CC BY
884
УДК 519.2:303.732.4
ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ - ЧАСТЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Орлов Александр Иванович д.э.н., д.т.н., к.ф.-м.н., профессор
Московский государственный технический университет нм. Н.Э. Баумана, Россия, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5, рго/-ог1оу(сйта)1.ги
Одно из принципиальных положений системной нечеткой интервальной математики - утверждение о том, что теория нечетких множеств является частью теории случайных множеств, тем самым -частью теории вероятностей. Статья посвящена обоснованию этого утверждения. Доказан ряд теорем, показывающих, что нечеткие множества и результаты операций над ними можно рассматривать как проекции случайных множеств и результатов соответствующих операций над ними
Ключевые слова: НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ, АЛГЕБРА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
ПРОЕКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВА
UDC 519.2:303.732.4
FUZZY SETS THEORY AS THE PART OF PROBABILITY THEORY
Orlov Alexander Ivanovich
Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci.,
professor
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
One of the key provisions of the system fuzzy interval mathematics - the claim that the theory of fuzzy sets is the part of the theory of random sets, thus, part of the probability theory. The article is devoted to the justification of this statement. Proved number of theorems that show that the fuzzy sets and the results of operations on them can be viewed as the projections of random sets and the results of the corresponding operations on them
Keywords: FUZZY SETS, MEMBERSHIP FUNCTION, AFGEBRA OF FUZZY SETS, PROBABIFITY THEORY, RANDOM SETS, PROBABIFITY DISTRIBUTION, RANDOM SET PROJECTION
В статье [1] сформулированы основные идеи системной нечеткой интервальной математики. Разработка этого перспективного направления теоретической и вычислительной математики поддержано специалистами, в частности, на всероссийской конференции «Философия математики - 2013» [2]. Одно из принципиальных положений статьи [1] состоит в том, что теорию нечетких множеств можно рассматривать как часть теории случайных множеств, тем самым -как часть теории вероятностей. А именно, нечеткие множества можно рассматривать как проекции случайных множеств, подобно тому, как за функциями распределения видны случайные величины, порождающие эти функции распределения. В настоящей статье это принципиальное положение развернуто в виде цепочки теорем. Хотя в настоящее время при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные, их внутренне единство заслуживает обсуждения и применения.
1. Нечеткие множества
В 1965 г. в журнале «Информация и управление» появилась статья Лотфи А. Заде, профессора информатики Калифорнийского Университета в Беркли, специалиста по теории управления сложными системами [3]. Она называлась непривычно: «Fuzzy Sets». Второе слово этого названия переводится с английского языка привычным математическим термином «множества», а вот первое никогда до тех пор в кибернетической литературе не использовалось. Согласно словарю, «fuzz»
- пух, пушинка, «fuzzy» - пушистый. На русский язык термин «fuzzy» переводят по-разному: нечеткий, размытый, расплывчатый, реже - туманный, пушистый и т.п.
Чтобы определить нечеткое множество, надо сначала задать совокупность всех тех элементов, для которых имеет смысл говорить о мере их принадлежности рассматриваемому нечеткому множеству. Эта совокупность называется универсальным множеством. Например, для числа зерен «кучи» - это множество натуральных чисел, для описания видимых человеческим глазом цветов - отрезок шкалы электромагнитных волн, соответствующий видимому свету.
Пусть А - некоторое универсальное множество. Подмножество В множества^ характеризуется своей характеристической функцией
|Дв(х) = <
1, xgB, 0, х<£В.
(1)
Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество
С множества А характеризуется своей функцией принадлежности ^ Значение функции принадлежности в точке х показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х - она одновременно и входит, и не
входит в нечеткое множество С. За вхождение - шансов, за второе - (1- ^(х)) шансов.
Если функция принадлежности ^с(х) имеет вид (1) при некотором В, то С есть обычное (четкое) подмножество А Таким образом, теория нечетких множество является не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества - частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако ниже увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.
Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин «нечеткое подмножество» предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.
Теория нечеткости является обобщением интервальной математики, в которой для описания реальных объектов вместо чисел используются интервалы. Действительно, функция принадлежности
М*) = <
1, хе[а,6],
0, х £ [а, Ъ]
задает интервальную неопределенность - про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [а, Ь]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.
Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. Основные
определения, алгоритмы расчетов и выражающие их свойства теоремы приведены ниже. Рассуждения древнегреческих философов, Пуанкаре и Бореля (подробнее см. [1]) обосновывают методологию теорию нечеткости, но как математическая дисциплина она началась с работы Заде. За десятилетия, прошедшие с появления статьи [3], «пушистой» тематике посвящены тысячи статей и книг. Выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Появилось новое направление в прикладной математике - теория нечеткости. Выходят международные научные журналы, проводятся конференции, в том числе и в нашей стране. В нашей стране концепция Заде активно обсуждалась еще в 60-е и 70-е гг., однако первая книга российского автора по теории нечеткости вышла лишь в 1980 г. [4].
Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами. Нет необходимости связывать теорию нечеткости только с гуманистическими системами.
Л.А. Заде использовал термины «теория нечетких множеств» и «нечеткая логика». Мы предпочитаем говорить о теории нечеткости. Термин «нечеткая логика» не является синонимом к термину «теория нечеткости», поскольку логика -это наука о мышлении человека, а теория нечеткости применяется не только для моделирования мышления. Нечеткая логика - это часть теории нечеткости.
Аппарат теории нечеткости довольно громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть Си/)- два нечетких подмножества универсального множества А с
функциями принадлежности ^с(х)и М^(х) соответственно. Пересечением (' ^1!), произведением СИ, объединением сотрицанием С, суммой С+И называются нечеткие подмножества А с функциями принадлежности
^спо(х) = т1П&с(х)^о(х)), Нсо(х) = Нс(х)Но(х), Нс(х) = 1~11с(х),
Исио(х) = тах(Ис(х)’^о(х))’ ^с+о(х) = Мх)+^о(х)-Мх)МхХ хеЛ
соответственно.
Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.
В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества 7.
Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами де Моргана называются следующие тождества алгебры множеств
лив = лпв, лпв = лив. ^
Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества
~Шв = ^в, А^В = ^[}В, ^
А + В = АВ, АВ =А + В. ^
Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке (как это сделано ниже при доказательстве теоремы 2) справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.
Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции
Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года отрицания.
Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства
операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, А + АфА> за
исключением случая, когда А - «четкое» множество (т.е. функция принадлежности
принимает только значения 0 и 1).
Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что «не всегда». Внесем полную ясность.
Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С
лп(яис) = (лпя)11(лпс).
В то же время равенство
А(В + С) = АВ + АС ф
справедливо тогда и только тогда, когда при всех у е г
(Иа (у) - (У))Рв ООис (у) = °-Доказательство. Фиксируем произвольный элемент у е ^. Для сокращения
записи обозначим а ~ ^а(у)’Ь - цв(у)’с - №с(у)- для доказательства тождества (5) необходимо показать, что
шт(а, тах( Ъ, с)) = тах(тт( а, Ь), тш(а, с)).
Рассмотрим различные упорядочения трех чисел а, Ь, с. Пусть сначала
а<Ъ<с. Тогда левая часть соотношения (7) есть ™т(а,с) = а, а правая тах(а>а) = а, т.е. равенство (7) справедливо.
Пусть Ъ<а<с. Тогда в соотношении (7) слева стоит т1п(а>с) = а> а справа тах(Ъ, а) = а, Т е соотношение (7) опять является равенством.
Если Ь<с<а, т0 в соотношении (7) слева стоит ™т(а,с) = с, а справа тах(Ь,с) = с, Т е 0^е части снова совпадают.
Три остальные упорядочения чисел а, Ь, с разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа Ь и с входят симметрично. Тождество (5) доказано.
Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами
11л(в+с) (у) = а(Ь + с~ Ьс) = аЪ + ас- аЪс
И
М*лв+лс (у) = аЪ + ас - (аЬ)(ас) = аЪ + ас -а2Ъс.
2 т _ 7
Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда а ~ ’ что и
требовалось доказать.
Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность
всех точек У е ¥, для которых ^ (у) > 0
Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда А - «четкое» (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.
Доказательство. По условию ^в(у)^-с(у) ф 0 ПрИ всех у е У хогда из теоремы
2 следует, что Ра(у)~11а(у) = ®’ т.е. ^а(у) = ^ или чт0 и означает, что А -
четкое множество.
2. Теория нечеткости как часть теории случайных множеств
Что такое случайное множество? Начнем с понятия случайной величины. Это величина, зависящая от случая, т.е. функция от элементарного исхода (события). Скажем, результат наблюдения, зависящий от случайных привходящих факторов. А случайное множество - это множество, зависящее от случая. Другими словами, функция, область определения которой - пространство элементарных событий, а область значений - совокупность множеств, например, совокупность всех подмножеств некоторого конкретного множества.
