CC BY
16
УДК 621.378
ДИФРАКЦИОННЫЕ АВТОСОЛИТОНЫ В КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ
А. Ю. Окулов
Предложена точно решаемая модель для описания части-цеподобных возбуждений электромагнитного поля в нелинейной среде с усилением и потерями - автосолитонов. В приближении большого числа Френеля получено точное решение нелинейного волнового уравнения, описывающее пространственное распределение световой волны в конфокальном лазерном резонаторе, содержащем тонкослойный полупроводниковый усилитель и насыщающийся поглотитель.
Солитонные решения нелинейных волновых уравнений реализуются благодаря устойчивому балансу дисперсии и нелинейности [1]. Например, стационарные волноводы в керровском диэлектрике возникают благодаря компенсации дифракционного расплывания положительной линзой, наводимой в среде излучением [2]. Возможность точного решения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [1] связана с наличием бесконечно большого числа интегралов движения [3]. Кроме консервативных систем существует ряд уравнений с диссипацией, где уединенные волны образуются в результате баланса диффузии и обостряющей нелинейности [4]. В нелинейных оптических системах солитонные возбуждения могут возникать, например, на нижней ветви 5-образной передаточной функции нелинейного интерферометра [5], что соответствует солитонам НУШ, возмущенным утечкой энергии через зеркала и накачкой, или на фронте волны переключения между устойчивыми состояними мультистабильного интерферометра или лазерного резонатора с насыщающимся поглотителем, где скачкообразное изменение поперечной структуры поля сглаживается дифракцией [6]. В первом случае соли тоны НУШ формируются вследствие развития филаментации Беспалова-Таланова [7], во втором образуются дифракционные автосолитоны, для которых характерны мелко масштабные осцилляции, интерпретируемые как френелевская дифракция на резком
крае, образованном волной переключения [6]. Солитонные решения возможны также в нелинейной среде с диссипацией и усилением, как показано в точно решаемой модели синхронизации продольных мод лазера с насыщением поглощения, предложенной Хаусом [8].
Рис. 1. Кольцевой конфокальный резонатор с нелинейным усилителем /(Е) и диафрагмой <1(х), помещенными в сопряженных плоскостях.
В настоящей работе рассматривается точно решаемая модель нелинейного оптического резонатора, содержащего тонкослойную квантоворазмерную усиливающую среду. Показано, что при определенном выборе геометрии резонатора и активной среды поперечная структура поля описывается солитонным профилем зесЬ(х). Предлагаемый подход является развитием подхода, применявшегося в работе [9], где был рассмотрен кольцевой конфокальный резонатор с тонкослойным нелинейно-усиливающим элементом, помещенным в одну из фокальных плоскостей (рис. 1). Следуя процедуре, предложенной Фоксом и Ли [10], для описания динамики поперечной структуры поля в параксиальном приближении было получено уравнение, включающее преобразование поля в нелинейном элементе / и пространственную фильтрацию на апертурах в других фокальных плоскостях, что учитывалось линейным интегральным оператором свертки. В приближении малых изменений поля за один проход через резонатор это уравнение сводится к уравнению Колмогорова-Петровского-Пискунова [11], описывающему распространение возбуждений в виде автомодельно распространяющихся фронтов в од-нокомпонентной активной среде с диффузией.
Рассмотрим конфокальный резонатор стоячей волны, образованный парой софокус-ных зеркал (рис. 2). В этом случае, как известно, распространение поля от одного зеркала к другому дается преобразованием Фурье [12]. При малом числе Френеля нелинейная
У
С1
I „
2 = 2¥
\
г*
г
а(Е)
вО (х) 1
/
ваАв - А10 з Оао 7 Ав
Рис. 2. Конфокальный резонатор Фабри-Перо с насыщающимся поглотителем а(Е), и ши-рокоапертурным усилителем Со{х), расположенными в сопряженных плоскостях вплотную к зеркалам.
среда, помещенная в такой резонатор, лишь незначительно изменяет пространственную структуру излучения, что можно учесть разложением в ряд по полному набору функций Гаусса-Эрмита или Гаусса-Лагерра [10]. Покажем, что в резонаторе с большим числом Френеля, если нелинейная среда расположена в виде двух тонких слоев у зеркал и один слой является поглощающим, а другой усиливающим, можно получить точное решение в виде зесЦж). В качестве такого слоя возьмем квантоворазмер-ную среду GaAs-Alo.3Gao.7As со следующими параметрами [13]: длина волны генерации А = 0.8 мкм, период структуры 100 А, размер квантовой ямы = 70 Л, толщина усилителя Ь = 2 мкм, число квантовых ям 120, число частиц N = 1018 см~3, сечение усиления а = Ю-16 см2, диаметр усиливающей области с1 = 200лекл«, фокусное расстояние зеркал F = 500 м.км, время межзонной релаксации Т\ = Ю-9 сек. Усиление и поглощение излучения в каждом нелинейном слое запишем в виде [13]
Ввиду слабости дифракционных эффектов внутри усилителя (сР/ЬХ « 40000), дифракционным слагаемым в обоих уравнениях можно пренебречь и решать точечную систему, что легко дает в стационарном режиме генерации нелинейные передаточные функции для каждого слоя С[Еп(х), х], /аья{Еп(х)}. Наоборот, в большей части резонатора, где
N0
атр
(1)
усиление и поглощение излучения отсутствуют, будем решать задачу о дифракции в однородной среде, используя стандартное решение параксиального волнового уравнения
через функцию Грина
/ гк
0(2„,гп,*я-1,г„_1) = у\—(--ехр(г'А;(гп - гп_х)12{гп - )),
V ¿пухп — гп-!)
