CC BY
7
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 8-17.
УДК 517.5; 517.956.225
ОЦЕНКИ КОНСТАНТ ХАРДИ-РЕЛЛИХА ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ОБОБЩЕНИЙ
Ф.Г. АВХАДИЕВ
Аннотация. Доказаны оценки снизу для функционалов, определяемых как максимальные константы в неравенствах типа Харди и Реллиха для полигармонических операторов порядка m в областях евклидова пространства. В доказательствах существенно используются известное интегральное тождество O.A. Ладыженской и его обобщения. Для выпуклых областей установлены обобщения двух известных результатов, полученных в статье М.Р. Owen, Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1999 и в книге A.A. Balinskv, W.D. Evans, R.T. Lewis, The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality, Springer, 2015. В частности, нами получено новое доказательство теоремы M.II. Оуэна для полигармонических операторов в выпуклых областях. Для случая произвольных областей мы доказываем универсальные оценки снизу констант в неравенствах для полигармонических операторов порядка m с использованием произведения m различных констант в неравенствах типа Харди. Это позволяет получить явные оценки снизу констант в неравенствах типа Реллиха в областях размерности два и три. В последнем разделе статьи приведены две открытых проблемы. Одна из них аналогична проблеме Е.Б. Дэвиса об оценках констант Харди сверху. Вторая проблема связана с сравнением констант в неравенствах типа Харди и типа Реллиха для операторов, определенных в трехмерных областях.
Ключевые слова: полигармонический оператор, неравенство Харди, неравенство Реллиха, выпуклая область.
Mathematics Subject Classification: 26D15, 26D10
1. Введение
Пусть П — область евклидова пространства Rd (d — 2), Предполагаем, что П = Rd, тогда корректно определено расстояние dist(x,ôП) от точки х G П до границы области. Будем рассматривать вещеетвеннозначные функции / G С0°(П), т.е. гладкие функции / : П ^ R, такие, что supp (f ) С П. Хорошо изучен функционал c2(s, П), определяемый как точная константа в следующем неравенстве типа Харди
I , V |V/^ 2dx > c2(s, П) f v dx Vf G СЛП), (1)
Jn (distOr^))-2 - 2V ' JJn (dist(x, 5П))8 J 0 V KJ
где s G (1, <x>) — фиксированный параметр. В частности, ряд авторов независимо друг от друга доказали, что с2(2, П) = 1/4 для любой выпуклой области П = Rd (см. [1]-[7]). Если s G (1,d], то существуют невыпуклые области П' С Rd, для которых c2(s, П') = 0, т.е. рассматриваемое неравенство не является содержательным. Известны различные условия
F.G. Avkhadiev, Estimates of Hardy-Rellich constants for polyharmonic operators and
their generalizations.
© Авхадиев Ф.Г. 2017.
Работа поддержана РФФИ (грант № 17-01-00282-а).
Поступила Ц июня 2017 г.
положительности константы с2(2, П) (см., например, [3], [8]), В частности, хорошо известно, что с2(2, П) > 0 для любой ограниченной области с локально липшицевой границей.
Пусть т — фиксированное натуральное число. Для гладких вещеетвеннозначных функций f рассмотрим линейные комбинации ее частных производных порядка т, определяемые формулами:
. т/2 „. . I А-7 /"(х), если т = 2? — четное число; Ат/2 / (х):=^ ' (2)
I уА-у/(;г), если т = 2^ + 1 — нечетное число.
Здесь А означает, как обычно, оператор Лапласа, и V $ — градиент функции /, Очевидно, Ат/2 является полигармоническим оператором для четных т. Нам потребуется также стандартное выражение
' ' ' / Ят \ 2
'™'2 := Е £•••£ (аг> дх/^ )■ (3)
т
Следует отметить, что имеется большое число работ по неравенствам Реллиха для гармонических и полигармонических операторов, когда т > 2, П = К'1 \ {0} и весовые функции являются степенями |х| (см, [7]—[11] и библиографию в них). Мы будем рассматривать аналоги таких неравенств, когда П С К' — ограниченная или неограниченная область, весовые функции являются степенями ^в^х, дП),
Целью настоящей статьи является изучение следующего неравенства, распространяющего (1) на случай полигармонических операторов:
^ >*»(«) /о (^^т (4)
где функция Ат/2/ определена формулой (2), константа Ат(П) е [0, то) выбрана наибольшей из возможных, т.е.
