Тепловое расширение и тензор Грюнайзена слоистых кристаллов гексагональной сингонии Текст научной статьи по специальности «Физика»

= Г 2X8

(Т1-Тс)ск(У21)-(Т0-Тс)

8к(у21)

(18)

Благодаря тому, что средняя длина свободного пробега молекул превосходит размеры камеры, отношение давлений будет равно отношению коэффициентов теплоотдачи в этих двух экспериментах, обозначим это отношение £

1

а

а,

Р

1 2 2 Из (14) следует

у2

(19)

(20)

Предположим, что фоновый экран приведён в тепловой контакт с общей печью и имеет её температуру, т.е.

ТС=Т0. (21)

Тогда отношение тепловых потоков в двух экспериментах будет выглядеть следующим образом

(22)

2 Щг})

Это выражение представляет собой уравнение, из

которого находим его помощью вычисляем теп-

лопроводность из (17) с учётом (21)

X

гМТ1-т0)-

(23)

Уравнение (22) представляет собой трансцендентное уравнение, поэтому решить его можно лишь численно, например, методом дихотомии.

Таким образом, использование фонового экрана позволяет учесть тепловые потоки, обусловленные теплопроводностью атмосферы, окружающей исследуемый образец.

1 к 3

/ 5

4- 1

0__

Рис. 1. Схема измерительной установки

В данном методе исследования теплопроводности используется уравнение (9), которое записано с использованием некоторых предположений. 1. Предполагается, что температура внутри образца меняется лишь вдоль образца и не меняется в поперечном направлении. Это очевидно справедливо лишь тогда, когда плотности тепловых потоков между образцом и атмосферой гораздо меньше плотности потока внутри самого образца, что может быть достигнуто путём создания достаточно глубокого вакуума. 2. В уравнении (9) не учитываются тепло-потери на излучения, которые также могут привести в некоторых случаях к существенным погрешностям.

Вместе с тем данный метод позволяет в значительной степени снизить погрешности, обусловленные теп-лопритоками из атмосферы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочегов В.И. Методика прямого измерения теплопровод-

ности термоэлектрических материалов. Термоэлектрики и их применение. -СПб., 2004. -С.315-317.

2. Драббл Дж., Голдсмит Г. Теплопроводность полупровод-

ников. -М., 1963.

3. Физические величины: Справочник / Под ред. И. С. Гоигорь-

ева, Е.З. Мейлихова,- М.: Энергоиздат, 1991.

Т.В.Дензанова, В.И. Бочегов

Курганский государственный университет

ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ И ТЕНЗОР ГРЮНАЙЗЕНА СЛОИСТЫХ КРИСТАЛЛОВ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИНГОНИИ

Аннотация: Предложен способ расчета модовых параметров Грюнайзена и тензора теплового расширения для слоистых кристаллов гексагональной или тригональной сингонии. Вычислен тензор Грюнайзена и коэффициенты теплового расширения для самого типичного слоистого кристалла - графита.

Ключевые слова: тепловое расширение, тензор Грюнайзена, коэффициент теплового расширения

Вопрос о тепловом расширении в термодинамическом аспекте впервые был рассмотрен Грюнайзеном. Параметры Грюнайзена являются одними из важнейших характеристик динамики кристаллической решетки. Они входят в уравнение состояния, являются мерой ангармоничности сил, действующих в кристалле, отражают особенности и характер распределения частот фононного спектра и их изменения при приложении давления. С помощью параметров Грюнайзена можно связать различные термодинамические величины. Значения этих параметров определяют такие физические процессы, как тепловое расширение, теплопроводность, поглощение звука и др.

Соотношение Грюнайзена для анизотропных сред в матричном представлении записывается в виде [1]:

=

Су 6

(1)

где $^¡л' коэффициенты упругой податливости, Су

- молярная теплоемкость при постоянном объеме, V" молярный объем, ОС^ - компоненты тензора теплового расширения.

Компоненты тензора параметров Грюнайзена в этом случае выражаются соотношением:

Ух =

с

I

а,,с

V ц = 1 С,

(2)

жесткос-

где ь/цЛ - коэффициенты

ти, Ух = —^ 1-П£х)~ паРаметР. который характеризует изменение температуры Дебая с изменением деформации £^.

Тензор параметров Грюнайзена для гексагональной (тригональной) сингонии имеет две ненулевые компоненты:

У\( ) 1

У =у„=—\\с + с. _ I-а, + с. ,

1

2 С

Г.

с

2с, „сг + с ог„ ■ 13 1 33 31

Чаще всего значения У вычисляются из соотношения (3), в которое входят экспериментально определяемые величины, при этом параметры Грюнайзена являются функцией температуры. На рис. 1 приведены температурные зависимости для слоистых кристаллов СаЭ, СаЭе, 1пЭе [2].