Случайные множества используются во многих прикладных задачах [5]. В монографиях [6, 7] случайные множества использовались для моделирования распространения лесных пожаров. Пусть пожар начался с загорания в определенной точке. В следующий момент времени загорятся некоторые из соседних точек. А
некоторые не загорятся. Через час огнем будет охвачено некоторое множество. Форма пожара будет описываться случайным множеством, зависящим от времени.
От чего зависит форма пожара? Конечно, от того, как «устроен» лес - какие в нем породы деревьев, сколько сухостоя, есть ли естественные преграды для огня (ручьи, овраги), а также от метеорологических условий - куда дует ветер, сколько осадков выпало за последнее время, какова температура воздуха... Все эти условия неизвестны в точности наблюдателю на самолете. Поэтому для него вполне естественно моделировать распространение пожара с помощью теории вероятностей. Эти модели, разработанные на основе теории случайных множеств, находят применение в лесном хозяйстве [6, 7].
Теория нечетких множеств сводится к теории случайных множеств с помощью понятия «проекция случайного множества». С каждым случайным множеством можно связать некоторую функцию - вероятность того, что элемент принадлежит множеству. Эта функция обладает всеми свойствами функции принадлежности нечеткого множества. Соответствующее нечеткое множество и называют проекцией исходного случайного множества. Оказывается, верно и обратное - для любого размытого множества можно подобрать случайное множество так, что вероятность принадлежности элемента случайному множеству всюду совпадает с функцией принадлежности заданного размытого множества. Подобное соответствие можно установить так, что результаты операций над множествами тоже будут соответствовать друг другу.
Есть все основания полагать, что связь между размытостью и вероятностью позволит применить в теории нечеткости методы и результаты, накопленные в теории случайных множеств. И наоборот, даст возможность перенести понятия и постановки задач из первой теории во вторую, что послужит прогрессу в обеих.
Почему же специалисты по нечетким множествам порою «открещиваются» от теории вероятностей? Одна из причин - устаревшее на три четверти века представление о математике случая, согласно которой она рассматривается как «наука о массовых явлениях»: вероятность мыслится как предел частоты, а
случайное событие - как то, которое может произойти, а может не произойти. Всё это - отголоски далекого прошлого, когда теория вероятностей недостаточно отделялась от ее приложений. Ныне она опирается на четкую систему аксиом, обычно - на аксиоматику А.Н. Колмогорова. В 1933 г. им опубликована основополагающая монография [8], заложившая научные основы современной теории вероятностей. Теоремы в ней доказываются точно так же, как и в любом другом разделе математики, без всяких ссылок на свойства реального мира. Ее выводы могут применяться при анализе весьма различных реальных явлений - как массовых, так и таких, где нет и речи о массовости и частоте. Именно таковы многие расплывчатости, «нечастотную» природу которых специалисты по нечетким множествам зачастую рассматривают как причину несводимости к понятиям теории вероятностей.
Разберем подробнее связи между теорией нечеткости и теорией случайных множеств.
Нечеткие множества как проекции случайных множеств. С самого начала появления современной теории нечеткости в 60-е гг. началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма Л' значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на £ (при £ ^ 0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого «примитивного» сведения, поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом
преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности АГ\В,Аив,А + В,АВ усхановихь Это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.
В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [4, 5]). Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. И с арифметикой не лучше. Итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: «Арифметика применима тогда, когда она применима» (см. его монографию [9, с.21-22]).
При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к
теории числовой системы К2 - см., например, монографию [10]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма
сильно различаются.
Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными. Рассмотрим метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.
Определение 2. Пусть А = А(&) . случайное подмножество конечного
множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается Ргоу А, если
Дв (у) = Р(у е А)
при всех У е Г-
Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (8) нечеткое множество В = Ргоу А. Оказывается, верно и обратное.
Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = Ргоу А.
Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А Пусть У\ - носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно
считать, что ^ “ {У\’Уп---->Ут} ПрИ некотором т и элементы У\ занумерованы в таком порядке, что
0 < ^в(Уг) ^ Ыу2) ^ ^ МзО-
Введем множества
Д1) = ^,^(2) = {у2,...,ут},...,Г(0 = {у„...,ут},...,¥(т) = {ут}.
Положим
Р(А = 7(1)) = цв(у1\ Р(А = 7(2)) = цв(у2) -\1в(ух),...,
Р(А = 7(0) = }лв(у,) - }лв(у,_г),...,Р(А = ¥(т)) = цв(ут)-цв(ут_х),
Р(А = 0) = 1-цв(ут).
