Точность оценки и непротиворечивость модели при минимаксном оценивании параметров формы сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ И НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ МОДЕЛИ ПРИ МИНИМАКСНОМ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ

СИГНАЛА

А. А. Захарченко, А. И. Чуличков

(.кафедра компьютерных методов физики) E-mail: alexey_zakharchenko@srisa.ru; ach@cmp.phys.msu.su

Предложен метод минимаксного оценивания параметров объекта по форме сигналов, полученных от объекта в условиях существенной неопределенности. Метод позволяет контролировать адекватность используемой математической модели. Эффективность метода иллюстрируется решением задачи минимаксного оценивания профиля поверхности микрообъектов по набору их изображений, полученных оптическим микроскопом с различным положением фокуса.

Введение

Морфологический подход к анализу сигналов был предложен Ю. П. Пытьевым более тридцати лет назад. Под морфологическим анализом понимаются методы решения задач узнавания, классификации объектов, выделения отличий в сценах по их изображениям, оценивания параметров объекта по его изображению и другие, основанные на понятии формы изображения. Зрительный анализатор человека решает эти задачи вне зависимости от условий формирования изображения, следовательно, указанные задачи можно решать с помощью инвариантов, сохраняющихся при изменении этих условий. В ряде случаев можно указать множество изображений, порожденное данной сценой при всех возможных значениях условий формирования изображений. Это множество изображений называется его формой. Если это множество выпукло и замкнуто в пространстве всех изображений, то с формой изображения сцены можно однозначно связать проектор на это множество. В терминах этих проекторов конструктивно решаются названные выше задачи анализа изображений [1-3].

В настоящей работе морфологический подход используется для анализа параметров сигналов произвольной природы. Под сигналом будем понимать вектор евклидова пространства Rn; в частности, если / € Яп — изображение некоторой сцены, координата /г- вектора / € Яп является яркостью г-го узла сетки поля зрения X.

Понятие формы сигнала

Будем считать, что вектор / € Яп задан своими координатами в некотором ортонормированном базисе, и для любой числовой функции F(•): /?1 —/?1, заданной и принимающей значения на числовой прямой /?1, обозначим Р*} € Яп вектор, координаты СР*/)г которого в заданном базисе равны

(F*f)í = Fi.fi) > i = 1, • • • Введем понятие формы сигнала как множества сигналов, полученных при всевозможных условиях регистрации.

Определение. Пусть F — класс функций, определенных и принимающих значения на действительной прямой. Формой изображения f Е Rn назовем множество V¡ = {F*f, F(-) € F} ■

Понятие формы сигнала полезно, например, в следующих ситуациях. Пусть / € Rn — изображение некоторой сцены на поле зрения X = {x¡,...,хп}, полученное при неконтролируемых условиях, однако таких, что области с одинаковыми оптическими свойствами сцены отображаются в точки поля зрения с равной яркостью. Тогда множество всех изображений является множеством кусочно-постоянных изображений вида / = Yl¡= i cjXj € Rn, где c¡ € (-00,00),

a x,jix) = индикаторы подмножеств

поля зрения X равной яркости c¡, / = 1,..., т < п. Множество всех изображений данной сцены можно записать в виде V¡ = {F*f, F(-) € F}, где F — класс всех числовых функций. Инвариантом преобразований яркости изображения в данном случае является набор индикаторных функций, задающий разбиение поля зрения на множества равной яркости, — это разбиение передает особенности сцены, присутствующие в любом ее изображении.

В другом примере форма сигнала определяется положением его максимума. Пусть для координат f¡ сигнала / eRn выполнены неравенства: /¿_ 1 </¿ для i = 2,..., т и fi > fi+1 для i = i,... ,п — 1. Значение индекса т, разделяющего указанные множества индексов (т. е. положение «максимума» координат вектора /), является параметром формы. Изменение условий наблюдения сигнала не изменяет заданной упорядоченности координат сигнала, в крайнем случае неравенство может превратиться в равенство.

