Оценки относительного времени задержки сигналов, основанные на анализе их формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.95

ОЦЕНКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛОВ, ОСНОВАННЫЕ НА АНАЛИЗЕ ИХ ФОРМЫ

А. И. Чуличков, С. Н. Куличков*\ Д. С. Демин

(.кафедра компьютерных методов физики) E-mail: ach@cmp.phys.msu.ru

На основе сравнения по форме [1] фрагментов сигналов неизвестного источника, регистрируемых пространственно разнесенными датчиками в неизвестных и различных для разных датчиков условиях, получены оценки их относительной временной задержки. Оценки минимизируют максимальную погрешность определения временной задержки сигналов датчиков при гарантированной надежности оценивания [2, 3]. Форма сигнала определена как инвариант класса его преобразований, моделирующих возможные изменения условий его регистрации.

Введение

В настоящей работе решена задача оценивания относительного времени задержки сигналов, распространяющихся от некоторого неизвестного источника до пространственно разнесенных датчиков. Условия регистрации сигнала в разных точках пространства неодинаковы, в результате измеряемые сигналы различаются не только временным сдвигом, но и нелинейными искажениями, сохраняющими лишь общую форму сигнала. Кроме того, измерения сопровождаются аддитивным шумом неизвестной дисперсии.

Форма сигнала. Сравнение сигналов

по форме

Сигналы рассматриваются как векторы евклидова пространства Яп, заданные своими координатами. Значение г-й координаты вектора / б/?" интерпретируется как амплитуда сигнала в г-й момент времени ^ = ^ +18, г = 1,..., п, и шаг по времени много меньше времени характерных изменений сигнала.

Будем считать, что изменение условий регистрации приводит к преобразованию сигнала, сохраняющему упорядоченность его координат. Такие преобразования даются монотонно возрастающими функциями координат: если gi = Р(}{) для каждого г = 1,...,«, а F(•) — монотонно возрастающая функция, то неравенства, выполненные для любой пары координат вектора / € , выполняются и для той же пары координат вектора деЯп. При этом, в частности, сохраняются интервалы монотонности и локальные экстремумы зависимостей координат от их номера. Форма сигнала / € Я" определяется как замыкание V/ в Я" множества векторов, полученного из / всеми монотонно возрастающими

Институт физики атмосферы РАН.

преобразованиями его координат:

У[ = {д=Р-!,РеЦ, где д = Р ■ / означает, что координаты ^,..., дп вектора д подчинены равенствам ^ = Р(}д, 1=\,...,п, а Б — класс монотонно неубывающих функций. Множество V/ является выпуклым замкнутым конусом в Яп и конструктивно может быть задано оператором Р/ проецирования на это множество [1]. Оператор Р/ определяет проекцию Р/д сигнала д Е Яп на V/ как решение задачи наилучшего приближения д элементами из V/:

\\В-Р[В\\2 = т1{\\ё-Щ\2\кеУ[}. (1)

Замыкание множества V/ приводит к замене монотонно возрастающих преобразований координат на монотонно неубывающие, при этом может случиться так, что неравенство /г- > после преобразования F(•) координат вектора / превратится в равенство F(/г•) = , чего не случилось бы при строго монотонных преобразованиях. Преобразования Р € Б, таким образом, могут «упростить» форму сигнала /. Следуя [1], будем говорить, что сигнал д не сложнее по форме, чем /, если д = Р•/ для некоторого Р € Б.

Постановка задачи

Рассмотрим сигналы, регистрируемые двумя датчиками. Пусть измерения проводятся в моменты времени к = — М, — М+1,..., п+М, с шагом 8, много большим временного сдвига. Будем считать, что результаты измерения £] и £2 этих сигналов первым и вторым датчиками соответственно можно записать в виде

6,1 = ¡1 > Ь.,1 = Р(й+1щ) + Щ,

где |/ио| ^ М — неизвестный временной сдвиг второго сигнала относительно первого, а F(•) — некоторая неизвестная монотонно неубывающая функция, описывающая отличие условий регистрации сигнала вторым датчиком от эталонных, принятых для первого. Моделирующие погрешность измерений случайные величины /',. I = — М, — М+1,..., п+М, некоррелированы и контролируются нормальным распределением Я(0, а2) с неизвестной дисперсией а2 > 0. По результатам измерений (2) требуется оценить значение параметра сдвига /по € {—М,... , М}.