Для всех остальных подмножеств X множества У положим Р(А=Х)=0. Поскольку элемент у{ входит во множества 7(1), 7(2),..., 7(?) и не входит во множества
Y(t+1),..., Y(m), то из приведенных выше формул следует, что^^ И'вО'Д Если
У £ ?1, Хо5 очевидно, р(у е ^) = 0 Теорема 3 доказана.
Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из [11], полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.
Теорема 4. Для случайного подмножества А множества У из конечного числа элементов наборы чисел
Р(А = 1),1с7, и Р(Х сДХс Y,
выражаются один через другой.
Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:
Р(Х с А) = Тр(А = Х).
Х':ХСХ'
Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой
Р(А = Х) = Р(Х^А)-^Р{Х\J{y}^A) + '£P(X\J{y1,y2}^A)-...±P(Y с А).
В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества Y\X, во второй
сумме переменные суммирования у\ и у2 не совпадают и также пробегают это
множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает
доказательство теоремы 4.
В соответствии с теоремой 4 случайное множество А можно характеризовать
не только распределением, но и набором чисел р^х — ^х ^ Y. g этом наборе
Р(0 ^А) = 1, а друГИХ связей типа равенств нет. В этот набор входят числа
Р{{у} ^ А) = Р(у е А), следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = CardiY) параметров из (2/i-1) параметров, задающих распределение случайного множества А в общем случае. (Здесь символом CardiY) обозначено число элементов множества Y.)
Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года Будет полезна следующая теорема.
Теорема 5. Если Ргоу А = В, то Ргоу' А = В.
Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств = Х) = Р(А = X), формулой ддЯ вероятности накрытия
Р(уе А) ^ определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех Р(А=Х) равна 1. Под формулой для вероятности накрытия имеется в виду следующее утверждение: чтобы найти вероятность накрытия фиксированного элемента ц случайным подмножеством £ конечного множества О, достаточно вычислить
Р(д е 5) = Р({ю : Ч е 5(0))}) = £Р(Я = А),
А:дЕА,А с2е
где суммирование идет по всем подмножествам^ множества Q, содержащим ц.
Пересечения и произведения нечетких и случайных множеств. Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1) и теоремы 5 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.
Теорема 6. Если случайные подмножества А\ и А2 конечного множества У
независимы, то нечеткое множество п А2) является произведением нечетких
множеств Ргоу' А\ и Ргоу' А2.
Доказательство. Надо показать, что для любого у е г
Р(у &А1слА1) = Р(у& А!)Р(у еА2). (9)
По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством (см. выше)
Р(у е 4 п А2)= £ Р((А1 п А2) = X).
Х-.у^Х (Ю)
Легко проверить, что распределение пересечения случайных множеств 4 г' ^2 можно выразить через их совместное распределение следующим образом:
Р(А,г,А1=Х) = X Р(А,=Х,,А2=Х2)
Х1,Х2:Х1пХ2=Х /-ТТЛ
Из соотношений (10) и (11) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы
Р(У£.4,Г,.1)= X X Р(А=Х1,А1= X,).
Х:уеХ Х1,Х2:Х1пХ2=Х (12)
Заметим теперь, что правую часть формулы (12) можно переписать следующим образом:
X Р(А,=Х,,А2=Х2)
Х^ ,Х2 '.в^Х^ ,в(=Х2 (13)
Действительно, формула (12) отличается от формулы (13) лишь тем, что в ней
X гл X
сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования 1 2
принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (12) и (13) вытекает равенство
Г лг Л
р(у е Л ^а2) =
\КХ2'-У^Х2 )
Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством.
Определение 3. Носителем случайного множества С называется совокупность
всех тех элементов У ддЯ которых Р(у е О >
Теорема 7. Равенство
РгоI (А ПЛ) = (рщ 4)п(Рщ Л2) верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств Ахп\А2 и Д с^А2 дусто.
Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых
Р(у еА1г^А2) = тт( Р(у е А1), Р(у е А2)). ^
Положим
Р\ =Р(уеА1 пА2),р2 = Р(у е Ах глА2\ръ = Р(у е Ах глА2).
Тогда равенство (14) сводится к условию
рх =тт{рг +р2,рх +р3).
Ясно, что соотношение (15) выполнено тогда и только тогда, когда р2рз=® при всех
уеУ, те не сущесхвуех ни одного элемента у°е^ такого, что одновременно
Р(у0 ^ А\ глА2)>0 и Р(у0 е Аг пА2) > 0 ^ а это эквивалентНо пустоте пересечения
носителей случайных множеств А п А и ^ . Теорема 7 доказана.