6 ВМУ. Физика. Астрономия. № 6

Как и в предыдущем примере, зададим форму сигнала в виде множества Ц = {F*f, F(-) Е F}, однако теперь в качестве F выберем класс монотонно неубывающих функций, в результате для координат сигнала F*f выполняются неравенства: (F*f)i-x < (F*f)t для i = 2,..., т и (F*f)i > (F*f)i+i для i = i,... ,п — 1. Форма в этом случае является множеством сигналов, первые т координат которых не убывают, а последующие (п — т) не возрастают. Такие сигналы будем называть унимодальными.

Далее класс F выбирается так, чтобы Vf было выпукло и замкнуто в Rn. Тогда эквивалентным является определение формы изображения как проектора Pj в Rn на Vf, т.е. решение задачи наилучшего в Rn приближения элемента g Е Rn элементами формы Vf:

\\Pfg - sf = inf{ll£ - ч\\2 Net//}. (l)

В первом примере таким проектором является линейный оператор Pfg = ^2f= i J^p^/ П-^]- вто" ром рассмотренном примере проектор нелинеен, для его вычисления следует решить задачу выпуклого программирования [4].

Оценка параметра формы сигнала

Пусть форма изображения объекта задана с точностью до некоторого параметра Л € Л (Л с Rm — множество допустимых значений параметра). Для каждого значения параметра Л определим форму его изображения в виде множества V\ с Rn его возможных изображений и проектор на это множество Р\, Л € Л. По предъявленному сигналу g eRn требуется оценить его параметр Л € Л.

Выберем оценку Л параметра Л из условия минимума погрешности оценки. Уточним модель формирования предъявляемого сигнала, считая, что наблюдение сигнала / € V\ производится по схеме

a=f+v, (2)

в которой погрешность v Е N, где N с Rn — заданное множество. Задачу оценивания параметра Л поставим как задачу на минимакс:

||А — All = inf supjllA — А'Ц I А':

А'ел 1 1 .

£ = / + v, f € Ky, v € Nj. (3)

Оценка А минимизирует максимально возможную погрешность оценивания параметров. Для решения задачи (3) построим множество Л^сЛ значений параметра А, при которых равенство (2) возможно при некоторых /' € Л; и f Е V\. Это множество содержит те и только те значения параметра А, для которых отличие результата измерения £ от множества V\ может быть объяснено погрешностью veN. Решением задачи (3) в этом случае является центр шара минимального радиуса, содержащий множество Л^, а радиус этого шара является погрешностью оценки А [5].

Заметим, что в случае, когда А — числовой параметр, его минимаксной оценкой по наблюдению £ будет середина отрезка минимальной длины, содержащего множество Л^, а оценкой погрешности — половина длины этого отрезка.

Оценка адекватности модели

Если множество Л^ не пусто, то, очевидно, нет причин отвергать используемую математическую модель измерения (2). Если же Л^ не содержит ни одного элемента, то модель противоречива и должна быть отвергнута. Формально можно ввести числовую характеристику адекватности модели:

Функ11ию «(')- следуя теории

измерительно-вычислительных систем, назовем надежностью модели.

Оценка профиля поверхности объекта

по набору его изображений с различным

положением фокуса

Рассмотрим подробнее ситуацию, когда форма сигнала представляет собой множество

(4)

где А — параметр формы, А € Л„ = {1,...,«}. Задача оценки параметра А € Л„ формы (4) возникает при оценке профиля поверхности трехмерного объекта по набору его изображений, полученных оптическим микроскопом с различным положением фокуса [6]. Как показано в [6], для достаточно широкого класса поверхностей дисперсия яркости изображения в окрестности точки х поля зрения тем больше, чем ближе поверхность объекта в окрестности точки х к положению фокуса. Изменяя дисперсию яркости окрестности точки х на изображениях с различным положением фокуса г = 1,...,«, получим случайный вектор £ = (£1 ,...,£„), измеренный по схеме £ = / + гл где V Е N — погрешность измерения, а / € Оценка высоты поверхности объекта может быть получена как оценка параметра А формы V\ сигнала } Е V\ С Rn, определенной в (4). Решив задачу оценки параметра А по данным измерений £ в каждой точке поля зрения, можно решить задачу реконструкции трехмерного рельефа поверхности наблюдаемого объекта.

