Точная теория локализованных и периодических структур в активном оптическом резонаторе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т НРТ1 III 4/1111/ О /<" шл 1гм IV» 1/ л л^ои дич/ гг от л Ж т/ли л/1 /1 /Г) //I 1 А-/

¿»гч/к^р х о, л^/илкыьи »ьи у/ио^аи -г ЛЛЛ

УДК 535.37, 631.378.35

ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В АКТИВНОМ ОПТИЧЕСКОМ РЕЗОНАТОРЕ

А. Ю. Окулов

Нелокальное уравнение для параметра порядка в нелинейном оптическом резонаторе сведено в пределе большого числа Френеля к уравнению Свифта-Хоэнберга. Получены точные солитонные и периодические решения уравнения Свифта-Хоэнберга для оптического резонатора с тонким слоем усиливающей среды. Показано, что для поперечно-одномерных пространственных структур решения в форме гиперболического секанса с "чирпом" и в форме эллиптических функций Якоби являются нелинейными собственными модами в плоскопараллелъной, квазиконфокальной и конфокальной геометриях.

Локализованные структуры излучения в нелинейных оптических резонаторах, обладающие солитонными свойствами, являются объектом интенсивных исследований на протяжении предшествующих лет [1 - 5]. Для режима синхронизации продольных мод в лазере с нелинейным поглотителем Г. Хаусом [1] предложена точно решаемая модель, принимающая во внимание не только взаимную компенсацию нелинейности поглотителя и дисперсии коэффициента усиления, но также и баланс усиления и потерь, и было получено точное решение в форме гиперболического секанса. В случае пассивного мультистабильного резонатора Фабри-Перо, инжектируемого через одно из зеркал монохроматической волной [2], модифицированным методом обратной задачи получено точное решение в форме гиперболического секанса на фоне плоской волны. Альтернативный подход, рассматривающий локализованные структуры как связанные состояния волн переключения между различными ветвями гистерезисной характеристики резонатора, развивался в работах [3]. Возможность построения точных решений, описывающих синхронизацию поперечных мод в нелинейном кольцевом конфокальном резонаторе

с усилением, была указана в работе [4]. Задача анализировалась в модели нелокального по пространственным координатам уравнения для параметра порядка (комплексной амплитуды электромагнитного поля) следующего вида:

£„+1(г» = Ц К{г — (1)

где Еп+\(г) - комлексная амплитуда электромагнитного поля в резонаторе, /[Еп(г±_)] комплексная передаточная функция активного слоя, п - номер прохода через резонатор. Для кубической нелинейности (двухуровневая система в стационарном режиме) было получено решение в форме гиперболического секанса веских), в то время как для квадратичной нелинейности (внутрирезонаторная генерация второй гармоники) решение имело вид гиперболического секанса в квадрате 5ес/?.2(х). Следует отметить, что такие решения обладают более слабой локализацией, чем решения в виде линейной суперпозиции когерентных состояний, представляющие собой гауссовы волновые пакеты [5], осциллирующие в плоскости выходных зеркал:

Е(х,у,*) = £0ехр[—(х — х0 сов(Ш))2]/\/л\ (2)

Это выражение было записано для одномерно-поперечной геометрии резонатора, причем считалось, что данный волновой пакет образован дискретным набором мод Гаусса Эрмита: Е(х,у,£) = Дгехр[—х2 — шп1\(Нп/'ЛГП) + к.е., где коэффициенты даются

п

выражением = (2пп\у/тг) и имеет место пуассоновское распределение амплитуд мод Ап = пп ехр[—п]/п\.

Устойчивость локализованных решений [4] в виде гиперболического секанса для конфокального активного резонатора рассматривалась в [6], где в явном виде были получены инкременты нарастания возмущений и показано, что среди возмущений такого солитона существуют моды с положительными инкрементами нарастания во времени, что является признаком неустойчивости решений, полученных в данной модели. Однако численное моделирование и экспериментальные результаты [7] свидетельствуют об устойчивости локализованных конфигураций в данной геометрии резонатора.

В ряде работ указывалось на то обстоятельство, что учет нелокальности нелинейности как в явном виде [8], так и за счет введения пространственной дисперсии более высокого порядка [9], позволяет получить устойчивые солитонные решения. В даннол работе развивается подход, примененный в работе [4], использующий уравнение для

комплексной амплитуды электромагнитного поля с нелокальностью, обусловленной граничными условиями, и реализуется обобщение этого уравнения на случай резонатора с плоскопараллельными зеркалами.

