CC BY
11BA'ZI XUSUSIY HOLLARDA TO'RT O'LCHAMLI QO'ZG'ALISHLI IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELINING FREDGOLM
DETERMINANTI
Dildora Erkinovna Ismoilova
Buxoro davlat universiteti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada ba'zi xususiy hollarda panjaradagi ikki kanalli molekulyar-rezonans modeliga mos keluvchi Fredgolm determinantining aniq ko'rinishi topiladi. Bu model to'rt o'lchamli qo'zg'alishga ega. Fredgolm determinantining nollari to'plami sifatida qaralayotgan modelning diskret spektri tavsiflanadi. Talab qilinadigan shartlar bajariladigan parametr funksiyalarga misollar keltiriladi.
Kalit so'zlar: xususiy hol, molekulyar-rezonans modeli, qo'zg'alish, panjara, parametr funksiya, Fredgolm determinanti, diskret spektr.
FREDHOLM DETERMINANT OF THE TWO-CHANNEL MOLECULAR RESONANCE MODEL WITH FOUR DIMENSIONAL PERTURBATION IN
SOME PARTIAL CASES
Dildora Erkinovna Ismoilova
Bukhara State University
ABSTRACT
In this paper we find exact form of the Fredholm determinant of the two-channel molecular-resonance model on a lattice in some partial cases. This model has four dimensional perturbation. We describe the discrete spectrum of the investigated operator as a set of zeros of the Fredholm determinant. The examples for the parameter functions satisfying the required conditions.
Keywords: partial case, molecular-resonance model, perturbation, lattice, parameter function, the Fredholm determinant, discrete spectrum.
IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELI
Td orqali d o'lchamli torni, H0 := C orqali bir o'lchamli kompleks fazoni (1-
kanal) va H1 := L2(Td) orqali Td to'plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymat qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini (2-kanal) belgilaymiz. H0 va H fazolarning to'g'ri yig'indisini H orqali belgilaymiz, ya'ni H := H0 0 H. Bu yerda H0 (bir o'lchamli) fazo Fok fazosining nol zarrachali
qism fazosi, H Gilbert fazo Fok fazosining bir zarrachali qism fazosi va H Gilbert fazosi esa Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi. Shu sababli H Gilbert fazosi f = (f, f) ko'rinishdagi elementlardan tashkil topgan bo'lib, f e H0 va f e H munosabatlar o'rinlidir.
Zamonaviy matematikadan, xususan chiziqli operatorlar spektral nazariyasidan bizga yaxshi ma'lumki, H Gilbert fazosida aniqlangan har qanday chiziqli chegaralangan B operator hamisha ikkinchi tartibli blok operatorli matrisa ko'rinishida tasvirlanadi:
( R R ^ B00 B01
B :=
IB10 B11
Bu yerda By : H} ^ Hi, i, j = 0,1 operatorlar chiziqli chegaralangan operatorlar.
Funksional analiz elementlaridan foydalanib B operator o'z-o'ziga qo'shma bo'lishi uchun
R* — R R* — R R* — R B00 = B00, B11 = B11, B01 = B10
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli ekanligini ko'rsatish mumkin.
Mazkur maqolada H Gilbert fazosidagi quyidagicha aniqlangan ikkinchi tartibli
blok operatorli matritsani qaraymiz:
f A n A
■rL00 r^0 01
yM0A0*1 A11 -M -nV2
A:=
Bunda matritsaning elementlari
A00 f0 = ^ A01 f1 = j V0 (t)f1 (t)dt ,
rpd
(Auf! )(x )= u(x)f(x), (Vlfl)(x) = vx(x) j vx(t )fx(t )dt,
rpd
(V2f№) = v2( x) j v2(t )fx(t )dt
rpd
tengliklar yordamida ta'sir qiladi. A operatorning parametrlari bo'lgan n sonlari hamda u(-),v0 (•), v (•) va v2 (•) parametr funksiyalarga quyidagi tabiiy shartlar qo'yiladi:
a - fiksirlangan haqiqiy son, n (k = 0,1,2)- fiksirlangan haqiqiy musbat sonlar
(ularga odatda ta'sirlashish parametrlari deyiladi), u(-), v0 (•), v (•) va v2 (•) parameter
funksiyalar esa Td da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalardir. A operator uning parametrlariga qo'yilgan yuqoridagi shartlarda H Gilbert fazosidagi chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma bo'ladi. Bu tasdiq Funksional analiz kursidan ma'lum bo'lgan ta'rif va metodlar yordamida isbotlanadi.
