Точные $l_2$-неравенства Джексона черных юдина в теории приближений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 19-28

= Математика =

УДК 517.5

Точные ^2-неравенства Джексона — Черных — Юдина в теории приближений

В. И. Иванов

Аннотация. Первое точное неравенство Джексона в пространстве ^2 было доказано Н. И. Черных. Ему принадлежит и схема доказательства таких неравенств. Она основана на использовании специальной весовой функции. Общий подход к построению весовых функций был предложен В.А. Юдиным. Работа посвящена раскрытию роли В.А. Юдина в доказательстве точных Ь2-неравенств Джексона и написана на основе пленарного доклада автора на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», состоявшейся 17 —

21 сентября 2012 года в Тульском государственном университете.

Ключевые слова: пространство Ь2, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, весовая функция.

Введение

27 апреля 2012 года на 66 году скоропостижно скончался выдающийся российский математик, доктор физико-математических наук, профессор Владимир Александрович Юдин. Он был крупным специалистом по теории функций и теории приближений и их приложениям в теории кодирования и дискретной геометрии.

В.А. Юдин родился 1 января 1947 года в Саратовской области. В 1969 году закончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. В 1971-1974 годах обучался в аспирантуре Математического института им В.А. Стеклова АН СССР, где его научным руководителем был профессор С.Б. Стечкин. Кандидатскую диссертацию защитил в МИАН СССР в 1975 году. Там же защитил докторскую диссертацию в 1991 году. С 1975 года работал на кафедре высшей математики Московского энергетического института (технического университета).

Большинство его работ посвящены развитию и применению многомерного гармонического анализа. Им получены глубокие результаты по оценкам констант Лебега, норм операторов частичных сумм кратных

рядов Фурье, доказаны точные многомерные неравенства Джексона в пространстве L2. Большой цикл его работ посвящен оценкам мощности кодов и дизайнов, потенциальной энергии зарядов (задаче Томпсона) на многомерных многообразиях. В этих трудных задачах он с успехом использует экстремальные задачи теории функций, часто предлагая их оригинальные постановки. Последний цикл его работ был посвящен изучению наименее уклоняющихся от нуля многочленов многих переменных.

На Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», проходившей 17-21 сентября 2012 года в Тульском государственном университете, три пленарных доклада были посвящены математическому творчеству В.А. Юдина. Их сделали С.В. Конягин «Суммы Фурье в пространствах LP в работах В.А. Юдина», В.И. Иванов «Точные многомерные неравенства Джексона - Юдина в L2», Д.В. Горбачев «Экстремальные задачи теории функций и дискретной математики в работах В.А. Юдина».

Настоящая работа написана на основе пленарного доклада автора и посвящена раскрытию роли В.А. Юдина в доказательстве точных L2-неравенств Джексона.

Основные определения и обозначения

В работе будут использоваться стандартные обозначения:

R, Z, N — множества действительных, целых и натуральных чисел;

T = (—п, п] — одномерный тор;

Lp(T), 1 ^ p < ж — пространство действительных 2п-периодических

( \1/р

измеримых по Лебегу функций f (x) с нормой ||/||P =1 f \f (x)\pdx I < ж;

L<x(T) = C(T) — пространство непрерывных функций с нормой ||f||те = = max \f (x)\;

En(f)p = inf {If — tn-iIIp : tn-i(x) = ck eikx}, 1 ^ p ^ ж,

|fc|^ra—1

n £ N, — величина наилучшего приближения функции f £ LP(T)

тригонометрическими полиномами порядка не выше n — 1;

A-t f (x) = f (x + t) — f (x) — первая разность функции f;

и(д> f )P = SUP l|Atf (x)IIP — модуль непрерывности функции f £ LP(T).

ms

Неравенства Джексона

В 1911 году Д. Джексоном [1] была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любой f Е С(Т) выполняется неравенство

Еи(/)ж < еи(П,А .

\ П /ж

Неравенства подобного типа с первым модулем непрерывности принято называть неравенствами Джексона. В 1937 году в работе Е. Кваде [2] неравенство Джексона было распространено на пространства Ьр(Т), 1 ^ р <

< ж.

Теорема 2. Для любой f Е Ьр(Т), 1 ^ р < ж, выполняется неравенство

Еп(])р < еи(П,А .

