬ) = Н{Х).

Отметим, что вложеиие ¿(Ь) является всюду плотным вложением, что соответствует исходной гииотезе Зимана.

Частным важным случаем теоремы 3 является следующая теорема. Теорема 4.Пусть (X, т) толерантное пространство, имеющее конечное хорошее покрытие Ь = {¿1,..., Ьп}. Тогда существует конечное толерантное пространство (Хь, 7ъ) с толерантным вложением

т-. (хь,т,) -> (х,т),

которое индуцирует изоморфизм групп гомологии

;(£),: Н{ХЬ)~Н(Х),

откуда, в частности, следует конечная порожденность всей группы гомологий Н(Х) пространства (Х,т).

С помощью теоремы 4 из ограниченного метрического толерантного пространства, например из окружности, можно удалить почти все точки, и оставить лить конечное толерантное пространство с теми же гомологи-ями, что и исходное толерантное пространство. В топологическом случае такая устойчивость к удалению точек совершенно невозможна.

Библиографический список

1. Ботт Р.,Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топо-логии.-М.:Наука, 1989.

2. Зиман Э.,Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг. / В сб. На пути к теоретической биологии.-М.:Мир, 1970.

3. Небалуев С.И. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств./ В сб. Математика и ее приложения. - Изд-во Сарат. ун-та, 1991,С. 105-107.

4. Спеньер Э. Алгебраическая топология.-М.:Мир,1971.