Zamonaviy matematik fizikada A operatorga ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli deyiladi. Ikki va uch o'lchamli qo'z'g'alishga ega bo'lgan hollar [1 -6] ishlarda o'rganilgan. Odatda Ai operatorga yo'qotish operatori deyiladi, A* operatorga esa paydo qilish operatori deyiladi. Berilgan ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli panjaradagi soni saqlanmaydigan va ikkitadan oshmaydigan zarrachalar sistemasigan mos Gamiltonianni tavsiflaydi.
MUHIM VA DISKRET SPEKTRLAR
O'quvchiga qulaylik uchun ba'zi tushunchalarning ta'riflarini eslatib o'tamiz. Agar biror z soni uchun Af = zf tenglama nolmas f yechimga ega bo'lsa, z soniga A
operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas f yechimga esa bu xos qiymatga mos keluvchi xos vektor-funksiya deyiladi. Agar z soni A operatorning xos qiymati bo'lib,uning shunday atrofi topilib bu atrofda A operatorning z dan boshqa xos qiymati yotmasa, z soniga A operatorning yakkalangan xos qiymati deyiladi. A operatorning barcha xos qiymatlari to'plamiga uning nuqtali spektri deyiladi. A operatorning barcha yakkalangan chekli karrali xos qiymatlari to'plamiga uning diskret spektri deyiladi. A operator diskret spektrining spektrgacha bo'lgan to'ldiruvchisiga A operatorning muhim spektri deyiladi. Chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator uchun qoldiq spektr bo'sh to'plamdan iborat bo'ladi. A operator o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lganligi bois uning spektri haqiqiy sonlar to'plamining qism to'plami bo'ladi, xususan barcha xos qiymatlari haqiqiy sonlar bo'ladi.
A operatorning muhim spektrini o'rganish maqsadida qo'zg'almas operator deb ataluvchi va H Gilbert fazosida
i A n \
A :=
Ao 0
v° A,, V 11 y
kabi aniqlangan ikkinchi tartibli diagonal blok operatorli matrisani qaraymiz. Aniqlanishiga ko'ra A operator chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'ladi. Uning muhim va diskret spektrlari uchun
^(A) = [m; M], ^(Ao) = {a} tenglik o'rinlidir, bu yerda m va M sonlari
m := min u(x), M := max u(x)
xeTd xeTd
formula orqali aniqlangan sonlardir.
Ikkinchi tomondan A - A qo'zg'alish operatori to'rt o'lchamli chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operator bo'ladi. Bunda v0(•), v(•) va v2(•) parametr funksiyalar chiziqli bog'lanmagan funksiyalar chekli sistemasini tashkil etadi. Chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektrning o'zgarmasligi haqidagi G.Veyl
teoremasiga ko'ra A operatoming muhim spektri A operatorning muhim spektri bilan ustma-ust tushadi, ya'ni
^ (A) = [m; M]
tenglik o'rinlidir
Ko'rinib turibdiki, A operatorning muhim spektri juk> 0, k = 01,2 ta'sirlashish parametrlaridan bog'liq emas.
Funksional analiz fanidan bizga yaxshi ma'lumki, A blok operatorli matritsa o'z-o'ziga qo'shma bo'lganligi boiz, uning barcha xos qiymatlari haqiqiydir. A blok operatorli matritsaning diskret spektrini aniqlashda muhim bo'lgan hamda C\[m,M] sohada
A / X It Vo(t )dt
A o^^ z) = a - z-Vo J-^-;
jd u(t) - z
1 oi(Mo,z) = ßo j
1 oiißoiz) = ßo j
T
Vo(t)v1(t)dt ,
jd u(t) — z
vo(t )v2(t )dt •
d u(t ) — z
112 (Z) = j
vi(t )V2(t )dt
12 y y jd u(t) — z
A^,z) = 1 — /ul j
d
vf(t)dt .
