CC BY
68
№ 3 2006 ■
В. Е. Кацман
Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах
Развитие современных экономических информационных систем неразрывно связано с увеличением числа решаемых задач, их сложности и объема обрабатываемой информации. Для моделирования таких систем в настоящее время все чаще применяется системный анализ [1-3]. Однако эффективное использование методов системного анализа во многих случаях затрудняется из-за большой размерности исследуемых систем.
Кардинальным направлением применения системного анализа для решения сложных задач создания и моделирования экономических информационных систем является использование декомпозиционного подхода как для разделения системы на подсистемы, так и для деления задачи на подзадачи [4-7]. В работах основное внимание уделяется декомпозиционным методам и алгоритмам решения конкретных классов задач. Сама же процедура разбиения множества параметров модели исходной задачи на подмножества параметров моделей подзадач практически не рассматривается. При этом обычно считают, что разбиение множества X параметров задачи уже каким-то образом заранее указано. Приведем примеры таких моделей.
1. Модели структуры организации могут быть представлены в виде графа информации б1 = (X, А1) и графа управления б2 = (X, А2), где X — множество сотрудников организации, А1 — множество связей управления, А2 — множество информационных связей. Поскольку численность сотрудников организации может составлять сотни или даже тысячи человек, то при проектировании оптимальной структуры аппарата управления организации возникает проблема декомпозиции указанных моделей путем разбиения множества X [12].
2. Модель оптимальных поставок строительных материалов от производителей на строительные площадки формализуется в виде транспортной задачи большой размерности, поскольку множество X потребителей (строек) имеет размерность порядка десятка тысяч [13].
Для решения задач высокой размерности одноуровневого разбиения множества параметров может быть недостаточно. При этом возникает необходимость в построении разбиений второго, третьего и т. д. уровней до получения подзадач относительно невысокой размерности. В настоящее время не существует математической теории многоуровневых разбиений, что не позволяет в ряде случаев проводить целенаправленную и обоснованную декомпозицию задач высокой размерности.
В данной статье предлагается формализация процесса многоуровневого разбиения на основе введенного понятия «схемы разбиения». Также описываются сферы приложения предложенного метода многоуровневой декомпозиции.
Дадим определение разбиения множества [9]. Пусть задано множество X = Ц,...^}. Разбиением Я множества X на к блоков является произвольное семейство множеств Я = {Б1,..,Бк}, удовлетворяющее условиям:
1. Понятие схемы разбиения и ее свойства
№ 3 2006
к
ив, = X,
/=1
в, п в1 = 0
для 1 < / < у < к.
В дальнейшем воспользуемся следующими свойствами разбиений [10,11].
Если каждый блок из разбиения Я1 множества X является объединением некоторых блоков из разбиения Я2 того же множества X, то разбиение Я2 называется измельчением разбиения Я1 (т. е. Я2 < Я1). Множество Р (X) всех разбиений множества X частично упорядочено отношением измельчения. Причем для любых разбиений Я1,Я2еР (X) имеет место следующее соотношение:
Я1 < Я2^Е(Я^ Е(Я2), (1.1)
где Е— отношение эквивалентности, соответствующее заданному разбиению.
Далее применяются операции л и V над любыми разбиениями ЯБеР^):
ЯлБ = {АпВ|АеЯ, ВеБ}. (1.2)
Разбиению ЯлБ, полученному по формуле (1.2), соответствует отношение эквивалентности Е(ЯлБ), обладающее свойством
Е(ЯлБ) = Е(Я)пЕ(Б). (1.3)
Разбиение ЯvБ определяется через соответствующее отношение эквивалентности E(ЯvБ) следующим образом:
(а,Ь)еЕ^Б)^(ЗА)..(ЗАт) [а = А1, Ь=Ат, <А, А,+1>еЕ(Я)
или < А,, А,+1 >еЕ(Б) для / = 1,2,.,т-1]. (1.4)
Пусть задано некоторое конечное множество X и произвольные разбиения RvRгеP(X).
