Типизация схем многоуровневой декомпозиции экономических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 3 (39) 2012

В. Е. Кацман, докт. техн. наук, профессор МФПУ «Синергия», г. Москва

Типизация схем многоуровневой декомпозиции экономических систем

Эффективная разработка информационных систем сегодня невозможна без применения методов математического моделирования функционирования автоматизируемого объекта. Настоящая статья является продолжением работы, опубликованной автором в предыдущем номере журнала «Прикладная информатика».

Введение

Современные экономические системы имеют большую размерность, что затрудняет их моделирование даже с использованием мощных компьютеров [1]. Указанная проблема эффективно решается методом многоуровневой декомпозиции [2]. Его суть заключается в том, что для множества X = {.....хп} элементов большой

системы строится т-уровневая схема разбиения

а = (Я, Яг.....Ят), (1)

где Я1, Я2.....Ят — последовательные разбиения множества X, удовлетворяющие условию

Я < Я+1 « Е (Я )с Е (Ям), (2)

где Е — отношение эквивалентности, соответствующее заданному разбиению.

Обозначим через Dт(X) семейством всех т-уровневых схем разбиения множества X.

Аналогами операций пересечения и объединения и пересечения множеств для разбиения являются операции А и V1.

1 Кацман В. Е. Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах // Прикладная информатика. 2006. № 3.

Классы схем разбиения

При решении конкретных задач большой размерности целесообразно использовать не полное множество Dт (X) схем разбиения, а только некоторое его подсемейство, построенное с учетом специфики решаемой задачи.

В частности, среди семейства Dт (X) на основе следующего определения можно выделить важный класс схемы разбиения.

Определение 1. Семейство D'гn (X) с Dт (X) называется подсемейством т-уровневых схем разбиения без повторений, если для любой (Я1.....Ят) е D'гn (X) выполняется условие

Я. ф Я.+1, i = 1.....т -1,

где Я0 содержит только само заданное множество X.

С использованием данного определения семейство всех схем разбиения без повторений можно представить в следующем виде

п-1

D '(X )= и D'rn(X).

т= 1

Например, пусть задано множество X = {, х2, х3}. Построим для него 0-, 1-и 2-уровневые схемы разбиения, составляющие D '(X). D0'(X) содержит само множество X.

№ 3 (39) 2012

€ Й

ё

и §

$

I §

§

та =

I

1

§

<и

4

0

со

1

о

&

12

0

=1 €

5

!

Семейство D1' (X) состоит из следующих схем разбиения

«11 = ({{{ Х2 }{Х3 }}} а12 = ({{{ Х3 }{Х2 }}};

а1з = ({} {{ хз}}};

а11 = ({},{Х2 },{Х3 }}}.

Семейство D' (X) содержит 2-уровневые схемы разбиения:

а21 = ({ Х2 }, {Х3 П}} {Х2 }, {х3}}}, а22 = ({{{ Х3 }, {Х2 Я}} {Х2 }, {Х3 }}} а23 = ({{Х1} {{ Х3 И}} {Х2 }, {Х3 }}}.

Схемы разбиения без повторений могут использоваться при решении задач большой размерности, в тех случаях, когда не допускается возможность анализа какой-либо подсистемы без ее декомпозиции (кроме подсистем нижнего уровня).

Обозначим через D'm (X) семейство т-уровневых схем разбиения множества X, удовлетворяющих следующему условию:

3,

< / < т у

[Я, = Я,-18 {Я,.....Ят) е Dгn (X)].

Таким образом, можно построить семейство D '(X), пользуясь соотношением

^т (X )= Dm (X )\ ^т (X).

(3)

Условия, накладываемые на построение схем разбиения, могут заключаться в ограничении числа элементов в каждом блоке и числа блоков каждого уровня разбиения. Указанные операции определяются вычислительными ресурсами имеющегося компьютера (объемом памяти и быстродействием). Классы схем разбиения, соответствующие различным условиям, можно задавать на основе следующего определения.

Определение 2. Типом т-уровневой

схемы разбиения а = (Я1.....Ят) е Dm (X)

называется упорядоченное семейство чисел t (а) = .....Nm), где каждое множество

N¡ (( = 1.....т) содержит возможное значение числа блоков разбиения Я, уровня /.

В соответствии с данным определением 2 можно записать каждое множество N¡ в виде

N = {.....к/г^},

где к„ — число блоков в виде \ (( = 1.....г)

в разбиении уровня /.

Задаваемым типом разбиения определяется совокупность возможных вариантов многоуровневой декомпозиции системы.

Рассмотрим основные свойства типа схемы разбиения.