где гп - положение на оси резонатора, г„ = {хп,уп} - поперечная координата. Отражение от зеркала радиуса Д = 2Е можно учесть дополнительным подынтегральным множителем
ехр (-¿Аг£_1/2П который позволяет учесть граничные условия на зеркале
в(ггп, гп, гп_2, г„_2) =
оо
= I 0(г„, гп, г„_1, г„_г) ехр(-гА;г^_1/2^)0(гп_1, гп_ь гп_2, гп_2)<*2гп_1.
—оо
Полагая (гп — 2П_1) = 2Г. получаем в одномерном случае уравнение Фокса-Ли, связывающее амплитуды поля Еп при последовательных проходах через резонатор:
Еп+а(яг3) = J ! Т(х1,х2,хз)/аь3{Еп(х1)}0(х2)с1х1(1х2
Т(хь х2, х3) = ехр[^{(х2 - х^)2 + (х3 - х2)2 - 2х\ - 2х\)1Щ, (3)
где /аЬз{Еп(х-1)} есть решение уравнения (1) для насыщающегося поглотителя. Уравнение (3) удобно переписать в следующем виде, выделив в нем ядро К(хх,хз), описывающее дифракцию на усиливающем зеркале
Еп+1{х 3) = J К(х1,хг)}аЬз{Еп(х1)}йх1 ък с
К(х 1, х3) = J ехр[г'А;{хз - 2х2(х3 + ^г) - Xl}/4F]<S!(x2)¿ж2. (4)
Для широкоапертурного резонатора с большим числом Френеля интеграл (4) можно оценить методом перевала [14], используя приближение широкой диафрагмы
При условии малых изменений поля за один проход через резонатор, в пренебрежении апертурным сдвигом частоты [10], это уравнение сводится к уравнению типа Колмогорова-Петровского-Пискунова с дискретным временем п [9, 11]:
2д*Еп
Еп+1(х3) = Со/аЬДД„(*3)} + С0(4//Ы) ^ IаЬ,{Еп(х3)} = (а-1)Е(1-РЕ2) + Е; С0а < 1; /3 = аТх. (5)
Для стационарных решений, разлагая /аЬз{Еп{х)} в ряд в предположении малой нели
неиности, имеем
Еп+г(х) = Еп(х) = Esiat(x)
<92 F
En[G0a - 1]{1 - cT.El) + G0(4F/W)2-^ = 0 (6)
——sech хЫ 1(1 - aG0)
1<тТг 4 F V Go
Е3гаг{х) —
Таким образом, предлагаемый подход позволяет получить точное решение в виде ча-стицеподобного возбуждения электромагнитного поля - автосолитона. Как и в работе [6], необходимым условием существования локализованного решения оказался порого вый характер нелинейности, приводящий к жесткому включению генерации ((?о< 1)-Аналогичным образом получается двумерная версия уравнения (4):
Еп+1(х) = Со/абЛ^п(х)} + Со(4//Ы)2Дх£;п. (7)
Стационарные решения уравнения (7) представляют собой "таунсовские" моды [15], которые в среде с насыщением нелинейности, в отличие от керровского диэлектрика, могут быть устойчивы и в двумерном случае [16]. Более подробное исследование автосолитонных решений уравнений (4) и (7) будет опубликовано в другой работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Захаров В. Е., Шаба т А. Б. ЖЭТФ, 61, N 7, 118 (1971).
[2] А с к а р ь я н Г. А. ЖЭТФ, 42, 1568 (1962).
[3] 3 а х а р о в В. Е., М а н а к о в С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. М., Наука, 1980.
[4] К е р н е р Б. С., О с и п о в В. В. Автосолитоны. М., Наука, 1991; УФН, 157. 201 (1989).
[5] A d а с h i h а г а Н. А., М с L a u g h 1 i n g D. V., M о 1 о n e у J. V., and Newell A. C. J. Math. Phys., 29, 63 (1988).
[6] P о з а н о в H. H., Федоров А. В., Ф е д о р о в С. В., X о д о в а Г. В. ЖЭТФ, 107, 376 (1995).
[7] Б е с п а л о в В. И., Т а л а н о в В. И. Письма в ЖЭТФ, 3, 471 (1966).
[8] Н a u s Н. A. Appl. Phys., 46, N 7, 3049 (1975).
[9] О к у л о в А. Ю., О р а е в с к и й А. Н. Труды ФИАН, 187, 202 (1988).
[10] Вайнштейп Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М., Сов. Радио, 1966; S i eg га a n А. Е. Lasers. Mill Valley, Univ. Sci. Books, 1986.
[11] Васильев В. А., Романовский Ю. M., Я х н о В. Г. Автоволновые процессы. М., Наука, 1987, с. 82.
[12] Ахманов А. С., Дьяков Ю.Е., Чирки н А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М., 1981, с. 201.
[13] Jiang W., D е г i с k s о n D. J., and Bowers J. Е. IEEE J. Quantum Electron., 29, 1309 (1993).
[14] Федорюк M. В. Асимптотика, интегралы и ряды. М., Наука, 1987.
[15] С h a i о R. Y., G а г m i г е Е., and Townes С. Phys. Rev. Lett., 13, 478 (1965).
[16] Вахитов H. Г., Колоколов А. А. Изв. Вуз. Радиофизика, 16. 1020 (1973).
Поступила в редакцию 5 февраля 1999 г.