Вариационная формулировка. Хорошо известно, что уравнение для параметра порядка Ф в теории Гинзбурга-Ландау [10]

*2

-ДХФ = аФ + /ЗФ1Ф12 (3)

2т

можно получить из вариационного принципа. Для получения нестационарного уравнения, определяющего поведение комплексной амплитуды, воспользуемся формальной аналогией с уравнением, полученным в [11, 12], где временная производная Ф определяется вариационной производной от функционала свободной энергии Ф

который для уравнения (3) имеет вид:

Г ( п2 [УФ[2 а\т4 7|*п,„ _

У \ 2т 2 2 4 6 ] У- ^

Аналогичным образом для нелокального уравнения (1) имеем следующий функционал свободной энергии:

Флм«М = / /|.Шг - г',г)Еп(?М(Г±) + К-(т- *

а временная эволюция дается уравнением, где роль параметра порядка играет комплексная амплитуда Еп+х{г), а "дискретное время" п измеряется в единицах времени прохода излучения через резонатор (21д/с):

Еп+1{г,г) =--щ-. (6)

Отличие уравнения в форме (6) от стандартного приближения "среднего" поля [13] в том, что ядро К (г — г*, г) содержит "продольную" координату г и позволяет просчитать распределение комплексной амплитуды Еп(г, г) в любой плоскости внутри резонатора [14].

ВД ЕП+1=ККЕП)

ВД)

гх =(Х, у)

Рис. 1. Геометрия резонатора Фабри-Перо с тонким слоем усиливающей среды. Пояснения и обозначения в тексте.

Уравнение для комплексной амплитуды с учетом граничных условий. Рассмотрим распределение в оптическом резонаторе с тонким слоем нелинейной среды (рис.1), описываемой в двухуровневом приближении нелинейной передаточной функцией:

тм г - ¡АшТ2)

Л ^ п 2(1 + аТ\\Еп\2) + п'

(7)

где а - сечение вынужденного усиления, N0 - плотность инвертированных атомов, Аш - отстойка частоты моды от центра линии усиления, Т2 - обратная ширина однородной линии, Т\ - время жизни верхнего резонансного уровня, с - скорость света, Ьа - толщина активной среды (Ьа <С Ьр). Необходимое условие применимости уравнения (7) имеет вид Ьа <С кИ2, где В - характерный размер поперечной неоднородности в плоскости г = (х, у) (рис.1) параметров резонатора (например, поперечный размер области высокого коэффициента отражения -й(г) или инверсной населенности ЛГ0(г)). Распро странение излучения в свободном пространстве между зеркалами будем рассматривать в параксиальном приближении теории дифракции в интегральной форме:

Еп+г(г,г) = ¿ехр(гЬ) ] Л(х, у) ехр { | /(Еп(7)<Р7,

—оо

где к — ш/с- волновое число, Ьп - длина резонатора. Функция "поперечных" координат ("коэффициент отражения входного зеркала") 0 < Щг) < I описывает ограничение излучения в поперечном сечении. Кривизна зеркал учитывается стандартным фазовым множителем вида: ехр где К - фокусное расстояние. В приближении "короткого

резонатора" или малой длины волны (к = (27г/Л) —» оо) можно получить динамическое уравнение для комплексного поля Еп(г,г) методом, изложенным в работе [4], с учетом членов разложения вплоть до второго порядка малости:

дЕ с(1 - К)Е ¿с аМ0Ьас(1 - ¡АшТ,)

Ж 21* + ~Еп Ы1 + <тГг|Яп|2) * ^

Такое уравнение для параметра порядка Е(г±) обычно называют параболическим уравнением [13].

Покажем, что учет граничных условий можно провести в явном виде. Будем считать для упрощения расчетов, что коэффициент отражения выходного зеркала представляет собой функцию Гаусса:

Щх,у) = Д0ехр{-(х2 + г/2)/£2}; 0 < Д> < 1.

В первом порядке по обратному числу Френеля Кр = кВ2/Ьц имеем уравнение Гинзбурга-Ландау с комплексными коэффициентами:

дЕ Е гс . <тИ0Ьас{\ - гАшТ2)

Ж тй 2к "= Е" ыг + оТгМ) ' (9)

где гя = ~ "время жизни" фотона в резонаторе. Физический смысл "диффузион-

ной" добавки, пропорциональной 1 /ТУр, заключается в том, что излучение, дифрагирующее из центральной части, поглощается на краях диафрагмы. Во втором порядке по Х/Ир уравнение усложняется из-за переменных коэффициентов перед второй производной:

дЕ Е гс . ./АГ 2 2ч//лг2\ч п (УНъЬас{\ - хАшТт) .