1. Пусть задан некоторый тип схемы разбиения без повторений t = .....Мт). Тогда

для любых к1 е N1, к2 е N1 при 1 < / < \ < т выполняется условие к1 < к2. Оно следует из того, что в соответствующей схеме разбиения а = (Я1.....Ят) число блоков последующего уровня разбиения должно быть не меньше числа блоков разбиения предыдущего уровня.

2. Для любого к е N¡, где 1 < / < т, выполняется условие к < п, т. е. число блоков разбиения любого уровня не должно превышать числа элементов заданного множества X.

3. Пусть заданы две схемы разбиения

а = (Я1.....Ят) е Dm (X),

в = (51.....Sm) е Dm (X)

такие, что а<в , ^а) = .....Nm),

t(р) = (М1,..., Мт). Тогда выполняется неравенство t(а)> t(в), которое означает, что

для любых N ,. = {.....р. } и М ,. = {.....р ^},

где / = 1.....т, выполняется условие

тип р ^ > тлпq 1

/к-

Это неравенство следует из того, что при измельчении любого разбиения число блоков не уменьшается.

110

№ 3 (39) 2012

4. Для произвольных схем разбиения а, Ре Dт (X) выполним операции а Ар и а V р. Тогда справедливы соотношения.

t(аАр)> t(а), t(аАр)> t(р); (4) t(а V р) < t(а), t(а V р) < t(р). (5)

Они следуют из известных свойств решеток аАр<а, аАр<р, аVp>а, аVp>p, доказанных в статье [2], и предыдущего свойства 3.

5. Для произвольных схем разбиения а, р, у е Dт (X) имеет место следующее свойство транзитивности:

{(а) < t(Р) & t(Р) < t(у)} ^ {t(а) < t(у)}. (6)

Это соотношение также доказывается на основе свойства 3.

Рассмотренные свойства типов схем разбиения можно использовать, в частности, для контроля правильности проведения разбиений в процессе многоуровневой декомпозиции системы.

Особый, но практически важный случай соответствует таким схемам разбиения, в которых каждый блок разбиения любого уровня делится на одинаковое число блоков следующего уровня. Этот случай соответствует декомпозиции системы на совокупности однотипных подсистем каждого уровня. Рассматриваемый класс схем разбиения формируется на основе следующих определений.

Определение 3. Разбиение Я называется /-предшественником разбиения в (я < в), если содержит те же блоки разбиения, что и в, кроме / блоков из Я, которые объединены в один блок из в.

Определение 4. Схема разбиения а = (Я1.....Ят) называется /-регулярной, если выполняется следующее условие:

Я++, < Я1 для всех i = 1.....т -1. (7)

I +1 ^ I

Построим, например, все 2-уровневые 2-регулярные схемы разбиения множества X = {, х2, х3, х4} . Каждая такая схема раз-

биения имеет вид а = (Я, в), где любое разбиение первого уровня Я состоит из двух блоков, а разбиение второго уровня в — из трех блоков. Возможно следующее разбиение первого уровня:

§ £

Я = { яг = { Яз ={ ЯА ={

я6 = {

Я6 = {

я7 = {

xi, X2' X3}, {X4

xi, X2 ' X4 } , {X3

X1, X3, X4 } , {X2 X1 } , {X2 , X3, X4 X1, X2 } , {X3 , X4

X1, X3 } , {X2 , X4

X,, X,

},{X2,

X

Разбиение второго уровня:

$1 = {{X1' X2 }'{X3 } ' {X4 }}' $2 ={{X1, X3 } ' {X2 } ' {X4 }}'

$3 = {{X1' X4 }, {X2' X3 }}' S4 ={{X1}^X 2 ' X3 } ' {X4 }}' $5 = {{X1} ' {X2 ' X4 }'{X3 }}' S6 = {{X1} ' {X2 },{X3, X4 }}.

Искомые 2-уровневые 2-регулярные схемы разбиения имеют вид:

a1 = я ^ «2 = (я1, $2)' а3 = я

«4 = (Я2' $1)' «5 = я $3)' a6 = я «7 = (Я3, $2)' «8 = (Я3, $з), «9 = Я $6^ «10 = {Я4, $4)' «11 = {Я4, «12 = {Я4, $6^

«13 = (Я5, $1)' «14 = {Я5, $6^ «15 = (Я6, $2)' «16 = (Я6' «17 = (Я7' $3)' «18 = (Я7'

^^ 111

№ 3 (39) 2012

€ Й

ё

и §

$

I §

§

та =

I

1

§

<и

4

0

со

1

о &

12

0 §

€

5

1

В рассматриваемом примере все схемы разбиения имеют один тип ^ = ({2}, {3}.