\п / р

В 1961 году Н.П. Корнейчук [3] доказал теорему.

Теорема 3. Для любой f Е Ьж(Т) выполняется неравенство

ЕпУ)ж < .

\ П /ж

В этом неравенстве константу 1 перед модулем непрерывности нельзя уменьшить сразу для всех п Е N. И в этом смысле неравенство является точным. Это было первое точное неравенство Джексона. Однако, для каждого индивидуального п константу можно уменьшить. Оценка снизу, полученная Н.П. Корнейчуком, позволяет сделать предположение.

Гипотеза: . .

ЕМ)ж < (1 - 2^)ЧП'^ж'

При доказательстве теоремы 3 используется промежуточное приближение и неравенство треугольника в пространстве Ьж(Т). В строго выпуклом пространстве ^(Т) этот метод не работает, поэтому для доказательства точного неравенства Джексона нужны были новые идеи. Они были предложены Н.И. Черных.

Рузультаты Н.И. Черных

В 1967 году Н.И. Черных [4] доказал теорему.

Теорема 4. Для любой f Е Ь2(Т) выполняется точное для каждого п Е Е N неравенство

/ П \

ЕМ )2 < а(п,/) 2-

Н.И. Черных предложил следующую схему доказательства теоремы 4. Рассмотрим усреднение нормы разности функции f с весом Ь:

I = [ \\Atf(х)\\1н(1)йг.

.)т

Предположим, что функция h(t) обладает свойствами:

1) h(t) — четная, неотрицательная, JT h(t)dt > 0;

2) supp h С [—Sn, 5n] С T;

3)коэффициенты Фурье hv J 0, \v\ ^ n.

Оценим величину I сверху и снизу. Имеем

I = I \\Atf (x)\\lh(t)dt J ш2 (5n,f)2 / h(t)dt,

I = 4п f V(1 — cosvt)\fv\2h(t)dt ^ 4n f V (1 — cosvt)\fv\2h(t)dt =

^T veZ \v\^n

= 4п V \fv\2 I h(t)dt — 8п2 V \fv\2hv ^ 2ЕП(f)2 [ h(t)dt. iTT Jt ,ТГ J t

\v\^n \v\^n

Итак,

2ЕП(f )2 J Ш2 (Sn, f )2 , En(f )2 J ш (Sn, f )2

1 72^

Остается построить нужную весовую функцию Н(Ь) с возможно меньшим носителем. В качестве такой функции Н.И. Черных предложил следующую функцию:

hn t = СПП 'J t t . supp hn =

П П

nn

Позже [5] он показал, что носитель этой функции минимально возможный.

Однако, полного понимания природы этой весовой функции, необходимого, например, для построения ее многомерного аналога. не было. Метод построения весовых функций был предложен В.А. Юдиным.

Рузультаты В.А. Юдина

Вначале В.А. Юдин привел возможный алгоритм построения весовой функции Н.И. Черных. Он предложил рассмотреть задачу на собственные значения для оператора —у":

—у" = А у,

П '

2n у

Ее первой собственной функцией, отвечающей минимальному собственному значению и продолженной нулем на период \—п,п], является функция

Гcos иЬ, | Ь| К п/2и,

Ш = \0. п/2и К IЬI К п.

Тогда искомая весовая функция может быть записана в виде

h„(t) = уі ^ + ^) + уі (г— 2U)

Такое понимание весовой функции Н.И. Черных позволило ему построить ее многомерный аналог. Пусть ! £ М,

— !-мерное евклидово пространство со скалярным произведением (х,у) = Е^=1 Уз и нормой I х I = л/(х,х);

Т = (—п,п}‘1 — !-мерный тор;

Ь2 (Тй) — пространство измеримых по Лебегу на Т функций / с

, 1/2

1 М |2

нормой \\j || 2 = (2 )d \f (x)\ dx I < ж и скалярным произведением

(f,g) = (2ld f f(x)g(x)dx

Td

^ег(и,х)^ ^ — тригонометрическая полная ортонормированная система;

/(х) = /е%{у'х) — ряд Фурье, а Д, = (/,ег{и^) — коэффициенты

Фурье функции /;

Er (f )2 = min

f (x) — cve

i(v,x)

\v\<R

jfvj

Jv\>R

l/2

2

— величина наилучшего приближения функции f £ L2(Td) тригонометрическими полиномами со спектром в евклидовом шаре радиуса R > 0;

U С Td — выпуклое центрально симметричное компактное тело с кусочно-гладкой границей, u(rU,f)2 = sup ||Atf(x)\\2, т > 0 — модуль

tErU

непрерывности функции f £ L2(Td).

Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора Лапласа:

—Ay = Ау, Ay £ L2(U),

У \ ди = 0.

Известно, что она имеет счетное множество собственных значений и собственных функций. Для первого минимального собственного значения и отвечающей ему четной собственной функции справедливы свойства:

Ai(U) > О, уі(x) ^ О,

< О.

dU

V

2

Вне тела и функцию у1 продолжим нулем. Пусть Ти/(х) = /(х + и) оператор сдвига. Определим функции

ф(х) = — ! Тиу1(х)

ду1(и)

ди

ди

йи,

Фд(х) = ф(КЛ 1/2х), Фд(х) = ^2 фД(х + 2пи). V

Отметим следующие свойства функции Фд:

1) Фд(х) — четная, неотрицательная на Т функция,

2) 8ирр Фд С 2Х\{и) и,

3) (ФR)v К 0, | V | ^ К.

Таким образом, функция Фд является весовой функцией. Она позволила

В.А. Юдину [6] в 1981 году доказать теорему.

Теорема 5. Для любой / £ Ь2(ТА) выполняется точное неравенство

Ед(/Ъ < 7“(^ и/ 2 ■

Следует отметить, что в теореме 5 мы имеем целую серию точных неравенств Джексона в зависимости от выбора тела и.

Универсальность метода В.А. Юдина

Метод В.А. Юдина построения весовых функций для доказательства точных Ь2-неравенств с первым модулем непрерывности оказался универсальным. В каждом конкретном случае необходимо с рассматриваемой задачей связать свой аналог оператора Лапласа и свой оператор сдвига (обобщенного сдвига). Следуя этому методу были доказаны точные неравенства Джексона в пространствах Ь2 на евклидовом пространстве Мй, евклидовой сфере 8й-1, гиперболоиде На, в пространствах с весом:

Ь2(Мй) — А.Г. Бабенко ([7], 1998 г.); А.В. Московский ([8], 1997 г.);

Ь2(8й-1) — А.Г. Бабенко ([9], 1996 г.);

Ь2(НЛ) — Д.В. Горбачев, М.С. Пискорж ([10], 1998 г.);

Ь2,\(Ж) с весом |х|2Л+1, Л > —1/2 — А.Г. Бабенко ([7], 1998 г., случай четных функций), А.В. Московский ([8], 1997 г., случай четных функций), Д.В. Чертова ([11], 2009 г., общий случай);

L2,a,e(T) с весом \ sin x \2a+i\ cos f \2в+1, а ^ в ^ — 1 — А.Г. Бабенко ([12], 1998 г., случай четных функций); Д.В. Чертова ([13], 2009 г., а = в, общий случай); Во Тхи Кук ([14], 2012, а > в ^ — 1, общий случай);

L2,k(Rd) — с обобщенным степенным весом ПaER+ \(a,x)\2k(a — А.В. Иванов, В.И. Иванов ([15], 2010 г.).

Экстремальность метода В.А. Юдина

Пусть L2(Rd) — пространство измеримых по Лебегу на Rd функций f

, у2

с нормой: \\f ||2 = J \ f (x)\2dx < ж, V, U — выпуклые центрально

\Rd J

симметричные компактные тела в Rd,

\x\v = inf {А : x £ AV},

E (aV,f)2 = inf {||f — 0II2 : g £ L2 (Rd) , suppf С aV} ,

— величина наилучшего приближения функции f £ L2(Rd) целыми функциями экспоненциального типа со спектром в теле aV, a > 0,

ш(т11, f )2 = sup If (x + t) — f (x) 112

tErU

— модуль непрерывности функции f £ L2(Rd), определяемый сдвигами из тела tU, т > 0.

Справедливо точное неравенство Джексона:

■•л •(“

Наименьшее значение аргумента в модуле непрерывности, при котором справедливо это неравенство, то есть величину

Td(V, U) = inf Yd(V, U)

назовем оптимальным аргументом.

Задача нахождения оптимального аргумента является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Она оказалась эквивалентной экстремальной задаче Логана для целых функций многих переменных.