, ч /о |Ат/2/(х)'^х
А (П) = т£ _К л_
тУ > /ес§°(о),/^о ¡ор(х)(Ш(х,дП))-2т(1х'
Кроме того, мы рассмотрим следующее обобщение (1):
Г 'Дт/(х)'2 ¿X >Ст(а^ П)( V/ е С0°(П), (5)
]о (^(х^п))ст - ' ' ]о (^(х^П))2^
где о е (—1, то) — фиксированное число, функция |2 определена формулой (3), и
константа Ст(о, П) е [0, то) максимальна, т.е.
С ( П) = .. /о 'Рт1 (х)'2(а18£(х,дП))-^х m(о, ) }ес0~?о),/^о ]оР(х)(&Ы(х}дП))-2т-°(1х.
т > 2
а неравенство (5), насколько известно автору, ранее не исследовалось для случая, когда т > 2 и о = 0.
Неравенство (4) впервые рассмотрел М.П, Оуэн [12]. Он доказал, что для любого т е N т > 2, и любой выпуклой области П = К имеет место оценка Ат(П) > ((2т — 1)!!)2/4т, и эта оценка оптимальна, так как для полупространства х1 > 0 имеет место равенство.
Некоторые обобщения и усиления результата М.П. Оуэна получены в статьях [13]—[18]. В частности, нами доказано (см. [17] и [18]), что А2(П) = 9/16 для любой выпуклой области П = К'.
2. Простейшие свойства констант и некоторые известные факты Очевидно, при т = 1 неравенства (4), (5) сводятся к неравенству вида (1), так как
|д1/2/(х)|2 = |я7 (х)|2 = IV/(х)|2,
и имеют место равенства А1 (П) = с2(2, П) и С1(а, П) = с2(а + 2, П), Поэтому в утверждениях относительно неравенств (4), (5) и констант Ат(П), Ст(а, П) будет появляться естественное условие т > 2,
Нетрудно проверить, что константы Ат(П), Ст(а, П) и с2(в, П) инвариантны по отношению к линейным конформным отображениям области, т.е. для любых а € К \ {0}, Ь € К имеют место равенства
Ат(П) = Ат(а П + Ь), Ст(&, П) = Ст(а, а П + Ь)
и с2(в, П) = с2(з,а П + Ь), где а П + Ь = {ах + Ь : х € П},
Приведем формулировки трех теорем, которые нам потребуются в доказательствах. Рассматриваем функции и : П ^ К € С^(П). Речь идет о неравенствах Харди вида (1),
Теорема А (см, [1], [2] для ^ = 2 и [19] для ^ = 2). Пусть П С К — выпуклая область, П = К. Если в € (1, то), то
Г ^)|2 dx > (э- 1)2 Г^хих Уи € СЛП). (6)
7п (а181(ж, дП))-2 - 4 (а181(ж, дП)) Теорема В (см, [19]), Пусть П С К — произвольная, область, П = К. Если 8 € (в,, то)
то
^и(х)2 Ах > (8 - в)2 Г и2(х) Ах € ^со(П) ^
7П (а181(ж, дп))4-2 - 4 уп (а181(ж, дП))4 Ряд неравенств типа Харди и Реллиха с точными константами характеризуется тем, что отсутствуют экстремальные функции, принадлежащие к соответствующим пространствам Соболева и реализующие равенства в неравенствах вида (1) и (4), Поэтому появляется возможность усиления таких неравенств путем увеличения правой части дополнительным положительным слагаемым. Так, например, как мы отметили выше, с2(2, П) = 1/4 для любой выпуклой области П = К, Тем не менее, справедливо следующее утверждение. Теорема С (см, [4]), Пусть П С К — выпуклая область, и пусть
(П) = вир&в^ж,^ П).
хеп
Если, (П) < то то для любой функции и € СС(П)
/п^,МГ2 <Ъ > 1 /п + /п «2(х) ¿х, (8)
где Ао ~ 0, 940 — первый положительный корень уравнения Лямба /0(А) + 2А/0(А) = 0 для функции Бесселя нулевого порядка,
3. Неравенства типа Реллиха в выпуклых областях
Нашей основной целью является обобщение теоремы С на случай полигармонических операторов. Предварительно приведем некоторые полезные формулы для интегралов /п |Дт/7 (ж) |2 ¿х.