Определение 1.1. Пара а = < Я1,Я2 > называется двухуровневой схемой разбиения множества X, если выполняется условие Я2 < Я1.
Обозначим через 02^) семейство всех двухуровневых схем разбиения множества X.
Теорема 1.1. Для любых схем разбиения а = < Я1,Я2 > еО^), в = < Б1,Б2 > е ) выра-
жения
аДр = < Я1лБ1,Я2лБ2 >, (1.5)
аУр = < ЯvБvЯ2vБ2 > (1.6)
также являются двухуровневыми схемами разбиения множества X.
Доказательство. Сначала докажем соотношение (1.5). Поскольку а и р — схемы разбиения, то по определению 1.1 Я2 < Я1 и Б2 < Б1. Отсюда на основании выражения (1.1) следует, что Е(Я2)сЕ(Я1) и Е(Б2)сЕ(Б1). Поэтому Е(Я2)пЕ(Б2)сЕ(Я1)пЕ(Б1), т. е. Е(Я2лБ2)сЕ(Я1лБ1),
а, следовательно, Я2лБ2 < Я1лБ1, и аДр является схемой разбиения множества X.
Докажем теперь соотношение (1.6). Имея в виду выражение (1.1), требуется доказать, что E(Я2vБ2)^E(ЯvБ1). Полагаем, что некоторая произвольная пара < а,Ь > сЕ(Я^Б2). Тогда существует последовательность а=А1, А2,...,Ат = Ь, которая по соотношению (1.4) удовлетворяет условиям < А,, А/+1 > еЕ(Я2) или < А,, А/+1 > еЕ(Б2). Отсюда следует,
что < А,, А/+1 > сЕ(Я2)иЕ(Б2) для всех / = 1,2,.,т-1. Поскольку отношение эквивалент-
В. Е. Кацман
Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах
№ 3 2006
ности транзитивно, то и < а,Ь > еЕ(Я2)иЕ(З2). Далее, как и в первой части доказательства, имеем Е(Я2)сЕ(Я1) и Е(32)сЕ(31), откуда получаем Е(Я2)иЕ(З2)^Е(Я1)иЕ(З1). Поэтому < а,Ь > еЕ(Я1)иЕ(31), следовательно, < а,Ь > еЕ(Я1) или < а,Ь > еЕ(31). Тогда в соответствии с выражением (1.4) при т = 2 < а,Ь> сЕ(Я1у31). Поскольку для произвольной пары < а,Ь> выполняется условие < а,Ь > сЕ(Я2у32)^ < а,Ь > сЕ(Я1у31), то Е(Я2у32)сЕ(Я1у31) и на основе
(1.1) следует искомый результат (1.6). □
Обобщим определения операций А и V на случай схем разбиения а и р, содержащих произвольное число уровней разбиения т>0. Схемой нулевого уровня разбиения а0 множества X будем считать само множество X. Пусть Я — некоторое разбиение множества X. Тогда 1-уровневая схема разбиения оц, которую обозначим как оц = < Я > , совпадает с обычным разбиением множества X. 2-уровневая схема разбиения множества X рассмотрена выше. Свойства операций А и V над произвольными т-уровневыми схемами разбиения из семейства От (X) формулируются в следующей теореме.
Теорема 1.2. Пусть заданы две схемы разбиения множества X:
а = < Я1"'" Ят > е°т (^ Р = < З1"'"Зт > е0т (^
Тогда выражения
аАр = < Я1лЗ1,...,ЯтлЗт > , (1.7)
аVP = < Я^.....ЯтУЗт > (1.8)
также являются схемами разбиения множества X.
Доказательство. Рассмотрим сначала выражение (1.7). Требуется доказать, что
ЯтлЗт < Ят-1лЗт-1 < ■ < Я2лЗ2 < Я1лЗ1.