Сведение последовательности операций над нечеткими множествами к последовательности операций над случайными множествами. Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Изучение этих связей [4, 5] началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата нечетких множеств Л.А. Заде. Дело в том, что математический аппарат нечетких множеств не позволяет в должной мере учитывать различные варианты зависимости между понятиями (объектами), моделируемыми с его помощью, не является достаточно гибким. Так, для описания «общей части» двух нечетких множеств есть лишь две операции - произведение и пересечение. Если применяется первая из них, то фактически предполагается, что множества ведут себя как проекции независимых случайных множеств (см. выше теорему 6). Операция пересечения также накладывает вполне определенные ограничения на вид зависимости между множествами (см. выше теорему 7), причем в этом случае найдены даже необходимые и достаточные условия. Желательно иметь более широкие возможности для моделирования зависимости между множествами (понятиями, объектами). Использование математического аппарата случайных множеств предоставляет такие возможности.
Цель сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств - за любой конструкцией из нечетких множеств увидеть конструкцию из случайных множеств, определяющую свойства первой, аналогично тому, как за плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. Приведем результаты по сведению алгебры нечетких множеств к алгебре случайных множеств.
Определение 4. Вероятностное пространство {О, О, Р) назовем делимым, если для любого измеримого множества и любого положительного числа а ,
меньшего Р(Х), можно указать измеримое множество 7 с X такое, что =а
Пример. Пусть ^ - единичный куб конечномерного линейного пространства, О есть сигма-алгебра борелевских множеств, а Р - мера Лебега. Тогда {О, С, Р} -делимое вероятностное пространство.
Таким образом, делимое вероятностное пространство - это не экзотика. Обычный куб является примером такого пространства.
Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами. Они основаны на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара X тело
объема а < отделяется соответствующей плоскостью).
Теорема 8. Пусть даны случайное множество А на делимом вероятностном пространстве {О, С, Р} со значениями во множестве всех подмножеств множества 7 из конечного числа элементов, и нечеткое множество О на 7. Тогда существуют случайные множества С\, Сг, Сз, С4 на том же вероятностном пространстве такие, что
Рщ (АглС1) = ВглР, Рго](АглС2) = ВВ, ?пу-(^иС3) = 2?иД рщ (АиС4) = 5 +Д рщ Сг = Д / = 1,2,3,4,
где В = Рщ А.
Доказательство. В силу справедливости законов де Моргана для нечетких (см. теорему 1 выше) и для случайных множеств, а также теоремы 5 выше (об отрицаниях) достаточно доказать существование случайных множеств С\ и С2.
Рассмотрим распределение вероятностей во множестве всех подмножеств множества 7, соответствующее случайному множеству С такому, что Рщ С = В
(оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество Сг с указанным
распределением, независимое от А Тогда рГ(у(Ап1С2) = ВБ п0 хе0реме 6
Перейдем к построению случайного множества С\. По теореме 7 необходимо
и достаточно определить случайное множество так, чтобы Рго}С\ = В и
пересечение носителей случайных множеств А П'С\ И Лг')( \ было пусто, т.е.
Ръ = Р(у е А п Сх) = 0
для у е 71 = {у ■ Рв(у) ^ Ни О)} и
Р2 =Р(уеАглС1) = 0
для у^г2={у- Ив(У) ^ М>0}.
Построим ^ (ю), исходя из заданного случайного множества )• Пусть У\ Исключим элемент у\ из для стольких элементарных событий ю , чтобы
для полученного случайного множества А (ю) было справедливо равенство
Р(Уг ^А) = ^о(У1)
(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором
задано случайное множество ). Для У ф У\ ^ очевидно,
Р(уеА1) = Р(у<=А).
Аналогичным образом последовательно исключаем у из ) для всех У2 и
добавляем у в ^со) для всех У е ^ , меняя на каждом шагу р^у е А) только для у ~ так, чтобы
Р(Уг ^ А ) =М.Уг )
(ясно, что при рассмотрении ^ е гл ^ случайное множество АХ&) не меняется).
Перебрав все элементы 7, получим случайное множество А (®) - (ю) ^ для
которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.
Основной результат о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств дается следующей теоремой.
ООО о
Теорема 9. Пусть 15 25 35 ’ ' - некоторые нечеткие подмножества
множества 7 из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций
Вт ={{...{{В1оВ2)оВъ)о..)оВт_1)оВт, т= 1,2,...,Г, где ° - символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведение, объединение, сумма (на разных местах могут стоять разные символы). Тогда существуют случайные А А А А
подмножества 15 25 35 ’ 1 того же множества У такие, что
Рго') =В*’ г = !’2’• • • ’
и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями
Рщ{((...((А1®А2)®А3)®...)®Ат_1)®Ат} = Вт, т 1.2./.