Ж + * + 5 ' -- 2(1 + » >/(*г» = М1 + «Г,|Д.|») ■ (10)

Тем не менее, для центральной части резонатора этой зависимостью можно пренебречь. Для симметричной диафрагмы отличны от нуля лишь четные коэффициенты М2п. Таким образом, можно получить уравнение Свифта-Хоэнберга любого порядка для "безы нерционной" нелинейности, т.е. двухуровневой системы в стационарном режиме. Приведем выражение для уравнения Свифта-Хоэнберга 8-ого порядка с "насыщающейся нелинейностью:

яг

— + М0Е + М2АхЕ + М4А2±Е + М6А3±Е + М8А4±Е = (11)

от

(7АГ0£ос(1 - 1АиТ2) ~Ьп 1л(1 + ¿ыад • . Коэффициенты М0, М2, М4 имеют для гауссовой диафрагмы следующий вид:

М0 = т^1 ехр{—(ж2 + у2)/(£>2( 1 - ¿/^))}(1 - (12)

7 С

М2 = —(1 - ¿/^)-2(-1){1 - г/Л^ - 2(х2 + у2)к/№Ьн)}, (13)

¿ктя

М4 = -1^(1 - г/^р)~4(2АЬн/к){3 - г 12/^ - 12/^2 - 24г/ЛГ2-

- 48А;(ж2 + ?)!{Ьв№) - 16(г4 + У4)к2/Ь2Н(^)}. (14)

Следует отметить, что при выводе выражений (12) - (14) для сокращения записи формул предполагалось, что зеркала - плоские, т.е. ¥ равно бесконечности, хотя моменты вычисляются точно и в этом, более общем случае. Далее, заметим, что возможен также предельный переход, геометрически соответствующий бесконечно широкой диа фрагме {В —> оо), что в определенном смысле аналогично взятию интеграла в смысле "главного значения". При этом из моментов М2„ "выпадает" зависимость от поперечных координат х,у, а зависимость моментов М2п от характерного параметра малостз! | приобретает следующий вид: М2„ ~ ) . Приведем также первые ненулевые "регу-ляризованные" коэффициенты в разложении по степеням нелокального оператора К по степеням

1 . ^ »ж 3 сЬя ., 15гсХъ ,, 10ЫсЬгП

м° = ' М> = йГя'М< = м6 = ; м° - -^Г-

Точные локализованные решения. Точное решение для уравнения Гинзбурга-Ландау (9) с кубичной нелинейностью

.. _____ 1 п ппп / ^

пилгбр и/, ¿.1/1/4 л•

-100

Интенсивность, отн.ед. а

-100

50 100 Поперечная координата, мкм

-50

Фаза, рад

50

100

Поперечная координата, мкм

Рис. 2. а) Распределение интенсивности солитона с "чирпом". Масштаб по оси х в микронах. б) Распределение фазы.

дЕ Е {с А . ,хг ч „ <гМ0Ьас{\т . „

+ — + иА±Е{1 " = Еп Ьн- (1 ~ ) (15)

получается методом, описанным в работах Ахмедиева и Анкевича [15, 16]. В общем виде оно представляет собой солитон с "чирпом" и "пьедесталом":

Е(х,Ь) — х{зесА(хх) ехр (¿££о<7[5есМхх)]) + 0}ехр(»Ш).

Графики этого решения приведены на рис.2 (а, б). Приведем зависимость от параметров резонатора для решения в виде "плоского" солитона:

= £0зес/1(х:Е)ехр(гШ). (16)

Амплитуда солитона Ео = Х\!с! аТ\2кС Nр обратно пропорциональна пространственному размеру солитона х> частота Я = С? Д шТг(1 — с^/{\kNpG)), превышение над порогом (? — 7 = сЬах2/7 = (1 — /?о)(с/2//я)- Периодические решения имеют следующий вид при аналогичном соотношении параметров:

Е{х, ¿) = Е0зп(хх, я) ехр(г'Ш).

(17)

Двумерный "светлый" солитон для двумерного в поперечном сечении уравнения Гинзбурга-Ландау (т.е. размерности 2 + 1) описывается точным решением, полученным в работе [17] . Фактически, данное решение соответствует одномерному "повернутому" (в плоскости х, у) солитону с волновым вектором, чья ориентация определяется

-40

мкм

мкм

Рис. 3. Точное двумерное решение уравнения Гинзбурга-Ландау в пространстве размерности (2 + 1).