Пусть $ € СС(П) — произвольная вещеетвеннозначная функция, тогда для функций Д1/2/ := V/ и Д1/ := Д/ имеют место следующие интегральные тождества:
IV/(х)|2 ¿х = I £ 2 ¿х, (9)
п
п
,2,.. V (.г)
Очевидно, равенство (9) является простым следствием определения градиента функции. По-видимому, равенство (10) получено впервые О, А, Ладыженской (см., например, [21], гл. 2, формула (6,26)), и оно является нетривиальным тождеством, так как
(д н ))2= д2/р.) а2/(х) ^^ (а2/(гл2 (д Дх)) д.2 а.2 * '
к=1 з=1 к 3 к=1 ,7 = 1 к
Нам потребуется аналог формул (9) и (10) для полигармонических операторов. Справедливо следующее утверждение.
Предположим, что т Е N П С — область. Тогда для произвольной веществен-нозначной функции / € С0°(П) имеет .место равенство
Дт/2/(х)|2 «х = / £ Е ••• Е (д ддтЛХ)д )2 «х, (П)
^ к1=1 к2=1 кГ=лдхк1дхк2 • • • дхкт)
или, что то же самое, равенство
|Д-7(х)|2 йх = IЕ тт(д^)" «Т. м
т ип, — а!
|а|=т
где дх" = дх"1 дх"2 • • • дх^, дхк := 1; а = (а1, а2, • • • , а^) _ мультииндекс, ак— неотрицательные целые числа, не превосходящие т; |а| = а1 + а2 + • • • + а^, а! = а1! а2! • • • а^!. Очевидно, равенство (12) получается из (11), так как применение простых формул комбинаторики приводит к следующему тождеству
^^ V ( д-/(х) V V т! (дт/(х)А2 Г13)
Г=1Г=1^г=Ддхк1дхк2 •••дхк^ а^ дх" ' 1 ^
к1 = 1к2 = 1 кт = 1 4 12 т/ |а|=т
Отметим, что формула (11) известна, она приведена, например, в монографии [22] (гл. 2, формула (2,12)),
Как мы убедимся в дальнейшем, формула (11) оказывается весьма полезной при изучении неравенств вида (4) для полигармонических операторов, так как она позволяет представить /п | Дт/2/(х) | 2 йх в виде суммы интегралов от квадратов частных производных т
Наш основной результат приведен ниже в теореме 2, Получим сначала аналог теоремы А для неравенства вида (5), рассматриваемого в выпуклых областях. Отметим, что теорема 1 существенно используется в доказательстве теоремы 2,
Теорема 1. Пусть П С Е — выпуклая область, П = Е. Предположим, что а Е (—1, то) — фиксированное число, т — натуральное число, т > 2. Тогда, для любой вещественнозначной функции / € С0°(П) справедливо неравенство
Г |£т /(х)|2 «х Г2(т + а/2+ 1/2) Г /2(х)«х ,
Уп (^(х, дП))ст - Г2(а/2 + 1 /2) Уп (^(х, дП))2т+ст;
где Г — гамма функция Эйлера. Следовательно, для, любой выпуклой области П = Е имеет место неравенство
Г2(т + а/2 + 1/2)
Ст(а, П) >
Г2(а/2 + 1/2)
Доказательство теоремы 1, Пусть / — вещеетвеннозначная функция, принадлежащая семейству СО^П), В силу определения |Dтf |2 и формулы (13) справедливо тождество
Л Л Л
|^т/(^)|2 = ЕЕ ■■■ Е I Vuklk2...km_1 (х)|2, (15)
^1 = 1^2 = 1 кт-1 = 1
где
^ т— 1J
ик1к2-кт-1 = д-д-д- . (16)
ахк16хк2 ■ ■ ■ охкт_1
Применяя к функции и = ик1к2„кт_1 € СС(П) неравенство (6) при в = о + 2, суммируя по индексам к1,к2, ■ ■ ■ , кт— 1 и учитывая формулу (15), будем иметь
[ |Дт/(ж)|2 ¿г (1 + а)2 Г Л Л Л ик1к2...кт_1 (ж) Ах
>
■■■
Л, (^.(х, аП))" - 4 7п ^ к (^.(х, аП))2+» ■
и, что то же самое,
[ |Dтf (ж)|2 ¿х (1 + а)2 Г ^^^(ж)|2 ¿х
— Л ЯГ>\\2+" . V /
Поскольку |D1f |2 = |V/12, то при т = 2 неравенство (17) равносильно следующему
[ ^¡ХX)|2 (Ъ (1 + а)2 [ |V/(х)|2 ¿х
/п (сШ(х,дП))" - 4 /п (аМ(ж,<9П))2+"'
Оценивая снизу интеграл из правой части этого неравенства с применением (6) к функции и = / при ^ = а + 4, получаем
[ |Д2/(ж)|2 ¿Ь (1 + а)2(3 + а)2 [ /2(ж) йх
/п (&Щх,дП))° - 42 П))4+"'