Рассмотрим следующие частные схемы разбиения: а, = < Я,, Я/+1 > и Р( = < З,, З/+1 > для
, = 1,2,...,т-1. Тогда по теореме 1.1 каждое выражение аАр, представляет собой схему
разбиения, поэтому справедливы соотношения
Я2лЗ2 < Я1лЗ1, ЯзлЗ3 < Я2лЗ2,., ЯтлЗт < Ят-1лЗт-1,
откуда и следует справедливость выражения (1.7).
Рассмотрим выражение (1.8). С использованием частных схем разбиения а, и р, по теореме 1.1 получим Я2у32 < Я1у31,Я3у33 < Я2у32,..., ЯпуЗт < Ят_^Зт-1.
Из последнего выражения следует соотношение
ЯтУЗт < Ят-1уЗт-1 < ■ < Я2^2 < Я1уЗ1,
доказывающее, что aVp является т-уровневой схемой разбиения множества X. □
Таким образом, в результате выполнения операций А и V над произвольными т-уров-невыми схемами разбиения множества X также получаются некоторые т-уровневые схемы разбиения множества X. Пусть, например, заданы следующие 3-уровневые схемы разбиения а и р множества X = {*1,..,*8}:
а =< {{*1, *2, Х3, Х4>, {Х5, Х6' Х7, *8^ {{Х1, *2^*3, *4}, {*5, *б}, * *8^ {{*1, *2}, {*3^*4}, {*5}, {*б}, {*7' *8}} > ,
Р=<{{*1, *4, *5, *б}, {*2, *3, *7, *8}}, {{*1, *4},{*2, *3}, {*5, *б}, {*7, *8}}, {{*1}, {*2, *3^*4}, {*5, *б}, {*7}, {*8}} > .
№ 3 2006
Построим аАр и аVp:
аАр=<{{*1, *4}, {*2, *3}, {*5, *е}, {*7, *8}},{{*1}, {*2}, {*3}, {*4}, {*5, *б}, {*7}, {*8}}, {{*1}, {*2}, {*3}, {*4},
{*5}, {*б}, {*7}, {*8}} > ,
а^Р=<{{*1, Хг, Х5, *4, *5, *6, *7, *2, Х3> *4}, {*5, *б}, {*7, *8}}, {{*1, *г, *3}, {*4}, {Х5> *б}, {*7, *8}} > ■
Приведенный пример показывает, что аАр и aVp в соответствии с теоремой 1.2 действительно являются 3-уровневыми схемами разбиения множества X.
Определение 1.2. Пусть заданы т-уровневые схемы разбиения а = < Я1Г..,Ят> еОт (X) и р = < З1,.,Зт > еОт (X). Схема разбиения а называется измельчением схемы разбиения Р (а < Р), если выполняются условия
Я,< З, для всех , = 1,2,.,т. (1.9)
С понятием измельчения связано важное свойство схем разбиения, которое доказывается в следующей теореме.
Теорема 1.3. Для любого т>1 семейство От (X) т-уровневых схем разбиения множества X, частично упорядоченное отношением измельчения < , образует решетку, в которой нижняя граница любых элементов а и р определяется как аАр, а верхняя граница этих элементов равна aVp.
Доказательство. Докажем сначала, что аАр является нижней границей элементов а и р. По теореме 1.2 в результате выполнения операции аАр получим некоторую схему разбиения у Теперь необходимо доказать, что у< а и у< р. Из выражений (1.7) и (1.9) следует
у< а^ЯлЗ, < Я 1 при ,= 1,2,...,т, (1.10)
у< Р^ЯлЗ, < З; при , = 1,2,.,т. (1.11)
Используя соотношение (1.1), получим Я^З, < Я 1<^>Е(Я лЗ)сЕ(Я) при , = 1,2,.,т. Поскольку Е(ЯлЗ) = E(Я|)nE(З|)cE(Я|), то ЯлЗ,< Я ^ при всех , = 1,2,.,т. Поэтому из выражения (1.10) следует, что у< а. Так как Е(Я лЗ) = Е(Я )пЕ(3 )сЕ(Я ), то ЯлЗ, < З, при всех , = 1,2,.,т. Следовательно, из выражения (1.11) получим у < р.
