CC BY
9TO'RT O'LCHAMLI QO'ZG'ALISHGA EGA IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELINING SONLI TASVIRI
Dildora Erkinovna Ismoilova
Buxoro davlat universiteti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada ikkinchi tartibli blok operatorli matritsa ko'rinishidagi A, panjaraviy ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli tadqiq qilinadi. A operator sonli tasvirining asosiy xossalari bayon qilinadi.
Kalit so'zlar: blok operatorli matrisa, molekulyar-rezonans modeli, sonli tasvir.
NUMERICAL RANGE OF THE TWO-CHANNEL MOLECULAR RESONANCE MODEL WITH FOUR DIMENSIONAL PERTURBATION
Dildora Erkinovna Ismoilova
Bukhara State University
ABSTRACT
In this paper a lattice two-channel molecular-resonance model A of the block operator matrix form of order 2 is investigated. The main properties of the numerical range of A are formulated.
Keywords: block operator matrix, molecular-resonance model, numerical range.
MASALANING QO'YILISHI
Jahon miqyosida olib borilayotgan aksariyat izlanishlar elementlari Gilbert fazolarida ta'sir qiluvchi chiziqli chegaralangan operatorlardan iborat bo'lgan blok operatorli matrisalarning spektral xossalarini o'rganishga olib kelinadi. Bugungi kunda blok operatorli matrisalarning muhim va diskret spektrlari hamda sonli tasvirini o'rganish bilan bog'liq masalalar qattiq jismlar fizikasi, kvant maydon nazariyasi, statistik fizika, magnitogidrodinamika, kvant mexanikasi va boshqa ko'plab sohalardagi tadqiqotlarning eng ko'p o'rganilayotgan asosiy masalasi hisoblanadi. Shuning uchun chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning spektral nazariyasida uchraydigan panjaradagi ikki kanalli molekulyar-rezonans modeliga oid tadqiqotlarni rivojlantirish muhim vazifalardan biri bo'lib qolmoqda. Eslatib o'tish lozimki, ushbu maqolada tadqiq qilinadigan model panjaradagi soni saqlanmaydigan va ikkitadan oshmaydigan zarrachalar sistemasi Gamiltonianiga mos keluvchi operatordir.
Faraz qilaylik, Td bu d o'lchamli tor bo'lsin. Maqolada ishlatiladigan asosiy fazolarni kiritamiz. H0 := C bir o'lchamli kompleks fazo (1-kanal), H := L(Td) esa
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 3 I 2021
ISSN: 2181-1601
Td to'plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymat qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini (2-kanal) belgilaymiz. H0 va
H fazolarning to'g'ri yig'indisini H orqali belgilaymiz, ya'ni H := H0 0H. Odatda H fazoga Fok fazosining nol zarrachali qism fazosi, H fazoga Fok fazosining bir zarrachali qism fazosi va H Gilbert fazosiga esa Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi.
Ushbu maqolada chiziqli operatorlar spectral nazariyasida ko'p uchraydigan H Gilbert fazosidagi quyidagi ikkinchi tartibli blok operatorli matritsani qaraymiz:
Aoo Mo Aoi
Mo A0i Aii -MiVi ~MiV2
A:=
Bunda matritsa elementlari
Aoo fo = afo, Aoi fi = j vo (t)/i(t)dt,
(Aiifi)(x)= u(x)fi(x), (fx) = Vi(x) jjVi(t)f(t)dt,
(V/Xx) = V2( x) j v2(t )fi(t )dt
pd
tengliklar yordamida ta'sir qiladi. A operatornng parametrlari bo'lgan a va Mk (k = o,i,2) sonlari hamda u(),v0 (•), V (•) va v2 (•) funksiyalarga quyidagi shartlar qo'yiladi:
a - fiksirlangan haqiqiy son, m (k = o,i,2)- fiksirlangan haqiqiy musbat sonlar (odatda ularga ta'sirlashish parametrlari deyiladi), u(), v0 (•),v (•) va v2 (•) funksiyalar esa Td da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalardir.
A operator uning parametrlariga qo'yilgan yuqoridagi shartlarda H Gilbert fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma bo'ladi.
Zamonaviy matematik fizikada A operatorga ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli deyiladi. Ikki va uch o'lchamli qo'z'g'alishga ega bo'lgan hollar [1 -6] ishlarda o'rganilgan.
Maqola matnida v0 ( • ),v (• ) va v2 (• ) funksiyalar chiziqli bog'lanmagan funksiyalar deb faraz qilinadi. Agar
A.( Aoo o A°:=^o
diagonal operator qo'zg'almas operator sifatida kiritlsa, u holda A - A qo'zg'alish operatori to'rt o'lchamli chiziqli chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'ladi.
Chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektrning o'zgarmasligi haqidagi G.Veyl teoremasiga ko'ra A operatorning muhim spektri uchun A operatorning muhim spektri bilan ustma-ust tushadi. A diagonal operator ekanligidan
A) = °( Ao) An) tenglik kelib chiqadi. Aniqlanishiga ko'ra
A00) = {a}, <x(An) = [m; M]. u yerda m va M sonlari
m := min u(x), M := max u(x).
xeTd xeTd
formula orqali aniqlangan sonlardir. Demak
^ (A) = [m; M].
Ko'rinib turibdiki, A operatorning muhim spektri juk>0, k = 0,1,2 ta'sirlashish
parametrlaridan bog'liq emas.
Ta'kidlash joizki, A operator ko'p hollarda umumlashgan Fridrixs modeli deb ham yuritiladi. Bunday turdagi modellarning muhim spektri, xos qiymatlari, rezolventa operatori, bo'sag'aviy xos qiymatlari, virtual sathlari, mos Fredgolm determinanti va uning analitik xossalari, sonli va kvadratik sonli tasvirlari bilan bog'liq tadqiqot ishlari [1-11] kabi maqolalarda olib borilgan. [12-23] maqolalarda esa umumlashgan Fridrixs modeli deb ataluvchi operator xossalari yordamida soni saqlanmaydigan va uchtadan oshmaydigan zarrachalar sistemasiga mos blok operatorli matrisalarning muhim spektri va uning joylashuv o'rni, diskret spektrning chekli yoki cheksizligi hamda diskret spektr asimptotikasi bilan bog'liq natijalar olingan. Maqolada o'rganilgan ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli ham ikkinchi tartibli blok operatorli matrisa ko'rinishga ega. Uning diagonal elementlaridan biri An - ¡jyx - nV bo'lib, zamonaviy matematik fizikada bu operator Fridrixs modeli nomi bilan mashhur. Ko'rinib turibdiki, bu model ikki o'lchamli qo'zg'alishga ega. Uning spektral xossalari [24-25] va yoyiluvchi operatorlarning spektri haqidagi teoremadan foydalanib panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operatorning muhim va diskret spektrlarini o'rganish mumkin [26-30]. Xususan, Fridrixs modeli muhim spektrining chap chegarasiga virtual sathga ega bo'lsa, uch zarrachali model operator diskret spektr cheksiz to'plam bo'lishini isbotlash mumkin. Agar muhim spektrning chap chegarasi Fridrixs modeli uchun bo'sag'aviy xos qiymatga ega bo'lsa, bu holda uch zarrachali model operator diskret spektrining chekliligi bilan bog'liq natijalarni olish mumkin.
SONLI TASVIR
Endi A operator sonli tasvirini tadqiq qilish masalasini qaraymiz. Avvalo shuni aytib o'tish kerakki, ko'p holdan berilgan operator muhim va diskret spektrlari emas, balki spektrning quyi va yuqori chegaralarini o'rganish zarurati paydo bo'ladi. Bunday
hollarda operatorning sonli tasviri tushunchasidan va u bilan bog'liq natijalardan foydalangan maqsadga muvofiq bo'ladi.
Uchbu
W(A):= {(Af, f): f e H, ||f||= i} kabi aniqlangan to'plamga A operatorning sonli tasviri deyiladi. Parametr funksiyalarning holatidan bog'liq ravishda W(A) to'plam ochiq to'plam bo'lishi, yopiq to'plam bo'lishi hamda ochiq ham yopiq ham bo'lmasligi mumkin. Aniqlanishiga ko'ra W (A) to'plam kompleks sonlar to'plamining qism to'plami bo'lib, W (A) to'plamning
geometrik xossalaridan foydalanib A operator haqida ma'lumot olish mumkin.
Sonli tasvir tushunchasi birinchi marotaba 1918 yilda Tyoplitz tomonidan sonli matrisalar uchun kiritilgan. Bunda matrisaning sonli tasviri uning barcha xos qiymatlarini saqlashi va bunday to'plamning chegarasi qavariq chiziq bo'lishi isbotlangan. Keyinchalik 1919 yilda F.Hausdorff W(A) to'plamning qavariq to'plam ekanligi isbotlangan. Wintner 1929 yilda chiziqli chegaralangan operator ham bunday xossaga ega bo'lishi va uning spektri sonli tasviri yopig'i bo'lgan W(A) to'plamda yotishi ko'rsatilgan.
A ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli chegaralangan operatordir, shu sababli uning sonli tasvir markazi koordinata boshida va radiusi || A || bo'lgan yopiq doirada yotadi, ya'ni
W(A) c [X e C: | X|<|| A ||}.
Ixtiyoriy a, ß kompleks sonlari uchun
W (aA + ß) = aW (A) + ß
tenglik o'rinlidir. Bunda a e C kompleks soni va Qc C to'plam uchun
a + Q := [a + w: w e Q}, aQ := [aw: w eQ}
munosabatlar o' rinli.
Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli o'z-o'ziga qo'shma, ya'ni A = A * ekanligidan W(A) c R munosabat kelib chiqadi. dimH = & bo'lganligi bois W(A) hamisha ham kompakt to'plam bo'lavermaydi, aniqroq qilib aytganda chegaralangan to'plam bo'ladi, lekin hamish ham yopiq to'plam bo'lavermaydi. Shuning uchun W (A) to'plam yopiq bo'ladigan shartlarni topish dolzarb muammo hisoblanadi. Chiziqli operatorlar nazariyasining yana bir masalalaridan biri bu ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli uchun spektr va sonli tasvir ustma-ust tushadigan hollarni aniqlash masalasidir. Agar biror S: H ^ H operator A operatorga unitar ekvivalent operator bo'lsa, u holda W (S) = W (A) tenglik o'rinli bo'ladi.
A ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining W(A) sonli tasviri uchun spektral munosabatlar deb ataluvchi
ap (A) c W(A), a( A) c W(A) Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 292
tengliklarni qanoatlantiradi.
Umumiy holda A ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining W (A) sonli tasvirining yopig'i uchun
W(A) = [min a(A); max a(A)] tenglik o'rinli bo'ladi. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, A operatorning muhim spektri [m; M] kesmadan iborat bo'ladi. Xususan, m va M sonlari A operator uchun bo'sag'aviy xos qiymat bo'lsa, u holda m, M eW (A) bo'ladi. Haqiqatan ham, faraz qilaylik, m soni A operator uchun bo'sag'aviy xos qiymat bo'lsin, ya'ni shunday nol bo'lmagan f = (f0, f ) e H vektor-funksiya topilib, Af = mf tenglik o'rinli bo'lsin. U holda
m = -^r (f, f) = (mf ,f) = (A^— ,f)
iifii2 ) ( \\f\\ \\f\\ \\f\\ \\f\\
munosabatlar o'rinli bo'lib, bundan m e W(A) ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, agar M soni A operator uchun bo'sag'aviy xos qiymat bo'lsa, u holda shunday nol bo'lmagan F = (F0,F) e H vektor-funksiya topilib, AF = MF tenglik o'rinli bo'lsin. U holda
M F F F F
M=m (F,F)=(Min, ^^)=(Am, ^^)
munosabatlar o'rinli bo'lib, bundan M eW (A) ekanligi kelib chiqadi. Bu mulohazalardan ko'rinib turibdiki, agar A operatorning m dan chapda yotuvchi xos qiymatlarning eng kichigini E orqali, M dan katta xos qiymatni E2 orqali belgilasak (ular mavjud bo'lgan holda), u holda A operatorning sonli tasviri [E;E] kesmadan tashkil topgan bo'ladi.
REFERENCES
1. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
2. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
3. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress. 2:1, 61-69.
4. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining sonli tasviri. Scientific progress. 2:1, 1421-1428.
5. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining rezolventasi. Scientific progress. 2:2, 580-586.
6. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.
7. Исмоилова Д.Э. (2020). Метод формирования в преподовании темы евклидовых пространств. Проблемы педагогики. 51:6, C. 87-89.
8. Ismoilova D.E. (2021). To'rt o'lchamli qo'zg'alishga ega ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining muhim va diskret spektrlari. Scientific progress. 2:3, 44-50 b.
9. Ismoilova D.E. (2021). Ba'zi xususiy hollarda to'rt o'lchamli qo'zg'alishga ega ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining Fredgolm deterninanti. Scientific progress. 2:3, 69-76 b.
10. Ismoilova D.E. (2021). To'rt o'lchamli qo'zg'alishga ega ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining rezolventasi. Scientific progress. 2:3, 44-50 b.
11. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
12. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5(10), 511519.
13. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
15. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
16. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. (2020). Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation. European science, 2(51), 7-10.
17. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.
18. Латипов Х,.М. (2021). 4-тартибли матрица хос сонларининг таснифи. Scientific progress. 2:1, 1380-1388 бетлар.
19. Латипов Х.М., Пармонов Х.Ф. (2021). Некоторые задачи, сводимые к операторным уравнениям. ВНО, 113:10, часть 3, С. 15-21.
20. Латипов Х,.М., Хдйитова М.А. (2021). Компакт тупламда узлуксиз функция хоссалари ёрдамида ечиладиган айрим масалалар. Scientific progress. 2:3, 77-85-betlar.
21. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Математические заметки. 73:4, С. 556-564.
22. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его приложения, 37:1, С. 81-84.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 3 I 2021
ISSN: 2181-1601
23. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 127:2, pp. 191-220.
24. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles.
Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.
25. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science. 51:2, pp. 15-18.
26. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020) Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science. 51:2, Part II, pp. 19-22.
27. Rasulova Z.D. (2014). Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice. J. Pure andApp. Math.: Adv. Appl., 11:1, 37-41.
28. Rasulova Z.D. (2014). On the spectrum of a three-particle model operator. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25, pp. 57-61.
29. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, pp. 327-342.
30. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12 (2015), С. 168-184.
