Точность констант логарифмических неравенств типа Харди в открытых многомерных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 155, кн. 3 Физико-математические науки

2013

УДК 517.9

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ТИПА ХАРДИ В ОТКРЫТЫХ МНОГОМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ

Р.Г. Насибуллин

Аннотация

Исследуются многомерные неравенства типа Харди в произвольных областях евклидова пространства. Установлена точность констант в том случае, когда внутренний радиус области конечен, а вес содержит степени и кратные логарифмы функции расстояния до границы области.

Ключевые слова: неравенства типа Харди, логарифмическая особенность, точность констант, функция расстояния.

Введение

Неравенства типа Харди имеют широкое применение в различных областях математики и математической физики (см. [1-4]). Классические одномерные результаты по неравенствам типа Харди описаны в работах [5, 6]. Некоторые развитие и обобщения классических неравенств можно найти в [7-20]. Отметим, что обобщения неравенств Харди связаны, например, с увеличением размерности, изменением весовой функции, добавлением дополнительного слагаемого. В последнее время начали уделять внимание получению точных констант в неравенствах (см. [17-20]). Настоящая статья посвящена обоснованию точности констант в многомерных неравенствах в произвольных открытых множествах в случае, когда вес зависит от функции расстояния до границы области.

Пусть П - открытое собственное подмножество Rn, C0 (П) - класс непрерывнодифференцируемых функций с компактным носителем в П, S = S(Q) = dist(x, дП) -функции расстояния до границы области. Мы будем предполагать, что П - область с конечным внутренним радиусом So(n), то есть

So(n) := sup{S(x, П) : x G П} < то.

Для целых i > 0 положим

eo = 1, ei = e, ei+1 = exp e, lno x = x, ln,+i x = ln(ln, x).

В [16] доказано утверждение, которое можно переписать следующим образом: Пусть П - произвольная область в Rn, причем n > 1, So^) < то, и пусть i G N и p G [1, то). Если l G [1, p], то для любой функции f G С^(П) имеет место следующее неравенство типа Харди

If lp

Sn ln M • ... • ln ^

dx <

S

< АР(П)

If MVf |l Soei

-l

... • ln, ^V"' (ln.,+i dx,

S

S

(1)

111

112

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

причем точное, то есть наименьшее из возможных Ap(Q) допускает оценку

Ap(Q) < pl.

в этом неравенстве

В [16] также получена теорема, частным случаем которой является утверждение: Пусть Q — произвольное открытое множество в Rn, 5q(Q) < ж. Если 1 < р< ж и в > 1, то для любой функции f е C°(Q)

If 1Р

п 5n ln

50ei+1

• ln,

50ei+1

ln

i+1

5Qei+1

■ dx < Dp(Q)

If |p-1|Vf |

51

i-i

dx.

в

5

5

5

(2)

причем точная константа в этом неравенстве Dp(Q) допускает оценку

Dp(Q) < в—1 VQ.

Цель настоящей работы - показать, что константы р1 и р/(в — 1) в общем случае нельзя заменить меньшими постоянными, то есть существуют экстремальные области Q° и Qq, для которых соответственно выполнены равенства

A(Qq) = pl, D(Q 1 ) = -^.

При доказательстве точности используются подходы из статей [17, 20], а именно показывается, что для любого £° > 0 существуют область Q° и функция из пространства Cq(Qq) такие, что соответствующее неравенство (1) не будет выполнено при замене pl на pl — £° . Аналогичное утверждение устанавливается для константы неравенства (2). Отметим, что неравенство (2) является точным для шара с проколотым центром.

1. Основные результаты

Покажем, что константа неравенства (1) является точной. Верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть Qq - область в Rn такая, что

0 е OQq, {x е Rn : 0 < |x| < 3} С Qq,

5°(Qq) < Ж,

и пусть i е N, p е [1, ж). Если l е [1, p ], то для любого £q > 0 и при любом i существует функция и°,°,е е Cq(Qq), для которой выполнено

|и о, о,е|p

J <-nl 50ei , 50ei

П0 ап i„ —•...•1„,—

dx >

> (pl — £ о) / |UQ-°-еГ1УUQ-°-£| l (ln ^ / 5n l \ 5

По

.. • ln,

5°e, \

5

l 1

lni+i

5e,

5

l

dx.