Кроме того, для каждой схемы разбиения у' = < Т1,...,Тт> такой, что у' < а и у' < р, имеем,
согласно определению 1.4, Т < Я ^ и Т < З, для всех , = 1,2,.,т. Отсюда получим Е(Т)сЕ(Я) и
Е(Т)сЕ(3), поэтому E(T)cE(Я|)nE(З|) = E(ЯлЗ). Следовательно, Т < ЯлЗ, для всех , = 1,2,.,т, т. е. у' < у = аАр. Таким образом, доказано, что аАр является нижней границей схем разбиения а и р.
Остается доказать, что aVp является верхней границей а и р. По теореме 1.2 в результате выполнения операции aVp получим некоторую т-уровневую схему разбиения у. Необходимо доказать, что а < у и р < у. Из выражений (1.8) и (1.9) следует
а < у^Я, < Я^З, для всех , = 1,2,.,т, (1.12)
Р < у^ З,< Яу3, для всех , = 1,2,.,т. (1.13)
Правая часть выражения (1.12) справедлива, поскольку равносильная соотношениям Е{Я)сЕ{ЯуЗ) = Е(Я/)иЕ(З/) для всех / = 1,2,.,т. Следовательно, а < у. Аналогично правая часть выражения (1.13) равносильна соотношениям Е{З)сЕ{ЯуЗ) = Е{Я)иЕ{З) для всех , = 1,2,.,т, поэтому р < у.
X 133
В. Е. Кацман
Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах
№ 3 2006
Предположим, что у' = < Т1,.,Тт> — произвольная т-уровневая схема разбиения множества X такая, что а < у' и в < у'. Тогда, по определению 1.2, Я< 7 и в/< 7 для всех I = 1,2,.,т. Следовательно, Е(Я )сЕ(Т) и Е(Б)^Е(Т), поэтому Е(Я)'иЕ(3) = Е(ЯуЗ)^Е(Т) для всех I = 1,2,.,т. Отсюда следует, что < 7 при I = 1,2,.,т, т. е. аУр = у< у'. Таким образом, аУр является верхней границей для а и р. □
На рис. 1 изображена решетка 2-уровневых схем разбиения множества Х={х1( х2, х3},
где
а = < {Ц, х2, х3}}, {{х^, х2, Х3}} > ,
а2 = < {Х Х2, Х3}}, {{х^}, {Х2, Х3}} > ,
аз = < {{^, Х2, Х3}}, {Ц, Х2}, {Х3}} > ,
а4 = < {Х Х2, Х3}}, {Ц, Х3}, {Х2}} > ,
а5 = < {X, {Х2, Х3}}, {Ц}, {Х2, Х3}} > ,
а6 = < {Х Х2}, {Х3}}, {{Х!, Х2}, {Х3}} > ,
а = < {Х Х2, Х3}}, {Х, {Х2}, {Х3}} > ,
а8 = < {Х, Х3}, {Х2}}, {{Х!, Х3}, {Х2}} > ,
а9 = < {{хг} {Х2, Х3}}, {Ц}, {Х2}, {Х3}} > ,
а10 = < {{хг Х2}, {Х3}}, {^}, {Х2}, {Х3}} > ,
а„ = < {Ц, Х3}, {Х2}}, {Ц}, {Х2}, {Х3}} > , а^ = < {Ц}, {Х2}, {Х3}}, {Ц}, {Х2}, {Х3}} > .
