Теплообмен в рабочей стенке щелевого кристаллизатора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

координате при фиксированном значении г'.

Выводы. Получена аналитическая зависимость от двух координат локального углового коэффициента теплообмена излучением между концами ролика и узкой гранью сляба, учитывающая различные размеры роликовой секции. Проведены расчеты на примере роликовой секции МНЛЗ НЛМК. Установлено, что нельзя пренебрегать зависимостью углового коэффициента от осевой координаты.

Список литературы

1. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. -М.: Энергия, 1977. - 344 с.

2. Голицына Е.В. Теплообмен излучением между роликом и широкой гранью слитка // Автоматизация и энергосбережение машиностроительного производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования: Материалы 3-й Междунар. науч.-техн. конф. Т. 1. - Вологда: ВоГТУ,2007.-С. 83-88.

УДК 44.31

Н.В. Запатрина

Череповецкий военный инженерный институт радиоэлектроники Г.Н. Шестаков, C.B. Лукин, C.B. Сорокин ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет»

ТЕПЛООБМЕН В РАБОЧЕЙ СТЕНКЕ ЩЕЛЕВОГО КРИСТАЛЛИЗАТОРА

Известные расчетные зависимости [1]-[6] можно использовать лишь для вычисления термического сопротивления рабочей стенки кристаллизатора, оснащенной водоохлаждаемыми каналами, выполненными непосредственно внутри стенки. Современные машины непрерывного литья заготовок часто оборудуют щелевыми кристаллизаторами, в которых охлаждающая вода циркулирует в пазах, расположенных между медной стенкой и чугунным корпусом. В [7]- [11] получены расчетные зависимости, с помощью которых можно определять термическое сопротивление таких стенок, но для расчета температурного поля они не применимы. Целью настоящей работы является нахождение расчетных зависимостей, пригодных для расчета как температурного поля, так и для определения величины термического сопротивления рабочей стенки щелевого кристаллизатора.

Поскольку высота рабочей стенки значительно больше ее толщины, то, как правило, рассматривают теплообмен в поперечном сечении стенки. Фрагмент поперечного сечения рабочей стенки щелевого кристаллизатора показан на рис. 1.

Поверхностью 1 медная рабочая стенка контактирует с отливаемым слитком, а поверхно-

стью 3 и 4 - с охлаждающей водой. Поверхность 5 соприкасается с чугунным корпусом. На поверхностях 2 и 6 выполняется условие геометрической и тепловой симметрии, поэтому здесь теплообмен отсутствует (адиабатические поверхности). Размеры ребра: И х я. Размеры основания стенки: 5 х (5 + /) .

Теплообмен в ребрах теплообменников, как правило, рассматривают на основе решения одномерной задачи о распространении теплоты вдоль ребра, при этом в каждом сечении ребра температура считается постоянной [12]. Однако в щелевых кристаллизаторах ребра имеют достаточно

3

\

/

/

А

Рис. 1. Расчетная схема

большую толщину, поэтому решение одномерной задачи здесь неприменимо. Обозначим:

9=Г-ГВ,

где Т - текущая температура; Тв - температура охлаждающей воды, выбранной за начало отсчета. Температурное поле стенки опишется уравнением Лапласа:

Э23

+-

0.

8xz dy¿

(1)

Решение уравнения (1) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только х, а другая - только у (метод Фурье разделения переменных). Пусть

д (х, у) = ф(х) \|/(у). (6)

После подстановки (6) в (1) получим

ф"(х) \|/(у) + \|/"(у) ф(х) = 0. Откуда после разделения переменных найдем:

Ф"(х) /ф(х) = - Г'ОЖу)-

(7)

Рабочую стенку можно представить состоящей из двух элементов: основания стенки толщиной 8 и ребра. Ввиду малой толщины задачу расчета теплообмена в основании стенки считаем одномерной. Расчет температурного поля и термического сопротивления здесь не вызывает затруднений. Остановимся на расчете теплообмена в ребре длиной к и толщиной 2«.