Доказательство. Пусть

X (и)

По

|u|p

5n ln

5 e,

• ln

5 e,

5

5

dx,

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ... 113

Y (u)

|u |p—1 |Vu |1

Sn-1

i S0 ei i S0ei

In-------- ... • In,------

6 6

i-i

in,+ i

S0ei

~S~

а

где S(x) = dist(x, 3Q0).

Нам понадобится функция, определенная следующим образом:

i

dx,

u£(x)

^ini+1 S0ei

2 - |x|,

0,

In.

i+i

60 e, |x|

(1+e)/P

0 < |x| < 1,

1 < |x| < 2, 2 < |x| < ж,

где p > 1, l € [1,p] и £ > 0.

Для наглядности рассуждений приведем рис. 1, на котором изображено мно-

Заметим, что частным случаем множества ^0 является шар с выколотым центром B(0, 3)\{0}.

Ясно, что, используя сферические координаты, для функции f, обращающейся в нуль вне шара радиуса 3 , мы можем проинтегрировать интеграл по множеству ^0 следующим образом

3

f (x)dx = f ( f (r, w)rn-1 drdw.

По Sn-1 0

Если функция f (r, w) не зависит от ш = x/r, то приведенный выше интеграл примет вид

3

J f (x) dx = wn-i J f (r)rn-1 dr,

По 0

где wn-i = |Sn-1| - объем единичного шара.

Теперь найдем значение величины X(пе). Используя конкретные реализации функции расстояния 6 до границы области ^0 (см. рис. 1), получим

X (пе)

Ыр

По

sn in S°ei •... • in,. S°ei

dx

— wn-1

Mp

sn in M •... • in, M

rn 1 dr

3

wn-1 (X1 + X2 + X3),

114

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

где

Xi = (lni+1 Soei)1+£ J

dr

o , ^ , -oei Л -oeA1+e’

0 r In----- ... • lni- lni+1---- I

-oei

r

r

3/2

X2

(2 — r)p dr

и для произвольного a > 3

2

Хз = /---------

J , -oei -oei

1 r In------- • ... • lni ---

(2 — r)prn-1dr

3/2 (min{r, a — r})n ln---z-0—^---- • ... • lni-z-0—^---

3/ 2 min{r, a — r} min{r, a — r}

Поэтому нам достаточно найти Х+ Х2 и Хз по отдельности. Используя равенство

1

1 — 0 ei 1

r ln----- ... • lni--

проделаем следующие элементарные выкладки:

1

(, -oei\'

Wi =— (ln>+1—) ■

(3)

Х1 = (lni+1 -oei )1+е/

dr

1

—oei

-oei /, -ofA1+e e

o rln^— • ... • lni (lni+1 r ,

lni+1 —oei.

1

Далее покажем, что X2 и Хз ограничены. Несложно заметить, что для Х2 выполняется неравенство

т(Х2) < Х2 < M(Х2),

где

т(Х2)

т<п {(2 — r)p}

1 < r < 1.5

3/2

dr

-oei -oei

1 r ln--------- • ... • lni ----

= min (2 — r)p

1 <r< 1.5

lni+1 —oei lni+1

2—oei

3

и, кроме того,

M (Х2)

max {(2

1 < r < 1.5

3/2

r)p}

dr

J , -oei -oei

1 r ln------- • ... • lni ----

= max {(2 — r)p} 1 <r < 1.5

lni+1 -oei lni+1

2-oei 3

< TO.