что равносильно доказываемому неравенству (14) при т = 2 с учетом равенства (1 + а)(3 + а)/4 = Г(а/2 + 5/2)/Г(а/2 + 1/2). "
Если т — 3, то к неравенству (14) приходим с помощью итераций на основании неравенства (17) и соглашения (В0}',В0}') = f2, А именно, применяя (17) с заме ной чисел т и а на числа т — ] и о + 2] при ] = 1, ■■■ ,т — 1, будем иметь неравенства
[ ^^¡(х)^ ¿х (2з + 1 + а)2 [ ^^^¡(х)^ ¿х
Уп (^(^,3П))"+2^ - 4 (^(^,3П))2^+2+"'
где |D0 f |2 := f2. Применяя эти неравенства последов ательно при ] = 1, ■■■ ,т — 1 для оценки снизу интеграла из правой части (17), получаем
, ч 2
|Dтf (х)|2 <1х (т— 2з + 1 + (г\ [ №) Ах
/п (^(МП))" - ^1=0 2 ) /п (а1в1(х,^П))2т+";
что равносильно неравенству (14) с учетом равенства
т—1 2] + 1 + а = Г(т + а/2 + 1/2) 1=0 2 = Г(а/2 + 1/2) .
Таким образом, теорема 1 доказана.
Равенство (12) и определения констант Ат(П) и Ст(и, П) показывают, что Ат(П) = Ст(0, П) для любой области П С П = КЛ.
Применяя теорему 1 при о = 0 с учетом этого замечания и равенства Г(га +1/2)/Г(1 /2) = (2т — 1)!!/2т, мы получаем как следствие результат М.П. Оуэна [121.
Следствие 1. (см. [12\). Для любого натурального числа т — 2 и любой выпуклой области П С К'1 (П = имеет .место неравенство
/п|Д^> /о V/ е СГ(П).
Отметим, что оригинальное доказательство М.П, Оуэна основано на использовании функции расстояния Е.Б. Дэвиса (см. [3]) и существенно отличается от нашего.
Следующее утверждение при т = 2 доказано в [7] (с. 217). Оно усиливает результат М.П. Оуэна в том случае, когда область П выпукла и имеет конечный внутренний радиус ^о(П). Отметим попутно, что существуют неограниченные выпуклые области, удовлетворяющие условию $0(П) < го. Например, $0(П') = 1/2 для области П' = {(ХЪХ2, ••• ,ха) е К' : 0 < X! < 1}.
Теорема 2. Пусть т е N т — 2, и пусть П С — выпуклая область с конечным, внутренним радиусом 50(П), Тогда для любой вещественнозначной функции / е С0°(П) справедливы, неравенства
I |Ат/2/(х)|2^ > Фт(/) + |А(т-1)/2/(х)1Чх, (18)
Г т \20-1)Ф (^) \2т г
I |Ат/2/(х)1Чх > ^ Л° ^т^)+/2и (19)
'п — 8р-1) (П) ^о2т (ПЬ П
где Л0 ~ 0, 940 — первый положительный корень уравнения Лямба 70(Л) + 2\,10(Л) = 0 для, функции Бесселя, нулевого порядка и
ФС> = ^ /п (^пЩ^ С =1-2—)
Доказательство теоремы 2. Пусть $ е С™(П) — произвольная вещеетвеннозначная функция. Для этой функции справедлива формула (15). Очевидно, функция ик1к2-кт-1 > определенная равенством (16), также принадлежит семейству С^(П). Применяя к функциям и = ик1к2^"кт-1 неравенство (8) теоремы С, будем иметь
Луг ( \\2 Л ^ 1 [ ^кф^кт-1(ж) ¿х
к 1(х)| А > 4 к (а.^.аП))2 +
Д2 г
+ ^2(П) ]п ик1к2-кт-1 (х) ¿Х-
Суммируя эти неравенства по индексам к2, • • • , кт-1 и учитывая равенства (11)—(13), (15), получаем
/п|Ат/2/=/п|вт/* >1 /п +
\ 2 [■
По теореме 1, примененной для показателей т — 1 и о = 2, будем иметь
((2т — 1)!!)2 Г /2(х) ¿х =ф ]п (^(ж-Ш))2 - 4т-1 ]П (^(ж-Ш))2т т(/ Следовательно, получаем неравенство
I |Dтf (х)|2 ¿X - Фт(/) + (^)|2 <Ъ, (2°)
равносильное (18),
Докажем теперь основное неравенство (19), Очевидно, неравенство (20) при т = 1 совпадает с неравенством (8) теоремы С, Таким образом, для любого к € N справедливо неравенство
^ ^/(х)|2 ¿х > Ф,(/) + |Дfc-1/(х)|2 ¿х. (21)
Очевидно, мы можем оценить снизу второе слагаемое в правой части неравенства (20), применяя неравенство (21) с показателем к = т — 1, В результате будем иметь
^ ^(Х)|2 ¿X > Фт(/) + ^Фт-!(/) + ^/(Х)|2 ¿X.