где С- - весовой фактор (теплоемкость /-й моды). Величина весового фактора зависит от температуры, что может обусловливать сильную температурную зависимость

У-

в

анизотропном случае графита у^ будет выра

I напа-з я лтипло! 1I/ / г.л\/ ылпо^оимьл г*г\г\т

(3)

жаться через у ношением

относящееся к /-му колебанию, соот-

(5)

где у'л=-д\пу//д\п£ , - вклад в теплоемкость от /-й моды фононных колебаний, N - число атомов в кристалле. Значения у1 тоже могут быть различными.

Таким образом, непосредственный расчет^/'для

каждой моды колебаний из дисперсионных соотношений, а также определение вкладов теплоемкостей от ЗN мод, которые к тому же зависят от температуры, представляет собой трудновыполнимую задачу.

Однако, рассматривая графит как слоистую структуры, где силы межатомных связей в слоях и между слоями имеют разную природу и порядок величин, произведем замену суммирования по отдельным модам в (5) суммированием по направлению перпендикулярно слоям (вдоль тригональной оси) и вдоль плоскости слоев:

+¿с

1=1

зм

2Ж = ^С, + Гз3С

(6)

1=1

Рис.1

Детально вопрос об изменении У с температурой

был рассмотрен Бароном [2]. Он рассматривал У как

средневзвешенное из ^ , где у{ = — д\т\.У^ / -

параметр Грюнайзена для ¡-й моды фононных колебаний. При этом

ш

У = I Г С, 1С.

7 7

V

(4)

7 = 1

где С-а - вклад в теплоемкость от колебаний в плоскости слоев, С± - вклад в теплоемкость от колебаний перпендикулярно слоям. Подставив (6) в (5) и (1) и произведя несложные преобразования, получим:

а1 = А1-Сп + В1- С ±

(7)

аъ - ■ Сп + Въ ■ с ±

где

2у^и+эЬ2) + 2уХ3 (я + я ) +

А=-—77-'~Л= —

V

= 4гХз + 2А,3 в = 2г\3 + ф3

V

(8)

V

V

Коэффициенты А1, В1, А3, В3 являются температурно зависимыми, так как податливости и молярный объем являются слабыми функциями температуры. В дальнейшем будем считать, что А1, В1, А3, В3 постоянны. Однако

полученные модовые параметры Грюнайзена у1 в (8) в

любом случае не зависят от температуры, в отличие от параметров тензора Грюнайзена в (3).

200

Для того, чтобы найти коэффициенты А1, В1, А3, В3, необходимо знать температуру Дебая для каждой теплоемкости С, и Сп . Используя известные экспери

мен-

тальные значения теплоемкости при постоянном давлении и общую регрессию данных, получаем температуры

Дебая 01 =218ОКи 03 =830К.

Поскольку, как было указано выше, А{ и В{ являются функциями температуры, то невозможно принять их постоянными во всем диапазоне температур. Найдем их

в диапазоне 0/4 < Т < 0/2, где 0 - температура Дебая

поликристаллического графита (0=1600К). Воспользовавшись (7), экспериментальными данными по КТР графита [2] и регрессией данных, получим следующие значения ([А] = моль/Дж ; [В] = МОЛъ/Дж):

А} = 0.55-10 В, =-0.35 -10

-б

А3 = -0.75-10

-б

-б

В3 = 4.25-10

-6

(9)

На рис. 2 приведено сравнение экспериментальных

данных КТР и рассчитанных с помощью (7). Несмотря на расхождение ниже 400 К (что объясняется отчасти тем, что коэффициенты А и В были приняты постоянными и находились для диапазона от 400 до 800 К), теоретическая зависимость довольно хорошо совпадаете СХа, который имеет отрицательный участок в диапазоне до 650 К; совпадение

с(Х± при температуре< 400 К несколько хуже.

Подставив (9) в (8), получим следующие модовые параметры Грюнайзена:

у\ =3.34,г! =-1.90,у\ =-0.06,у1 =0.76 . (Щ

Затем, подставив (10) в (6), найдем средневзвешенные компоненты тензора Грюнайзена. Результат можно видеть на рис. 3.

Анализируя полученный график, можно заметить, что графит имеет область температур в районе 0 - 320 К,

в которой средневзвешенный параметр Грюнайзена^

имеет отрицательные значения.

Отрицательные значения имеются и в других слоистых кристаллах [2] (рис. 1).

Рис.2

Рис.3. Зависимость средневзвешенных параметров Гоюнайзена от температуры: сплошная кривая - в плоскости слоя; пунктирная кривая - перпендикулярно слоям

Как правило, модовые параметры Грюнайзена у'л = — Э 1пI/./Э 1п£ положительны. При увеличении

давления атомы в твердом теле сближаются, амплитуды их колебаний при том же значении энергии уменьшаются, частота увеличивается. Однако при выполнении специфических условий в слоистых кристаллах возможно возникновение отрицательного уи. Дело в том, что подвергнутый всестороннему растяжению слой нужно рассматривать как мембрану [3]. Растяжение мембраны ведет к увеличению частот поперечных колебаний. Этот так называемый мембранный эффект приводит к возникновению отрицательных модовых параметров

у1^ . В слоистых кристаллах плотность состояний поперечных плоскости слоя акустических колебаний (так называемых изгибных колебаний) при низких температурах велика, чему соответствует большой статистический

вес С,/С . Поскольку именно этой моде колебаний соответствуют отрицательные значения модового параметра Грюнайзена у'и, можно ожидать, что и средне-

взвешенный параметр /п принимает отрицательные значения.