d U
u(t) - z
a / tvl(t)dt
a2ßz) = i-ß2J
jd u(t) - z
regulyar funksiyalarni qaraymiz. Odatda,
a(Mo , Mi, 02, z) = A0 (Mo , z )A1 (Mi , z )a 2 ß2 , z) - 2ßlß2101 (ßo , z) 102 (ßo , z) 112( z)
-ßj21(M0, z)A2(M2, z) M2102 (ß0 , z) - ß1ß2i\2(z)A0ß z) funksiyaga A operatorga mos Fredgolm determinant deyiladi. Quyidagi teorema A operator va A(ß0,ß,ß2,■) funksiya nollari orasidagi munosabatni ifodalaydi.
Teorema: zeC\[m;M] soni A operatorning xos qiymati bo'lishi uchun A(ß ,ß,ß, z) = 0 bo'lishi zarur va yetarlidir.
Bu teoremadan A operatorning diskret spektri haqidagi quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.
Tasdiq. A operatorning diskret spektri uchun quyidagi tenglik o'rinlidir
Vdsc(A) = {z e C\[m;M] : N^ßoß^ß^z) = 0}.
BA'ZI XUSUSIY HOLLAR
Quyida A operatorning Fredgolm determinanti sodda holga keladigan ba'zi xususiy hollarga misol keltiramiz.
1-xususiy hol: d = 1 bo'lgan holda u() funksiyani istalgan juft funksiya deb olamiz va v0 ( • ), v ( • ) hamda v2 ( • ) funksiyalarni quyidagicha tanlab olamiz:
v0(t) = cost; v(t) = sint; v2(t) = 0. V ( •), V ( • ) hamda v2 ( • ) funksiyalarning tanlab olinishi va
'„(*, z) = M0 J , z) = M0 J V0(t )V2(t )dt
hamda
'l2( z ) = J
• Vj (t)v2(t)dt
I12(z) = J X .X
U u (t) — z
ifoda o'rinli ekanligidan '01 (m0,z) = 0; '02(m0,z) = 0; '12(z) = 0 tengliklarning bajarilishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi tengliklardan Fredgolm determinanti
A(M0, Ml, M2, z) = A0 (M0,z) A1(M,z) A2 (M ,z)
ko'rinishga keladi.
A0 (M0 , z) A1 (M , z) A2 (M2, z) = 0 tenglik bajarilishi uchun ko'paytmalardan kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak. Bundan esa, A(Mo,z) = 0, A(M,z) = 0 yoki A(M2, z) = 0 bo'lishi kerakligi kelib chiqadi.
2- xususiy hol: d = 1 bo'lgan holda u( • ) funksiyani istalgan juft funksiya deb olamiz. Fredgolm determinantini sodda holga keltirish uchun v0 ( • ), v ( • ) funksiyalarni {cos t [—,;0] V»(t) = { 0 [0;,]
Vj(t) = { 0 [—,;0]
[ sint [0;,]
ko'rinishda tanlab olib, v2( • ) funksiyani esa ixtitoriy deb ham tanlash mumkin. Bunda yuqoridagi belgilashlardan '01 (m0,z) = 0 bo'lishi kelib chiqadi va bu holda Fredgolm determinanti quyidagi ko'rinishga keladi.