где знак ® означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения ^ случайных множеств, если в определении Вт стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения ^ случайных множеств, если в Вт стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.
Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если
В5=(((В1+В2)пВ3)В4)иВ5,
ТО
(((А ®А)®А)®А)®А=(((А ^А)^А)^А)^А-
Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для нечетких множеств, вообще говоря, (В + В }В Ф в в + в в
^ 1 2' 3 1 3 2 3 ? Дело в том, что хотя в соответствии с теоремой 9 для любых
трех нечетких множеств В\, В2 и Вт, можно указать три случайных множества^!, Л2 и Аз такие, что
Рщ{А') = В" г = 1,2’3’ рщ(А^А) = в\+в2. рщ((А'иА)п'А) = в3 ^
Научный журнал КубГАУ, №92(08), 2013 года где
В3 = (В, +В2)В3,
но при этом, вообще говоря,
РГОу (А ° А) ф ад и, кроме случаев, указанных в теореме 2,
Ргсу ^ А) ^ А) ^ ад В2Вз-
Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При ? = 1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество А\, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества А2, А^, ..., А( строим по индукции с помощью теоремы Теорема 9 доказана.
Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении Вт используются отрицания, точнее, кроме Вт ранее введенного вида используются также последовательности результатов
теоретико-множественных операций, очередной шаг в которых имеет вид
тут пт-1 73 Т) т ту т—\ тл пи пт-1 о
1 — ° ^т •> 2 ° *>т •> ~ & ° Чт.
А именно, сначала при помощи законов де Моргана (теорема 1 выше) проводится преобразование, в результате которого в последовательности Вт остаются только
ООО о
отрицания отдельных подмножеств из совокупности 15 25 3’ ’ % а затем с помощью теоремы 5 вообще удается избавиться от отрицаний и вернуться к условиям теоремы 9.
Итак, в настоящем разделе описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 70-х годов, начиная с работы [12]. Через несколько лет, а именно, в начале 80-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом.
Одна из работ [13] носит примечательное название «Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств».
В эконометрике и прикладной статистике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении функций принадлежности по опытным данным и т.д., при этом оказались полезными общие подходы статистики объектов нечисловой природы [11]. Методологические и прикладные вопросы теории нечеткости широко обсуждаются в литературе. Приведем пример.
3. Нечеткий экспертный выбор в контроллинге инноваций
Обсудим одно применение экспертных технологий, разработанных на основе теории нечеткости.
В настоящее время активно разрабатывается подход к управлению инновационными проектами, основанный на методологии контроллинга. Одной из главных причин возникновения и внедрения концепции контроллинга для разработки инноваций на промышленных предприятиях стала необходимость в системной интеграции различных аспектов управления инновационными проектами. Контроллинг обеспечивает методическую и инструментальную базу для поддержки основных функций менеджмента: планирования, учета, контроля и анализа, а также оценки ситуаций для принятия управленческих решений [14].
Этапы контроллинга инноваций. Согласно [15], контроллинг инноваций включает в себя:
- оценку реализуемости проекта;
- информационную поддержку планирования разработки инновационного проекта;
информационную поддержку контроля над осуществлением http://ej.kubagro.ru/2013/08/pdf/39.pdf
инновационного проекта;
- информационную поддержку функции анализа.
На первом этапе контроллеру проекта необходимо ответить на вопрос: достигнет ли предприятие поставленных перед ним целей, если приступит к реализации проекта. Цели проекта - как и цели самого предприятия, должны иметь ясный смысл, результаты, полученные при достижении цели, должны быть измеримы, а заданные ограничения (по времени, рамкам бюджета, выделенным ресурсам и качеству получаемых результатов) выполнимы. Если при реализации проекта общефирменные цели не достигаются, то подразделение контроллинга вырабатывает предложения об альтернативных вариантах реализации проекта, способных удовлетворить поставленные цели.
На этом этапе возникает задача выбора варианта реализации проекта, позволяющего достичь общефирменные цели.
Для решения этой задачи можно воспользоваться эконометрическими методами. Эконометрика - это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей, поэтому именно в эконометрике следует искать методы для решения поставленной задачи.