Рис. 1. Решетка 2-уровневых схем разбиения 3-элементного множества
Практическое значение теорем 12—1.3 заключается в том, что на их основе со схемами разбиения можно проводить различные преобразования, а также синтез новых схем разбиения, пользуясь следующими аксиомами теории решеток применительно к рассматриваемым операциям А и V над схемами разбиения:
аДа = а, аАр = рДа, аД(рДу) = (аДР)Ду аV(аДP) = а,
аVа = а, аVp = pVа, а^рУу) = да)Уу, аА(аVP) = а.
№ 3 2006
Как показано на рис. 1, в решетке т-уровневых схем разбиения множества Х={х1,., хп} имеются наименьший элемент от, который соответствует т-уровневой схеме разбиения < их1,..,хп}},..,{{х1},---,{хп}}> , и наибольший элемент 1т, соответствующий т-уровневой схеме разбиения < {Х},...,{Х} > . Для всех аеОт(Х) элементы от и 1т удовлетворяют условиям: аДгт = а, аУот = а, от < а < гт.
Можно убедится, что решетка От(Х) не является дистрибутивной, т. е. в общем случае аД(рУу)^(аДР)У(аДу), аУ(рДу)^(аУР)Д(аУу). Однако справедлива следующая импликация: а < у^аУ(РДу) < (аУР)Ду
2. Перечисление схем разбиения
Важной проблемой является оценка числа схем разбиения заданного множества. Такие оценки известны для одноуровневых разбиений множества. Например, число Стирлинга второго рода Б(п, к) определяется как число разбиений п-элементного множества на к блоков, а число Белла В (п) введено как число всех разбиений этого множества. Числа Стирлинга и Белла находят широкое применение в кибернетике. Введем число К(п, т), которое определим как число т-уровневых схем разбиения п-элементного множества. В следующей теореме сформулировано базовое свойство числа К(п, т).
Теорема 2.1. Число т-уровневых схем разбиения п-элементного множества определяется рекуррентной зависимостью
К(п,т) = £Б(п,1)К(1,т—1) при п > 0, т>1, (2.1)
/=0
К(п,0) = 1 при п>0, (2.2)
К(0, т) = 1 при т> 0. (2.3)
Доказательство. Формулы (2.2) и (2.3) очевидны. Докажем формулу (2.1). Пусть а = < Я1Г.., Ят> — произвольная т-уровневая схема разбиения множества X. Семейство От(Х) можно разбить на классы в зависимости от числа / блоков в разбиении Ят. Всего имеются Б(п, /) разбиений множества X на / блоков, каждое из которых входит в К(1, т-1) различных
схем разбиения. Группируя выделенные классы в зависимости от числа / блоков в разби-
ении Ят, получим формулу (2.1). □
Следствие. Нерекуррентное представление числа К(п, т) через числа Стирлинга второго рода определяется зависимостью
К(п,т) = £в(п,т) Е 5(/т,/т-1)...Еб^)- (2.4)
т =0 /т-1=0 /1=0
Эта зависимость непосредственно следует из выражений (2.1) и (2.2). Из выражения
(2.1) следует также, что число Белла В(п) является частным случаем числа К(п, т). Дейст-
п
вительно, при т = 1 получим К(п,1) = £Б(п,/) = В(п).
=0
Наиболее важным является следующее представление числа К(п, т) без использования числа Стирлинга.
Теорема 2.2. Число К(п, т) определяется рекуррентной зависимостью
п — 1)
К (/, т)К (п — /, т — 1)
ч / )
при п > 0, т>1, (2.5)
К(п,0) = 1 при п>0, (2.6)
п—1
К(п, т) = £
=0
В. Е. Кацман
Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах
№ 3 2006
К(0, т) = 1 при т> 0. (2.7)
Доказательство. Семейство От (Х) всех т-уровневых схем разбиения множества Х= {х1,.,хп} можно разделить на различные классы в зависимости от блока А, содержащего элемент хп. Это эквивалентно соответствует делению семейства От (X) схем разбиения на те же классы в зависимости от множества Х\/4с{х1,.,хп1}. Для каждого /'-элементного множества Х\А существуют в точности К(і, т) схем разбиения т-го уровня, а для каждого (п-/')-элементного множества А существуют К(п-і, т-1) схем разбиения (т-1)-го уровня. Число различных схем разбиения т-го уровня в зависимости от блока А определяется произведением К(і, т) К(п-і, т-і). Сгруппировав выделенные классы в
(п — 1
зависимости от множества Х\А, получим выражение (2.5). В этой формуле пред-
I і )
ставляет собой число вариантов выбора ^элементного блока из (п-1)-элементного множества Х\А. □
На основе теорем 2.1 и 2.2 можно вычислять К(п, т) в зависимости от задаваемых величин пи т. В табл. 1 представлены первые значения числа К(п, т).