Граничные условия:

5»

дх

I х=о =0;

д»

¥

I >=о =о;

5»

7 = 5

f

9 (х,у) \x = h = 9

0'

(2)

(3)

(4)

(5)

Левая часть уравнения (7) есть функция только х, а правая - функция только у. Если зафиксировать аргумент х и менять только у, то при любом его значении правая часть уравнения (7) равна постоянной величине, стоящей в левой части, т.е. ф"(х) /ф(х)= const. Аналогично при фиксации у и изменении х левая часть уравнения (7) для любого значения у должна равняться постоянной правой части, которая зависит только от х, т.е. \|/"(у)Л|/(у)= = const. Так как равенство (7) должно иметь место при любых значениях х и у, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим последнюю через е2. Тогда

Ф"(х) /ф(х) = - v|/"0) / \|/(у) = е2.

Отсюда получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Ф"(х) - в2 ф(х) = 0;

(9)

где х, у - текущие координаты; а - коэффициент теплоотдачи от поверхности 4 к охлаждающей воде; X - коэффициент теплопроводности материала стенки.

Уравнения (2) и (3) следуют из условия геометрической и тепловой симметрии. Уравнение (5) записано из допущения об отсутствии теплообмена между медной стенкой и чугунным корпусом. Данное допущение оправдано тем, что теплопроводность чугуна значительно меньше теплопроводности меди.

Г0) + е2у(у) = 0. (Ю)

Решения уравнений (9) и (10) имеют вид:

Ф(х) = q е® + С2 е-ы ; (11)

\|/(у) = С3 cos (е у) + С4 sin (е у). (12)

С учетом (6) общее решение уравнения (1) примет вид:

»(х,у) = (С1егх + С2 е~,£х)(С3 cos( гу)+ С4 sjn(ey)).

(3):

9' = 8 (С, С2 е-" )(-С3 -sin( гу) +

а

(13)

Решение (13) подчиним граничному условию Отсюда:

£*sin(ss) = — 'C0S(£S).

sines a s Bi

coses Xe s es

+ C4 *cos(sy)),

I y=o

as

где — = Bi - критерий Био. Я,

Параметр е найдется из характеристического уравнения:

Отсюда следует С4 = 0. Это значит, что частное решение \|/(у) = С4 эт (г у) должно быть отброшено как неудовлетворяющее заданным граничным условиям.

Тогда решение (13) примет вид:

» (х, у) = С3 хо8 (гу) ^ + С2 е"8* ). (14)

Теперь найденное промежуточное решение (14) подчиним граничному условию (2):

а; =£С3 (С, егх - С2 е~ех)соз(гуУ,

Bi

tgp= —, V-

(16)

где Ц= £ 5.

Уравнение (16) при каждом фиксированном значении В1 имеет бесчисленное множество решений.

Таким образом, общее решение уравнения (1) будет равно сумме всех частных решений.

-cos

к=1

v sj

■ch

V-k-

(17)

Для нахождения коэффициентов Ск воспользуемся граничным условием (5):

Отсюда следует С] = С2. Тогда

9 (х, у) = С' cos (£j)-ch (е х),

(15)

где 2 С, С3 = С; ch(£x)=

„гх , -ex

е +е

- гиперболи-

ческии косинус.

Решение (15) подчиним граничному условию (4):

У I = - - S I

"у I y=s ^ u I y=s'

Oi

—E'C'sin (s 5)'ch (e x) =--C- cos (e s) ch (£ x);

X

90 = ZQ-c h

A=1

Г K\

•COS

v s j ^ sj

(18)

Поскольку функция = const, то она удовлетворяет условиям Дирихле и ее можно разложить в ряд Фурье. Умножим обе части равенства (18) на

\

У

и проинтегрируем в пределах от s до s:

cos |1

»0 J

COS

/ N

s

dy =

v ° /

00 f j \ s

= Xc*-Ch icos

k = 1 V s J _s

r \

У

И-А

V

COS

v Sj

dy.