Для решения этой задачи выберем фрагменты / = (/,,...,/„)€/?" и бп = (£2,т+ь...,ь,ш+п)ейп и сравним по форме математическое ожидание дт € Яп второго фрагмента с первым для каждого т € {— М,... , М}. Выберем множество тех значений т, для которых достаточно вероятно включение дт Е V[ = {Р Р е Щ, и будем использовать его в качестве множества, оценивающего значение щ в (2).

Близость сигналов по форме

Фиксируем некоторое значение т € {—М,... , М} и сравним вектор £т по форме с /. В отсутствие погрешности измерений (2) форма £т не сложнее, чем форма /, если

Ы = (3)

при некотором Р € Б, что эквивалентно равенству Р/С,,, = . При наличии погрешности измерения (2) равенство (3) может нарушаться даже при истинном значении сдвига т = то- Естественно считать, что чем больше квадрат расстояния ||£т — Р/6я||2 от 6я до , тем меньше сходство по форме сигнала бп с /.

Однако распределение статистики ||£т — Р/6я||2 зависит от неизвестной дисперсии а2 шума V в (2) и поэтому не может служить для количественной характеристики сходства по форме сигнала с /. Для этой цели лучше подходит статистика [1]

Т(Ы =

PfCn

IPf£,m - Ро£п

(4)

где Ро проектор на множество Vq = {р € Р": Hi = с, i = 1,...,«, с € (—оо, оо)} сигналов, все координаты которых равны одной и той же константе. Распределение статистики (4) в меньшей степени зависит от неизвестных параметров распределения случайного вектора в частности не изменяется при умножении на любое число, отличное от нуля, и при сложении с любым вектором {meVq, координаты которого Hi = const, i = 1,...,«. Знаменатель дроби (4) дает отличие сигнала Р/£„, по форме от сигнала, равного константе (т.е. от вектора, все координаты которого равны одной и той же величине). Сигнал Робя, равный константе, хотя

и принадлежит I7/, но не несет никакой информации о форме сигнала /, в то время как разность Н-Р/бл — -РобпН Дает «существенную часть» сигнала сравнимую по форме с /, и дробь (4) тем меньше, чем меньше «часть» сигнала — Р/£т, отличающая по форме от /, по сравнению с «существенной частью» Р/£„, — Робп сигнала , сравнимой по форме с /. Иными словами, значение дроби (4) тем больше, чем ближе сигнал к константе по сравнению с близостью к Таким образом, формально речь идет о проверке гипотезы

Н: ~ Ы(а,а21), ае7[\70 (5) при альтернативе

К: ~ Ы(а, а2!), ае70. (6)

Морфологический критерий проверки гипотезы (5) при альтернативе (6) определяется критическим множеством [11

S = {zeRn: t(Z)^S}.

(7)

Если ^т^Б, то гипотеза (5) принимается и можно считать, что сигнал достаточно близок по форме к сигналу /. Степень согласия гипотезы (5) с результатом наблюдения , следуя [ 1, 2], охарактеризуем надежностью гипотезы, равной минимальному уровню критерия, при котором по наблюдению (5) отвергается в пользу (6). Надежность в данном случае равна

ан (6

sup^

Рм(г,о*1)(х) dx\neV[\V0, а2 > 0

VW^rfe)

(8)

где Рм(р <т2/)(') плотность нормального распределения. Точная верхняя грань в (8) равна ®я(Ст) = $ Ры(ц0,1)(х) ¿х и с вероятностью единица одна и та же для любого /¿о € ^о, в частности для цо = 0. Она может быть вычислена методом Монте-Карло путем разыгрывания реализаций вектора С ~ N(/¿0,/) с математическим ожиданием //0,1 = 0 > г' = 1и подсчета частоты реализаций, для которых т(() > т(£т) •