Выше при вычислении интегралов мы воспользовались формулой (3). Верна также двусторонняя оценка

т(Хз) < Хз < M(Хз),

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ... 115

где

m(X3) = min

(2 - r)Prn-1

i.5<r<2 [ (min{r, a — r})n 2 2

dr

J ■ t i | Soei

n/2 min{ r,a — r} In-------------

3/2 min{r, a — r}

■ ...■In,

Soei

(2 — r)Prn-i min < -—:— ---------r-—t

i.5<r<2 [ (min{r, a — r})n 2

In.

So ei

i+i ztt:

— lni+i —

min{r, a — r}

Soei

min{2, a — 2} min{3/2, a — 3/2}

и, кроме того,

M (X3) = max

(2 — r)P rn-i

i.5<r<2 [ (min{r, a — r})n 2

2

dr

J ■ t ii S0ei

3/2 mini r,a — r} In-------------

3/2 min{r, a — r}

■ . . . ■ lni

Soei

(2 — r)Prn-i

max < -——----------——-

i.5<r<2 [ (min{r, a — r})n 2

ln

Soei

min{r, a — r}

So ei

i+i ZIZ

— lni+i —

< to.

min{2, a — 2} min{3/2, a — 3/2}

Отметим, что при оценке m(X3) и M(X3) мы пользуемся формулой (3) либо

Soei

равенством

1

, n , Soei So ei

(a — r) In-------- ■ ... ■ lni-----

a — r a — r

= lni+i

(4)

Таким образом, можно утверждать, что X2 + X3 = const и

X(ue) = —ni lni+i Soei + const.

Проведем аналогичные рассуждения для Y(ue). Используя конкретные реализации функции расстояния S и определении функции пе, имеем

Y (ue)

г—1

Ыр (ln Soei ■ ■ ln. SoeiY Vim Soei)

ln

. . . ■ lni

S

lni+i s j dx

= —n i

|m£|p l\VuE\l ^ln Soe ln Spei^

Sn—l

l i

... ■ lni

S

lni+i ^ 1 rn i dr =

SoeA

—n — i (Yi + Y2 + Y3),

где

Yi = (lni+i Soei)

i+e f1 + £ P

dr

■l , Soei Soei f SoeA

o r ln-------... ■ lni---- lni+i-------

r r \ r /

i+e

— (lni+i So ei)

i+e f 1 + £

i

o lni+i

-------1—— d lni+i-----

Soej V+e i+i r

So ei /1 + £ \ 1

p j £

lni+1 Soei,

r

X

X

a — r

S

S

3

S

i

p

116

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

3/2

Y =

v»n l

(2 - r)p-1 Tin ^0e± •... • in MYl-7in,,

in-------- ... • in.

r )

inm^l r^dr,

Y3 =

— r)p—

(2 — r)

3/2

, So e* Soe*

in —:—;-------- • ... • in*

(min{r, a — r})n l \ min{r, a — r} min{r, a — r}

1-1

x lni+i —

So e*

rn 1 dr.

min{r, a — r}

Далее, используя равенства (3) и (4), оценим величины Y2, Y3. Верно следующее двустороннее неравенство

m(Y2) < Y2 < M(Y2),

где

Soe* i Spe* 1

m(Y2) = min < (2 — r)p lrl ( in------ • ... • in* — I > x

1<r<1.5 V r r j

3/2 in*

Spe

4+1

c dr = min < (2 — r)p lrl ( in------ • ... • in* — I > x

Spe* i So£M 1<r<1.5 Г ' \ r r )

1 r ( in —— • ... • in r

Soe* i SoeV

1

l +1

(in*+1 Soei)l+1 — ( ini+1

2Soe*

l + 14s

M(Y2) = max (2 — r)p lrl I in Soe* • ... • in

1<r<1.5

Soe?

3/2

(in*+1

J f, Soe* SoeA

1 r in-... • in*-

rr

dr =

max < (2 — r)p lrl ( in-- • ... • in

1<r<1.5

Soe* i Soe A1

r

1

l + 1

^(ini+1 Soej)l+1 — ^ini+1 ^

< to.