Если т = 2, то доказательство неравенства (19) будет завершено с учетом равенства |2 = f2.
Если т > 3, т0 продолжаем процесс, привлекая неравенство (21) с показателем к = т — 2 для оценки снизу интеграла /п |Dm-2f (ж)|2 ¿х. Очевидно, за т шагов приходим к неравенству (19),
Этим и завершается доказательство теоремы 2,
4. Оценки констант для произвольных областей.
Пусть с2(в, П) — постоянная Харди, определенная во введении. Напомним, что С2(8, П) = С-^ — 2, П).
Получим оценки снизу для константы Ст(а, П) для произвольной ^-мерной области, удовлетворяющей единственному условию П = К'1. Это условие гарантирует корректность определения расстояния ^в^ж, дП) и, следовательно, является естественным для неравенства вида (5).
Теорема 3. Пусть т € N т > 2, и пусть П С К' — произвольная область, П = К'. Если, а € (—1, то), то
т
Ст(а, П) > Д с2(23 + а, П), (22)
3 = 1
в частности,
т
Ат(П) > П с2(2з, П). (23)
3=1
Если а € (А — 2, то), то
ГГ-,^ + а — й)2 Ст(а, П) > П'=1( ^-^. (24)
Доказательство теоремы 3. Воспользуемся схемой доказательства теоремы 1 с необходимыми изменениями.
Пусть f € С£°(П) — фиксированная вещеетвеннозначная функция. Запишем для нее равенство (15). На первом шаге применяем общее неравенство типа Харди (1) к функции и = ик1к2...кт_1 € Со(П) из формулы (15). Полагая ^ — 2 = а в неравенстве (1), получаем
[ ^Ик1к2-кт_1 (^)|2 , , [ ик1к2-кт-1 (Ж) ,
—тг:—2—^-ах > с2(2 + а, П) / ——;—ччо , ах.
Суммируя эти неравенства по индексам к,,к2, ••• ,кт-1 с учетом формулы (15), будем иметь
[ |Dтf (х) |2 <1х ^ Г Ют-1 /(ж)|2 <1х
1 | м л > с2(2 + а, П) ' | м л
Повторяем те же рассуждения для оценки снизу интеграла в правой части этого неравенства для индексов т — 1,т — 2, ••• , 1 и соответствующих показателей а + 2, а + 4, • • • ,а + 2т — 2. Нетрудно видеть, что через т шагов приходим к неравенству
Л о-,> /дС2(2^п,^
]п (<«(2,3П))" - ^ 2> " ' ') ]П №ф,аП))'2т+«'
Последнее неравенство и влечет оценку (22), так как Ст(а, П) определена как максимальная постоянная в неравенстве (5),
Если а е (с1 — 2, го) и ] = 1,2, ••• ,т, то 2] + а > с1. Следовательно, с2(2 ] + и, П) — (2] + и — ¿)2/4 по теореме В, Поэтому оценка (24) следует из теоремы В и неравенства (22),
С учетом равенства Ат(П) = Ст(0, П) из неравенства (24) получаем (23), Таким образом, теорема 3 доказана.