соотношением констант а, /?, С, В, которые являются свободными параметрами задачи при очевидном условии а//3 = х (рис.3). При этом скорость движения солитона в плоскости х,у определяется частотой О:

Е0

ехр(г(аа; + /Зу + Ш)).

(18)

(.В + сЦах + ру + Ш + С)) Рассмотрим теперь локализованное решение уравнения Свифта-Хоэнберга 4-го порядка:

дЕ Е дь тя

^ + — + М0Е + М2А±Е 4- М4А2±Е = Ег

а^Ьас( 1 - iAu;T2)

(19)

Ьн(1 + аЩЕ^) '

Решение в этом случае имеет близкий вид, но соотношение между параметрами следующее:

Е(х^) = £0зес/г(ха:)2 ехр(г'Ш).

(20)

Амплитуда солитона Е0 = 6х = ~ т) Увеличивается ПРИ уменьшении его ши-......... 1 ДоШйс^Т кй /щб—у)

х - * V-1ГН-~ Т^М 8 ' •

В данной работе нелокальное уравнение для параметра порядка сведено к уравнениям Гинзбурга-Ландау и Свифта-Хоэнберга в пространстве размерности (2+1). Получены точные решения в виде гиперболических и эллиптических функций. Эволюционные

_____ 1 п 6\Г\П / ~ ГУ______.... - - - г' с тж ч / /

номер IV, ¡ИЛ/Л С. 1\-ишикис сиишцг.пий по шчнак'- 4>п/*п

уравнения учитывают дифракционные потери в виде разложения по малому параметру, роль которого играет обратное число Френеля резонатора Np1 = (кИ2/Ьр)~1. Полученные динамические уравнения для амплитуды электромагнитного поля параметра порялка являются обобщением уравнения Сучкова [13] на случай ненулевых дифракционных потерь.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Н a u s Н. A. J. Appl.Phys., 46, 3049 (1975); Хаус X. "Волны и поля в оптоэлектронике". М., Мир, 1988.

[2] М с L a u g h 1 i n D. W., M о 1 о n e у J. V., and N e w e 1 1 A. C. Phys. Rev. Lett., 51, 75 (1983); Adachihara H. A., M с Laughling D. V. Moloney J. V., and N e w e 11 A. C. J. Math. Phys., 29, 63 (1988).

[3] P о з а н о в H. H., X о д о в а Г. В. Оптика и спектроскопия, 65, 449 (1988); R о s а п о v N. N. and К h о d о v a G. V. JOSA, В7, N 6, 1057 (1990).

[4] О к у л о в А. Ю., О р а е в с к и й А. Н. Труды ФИАН, 187, 202 (1988).

[5] A u s t о n D. IEEE J. QE-4, 420 (1968).

[6] О к у л о в А. Ю. Оптика и спектроскопия, 89(1), 145 (2000).

[7] Taranenko V. В., Staliunas К., and Weiss С. О. Phys. Rev., А56, 1582 (1997); S tali unas К., T a r a n e n k о V. В., S 1 e k u s G., et al., Phys. Rev., A57, 599 (1998).

[8] В a n g О., К г о 1 i k о w s k i W., N i k о 1 о v N., and N e s h e v D. Phys. Rev., E68, 036614 (2003).

[9] Staliunas K. and W e i s s C. 0. JOSA, B12, 1142 (1995).

[10] Л и ф ш и ц Е. М., Питаевский Л. П. "Статистическая физика", ч. 2, гл.4, М., Наука, 1978.

[11] Aranson I. S., G о г s h к о v К. A., L о ш о v A. S., and Rabinovitch М. I. Physica, D43, 435 (1990).

[12] L i к h a n s к у V. V. and К о z 1 о v S. N. Laser Physics., 3, N 6, 1067 (1993).

[13] Сучков А. Ф. ЖЭТФ, 49, вып. 5(11), (1965).

fi jl /Л А ТГЛ Л___ _ _____mt-riп\ АПr- / л i\i\

[14j Окулов A. wuiHKa и шеитрискииия, i «(uj, yoo

[15] Akhmediev N., AnkiewiczA., and M а г и n о К. Physica, D176, 44 (2003).

[16] Akhmediev N. and Ankiewicz A. "Solitons, nonlinear pulses and beams". Chapman & Hall, London, 1997.

[17] Y о m b a E. and К о f a n e Т. C. Chatos, Solitons and Fractals, 20, no.5, 1135 (2004).

Поступила в редакцию 25 июня 2004 г.

»