Для Y3 верна также двусторонняя оценка

m(Y3) < Y3 < M(Y3),

где

i(Y3) = min

— r) p-l rn-1

(2 — r)

in

Soe*

• ... •in*

Soe*

1.5<r<2 1 (min{r, a — r})n l 1 \ min{r, a — r} min{r, a — r}

l

in

Soe

*+1 ~i

min{r, a — r}

3/2

min{r, a — r} in

So e*

• ... • in.

So e*

min{r, a — r} i min{r, a — r}

dr =

r

а

2

X

X

X

3

X

r

X

X

X

X

2

X

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ... 117

— r\p-lrn-l

mm

(2 - r)

i.5<r<2 1 (min{r, a — r})n l 1 1

ln

Soei

l +1

ln

i+i

Soei

min{r, a — r}

l + 1

■ ... ■lm

Soei

min{r, a — r}

min{2, a — 2}

— ln

ni+1

Soei

min{3/2, a — 3/2}

l+1

и, кроме того,

M (Y3)= max

(2 — r)p l rn 1 f So ei So ei

\ /• r i \ j 1 I In . r i ■ • • • ■ lni . ,

1.5<r<2 (min{r, a — r})n—1—1 у min{r, a — r} min{r, a — r}

lni

Soe

i+1

min{r, a — r}

г т / i S0ei i S0ei

3/2 min{r, a — r} ln -------------- ■ ... ■ lni --------г

min{r, a — r} min{r, a — r}

dr

— r)P~lrn-1

(2 — r)

— max \ /• г i\ / 1 i aaa • r i

15<r<2 I (min{r,a — r})n—1—1 \ min{r,a — r}

ln

Soei

■ . . . ■ lni

Soei

1

i + i

ln

i+1

Soei

min{2, a — 2}

l+1

— ln

4+1

Soei

min{r, a — r}

l + 1

min{3/2, a — 3/2}

< ro.

X

X

X

2

X

X

Таким образом, мы показали, что Y2 + Y3 — const. В результате имеем

X ы

^n—1

£

lni+1 Soei + const,

Ясно, что

Y (иЕ)

^n—1

e

lni+1 So ei

1 + £ P

l

+ const.

X (u) Y (ue)

^n— 1 lni+1 Soei + e const

&n—1 lni+1 So ei

1 + £ P

l

+ £ const

Известно, что любая непрерывная функция сколь угодно хорошо приближается непрерывно-дифференцируемыми функциями. Например, это можно сделать, используя усредняющее ядро и средние функции (см. [21, 22]). Аппроксимируя функцию ue радиальными функциями из пространства Co(B(0,3)\{0}), получим, что отношение X(ue)/Y(ue) можно достаточно хорошо приблизить отношением X(uo o е)/Y(uo o е), где uo o e G Cq(B(0, 3)\{0}). Необходимо отметить, что C1(B(0,3)\{0}) c 01(no).

Более подробно остановимся на случае, когда производится приближение радиальными функциями. Рассмотрим функцию ue на интервале (п, 3), где 0 < < П < 1/3. Далее сгладим функцию ue в достаточно малой окрестности точек 1 и 2 каким-нибудь известным методом, например методом наименьших квадратов (см. [23]). Обозначим получившуюся функцию тем же символом ue . В дальнейших рассуждениях полагаем, что ue на интервале (п, 3) дифференцируема.

Пусть 0 < h < п < 1/3 и функция un , h , е определена следующим образом:

un , h , e(x)

3

У ue(y)h—1a

n

x — y h

dy,

118

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

где

a(x)

ch e1/(|x| 1), если |x| < 1,

0, если |x| > 1,

а константа Ch находится из условия нормировки

1

/„мdx = L

о

Функция un,h,e является средней функцией и на интервале (п, 3) сколь угодно точно приближает функцию u£ при достаточно малых h (см. [11, 22]).