A(M0 , A M2, z) = A0 (M , z) A1 (Ml , z) A 2 (M2 , z) — M21022 (M , z) A1 (Ml , z) —
*0 VA*0 ' ^7^1 VA*1 5 ^7^2 VA*2 ' A*202 VA*0 '
— M1M2'12 ( z)A 0^ z)
3- xususiy hol: d = 1 bo'lgan holda u( • ) funksiyani istalgan juft funksiya deb
olamiz va v0 ( • ) hamda v ( • ) funksiyalarni toq funksiya, v2 ( • ) funksiyani juft funksiya
deb olsak, juft va toq funksiyaning ko'paytmasi toqligi, simmetrik oraliqda toq funksiyaning integrali nolga tengligi hamda
10i(M»z) = A J
Vo(t )Vi(t )dt
d u(t) - z
102(A,, z) = A J
T
v (t )v2 (t )dt
pd
rpa u(t ) — z v0(t )v2(t )dt
Il2( Z) =J Vl(t ^
j>a ) Z
ifodalar o'rinli ekanligidan I02(a,z) = 0; I12(z) = 0 tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
Bundan esa Fredgolm determinant quyidagi ko'rinishga keladi:
A(M , Ml , M Z ) = A 0 (M . Z ) A1 ( A . Z ) A 2 (M > Z ) - MA (M . z) A 2(ß2> Z )
Ta'kidlash joizki, A operator ko'p hollarda umumlashgan Fridrixs modeli deb ham yuritiladi. Bunday turdagi modellarning muhim spektri, xos qiymatlari, rezolventa operatori, bo'sag'aviy xos qiymatlari, virtual sathlari, mos Fredgolm determinanti va uning analitik xossalari, sonli va kvadratik sonli tasvirlari bilan bog'liq tadqiqot ishlari [1-9] kabi maqolalarda olib borilgan. [10-23] maqolalarda esa umumlashgan Fridrixs modeli deb ataluvchi operator xossalari yordamida soni saqlanmaydigan va uchtadan oshmaydigan zarrachalar sistemasiga mos blok operatorli matrisalarning muhim spektri va uning joylashuv o'rni, diskret spektrning chekli yoki cheksizligi hamda diskret spektr asimptotikasi bilan bog'liq natijalar olingan. Maqolada o'rganilgan ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli ham ikkinchi tartibli blok operatorli matrisa ko'rinishga ega. Uning diagonal elementlaridan biri An - aV - aV bo'lib, zamonaviy matematik fizikada bu operator Fridrixs modeli nomi bilan mashhur. Ko'rinib turibdiki, bu model ikki o'lchamli qo'zg'alishga ega. Uning spektral xossalari [24-25] va yoyiluvchi operatorlarning spektri haqidagi teoremadan foydalanib panjaradagi uchta zarrachalar sistemasiga mos model operatorning muhim va diskret spektrlarini o'rganish mumkin [26-30]. Xususan, Fridrixs modeli muhim spektrining chap chegarasiga virtual sathga ega bo'lsa, uch zarrachali model operator diskret spektr cheksiz to'plam bo'lishini isbotlash mumkin. Agar muhim spektrning chap chegarasi Fridrixs modeli uchun bo'sag'aviy xos qiymatga ega bo'lsa, bu holda uch zarrachali model operator diskret spektrining chekliligi bilan bog'liq natijalarni olish mumkin.
REFERENCES
1. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
2. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
3. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress. 2:1, 61-69.
4. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining sonli tasviri. Scientific progress. 2:1, 1421-1428.
5. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining rezolventasi. Scientific progress. 2:2, 580-586.
6. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.
7. Исмоилова Д.Э. (2020). Метод формирования в преподовании темы евклидовых пространств. Проблемы педагогики. 51:6, C. 87-89.
8. Ismoilova D.E. (2021). To'rt o'lchamli qo'zg'alishga ega ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining muhim va diskret spektrlari. Scientific progress. 2:3, 44-50 b.
9. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
10. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
11. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. (2020). Поля значений одной 2х2 операторной матрицы. Вестник науки и образования, 17(95), 14-18.
12. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
13. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5(10), 511519.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.
15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
16. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
17. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. (2020). Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation. European science, 2(51), 7-10.
18. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.
19. Расулов Т.Х. (2016) О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами. ТМФ, 186:2, C. 293-310.
20. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Математические заметки. 73:4, С. 556-564.
21. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его приложения, 37:1, С. 81-84.
22. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 127:2, pp. 191-220.
23. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles.
Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.
24. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
25. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science. 51:2, pp. 15-18.
26. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020) Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science. 51:2, Part II, pp. 19-22.
27. Rasulova Z.D. (2014). Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice. J. Pure andApp. Math.: Adv. Appl., 11:1, 37-41.
28. Rasulova Z.D. (2014). On the spectrum of a three-particle model operator. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25, pp. 57-61.
29. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, pp. 327-342.
30. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12 (2015), С. 168-184.