Тип 2-регулярных т-уровневых схем разбиения можно записать в виде

^ =({2}.....{т +1}}.

В более общем случае /-регулярных т-уровневых схем разбиения соответствующий тип имеет вид

t = ({}.....{{I - \ +1}.....{ - т +1}}.

Для анализа большой системы, элементы которой могут повторяться, необходимо описать еще один класс схемы разбиения. В этом случае следует проанализировать схему разбиения множества X, содержащего кратные элементы. Примером такого множества элементов является

X = {х1, Х1, Х1, Х2 , Х2 , Х2 , Х3, Х3, Х3 },

которое можно обозначить как

X = {3 • х1,4 • х2, 3 • х3}.

Пусть г — кратность элемента х1 е X ((= 1.....п). Тогда множество X в общем случае можно представить в виде

X = { • Х1.....П • х},

где х1.....хп — разные элементы.

При г = 1, / = 1...., п получим обычное множество X.

Построение и упорядочение схем разбиения множества, содержащего кратные элементы, проводится по ранее рассмотренным правилам с учетом введенной упрощенной записи.

Перечисление схем разбиения различных классов

Перечисление схем разбиения необходимо проводить для оценки числа возможных вариантов многоуровневой декомпозиции большой системы.

Ранее была выведена общая формула для определения общего числа К(п, т)

т-уровневых схем разбиения п-элементного множества [4]:

К(п,т)=±5(п,/ т) £ 5((,и^М), (8)

/т =0 /т-1=0 /,=0

где 5(р, к) — числа Стирлинга второго рода, определяющие число одноуровневых разбиений р-элементного множества на к блоков [3].

Рассмотрим семейство D'm (X) т-уровневых схем разбиения без повторений, построенных на основе определения 1.

Теорема 1. Пусть задано п-элементное множество X и р'т (X)| = К'(п, т). Тогда для всех п > 0, 0 < т < п -1 явное представление числа К (п, т) определяется формулой

К(п,т)=£ 5(п,/т)£ 5(т ,/т-1

(9)

^=2

Доказательство. Рассмотрим произвольную т-уровневую схему разбиения а = (Я1.....Ят) е D'm (X). В соответствии с определением 1 разбиение первого уровня Я1 может состоять из 2.....п блоков. Разбиение Я2 второго уровня может содержать

3.....п блоков и т. д. Разбиение Ят уровня

т может содержать т +1.....п блоков. Кроме того, если некоторое разбиение Яе уровня е (1 < е < т) содержит /е блоков, то разбиение Яе-1 должно содержать не более /е-1 блоков. В противном случае Яе = Яе-1, что недопустимо для схемы разбиения а из рассматриваемого класса D'm (X). Изменив границы индексов суммирования в формуле (8) в соответствии с приведенными рассуждениями, получим формулу (9).

Для вычисления К'(п, т) при больших значениях п, т можно воспользоваться следующими рекуррентными зависимостями.

Теорема 2. Для всех п > 0, 0 < т < п -1 число К (п, т) удовлетворяет следующим рекуррентным формулам:

К (п, 0) = 1 для п > 0;

(10)

112

№ 3 (39) 2012

К(п, т) = 0 для т > п, п ф 0; (11) Из выражения (13.1) следует формула

т -1 (14).

п т -1 4 '

К(п, т)= £ в(п, I)Х(-1)+т+1 К'(¡, У) В таблице 1 представлены первые зна-

¡=т +1 /=0 чения числа К'(п, т), а также общее

для п > 0,0 < т < п -1. (12) число схем разбиения без повторений

п-элементного множества:

Доказательство. Формулы (10) и (11) п-1

очевидны. Докажем формулу (12). Преоб- к(п)= £ К'(п, т). (15)

разуем правую часть формулы (9) в: т =0

£ в(п,1т ) £ в(/'т , тп(12,11)-в(тп , т ) X в(т -1, ^2 ) £ в (/2,¡1)

¡т =т+1 /т-1=т /1=2 /т-1=т -1 Iт =2

= X в(п, / т ) К' (( , т-1)- XX в(т , ¡т-2 ) ^ХХХ в (2, ¡1) + в(т , ¡т ) £ в (( , )...£в (^'О

¡т =т+1 ¡т-2 =т-1 ¡1 =2 /т_3 =т-2 ¡1 =2

= ^в(п,т , т-1)-К'(т ,т - 2)]+...+(-Г т-1 К'(, у)+...+(-1)т -1 К'(т,0).