Ясно, что

supp h

1„ (x) = [('.hi.

supp h 1a

x - y h

[x — h, x + h],

а

supp uV}h = [n — h, 2 + h].

Очевидно, что функция un,h,£ дифференцируема и с компактным носителем, то есть uv,h,e е C0([0, 3]).

Далее воспользуемся рассуждениями из книги С.Л. Соболева [22, с. 64]. Найдем производную функции uv,h,e . Имеем

3 t 3

un,h,£(x) = У ue(y)h-1 ) dy = — / ue(y)h-1 („ (“Th^)

n

, \u-1 x —y

= —ue(y)h a 1

3 3

+ f ue(y)h-1a ( ) dy =

n n

J u£(y)h V ( X hy ) dy + ue(n)h V

dy = y

x — n h

Отметим, что u£(n) ^ 0 при n ^ 0 и h 1a

x — n h

ограничена.

Таким образом, мы построили непрерывно-дифференцируемую функцию un,h,e, которая сколь угодно точно приближает функцию u£ на интервале (п, 3), причем оказывается, что производная u' he также сколь угодно хорошо приближает u£ при достаточно малых п и h.

Другими словами, можно утверждать, что для любого наперед заданного малого h

un , h , е (x) = (1 + o(h))ue(x), u'n, h , £ (x) = (1 + o(h) + o(n))u£(x), X(un, h , е(x)) ^ X(ue(x)), n, h ^ 0,

Y(un , h , е(x)) ^ Y(ue(x)), n, h ^ 0. Действительно, учитывая неравенство (1), имеем

X (uo,o,e)

Y (uo,0,e)

Wn-1 lni+1 Jo ei + £ const

^n— 1 lni+1 J0ei

1 + £

l

+ £ const

< A(^o) < pl.

P

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ... 119

Устремляя £ к нулю, получим, что

pl < A(Q,0) < pl,

то есть

А(П 0)= pl.

Заметим, что последовательность X(uo,o,e)/Y(uo,o,e) стремится к А(^о) снизу при £ ^ 0. Понятно, что если заменить А(^о) на А(По) — £о, то для любого £о > 0 существуют £ и функция по,о,е £ Сд(Оо), для которых верно неравенство

ХтЦ £ (А(Оо) — £о).

Y (по,о,е)

Откуда следует утверждение теоремы. □

Покажем точность константы в неравенстве (2). Верна следующая

3

Теорема 2. Пусть £1 > 0,ri > 0 такие, что для любого r £ (0, ^ri] верна оценка

1

1--------------- > 1 — £1,

ln.

i+1

3ri£i+i 2r

и пусть ^i = {x £ Rn : 0 < |x| < 3ri} - шар с проколотым центром. Если 1 < p < ж и в > 1, то для любого £ > 0 и при любом i существует функция

по,о,к £ Cg(^i), для которой f |по,о,к |Р

5о ei+i 5о ei+i л ^ое*+ь. в

5n ln-----— • ... • ln*-----— (lnj+i —т— )в

о

5

о

>

dx >

p

|по,о,к|Р i ^подк |

,в — 1 ~J J 5n-i

Qi

Доказательство. Определим функцию пк следующим образом:

r £ (0, ri],

dx.

аг

пк (r) = <

2ri — r f 3ri — r 2r

k\ i/P

r £ (ri, 2ri], r £ (2ri, ж).

Пусть

X (п) = J-

|п|р

Qi 5п ln

5ое*+! 5 ... , °о^+1 (, • ln* —5— 1 ln,

Y (п) = [ |п|р—i |Уп| —= dx. 5n-i

Qi

i+i

Ооег+i

dx,

Получим нижнюю оценку значения X(п^г)) .