Каждый предложенный вариант реализации проекта имеет свои преимущества и недостатки. Он может характеризоваться как количественными экономическими показателями, такими, как затраты, поступления и др., техническими показателями, описывающими характеристики качества разрабатываемого продукта, так и качественными показателями, выраженными в виде терминов, например, крошечный, маленький, средний.
Целесообразно выделить эталонный вариант реализации проекта и его характеристики. Характеристики подбираются таким образом, чтобы проект был оптимальным с точки зрения предъявляемых к нему требований. Чтобы сравнить варианты реализации проекта с эталонным вариантом и выбрать из них лучший, можно применить эконометрические методы, основанные на алгоритмах анализа
качественных и количественных данных. Такие методы подробнее рассматриваются ниже.
На втором этапе осуществляется разработка планово-организационных мероприятий. Подразделение контроллинга разрабатывает методики и инструменты планирования, наилучшим образом подходящие в данных условиях и обеспечивающие наиболее точные результаты. Подготовленный план проверяется на реализуемость, затем решаются вопросы, связанные с координацией участников проекта, с организацией информационного потока, с организацией работ и назначением ответственных.
На третьем этапе устанавливается время проведения контрольных мероприятий, связанное с выполнением определенных блоков работ. Выбираются подконтрольные показатели, характеризующие финансовое и организационное состояние проекта. Устанавливаются допустимые отклонения выбранных показателей, превышение которых может привести к негативным последствиям. Проводится учет показателей, фиксация отклонений. Выявляются причины и виновники отклонений.
На заключительном четвертом этапе подразделение контроллинга оценивает влияние выявленных отклонений на дальнейшие шаги реализации проекта. Выясняет, как выявленные отклонения повлияли на основные управляемые параметры проекта.
По окончанию цикла контроллер проекта подготавливает отчет с предложением вариантов решения возникших проблем и изменением плановых величин на следующий период.
Эконометрические методы сравнения и выбора. На первом этапе контроллинга инноваций необходимо решить задачу выбора варианта реализации проекта. Выбор между вариантами очевиден, если один из вариантов лучше другого по всем рассматриваемым показателям. В реальных ситуациях выбора варианты обычно несравнимы - первый лучше по одним показателям, второй - по другим. Для сравнения вариантов целесообразно прибегать к экспертным технологиям [16].
Одна группа экспертных технологий нацелена на выявление объективного упорядочения вариантов в результате усреднения мнений экспертов. Используют различные способы расчета на основе средних рангов (прежде всего средних арифметических и медиан). Для моделирования результатов парных сравнений применяют теорию люсианов. Для экспертных оценок находят медиану Кемени, и т.д.
Другая группа экспертных технологий нацелена на получение коэффициентов весомости (важности, значимости) отдельных показателей. Итоговая оценка варианта реализации проекта получается в результате суммирования произведений значений показателей на соответствующие коэффициенты весомости. Иногда эти коэффициенты оцениваются экспертами на основе иерархической системы показателей. Более обоснованным является экспертно-статистический метод, согласно которому на основе обучающей выборки восстанавливается зависимость между показателями варианта реализации инновационного проекта и его итоговой оценкой.
Использование теории нечеткости. Для сравнения вариантов реализации инновационного проекта и выбора из них лучшего можно использовать подход, основанный на описании качественных характеристик нечеткими множествами. Опишем его [15].
Пусть £ = / = 1, 2, множество, состоящее из п вариантов
реализации инновационного проекта. Для каждого варианта ^ определено т характеристик <2гу, 7 = 1? 2, ..., т. В зависимости от конкретных условий набор характеристик может меняться.
Необходимо выделить эталонный вариант реализации проекта £0 и его характеристики <2о/- Характеристики подбираются таким образом, чтобы проект был оптимальным с точки зрения предъявляемых к нему требований.
Требуется проранжировать имеющиеся варианты Л' реализации инновационного проекта по заданным т характеристикам на соответствие эталону.
Для каждой характеристики <2у, согласно рассматриваемой методике,
строится нечеткое множество ~^-’т ' Ддя этого сначала определяются
возможные значения переменной х,, удовлетворяющие характеристике 0,г
Предполагается, что они составляют отрезок Х1}. Определяется середина и
полуширина (радиус) 5у >0 отрезка Х1}\ Таким образом,
ху = [дУ +5у\
Для описания критерия <2у могут применяться различные функции принадлежности. В соответствии с [16] используем функцию принадлежности следующего вида:
1п2/ ъ
( \ ----------------- -------
їїДху.} = е ' ,і = 0,п, ; = 1 ,т
Исходя из построения множества Ху, в точке дгу функция имеет максимум, в пределах множества Ху функция принадлежности принимает значения больше 0,5, а ъшХу- меньше:
: > [();|}
цу(х;)>0,5 О х}еХ1}
В результате получаем нечеткие множества
йу = К I цу (*;)} і = 0, п, 7 = 1 ,т
описывающие критерии ()у.