(19) 85

При значении к, не равном п, интеграл в правой части уравнения (19) будет равен 0. Тогда:

( \ 2 jcos [ dy =

= 2 • ch

J'

v s J о

f ,Л

COS

Vk

У

dy . (20)

V J У

Найдем интегралы в левой и правой частях уравнения(20):

А

ch

V 5

' ( УЛ V-k- -cos "

sj

V-k

V Sj

, (21)

где

Dk = sin \ik /(pA: + sin \xk cos \ik).

Коэффициенты в (21) найдутся из характеристического уравнения (16). Из (21), в частности, получим: - температура в середине ребра:

/,= icos \ik- dy =--sin\ík ;

J 1 5) H

y | 1 [ [

/2 = Jcos2 -dy=-J 1 + cos 2\ik

V J J

' У^

dy

v Л j j

Db

f гЛ

ch

ch

Iч-

, (22)

- температура на поверхности канала:

Í + —--sin^) . 2П

Л -r sinp¿cospAA

1 + -

V-k

_s pA+smpfc-cospA 2 M'A

Подставим I\ и I2 в равенство (20):

Г гЛ

V--sin \ik=Ck- ch

Wfc

Dy

■ch

ch

(V

Wfc-s

V У

cos(p¿), (23)

- температура в зоне контакта медной стенки с чугунным корпусом:

9(х,7)=290 X

А-

4=1 ch

cos

м*-

Vk-

. (24)

S Hfc+SHIH* -cosp¿

и

Си

20л

sinp*

/

ch

+sinp¿-cosp*

Подставляя Ск в формулу (17), получим окончательную расчетную зависимость, описывающую температурное поле в ребре рабочей стенки щелевого кристаллизатора:

$(х,у) =

Полученные расчетные зависимости (21)-(24) позволяют определять температуру в любой точке ребра рабочей стенки щелевого кристаллизатора.

Плотность теплового потока определяется законом Фурье:

q = -X

дп

где п - текущая координата. Из (21) получим:

- плотность теплового потока в ребре рабочей стенки кристаллизатора в направлении х:

Ч (х, У) =

*=1 сЬ

Iч-

•соэ

V Л;

М-А"

(25)

в частности, плотность теплового потока в основании ребра:

Для определения средней плотности теплового потока в основании ребра функцию (26) необходимо проинтегрировать на отрезке от 0 до 5 и разделить на длину этого отрезка я:

к= 1 сЬ

V 5

У

(30)

Я (К у) =

сЬ

IЧ-

Г / \ У

кк- • сое Iч-

1 ч 1 ч

V л у

(26)

- плотность теплового потока в направлении у: Ф,У) =

I

к=1 сЬ

а ¿л

М-а

сЬ

У

(27)

V у

в частности, плотность теплового потока на поверхности канала:

Линейная плотность теплового потока в основании ребра (Вт/м) определится выражением, полученным из (30):

Ч1р{Щ = -2Х\ £

А

/ гЛ

/£ = 1 сЬ

к IЧ~

V Ч

эЬ

к

Ик~

V Ч

(31)

Из (31) получим формулу для расчета линейного термического сопротивления ребра рабочей стенки кристаллизатора:

к-л сЬ

А

V Ч

эЬ

ц*-

V «У

• эт \хк.

(32)

9Сг,5) = 2А.во X —^^сЬ

* = 1 сЬ

IV

Р-к-

V У

■втСц*). (28)

Максимального значения тепловой поток достигает у основания стенки:

Ч{Кз) = 2Х а0 I; (29)

А=1 5

Полученные расчетные зависимости (25)-(29) позволяют определять величины плотностей тепловых потоков в любой точке ребра рабочей стенки щелевого кристаллизатора.

Суммарное линейное термическое сопротивление рабочей стенки в зоне ребра с учетом (32) составит:

Д//7= ЫХ-з

—1/2 Л- £

Л

к=1 сЬ

эЬ

•81П|ДА. (33)

V лУ

Тогда линейная плотность теплового потока в зоне ребра составит:

Я1р ~ »011'

(34)

где &01 - разность температур рабочей поверхно-

сти стенки (поверхность 1) и охлаждающей воды:

$01 = т\ ~ тв •

Линейная плотность теплового потока в зоне за пределами ребра:

д,о = &01 Я-//5. (35)

Линейная плотность теплового потока рабочей стенки с учетом (34) и (35):

= (41Р+Чю) т (36)

где т - количество ребер в стенке.