Таблица 1
Число ^п, m) m-уровневых схем разбиения ^элементного множества
т
п 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 4 5 6 7 8
3 5 12 22 35 51 70 92
4 15 60 154 315 561 910 1380
5 52 358 1304 3455 7556 14 532 25 488
6 203 2471 12 915 44 590 120196 274778 558 426
7 877 19 302 146 115 660 665 2 201 856 5 995 892 14140722
8 4140 167894 1855570 11 035 095 45 592 666 148154860 406005804
В формуле (2.1) значения К(п, т) определяются через предыдущие значения К(/, т-1), / = 0,1,.,п.
Теорема 2.3. Число т-уровневых схем разбиения п-элементного множества определяется следующим выражением:
п
К (п,т) = £ э(п,/)К (/, т + 1) при п > 0, т>0, (2.8)
где Б(п, /) — числа Стирлинга первого рода.
Доказательство. Формула (2.8) следует из обращения Стирлинга
ип = £ Б(п, 1)у 1 о уп = £ э(п, / )и,. □
/=0 /=0
Среди семейства йт (X) всевозможных т-уровневых схем разбиения множества X можно выделить специальные классы. Рассмотрим, например, один из таких классов, образованный на основе следующих определений.
№ 3 2006
Определение 2.1. Разбиение И называется /-предшественником разбиения Б(И < , Б), если содержит на /-1 блоков больше, чем разбиение Б.
Определение 2.5. Схема разбиения а = < Я1,.,Ит> называется /-регулярной, если выполняются условия И < / Я/+1 для всех / = 1,2,.,т-1.
Теорема 2.4. Число К(п, т, /) /-регулярных т-уровневых схем разбиения п-элементно-го множества определяется по формуле
К(п, т, /) = Б(п, т, (/ — 1) + 1)П Б(/ + / — 1, /), (2.9)
где п > 1, т>1; 1< / < п + т—1 ,р = т (/-1)-/+2.
т
Доказательство. Рассмотрим произвольную /-регулярную схему разбиения п-элемен-тного множества. В соответствии с определениями 2.1 и 2.2 разбиение Я1 состоит из / блоков, разбиение И2 — из 2/-1 блоков и т. д. Аналогично любое разбиение И, содержит ]/-(]-1) блоков, где \ = 1,2,.,т. Поскольку число блоков любого разбиения Rj не может превышать числа п элементов множества, то при , = т получим т (/-1)+1 < п. Отсюда
следует неравенство / < п + т—1 . Число различных разбиений И п-элементного мно-
т
жества на т(/-1)+1 блоков определяется числом Стирлинга второго рода Б(п,т(/-1)+1). Для каждого разбиения Ит существуют Б(т(/-1)+1,(т-1)(/-1)+1) разбиений Ит-1 таких, что Ит < Ит1 и т. д. Для произвольного разбиения имеются Б((/+1)(/-1)+1, у(/-1)+1) разбиений И,, удовлетворяющих условию Я+ < (] = 1,2,.,т-1). Поэтому общее число К(п,т,/) т-
уровневых /-регулярных схем разбиения определяется произведением рассмотренных чисел Стирлинга:
т—1
К(п, т, /) = Б(п, т(/ — 1) +1) П Б((, +1)(/ — 1) +1,,(/ — 1) +1).