Пусть A(f,V) = sup{\x\v : f(x) > 0} — радиус наименьшего шара, определяемого телом V, вне которого действительная функция f неположительна.

Задача Логана. Вычислить величину

Лd(U,V) = inf{A(f,V) : f £ Li(Rd), supp f С U, f(x) ^ 0}.

Здесь fg — преобразование Фурье функции f .

В 1999 году Е.Е. Бердышева [16] доказала теорему.

Теорема 6. Справедливо равенство

Td(V,U )=Ad(U,V).

Метод В.А. Юдина построения весовых функций (функция $i(x) = = ф(A-1/2x)) дает оценку:

Td(Bd, U) = Ad(U, Bd) J 2A1/2(U).

В задаче Логана оценка сверху может быть получена с помощью целой функции Ф^).

Гипотеза:

Td(Bd, U) = Ad(U, Bd) = 2Al^2(U).

Справедливость этой гипотезы подтверждена в двух случаях, когда U есть евклидов шар и параллелепипед.

Пусть

i/p

d = ) x £ Rd : \x\p = I \ ^ J 1 V , 1 J p < Ж,

Bdp = і x Є Rd : jxjp = ^ jxjpj

Вж = |х £ Мй : |х|те = тах | К 11 , Р = ж.

В 1999 году Е.Е. Бердышева [16] доказала теорему. Теорема 7. Справедливо равенство

га(ВЛр, В£) = Лл(в£>, ВЙ) = п!1/р, 1 К Р К 2.

В теореме 7 экстремальная целая функция в задаче Логана при 1 ^ р < 2 та же, что и при р = 2.

В 2000 году Д.В. Горбачев [17] доказал теорему.

Теорема 8. Справедливо равенство

га(Б%, Б%) = Ла(в2, Б%) = 2дл/2-1.

В теореме 8 д\ — первый положительный нуль функции Бесселя ,1\(х). В 2011 - 2012 годах А.В. Иванов [18, 19] доказал теорему.

Теорема 9. Если Па = П£=1[—аз,аз}, аз > 0, 1 К Р К 2, Ьа =

Td(Bp, Пa)=Лd(Пa,Bj) = jbajp•

Построение экстремальной целой функции в задаче Логана при 1 J p <

< 2 потребовало некоторой модификации метода В.А. Юдина. Эта функция получается с помощью преобразования Фурье функции

Ф(x) = — J yi(x + и) Pp(u)du,

дПа

где pp(u) — некоторая положительная постоянная на гранях параллелепипеда Па функция.

Список литературы

1. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annaheruny stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Frades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung: Diss. Gottingen, 1911.

2. Quade E.S. Trigonometric approximation in the mean // Duke Math. J. 1937. V. 3. P. 529-543.

3. Корнейчук Н.П. Точная константа в неравенстве Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 514-515.

4. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88.

С.71-74.

5. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. intern. conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25-43.

6. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309-315.

7. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183-198.

8. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(M.n) и Lp,\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.4. Вып.1. С.44-70.

9. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3. С.333-355.

10. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в L2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.54-58.

11. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.3. С.100-116.

12. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62, №6. С.27-52.

13. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 J p J 2 с

периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1.

С.5-27.

14. Кук Во Тхи Операторы обобщенного сдвига в пространствах Lp на торе с весом Якоби и их применение // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 17-43.

15. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16, №4. С.180-192.

16. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т.66, №3. С.336-350.

17. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т.68, №2. С.179-187.

18. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

19. Иванов А.В. Оптимальные аргументы в неравенство Джексона в пространстве L2 (Rd) со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2012. С.39-41.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

The sharp Jackson — Chernykh — Yudin ^-inequalities in the approximation theory

V. I. Ivanov

Abstract. The first sharp Jackson inequality in L2-space was proved by N.I. Chernykh. He also proposed a scheme for the proof such inequalities. t is based on the use of special weighting function. General approach to construction of weight functions was proposed by V.A. Yudin. The paper is devoted to the role of V.A. Yudin in the proof of sharp Jackson inequalities in L2-spaces and is based on the author’s plenary report at the International Conference «Modern problems in mathematics, mechanics, computer science», held 17-21 September 2012 in the Tula State University.

Keywords: L2-space, best approximation, module of continuity, Jackson-inequality, weighted function.

Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Поступила 29.09.2012