Для определения суммарного теплового потока в рабочей стенке кристаллизатора уравнение (36) необходимо проинтегрировать по высоте кристаллизатора. Температура Т\ в зоне соприкосновения основания стенки с ребром может быть найдена путем совместного решения уравнений (26) и (34).

Таким образом, разработана методика расчета температурных полей, тепловых потоков и термических сопротивлений в рабочей стенке щелевого кристаллизатора.

Список литературы

1. Шестаков Н.И. Расчет термического сопротивления рабочей стенки кристаллизатора с цилиндрическими водо-охлаждаемыми каналами // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1990. - № 3. - С. 70-72.

2. Шестаков Н.И., Макаров А.П., Иванов Ю.И. Теплообмен в рабочей стенке кристаллизатора машины непрерывного литья заготовок // Изв. вузов. Черная металлургия. -1991.-№11.-С. 27-29.

3. Шестаков Н.И., Егоров В.П., Летавин М.И. и др. Термическое сопротивление рабочей стенки кристаллизатора с водоохлаждаемыми каналами произвольной формы

// Проблемы машиностроения и надежности машин. -1992. - № 1.-С. 66-70.

4. Шестаков Н.И., Запатрина Н.В., Сорокин A.M. и др. Термическое сопротивление рабочей стенки кристаллизатора с сегментными водоохлаждаемыми каналами // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1992. -№ 3. - С. 73-75.

5. Запатрина Н.В., Шестаков Н.И. Исследование влияния конструктивных параметров рабочей стенки кристаллизатора на ее термическое сопротивление // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1996. - № 4. -С. 73-77.

6. Шестаков Н.И. Тепловые процессы при непрерывной разливке стали. - М.: Черметинформация, 1992. -286 с.

7. Калягин Ю.А., Шестаков Н.И., Манько О.В., Лукин C.B. Расчет теплообмена в рабочей стенке щелевого кристаллизатора и оценка влияния его конструктивных параметров на величину термического сопротивления рабочей стенки // Заготовительные производства в машиностроении. - 2004. - № 2. - С. 38-40.

8. Шестаков Н.И, Калягин Ю.А., Манько О.В., Лукин C.B. Теплообмен в рабочей стенке щелевого кристаллизатора машины непрерывного литья заготовок // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2004. -№ 3. - С. 78-81.

9. Калягин Ю.А., Шестаков Н.И., Манько О.В., Лукин C.B. Исследование теплообмена в кристаллизаторе МНЛЗ с круглыми щелевыми каналами// Заготовительные производства в машиностроении (кузнечно-штамповочное, литейное и другие производства). - 2004. - № 3. - С. 25-28.

10. Шестаков Н.И, Калягин Ю.А., Манько О. В. Математическое моделирование теплообмена в непрерывноот-ливаемом слитке. - Череповец: ЧГУ, 2003. - 131 с.

11. Шестаков Н.И, Лукин C.B., Аншелес В.Р. Совершенствование системы охлаждения машины непрерывной разливки стали. - Череповец: ЧГУ, 2003. - 100 с.

12. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел A.C. Теплопередача. - М. : Энергоиздат, 1981. - 416 с.

УДК 621.74.08

C.B. Сорокин, Н.И. Шестаков, C.B. Лукин ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет»

КОНТРОЛЬ ТЕПЛОСЪЕМА В КРИСТАЛЛИЗАТОРЕ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ МАШИНЫ НЕПРЕРЫВНОГО ЛИТЬЯ ЗАГОТОВОК

Процессы теплообмена в кристаллизаторе решающим образом влияют на начало формирования твердой оболочки непрерывного слитка в кристаллизаторе, на возможность возникновения различных дефектов и на получающуюся внутрен-

нюю структуру металла в зоне вторичного охлаждения.

Актуальной задачей является непрерывный контроль процесса охлаждения слитка в зоне кристаллизатора, направленный на обеспечение оп-