Заметим, что если V

{

&-мерное подпро-

странство Р", то случайная величина \) ПРИ

С ~ а2!), ц, еУо, контролируется распределением Снедекора-Фишера с к — 1, п — к степенями свободы, а область 5 в (7) определяет равномерно наиболее мощный критерий проверки гипотезы (5) при альтернативе (6) в классе критериев, инвариантных к преобразованиям, определяемым симметрией задачи проверки гипотез (5), (6) [4, 5].

Множество, оценивающее значение т

временного сдвига

Вернемся к оцениванию значения т временного сдвига сигнала £2 относительно £1 и построим множество /р(СьСг)- оценивающее параметр т € {—М.....М} по следующему правилу: будем считать, что оценивающее множество /р(£ь£г) состоит из тех и только тех значений т € {—М.....М}, для которых надежность гипотезы (5) при альтернативе (6) не меньше 1 — р:

а(Ы) = Р{т{0>т{и))>\-р, О)

что влечет неравенство т(£,„) ^ 5(e)- Чем меньше 5(e). тем меньше (по включению) оценивающее множество /р(£ь£г) и тем точнее локализуется оцениваемое значение т. В силу определения случайное множество /р(£ь£г) накрывает истинное значение

параметра т € {—М.....М} с вероятностью не

меньше р.

Заметим, что эта оценка вероятности накрытия истинного значения параметра т случайным оценивающим множеством /р(£ь£г) получена в условиях неизвестной дисперсии измерительной погрешности; она вычисляется как точная нижняя грань по всем возможным частным распределениям гипотезы и равна пределу надежности частной гипотезы при стремлении математического ожидания вектора £,„ к константе. Поскольку на практике математическое ожидание £ неизвестно, то можно лишь гарантировать, что оценивающее множество /р(£ь£г) накрывает истинное значение сдвига т с вероятностью не меньшей р (хотя в реальности эта вероятность может быть значительно больше).

Минимаксная оценка временного сдвига

гарантированной надежности

Для множества /р(£ь£г) построим минимаксную оценку

sup ||г— 7|| = inf sup |г — г'|. (10)

i>e^M.....Л1>

Оценка 7 с гарантированной вероятностью р минимизирует максимально возможную погрешность оценивания параметра сдвига. Решением задачи (10) является середина отрезка минимальной длины, содержащего множество /Р(СьСг)- половина его длины является погрешностью оценки Т [1]. Ясно, что чем выше вероятность р, тем больше погрешность оценивания.

Результаты оценивания сдвига

В эксперименте регистрировались выходные сигналы трех датчиков акустического давления, расположенных в вершинах треугольника. Вычислялись оценки времени задержки. Предложенный метод использовался для оценки времени задержки выходных сигналов второго и третьего датчиков

Амплитуда сигнала (отн. ед.)

Время (отсчеты)

Амплитуда сигнала (отн. ед.)

200 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-

-100 -

—159 _1_1_1_1_1_1_1_1_1_

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Время (отсчеты)

Рис. 1. Фрагменты сигналов, зарегистрированных тремя датчиками: а — фрагменты имеют ярко выраженные особенности формы; б — фрагменты сигналов малой амплитуды, особенности формы выражены слабо

относительно выходного сигнала первого датчика. На рис. 1 изображены два фрагмента сигналов, в первом случае (рис. 1, а) фрагмент имеет ярко выраженные особенности формы, однако участки монотонности не идентичны на всех трех сигналах, что можно объяснить наличием шумов; сигналы второго фрагмента (рис. 1,6) меньше по амплитуде по сравнению с сигналами первого фрагмента, что может свидетельствовать о меньшей амплитуде полезного сигнала и, следовательно, о большей его близости к константе.