1=1
Выполнив в последнем выражении замену переменной /=у(/-1)+1, получим формулу (2.9). □
В табл. 2 представлены значения числа К(п,т,/), вычисленные по формуле (2.9) при различных значениях п, т, /.
Таблица 2
Число К(п, т, I) /-регулярных т-уровневых схем разбиения л-элементного множества
п т 1 К(п, т, 1) п т 1 К(п, т, 1) п т 1 К(п, т, 1)
0 1 0 1 5 2 2 75 7 1 1 1
1 1 1 1 5 2 3 25 7 1 2 63
2 1 1 1 5 3 1 1 7 1 3 301
2 1 2 1 5 3 2 180 7 1 4 350
3 1 1 1 5 4 1 1 7 1 5 140
3 1 2 3 5 4 2 180 7 1 6 21
3 2 1 1 6 1 1 1 7 2 1 1
3 2 2 3 6 1 2 31 7 2 2 903
4 1 1 1 6 1 3 90 7 2 3 3500
4 1 2 7 6 1 4 65 7 2 4 350
4 1 3 6 6 1 5 15 7 3 1 1
В. Е. Кацман
Метод многоуровневой декомпозиции в экономических информационных системах
№ 3 2006
Окончание табл. 2
n m I Kin, m, I) n m I Kin, m, I) n m I Kin, m, I)
4 2 1 1 6 2 1 1 7 З 2 6300
4 2 2 18 6 2 2 270 7 З З 3500
4 3 1 1 6 2 З 375 7 4 1 1
4 3 2 18 6 З 1 1 7 4 2 25200
5 1 1 1 6 З 2 1170 7 5 1 1
5 1 2 15 6 4 1 1 7 5 2 56700
5 1 З 25 6 4 2 2700 7 6 1 1
5 1 4 10 6 5 1 1 7 6 2 56700
5 2 1 1 6 5 2 2700
Формулу (2.9) можно упростить для конкретных значений /. Например, при / = 2 получим в результате преобразований 2
K(n,m,2) = (m +^l(m!)2 S(г,m +1). (2.1G)
Используя свойство чисел Стирлинга второго рода
S(!, m+1) = S(!-1, m)+(m+1) S(г-1, m+1), получим из выражения (2.10) рекуррентную зависимость
K(г, m,2) = %(m+1){mK(г-1,m-1,2)+2K(г-1,m,2)} для г>2, 1< m < г-1,
K(г,G,2) = 1 для г>1, K^,m,2) = G для всех m>г.
3. Синтез схем разбиения
Рассмотрим кратко процесс генерирования схем разбиения а = < R1,.,Rm-1 > множества X = Ц,...^}, где каждое разбиение Rt содержит некоторый набор блоков {At1,...,Atq}, t = 1,2,.,m-1. г t
По определению схемы разбиения
Ati = .U A +1, j,
j ea. j
i = 1,2,...,qt, t = 1,2,...,m-2, где о, — множество номеров блоков из разбиения Rt+1, покрывающих блок Ati. По заданной схеме разбиения a можно синтезировать все схемы разбиения в = < R1,.,Rm> уровня m такие, что а < р. Каждая схема разбиения PeDm (X) формируете следующим образом: р = < {A11........A1q1}..{Am-1, 1..Am-1, qm-1},{Am1.AmqJ > , ™е Am^P
(Am-1 j), i=2,3,...,qm,у єо,, P (Am-1 у) — множество всех разбиений блока Am-1 у . Применяя для всех aєDm-1 (X) известные алгоритмы генерирования разбиений [6,8], можно синтезировать все схемы разбиения PєDm (X).