При температурах выше 320 К быстро возрастает, что обусловлено ростом вклада мод с положительными значениями.

Таким образом, разбив все колебания на два типа -вдоль и перпендикулярно слоям, удалось вычислить усредненные модовые параметры Грюнайзена, по которым легко найти средневзвешенные компоненты тензора Грюнайзена, а также получить выражения для коэффициентов теплового расширения. Полученные аналитические зависимости можно использовать для решения других задач - расчета теплопроводности, поглощения звука и т. п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Barron Т. Н. К. The temperature dependence of Gruneisen constant//J. Appl. Phys., 1970, 41, N 13, - p. 5044.

2. Новикова С. И. Тепловое расширение твердых тел. - М.: 1975. - 416 с.

3. Беленький Г. П., Сулейманов Р. А., Абдуллаев Н. А., Штей-ншрабер В.Я. Тепловое расширение слоистых кристаллов. Модель Лифшица // ФТТ,- 1984,- 26,- в. 12,- С. 3560.

A.C. Парахин, В.И. Бочегов

Курганский государственный университет

ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С УЧЁТОМ ТЕПЛОПОТЕРЬ НА ИЗЛУЧЕНИЕ

Аннотация: Дан теоретический анализ влияния боковых потоков тепла, возникающих за счет излучения, при прямом измерении теплопроводности твердотельных образцов на точность этого измерения при наличии бокового фонового экрана.

Ключевые слова: теплопроводность твердых тел, боковые потоки тепла

Рассмотренный в работе [1,2] метод учёта теплопотерь пригоден лишь для низких температур, когда интенсивность теплового излучения мала. При повышении температуры плотность потока тепла, обусловленная излучением, быстро возрастает и может стать больше плотности потока тепла, обусловленного теплопроводностью. В этом случае, кроме теплопотерь, связанных с окружающей образец атмосферой, существенными будут и потери на излучение. Не учитывать их при расчёте теплопроводности уже нельзя.

В том случае, когда исследуемый образец обменивается теплом с окружающей средой и посредством теплопроводности, и посредством излучения, уравнение теплового баланса принимает вид

^ = ^(Т-Тс) + ор(аГ-аХ'). (1)

ах Xs

Здесь J7 - абсолютная температура данной точки образца с координатой X, X, (%> X' Р> & -соответственно коэффициент теплоотдачи образца, его удельная теплопроводность, площадь и периметр поперечного сечения и коэффициент поглощения, Тс,ас -температура и коэффициент поглощения фонового экрана, как показано на рис. 1. На этом рисунке цифрами обозначены следующие детали установки: 1 - общий нагреватель установки, задающий среднюю температуру образца;

2 - исследуемый образец; 3 - градиентный нагреватель; 4 - фоновый нагреватель; 5 - фоновый экран.

Рис. 1. Схема измерительной установки

Граничными условиями для данного уравнения являются значения температуры образца на нижнем и верхнем его конце

Т(0) = Т0, (2)

Т(1) = Т1. (3)

Аналитическое решение такой краевой задачи, по-видимому, не существует. Поэтому в работе это уравнение решалось численно, методом разностных схем с использованием итерационного метода.

Возможны четыре варианта экспериментальной схемы относительно температуры фонового экрана: фоновый экран приведён в тепловой контакт с общим нагревателем и имеет температуру Тд; фоновый экран приведён в контакт с фоновым нагревателем и имеет температуру 7] ; верхняя половина фонового экрана соединена с фоновым нагревателем, а нижняя - с общим, половины нагревателя не имеют между собой непосредственного теплового контакта и имеют температуры верхнего и нижнего нагревателя соответственно; наконец, последний вариант - фоновый экран имеет тепловой контакт и с нижним, и с верхним нагревателем, так что температура в нём линейно меняется от температуры горячего нагревателя до температуры холодного (если теплопроводность фонового экрана и мощность фонового нагревателя достаточно велики).

В работе в каждом из этих вариантов рассчитывались возможные погрешности в определении теплопроводности, обусловленные теплопритоками из атмосферы. Для этого выбирались близкие к реальным параметры тепловых потоков и при заданной разности температур горячего и холодного нагревателей вычислялась мощность теплового потока на верхнем торце образца. По этой мощности и разности температур, а также с использованием геометрических размеров образца рассчитывалась удельная теплопроводность

ТУ,I

Х = *т,-Т,у (4)