0

в

о

120

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

Используя сферические координаты и конкретные реализации функции расстояния S, имеем

3ri

X(uk) ^n—1

\«k \p

0 sninS0es±i•...• inS0es±i0inj+isJ0es±i\

^n—i

\«k \

P

, Soei+i Soei+i f Soei+i

о rin— ----... • ini—-— (lni+i—-—

rn i dr

dr+

3ri/2

+ ^n—i

2ri

\«k \

P

J Soei+i Soei+i f Soei+i

r 1 - in—-— • ... • ini I lni+i

■ d-+

+ wn— i

\«k \

P-n-i

J, /0 Soei+i Soei+i f Soei+i

3ri/2 (3-i - -)n in —-----• ... • ini —-------ini+i ^

d- -

(3-i - -) i (3-i - -) i+i (3-i - -)

— ^n—i(Xi(uk) + X2(uk) + X3(uk)),

то есть для оценки снизу X(uk) нам достаточно найти значения Xi(«k), X2(«k) и X3(uk) по отдельности. Для Xi(«k), применяя элементарные вычисления, имеем

r 1

Xi(«k) — — /

-i

d- —

, Soei+i Soei+i / Soei+i

o - in—--------... • ini - I ini+i -

/

1 1

e—i -i

-d

1-

in

i+i ■

Soei+i

в—i

1

"в—г

1-

1

Soei+i^

j /

/

+

1 1

e—i -г

1-

in.+, Soe+Л'■i

d- >

-

1

> - e—i

1-

1

in

Soei+i

в—i

+ —^--— f d- —

в - 1 -i J

m -i ) J (

1-

1

'в—i

V

in

i+i '

Soei+i

в—i

+

(1 - £i)

в - 1 '

-i

в

в

в

в

-

в

1

-

1

1

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ...

121

Далее оценим Х2 (uk):

3ri/2

X2 (uk) — У

2ri — r ( 3ri — r

k

1

r \2rJ Soei+1 , £oei+i / Soei+1

r i r ln----... • ln—-— ( lni+i--

dr —

r

r

r

3ri/2

1 2ri — r 3ri — r

в — 1 J r V 2 r

ri

1—

ln

i+1

Soei+i

в-i

1

>

+

1

1

3ri/2

в — 1

в — 1

1—

1—

1

Soei+i^ lni+i---- I

+

ln

i+i

Soei+i

в-i

ri

\

2ri — r (3r-i — r \

d—----- -4----- I >

r 2r

в — 1

1—

1

3ri/2

Soei+i^ lni+i----

ri j )

(

1—

1

в—1

2

d

r i

\

2ri — r / 3r-i — r

r 2r

1

V

lni+i Soe±i^e-i

+ J—l(1 — — ^ •

ii+i ■ 1

ri J /

Осталось ограничить снизу значение Хз(ии). Имеем

X3(Uk) — 2k / р (^ri-—rp x

3ri/2

1

' (3ri — r) ln ..... ln ^iti-on-i+i )в

(3ri — r) (3ri — r) 3ri — r

2ri ( N k n + i (

1 1 f 2ri — r / 3ri — r4 k n+i

dr

в — 1 2k r r

3ri /2

d

1—

1

^ (lni+i |p)

1 1

"в — 1 21

2ri

/

1—

1

>—

3ri/2

1 1 в Г 21

lni+i

d2ri — r / 3ri — r\ k n+i >

\ ^lni+i 3ri-r

2ri

(1 — £i) J d

2ri — r / 3ri — r rr

k-n+i

1 — £i 1 1 в — 1 3 21.

в

k

1

d

r

1

r

k

в

в

3ri/2

122

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

Отсюда следует, что

X(ик) >

1 ^1 "n—1 1

в - 1 3 2к—1'

Теперь найдем верхнюю оценку величины Y(ик). Переходя к сферическим координатам и используя конкретные реализации функции расстояния S, получим

Y К)

"n — 1

3ri

f |ик \P—1\Уик\ n—1

Sn—1

dr =

0

ri 2ri

= ^n—^J |uk|p—1|Vuk| dr + Шп—^J |Uk|p—1|Vuk| dr+

0 ri

3ri 1

+ "n—1 У (Urf, rVU-1 rn—1 dr = “n—1(Y1(uk) + Y2(uk)+ Y3(uk)).