Другая процедура синтеза схем разбиения заключается в генерировании по заданной схеме разбиения a = < R1,.,Rm > множества X таких схем разбиения у = < Tv...,Tm > множества XujxJ, что схема а получается путем удаления из у элемента хг. Три типа всех схем разбиения для заданной схемы разбиения a формируются так:
Y = < {A ,...,A,. u{x },...,A, },...,{Af1 ,...,At.u{x },...,At }.{A „...,A u{x },...,A } > ;
1 11 1i1 г 1q1 t1 tit г tqt m1 mim г mqm
ієо,-^, t = 1,2,...,m;
Y2 = < fA11,.,Л^Х,.,'^},.,'!'^,.,^У&г},.,^},-- ■,{Af+1,1,.,Af+1, q^-Wl-'-Hmi,.,Amqm^.,{Xn И > ;
о, = {1,.,qj, і,єо, , t = 1,2,...,m-1;
'a 1 ' 't-1
№ 3 2006
Уз = < и, ............{Ат, Атс1т,...,{хп}} > .
Например, по схеме разбиения а = < {{х1, х2},{х3}},{{х1},{х2},{х3}} > множества {х1, х2,х3} можно сформировать следующие у-схемы разбиения множества {х1, х2, х3, х4}:
Ун = < {{х1, х2, х4}, {хз}}, {{х1, х4}, {х2}, {хз}} > ,
712 = < {{х1, х2, х4}, {хз}}, {{х1}, {х2, х4}, {хз}} > ,
713 = < {Ц, х2}, {хз, х4», {{х1}, {х2}, {хз, х4}} > ,
721 = < {Ц, х2, х4}, {хз}}, {{х1}, {х2}, {хз}, {х4}} > ,
У22 = < {{х1, х2}, {хз, х4», {{х1}, {х2}, {хз}, Х} > ,
7з1 = < {Ц, х2}, {хз}, {х4}}, {X, {х2}, {хз}, {х4}} > ,
В соответствии с этой процедурой по исходной схеме разбиения < {{х1}} > одноэлементного множества можно последовательно синтезировать все одноуровневые схемы разбиения множеств {х1, х2},.,{х1,., хп}. Затем для каждого п>1 по ранее описанной процедуре последовательно синтезируются т-уровневые схемы разбиения (т>1).
Предложенный метод многоуровневой декомпозиции, основанный на теории комбинаторики, может использоваться для решения задач системного анализа в больших экономических информационных системах.
Введенные числа К, являющиеся обобщением чисел Белла и Стирлинга, могут найти применение для решения сложных задач детерминированными и вероятностными методами в различных областях экономики.
Основным назначением многоуровневой декомпозиции является значительное сокращение вычислительных затрат на решение задач — времени и требуемого объема памяти компьютера. Это особенно важно при проведении многократных (многовариантных) расчетов. С помощью предложенных методов могут быть, например, более эффективно с указанной точки зрения решены задачи, рассмотренные в работах [12,1з].
Литература
1. Могилевский В. Д. Методология систем. М.: Экономика, 1999.
2. Волкова В.Н., Денисов А. А. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.
3. Анфилатов В.С., Емельянов А.А, Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. М.: Финансы и статистика, 2002.
4. Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем. М.: Наука, 1975.
5. Месарович М., Мако Д., Такахара И.Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 197з.
6. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: Наука, 1981.
7. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем и ее приложения//Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1984. № 2.
8. Куратовский К., Мостовский А.Теория множеств. М.: Мир, 1970.
9. Липский В.Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
10. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
11. Кауе Я.А. GREy CoсEFoR вЕ1 РАЯ\ШопБ//№оЯтА1юп РЯооЕББпд 1ЕП, 1976. № 5.
12. Кацман В. Е. Системный подход к формированию оптимальной структуры аппарата управления организации//Сб. науч. трудов. Вып. з. М.: ММИЭИФП, 200з.
13. Кацман В. Е. Декомпозиционный алгоритм решения транспортной задачи//Автоматизация в России. М.: ЦЭНИИ, 1995.
X 139
В. Е. Кацман