I £

Таблица 1

Числа К'(п, т) и К'(п) схем разбиения без повторений

К (п, т)

Из данной формулы следует формула (12).

Следствие 1. Для максимального уровня разбиения т = п -1 из выражения (12) получим

К'(п, п -1) = £ (-1)+" К' (п, у). (13)

У=0

Теперь получим наиболее простую рекуррентную формулу для вычисления значений К(п, т).

Следствие 2. Для любых п > 0, 0 < т < п -1 число К'(п, т) определяется следующей зависимостью:

К (п,т) = £ в (п, i)К (¡, т -1), (14)

у=т

а начальные значения К(n, т) вычисля- Обозначим через К(п, т, т) число

ются по формулам (10) и (11). т-уровневых схем разбиеният типа т

Д°казательств°. Используя форму- п-элементного множества. Значения

лы (12) и (13) преобразуем выражение к(п,т, т) можно вычислить на основе ни-

(13.1): жеприведенной теоремы.

\ т п \ 0 1 2 3 ■ 0 5 Всего

1 0 0 0 0 1

2 1 0 0 0 0 2

3 4 3 0 0 0 8

4 14 31 18 0 0 64

5 51 255 385 180 0 872

6 202 2 066 6 110 6 945 2 700 18 024

К (п, т -1) + К (п, т) = £ в (п, i)

т -2

X К (, У )((-1) +т+(-1)У+т-1) + К (/, т -1

у=0

в (п, т) X (-1))+тК (т, у) = X в (п, I)К (¡, т -1).

у=0

(13.1;

113

№ 3 (39) 2012

Теорема 3. Явное представление числа K(п, т, ^), где tm = .....Nm}, определяется формулой

K (п,т^т )=

= £ S(n,m) £ S(/m,и-£^/1). (16)

/т еNm -1 /т-1еЬ1т-1 /1еN1

Эта теорема является обобщением формулы (8) и доказывается аналогично.

При больших значениях п, т целесообразно вычислять К(п, т, tm) по рекуррентной формуле, справедливость которой доказывается в следующей теореме.

Теорема 4. Для любых п, т > 0 и заданного типа ^ = .....Nm) число К(п, т, ^)

определяется следующей рекуррентной зависимостью

К(п, 0, ^ ) = 1 для п > 0, (17)

К (0, т^т ) = 1 для т > 1, (18) К(п,т,^)=£ 5(п, /)К(/, т-1, т-1)

/ е^

для п > 0 , т > 0 . (19)

€ К

§ Доказательство. Зависимости (17)— | (19) выводятся из формулы (16). При т = 0 из этой формулы получим

I

Ц К (п,0,^ ) = 5 (0,0) = 1,

та

что доказывает справедливость форму-| лы (17). Подставив в формулу (16) значе-| ние п = 0 , получим К(0, т, tm) = 1, что соответствует выражению (18). Для доказатель-'! ства справедливости зависимости (19) за-■ё пишем число К(/т, т -1, ^), использовав ^ формулу (16):

| К (/т , т - 1Л-1 ) =

Ц = £ 5((, /т-1)- £ 5(4, /1), (20)

^ /т 1е^1т 1 /1 еN1

§ т 11

| где ^ = (N1.....^-1).

Подставив выражение для К(/, т -1, tm-1) из формулы (20) в формулу (16), получим выражение (19).

Заключение

При использовании теорем 3 и 4 можно оценивать число вариантов многоуровневой декомпозиции больших систем для любых типов схем разбиения.

Анализ формируемых в соответствии с предложенными методами вариантов многоуровневой декомпозиции большой системы целесообразно проводить в интерактивном режиме с учетом особенностей анализируемой системы. Например, в процессе анализа и оптимизации структуры большой организации [4] при проведении многоуровневой декомпозиции необходимо учитывать информационные и управленческие связи между сотрудниками организации.

При проведении многоуровневой декомпозиции конкретных систем целесообразно использовать специальные классы схем разбиения: схемы разбиения без повторения и регулярные схемы разбиения. Рассмотренные свойства типов схем разбиения позволяют проводить декомпозицию систем с учетом различных задаваемых условий и ограничений.

Полученные в статье значения чисел К, являющихся обобщением чисел Стирлинга и Бэлла, дают возможность оценивать число вариантов многоуровневой декомпозиции систем в различных случаях.

Список литературы

1. Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. М.: Финансы и статистика, 2002.

2. Кацман В. Е. Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах // Прикладная информатика. 2006. № 3.

3. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.

4. Кацман В. Е. Модель и алгоритм формирования оптимальной структуры аппарата управления организации // Прикладная информатика. 2012. № 2.