Для оценки параметра А в заданной точке х поля зрения построим множество Л^ тех А € Л„, для которых £ — Я^С € ./V, где — проекция £ на множество Уд. Если N = {г Е |И| то

множество Л^ содержит те и только те значения параметра А € Л„, для которых ||£ — Рух£\\ ^ б.

Если множество Л^ не пусто, то модель адекватна, в противном случае поверхность объекта и (или)

20 30

Положение фокуса, мкм

Рис. 1. Зависимость дисперсии яркости в окрестности фиксированной точки поля зрения от положения фокуса. Вертикальными линиями отмечены границы множеств Л^ на каждом сигнале. Шаг положения фокуса 0.9 мкм

20 30

Положение фокуса, мкм

Рис. 2. Зависимость функционала невязки ||£ — - Рух^\\2 от А Е Ап для сигналов 1, 2 и 3, изображенных на рис. 1. Горизонтальной линией отмечен уровень шума б2

система регистрации не удовлетворяют требованиям, сформулированным в [6]. При Л^ 0 середина отрезка наименьшей длины, содержащего Л^, является минимаксной оценкой высоты поверхности объекта в точке х, а половина его длины — погрешностью измерения.

На рис. 1 приведены примеры сигналов представляющих собой различные унимодальные сигналы, искаженные шумом. Вертикальными линиями показаны границы интервала Л^, в точках которого выполнено неравенство ||£ — Л/Л£|| ^ 6. На рис. 2 приведено значение функционала ||£ — Л/Л£|| в зависимости от АеЛя. Для сигнала 1 минимаксная оценка параметра Л равна 27.0 ±6.0; для сигнала 2 — 14.6 ±2.7. Большая погрешность оценки параметра Л по сигналу 1 объясняется попаданием на сильнонаклонную область. Для сигнала 3 модель

Рис. 3. Результаты оценки профиля поверхности микрообъекта — края выжженной лазером цифры на золотом корпусе микросхемы. Видны впадины, нанесенные лучом лазера на поверхности корпуса. Размеры поля зрения ~80 х 80 мкм

является неадекватной. Это объясняется тем, что область не содержит четкой текстуры и дисперсия не зависит от положения фокуса.

На рис. 3 представлены результаты оценки профиля поверхности микрообъекта в точках прямоугольной сетки на поле зрения X, полученную описанным выше методом.

Заключение

На основе подходов, известных как морфологический анализ, получен метод оптимальной оценки параметров формы сигналов, полученных от объекта в условиях существенной неопределенности, минимизирующий максимальную ошибку, а также метод контроля адекватности используемой математической модели.

Литература

1. Пытьев Ю.П. // ДАН. 1983. 269, № 5. С. 1061.

2. Pyt'ev Yu.P. II Pattern Recognition and Image Analysis. 1993. 3, N 1. P. 19.

3. Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений // Математические методы анализа природных ресурсов Земли из Космоса. М., 1984.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1980.

5. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М., 2002.

6. Захарченко A.A. // Сб. докл. 12-й Всеросс. конф. «Математические методы распознавания образов». М., 2005. С. 335.

Поступила в редакцию 16.12.05

Высота, мкм

□ 4.613-5.382

□ 3.844-4.613

□ 3.075-3.844

□ 2.306-3.075

□ 1.537-2.306

■ 0.768-1.537

■ 0-0.768

7 ВМУ. Физика. Астрономия. № б