2ri 1

Найдем каждое из значений Y1(uk), Y2(uk) и Y3(uk) по отдельности.

Элементарные выкладки показывают, что для величин Y1+k), Y2(uk) верны соответственно равенства

3ri/2

Y‘(uk > = pkl dr = P Y2(uk ) = ;/ ^ ^ (3r2^) = - O'

Теперь найдем значение Y3(uk). Имеем

2ri ( f

14 (uk > = - P J ((

/О \

2r1 — r 0 0 3r1 — r 2 r

n-1

1

P

3ri /2 2ri

(3r1 — r)n 1

dr =

3ri/2

3r - r k-1 r rn-1

+3 (-6n(1+k) +r(2+3k)H (3r1—r)n—1

2r

2ri , 2ri ,

6r2(1 + k) f (3r1 V n 1 (2 + 3k)r1 f (3r1 V n 1

- 1 I -3 dr -

2kp J \ r

3ri/2

2kp J \ r

3ri/2

dr

- 1 I -2 dr

2ri

+

-2r1(1 + k) M +3П - \ k—n+1 +

2kp(k - n + 1) J r \ r 3ri/2 2ri

(2 +3k) Г (3r1

2k 3p r

3ri/2

-1

k—n

di ^ -1

r

-2r1(1 + k)

2kp(k - n + 1)

( b , 2ri

2n k 1 2 f

2r1 3r1 J

V 3ri/2

3r1

-1

k — n+1

d I - I I +

r

+ (2 + 3k) (W — k + 1 - 1l

2k3p(k - n +1+ '

k

r

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ... 123

-2(1 + k) (2П-к-2 - 2 _ (2n-k-* 2 - m + (2 + 3k) (2n-k-1 - 1)

2kp(k - n +1)1 3 3(k - n + 2)1+ 2k3p(k - n +1)

1 1

3P 22k+!(k -

2n

n + 1)

k +1 N

3(1 + k)+(k - n + 2) +2 + 3^ +

+ 1 1

+ 3P 22k+!(k -

2k

n +1)

4(1 + k)

2(k + 1) k - n + 2

- 2 - 3k

1 1 2n(n - 1) - 2k+1(2(n - 1)+ k(-k - 2 + n))

3P 22k+T (k - n +1)(k - n + 2)

1 1

2k 3p

A(k),

где

A(k)

1 2n(n - 1) - 2k+T(2(n - 1) + k(-k - 2 + n))

2k+T (1 + k - n)(k - n + 2)

^ 1,

k ^ ж.

Таким образом,

Y (,“) = ?k if <A<k> + 1>-

Отметим что, используя средние функции и усредняющее ядро (см. [21, 22]), отношение X(uk)/Y(uk) можно достаточно хорошо приблизить отношением X(uo,k)/Y(uo,k), где uo,k G Cg(B(0, 3)\{0}). Для этого сначала сгладим функцию uk в малой окрестности точек ri и 2ri. Далее аппроксимируем полученную функцию, которая имеет на интервале (n, 2ri) производную, с помощью средних функций. Как и при доказательстве соответствующего момента теоремы 1, получим функцию из пространства C)([0, 3ri]), обозначим ее через un,h,k , которая на интервале (n, 3ri) при малых п и h достаточно хорошо приближает функцию uk . Причем функция u'r)hk также будет аппроксимировать uk (см. [22, с. 69]). Учитывая неравенство (2), получим

2P(1 + +) < X(uo , o ,k) < D(0 ) < P

(в - 1)(1+ A(k)) “ Y(uo , o ,k)- 1 в - 1'

Переходя к пределу при ei ^ 0 и k ^ ж, имеем

C(0i) = e-f.

Заметим, что последовательность X(uo,o,k)/Y(uo,o,k) стремится к D(^i) снизу. Следовательно, заменяя D(^i) на D(^i) - e, получим, что для любого e > 0 существуют k , для которого

X(uo,o,k) ^ P Y(uo,o,k) _ в - 1

Отсюда следует утверждение теоремы.