На рис. 2 приведены графики надежности а.н(£,т)

в зависимости от сдвига т € {—М.....М} сигналов

второго и третьего датчиков относительно сигнала первого датчика, а также показаны множества, оценивающие соответствующие временные сдвиги:

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

1 1 1 1 ..*.. 1 ....•--•' "••-..„.•vi Г / Jr ¿.__ ' Ч \

р / iptZuWS \ №ь£э) *

¿А К ^ \ q \ \ \ I 1 1 / Ч - / / / * б • 1 1 1 \ 1 \ _ / н л ? \ о " ....о.... ан{&2,т) \ _ 1 1 1 1 1 1 '

| 10 -8 1 1 1 1 -6 -4 -2 0 1 1 1 1 2 4 6 8 т

Йот)

V ..о. > =-я-^-ь

Л '

4 /

\ № 1,5э)

4

I

■о— ан(^2 ,т)

о—0-------о

••о-- т

_|_I_I_I_I_I_I_

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 т

Рис. 2. Надежность ая(£т) в зависимости от сдвига т £ { — 10,..., 10} сигналов второго и третьего датчиков относительно сигнала первого датчика: а — для фрагментов сигналов, приведенных на рис. 1 ,а; б — для фрагментов, приведенных на рис. 1,6. /р(£ь6>) и /р(£ь£з) - интервальные оценки уровня не менее р = 0.1 временного сдвига второго сигнала относительно первого и третьего сигнала относительно первого соответственно

эти множества содержат те значения параметра, при которых надежность а.н(£,т) не меньше 0.9, а значит, в силу (9) содержат истинное значение

т € {—М.....М) с вероятностью, гарантированно

не меньшей 0.1.

Видно, что для фрагментов, изображенных на рис. 1, а, оценка параметра сдвига с вероятностью не ниже 0.1 обладает существенно меньшей погрешностью, чем оценка для фрагментов, изображенных на рис. 1, б.

На рис. 3 приведены графики коэффициента

корреляции г(т) = 11/м'м^т11' т е {—М.....М}, для

ситуации, когда вектор / €/?" выбран из сигнала первого датчика, а £,„ € /?" — сдвинутый на тотсчетов участок сигнала второго (сплошная кри-

—1 Коэффициент корреляции сигналов 1 и 21 - - Коэффициент корреляции сигналов 1 и 3

2.0

8 т

— Коэффициент корреляции сигналов 1 и 2

- - Коэффициент корреляции сигналов 1 и 3

_|_I_I_I_L_

-10 -8

0

8

т

Рис. 3. Зависимость коэффициентов корреляции гт сигнала первого датчика и сдвинутого на т отсчетов второго (сплошная линия) и третьего (пунктирная линия) датчиков, т £ { — 10,...,10}: а — для фрагментов сигналов, приведенных на рис. 1 ,а; б — для фрагментов, приведенных на рис. 1, б

вая) и третьего (пунктир) датчиков, изображенных на рис. 1, а, б соответственно. Если бы сигнал ф 0 можно было получить из / ф 0 линейным преобразованием его координат, то в силу неравенства Коши r(m) = 1, в противном случае r(m) < 1. Малое значение r(m), т € {—М.....М}, свидетельствует о малых корреляциях сигналов, а широкий максимум коэффициента корреляции — о невозможности оценки сдвига на основе анализа линейной зависимости сравниваемых сигналов.

В заключение заметим, что широко распространенный метод максимального правдоподобия в данном случае приводит к оценке параметра сдвига из условия т = argmin,„ ||Я/£т — бя||2- недостатки которого при неизвестной дисперсии погрешности измерения (2) обсуждены выше.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 05-01-00615, 05-05-64973).

Литература

1. Пытьев Ю.П. // Математические методы исследования природных ресурсов Земли из космоса: Сб. М., 1984.

2. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М., 2004.

3. Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем. Стохастические линейные измерительно-вычислительные системы. Тамбов: Изд-во Тамбовского гос. тех. ун-та, 2000.

4. Чуличков А.П., Морозова И.В. 11 Интеллектуальные системы. 2005. 9, № 1-4. С. 321.

5. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., 1979.

Поступила в редакцию 27.12.06