Следствие 2. Пусть т е N т — 2, и пусть П С К' — произвольная область, П = К'. Тогда справедливы, следующие утверждения:
1) если (1=2, 'то Ат(П) — ((т — 1)!)2 с2(2, П);
2) если ¿=3, то Ат(п) — ((2т — 3)!!)2с2(2, П)/4т-1.
Доказательство следствия 2, Очевидно, из оценки (23) следует, что имеет место неравенство Ат(П) — ХтС2(2, П), где Хт = Пт=2 с2(2], П).
Пусть с1 = 2, тогда с2(2П) — (] — 1)2 для ] = 2, • • • ,т по теореме В, Следовательно, Хт — ((т — 1)!)2 в случае двумерных областей, что и требовалось доказать.
Если д, = 3, то снова применяем теорему В для оценки снизу константы c2(2j, П) при ] — 2. Имеем: c2(2j, П) — (2] — 3)2/4 дая ] = 2, • • • ,т. Отсюда и следует требуемая оценка снизу для Ат(П) в случае трехмерных областей.
Константа с2(2, П) хорошо изучена и для нее известен ряд оценок, зависящих от геометрических характеристик области П (см., например, [3], [7], [8], [17]-[20], [25]), Поэтому следствие 2 позволяет получить ряд эффективных оценок снизу для константы Ат(П) в случае двумерных и трехмерных областей.
5. О некоторых нерешенных проблемах.
Теория многомерных неравенств типа Харди и Реллиха интенсивно развивается. Интерес к этим неравенствам обусловлен разнообразными приложениями в математической физике и гармоническом анализе (см, например, [7]-[9], [23]), Мы приведем лишь две нерешенных задачи, относящиеся к основаниям теории и допускающие простые формулировки,
1. О верхней границе для константы Ат(П).
Из определения Ат(П) следует, что
, ч /П |Ат/2f (хМ2 (!х
Ат (П) ^ ^ | М)|
/П/2 (ж)^^, Ш))-2т^ ж
для любой функции f е С0°°(П),/ ^ 0, Поэтому Ат(П) < го для любой области П = К' при любом т е N.
Гипотеза 1, Пусть с1 = 2 или (1=3.
Тогда, для любого натурального числа т и для любой обл асти П С К' (П = К') справедлива, точная, оценка
Ат(П) ^
((2т — 1)!!)
4т
2
Отметим, что при т = 1, т.е. для А,(П) = с2(2, П), такая гипотеза была выдвинута Е.Б. Дэвиеом в 1995 году (ем. [24]), но не доказана к настоящему времени.
2. О критериях положительности с2(2, П).
Рассмотрим область П С К2 (П = К2), Через М0(П) обозначим евклидов максимальный модуль, определяемый равенством
Мо (П) = 2- 8пр1п ®,
2п к т(К)
где супремум берется по всем концентрическим кольцам
К = [х € К2 : г (К) < ^ — хк | < ЩК)}, таким, что К С П , 0 < г (К) < К(К) < то , хк € дП. Если область П' С К2 не содержит таких колец, то полагаем по определению, что евклидов максимальный модуль Мо(П') = 0.
Очевидно, условие Мо (П) < то представляет собой геометрическое требование на область П С К2.
Известно (см. [17]-[20], [25]), что для области П С К2 (П = К2)
Л(П) = с2(2, П) > 0 ^^ Л2(П) > 0 ^ Мо(П) < то. (25)
В частности, с2(2, К2 \ [0}) = 0 и М0(К2 \ [0}) = то.
Понятно, что можно определить Мо(П) для области П С К3 по аналогии с двумерным случаем, заменяя кольца К шаровыми слоями вида [х € К3 : г(К) < ^ — хк| < К(К)},
Поскольку С2(2, К3 \ [0}) = 1/4 > 0 ^(К3 \ [0}) = 9/16 > 0 и М0(К3 \ [0}) = то, то утверждение (25) не является справедливым для трехмерных областей. К сожалению, неясно, чем заменить условие Мо(П) < то в случае многомерных областей. Поэтому мы можем предложить лишь усеченный вариант (25) для трехмерных областей.
Имеем: с2(4, П) > 0 для трехмерных областей в силу теоремы С и А2(П) > с2(2, П) с2(4, П) для произвольных областей в силу оценки (23). Следовательно, с2(2, П) > 0 А2(П) > 0 для трехмерных областей.Эти факты и аналогия с двумерным случаем позволяют нам сформулировать следующее утверждение.