□

Выражаю искреннюю благодарность научному руководителю, профессору Ав-хадиеву Фариту Габидиновичу за ценные замечания при обсуждении научных результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-01-00762-a и 12-01-00636-a).

124

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

Summary

R. G. Nasibullin. Accuracy of Constants in Logarithmic Hardy-Type Inequalities in Open Multidimensional Domains.

Multidimensional Hardy-type inequalities in arbitrary domains of the Euclidean space are investigated. Accuracy of the constants is established in the case when the inner radius of the domain is finite, and the weight function contains degrees and the multiple logarithms of the function of the distance to the domain's boundary.

Keywords: Hardy-type inequalities, logarithmic singularity, accuracy of constants, distance function.

Литература

1. Дубинский Ю.А. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях // Труды МИАН. - 2010. - Т. 269. - С. 112-132.

2. Davies E.B. A review of Hardy Inequalities // Oper. Theory Adv. Appl. - 1999. - V. 110. -P. 55-67.

3. Laptev A., Weidl T. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms // Oper. Theory Adv. Appl. - 1999. - V. 108. - P. 299-305.

4. Balinsky A., Laptev A., Sobolev A.V. Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms // J. Stat. Phys. - 2004. - V. 116, No 1-4. - P. 507-521.

5. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. - 340 p.

6. Opic B., Kufner A. Hardy-type Inequalities. - Essex, England: Longman Scientific & Technical, 1990. - 333 p.

7. Shum D.T. On integral inequalities related to Hardy’s // Can. Math. Bull. - 1971. -V. 14, No 2. - P. 225-230.

8. Chan L.-Y. Some extensions of Hardy’s inequality // Can. Math. Bull. - 1979. - V. 22, No 2. - P. 165-169.

9. Pachpatte B.G. A note on certain inequalities related to Hardy’s inequality // Indian J. Pure Appl. Math. - 1992. - V. 23, No 11. - P. 773-776.

10. Solomyak M. A remark on the Hardy inequalities // Integr. Equat. Oper. Th. - 1994. -V. 19, No 1. - P. 120-124.

11. Pecaric J.E., Love E.R. Still more generalization of Hardy’s inequality // J. Austral. Math. Soc. (Series A) - 1995. - V. 59. - P. 214-224.

12. Hoffmann-Ostenhof M., Hoffmann-Ostenhof T., Laptev A. A geometrical version of Hardy’s inequality // J. Funct. Anal. - 2002. - V. 189, No 2. - P. 539-548.

13. Tidblom J. A geometrical version of Hardy’s inequality for W0 ,p(fi) // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004. - v. 132, No 8. - P. 2265-2271.

14. Авхадиев Ф.Г. Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Труды МИАН. - 2006. - Т. 255. - С. 80-18.

15. del Pino M., Dolbeault J., Filippas S., Tertikas A. A logarithmic Hardy inequality // J. Funct. Anal. - 2010. - V. 259, No 8. - P. 2045-2072.

16. Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г., Шафигуллин И.К. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства // Изв. вузов. Матем. - 2011. - № 9. - C. 90-94.

17. Avkhadiev F. G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. - 2006. - V. 21. - P. 3-31.

ТОЧНОСТЬ КОНСТАНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ... 125

18. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech. - 2007. - V. 87, No 8-9. -P. 632-642.

19. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Weighted Hardy inequalities with sharp constants // Lobachevskii J. Math. - 2010. - V. 31, No 1. - P. 1-7.

20. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb’s constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. - 2011. - V. 18, No 11. - P. 723-736.

21. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высш. шк., 1977. -431 с.

22. Соболев Л. С. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных. - М.: Наука, 1989. - 254 с.

23. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1949. - 688 с.

Поступила в редакцию 13.03.13

Насибуллин Рамиль Гайсаевич - аспирант кафедры теории функций и приближений, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: [email protected]