Гипотеза 2. Для любой области П С К3 (П = К3)
Л(П) = с2(2, П) > 0 ^ Л(П) > 0.
Трудности, связанные с исследованием гипотез 1 и 2, стандартны для теории неравенств типа Харди и Реллиха, Во первых, невозможно применить методы классического вариационного исчисления из-за отсутствия экстремальных функций, реализующих знаки равенства, и, во-вторых, невозможно использовать методы симметризации из теории изо-периметрических неравенств из-за присутствия весовых функций, являющихся степенями функции расстояния П),
Автор выражает благодарность рецензенту за полезные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Т. Matskewich, Р.Е. Sobolevskii The best possible constant in a generalized Hardy's inequality for convex domains in Rra // Nonlinear Anal. V. 28. 1997. P. 1601-1610.
2. M. Marcus, V.J. Mitzel, Y. Pinchover On the best constant for Hardy's inequality in Rra // Trans. Amer. Math. Soc. V. 350. 1998. P. 3237-3250.
3. E.B. Davies A Review of Hardy inequalities // The Maz'va anniversary Collection. 2, Oper. Theory Adv. Appl. V. 110. 1999. P. 55-67.
4. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). V. 87, №8-9. 2007. P. 632-642.
5. F.G. Avkhadiev, A. Laptev Hardy Inequalities for Nonconvex Domains // International Mathem. Series "Around Research of Vladimir Maz'va, I". Function Spaces, Springer, 2010. V. 11. P. 1-12.
6. Авхадиев Ф.Г. Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна 1/4 // Известия РАН. Сер. матем. Т. 78, № 5. 2014. С. 3-26.
7. A.A. Balinskv, W.D. Evans, R.T. Lewis The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality. Universitext, Heidelberg - New York - Dordrecht - London: Springer. 2015. 263 p.
8. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: изд. Ленинградского университета. 1985. 416 с.
9. F. Rellich Perturbation theory of eigenvalue problems. New York-London-Paris: Gordon and Breach. 1969. 128 p.
10. P. Caldiroli, R. Musina Rellich inequalities with weights // Calc. Var. V. 45. 2012. P. 147-164.
11. F. Gesztesv, L. Littlejohn Factorizations and Hardy-Rellich-type inequalities // arXiv: 1701.08929vl [math.API 31 Jan 2017. P. 1-13.
12. M.P. Owen The Hardy-Rellich inequality for polyharmonic operators // Proc. Royal Soc. Edinburgh, V. 129A. 1999. P. 825-839.
13. M.G. Barbatis Improved Rellich inequalities for the polyharmonic operator // Indiana University Math. J. V. 55, m. 2006. P. 1401-1422.
14. M.G. Barbatis and A. Tertikas On a class of Rellich inequalities //J. Сотр. Appl. Math. V. 194. 2006. P. 156-172.
15. W.D. Evans and R.T. Lewis Hardy and Rellich inequalities with remainders // Journal of Mathematical Inequalities. V. 1, Ш. 2007. P. 473-490.
16. E. Berchio, D. Cassani and F. Gazzola Hardy-Rellich inequalities with boundary remainder terms and applications // Manuscript. Math. V. 131. 2010. P. 427-458.
17. Авхадиев Ф.Г. Неравенетва типа Реллиха в областях евклидова пространства // Известия вузов. Матем. т. 2016. С. 69-73.
18. F.G. Avkhadiev Hardy-Rellich inequalities in domains of the Euclidean space //J- Math. Anal. Appl. V. 442. 2016. P. 469-484.
19. F.G. Avkhadiev Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. V. 21. 2006. P. 3-31.
20. Авхадиев Ф.Г. Нера,венет,ва типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Тр. матем. инст. им. В.А. Стеклова. Т. 255. 2006. С. 8-18.
21. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 408 с.
22. F. Gazzola, H-Ch. Grunau, G. Sweers Polyharmonic boundary values problems, Lect. Notes in Math., Springer, 1991, 415 p.
23. Рид \!.. Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир. 1978. 394 с.
24. Е.В. Davies The Hardy constant // Quart. J. Math.Oxford Ser.(2). V. 46, №. 2. 1995. P. 417-431.
25. Авхадиев Ф.Г. Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения // Матем. сборник. Т. 206, №12. 2015. С. 3-28.
Фарит Габидинович Авхадиев, Казанский федеральный университет, ул. Кремлевская, 38, 420008, г. Казань, Россия E-mail: [email protected]