Чтобы определить, в какой мере характеристика варианта близка характеристике эталонного варианта л0, вычисляют степень равенства у,у соответствующих нечетких множеств:
Уу = тах шіп(ду (х; ), цо; (х;))
Значение максимина достигается в точке пересечения функций принадлежности:
(г;)
где
V = LI ....
V ^о] \ у
4 8 .+5..
01 у
Произведя взвешенное голосование, получают интегральную оценку V, соответствия совокупности характеристик варианта реализации проекта я, совокупности характеристик эталонного варианта ^о:
т
^ = 2Хл-
У=1
т
а У ~ °’ Еа;=1
}=і
Здесь является весом 7-го критерия и показывает уровень его важности.
При обсуждении различных подходов к выбору наилучшего варианта реализации инновационного проекта иногда противопоставляют вероятностно-статистические модели и методы теории нечеткости. С обоснованной выше методологической точки зрения весьма важно, что такое противопоставление лишено оснований.
Литература
1.Орлов А.И. Системная нечеткая интервальная математика (СНИМ) - перспективное направление теоретической и вычислительной математики / А.И. Орлов, Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2013. -№07(091). С. 255 - 30 - ША [article ГО]: 0911307015. - Режим доступа:
http://ei.kubagro.ru/2013/07/pdf/15.pdf.
2.Орлов А.И., Луценко Е.В. О развитии системной нечеткой интервальной математики // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / Редкол.: Бажанов В.А. и др. -Москва, Центр стратегической конъюнктуры, 2013. - С. 190 - 193.
3.Zadeh L.A. Fuzzy sets / Information and Control. 1965. V. N 3. P.338-353.
4.Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. - 64 с.
5.Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296
6.Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров. - Новосибирск: Наука, 1978. - 160 с.
7.Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. - М.: Наука, 1984. - 136 с.
8.Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. - М.: Наука, 1974. -
120 с.
9.Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.
Ю.Ефимов НВ. Высшая геометрия. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 580 с.
11.Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : в 3 ч.: 4.1. Нечисловая статистика. - М.: Изд-во МГТУ им. НЭ. Баумана, 2009. — 541 с.
12.Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности // Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. -М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С. 169 - 175.
13.Goodman I.R. Fuzzy sets as equivalence classes of random sets / Fuzzy Set and Possibility Theory: Recent Developments. - New York-Oxford-Toronto-Sydney-Paris-Frankfurt, Pergamon Press, 1982. - P.327 - 343. (Перевод на русский язык: Гудмэн И. Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств. - В сб.: Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. - М.: Радио и связь, 1986. - С. 241-264.)
14.Контроллинг / А.М. Карминский, С.Г. Фалько, А.А. Жевага, Н.Ю. Иванова; под ред. А.М. Карминского, С.Г. Фалько. - 3-е изд., дораб. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2013. - 336 с.
15.3агонова НС., Орлов А.И. Эконометрическая поддержка контроллинга инноваций. Нечеткий выбор / Российское предпринимательство. 2004. №4. С.54-57.
16.Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: в 3 ч.: 4.2. Экспертные оценки. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 486 с.
References
1. Orlov A.I. Sistemnaja nechetkaja interval'naja matematika (SNIM) - perspektivnoe
napravlenie teoreticheskoj i vychislitel'noj matematiki / A.I. Orlov, E.V. Lucenko // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhumal KubGAU) [Jelektronnyj resurs], - Krasnodar: KubGAU, 2013. - №07(091). S. 255 - 30 - ША [article ID]: 0911307015. -Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2013/07/pdf/15.pdf.
2. Orlov A.I., Lucenko E.V. О razvitii sistemnoj nechetkoj interval'noj matematiki //
Filosofija matematiki: aktual'nye problemy. Matematika i real'nost'. Tezisy Tret'ej vserossijskoj nauchnoj konferencii; 27-28 sentjabrja 2013 g. / Redkol.: Bazhanov V.A. i dr. - Moskva, Centr strategicheskoj kon#junktury, 2013. - S.190 - 193.
3. Zadeh L.A. Fuzzy sets / Information and Control. 1965. V. N 3. R.338-353.
4. Orlov A.I. Zadachi optimizacii i nechetkie peremennye. - М.: Znanie, 1980. - 64 s.
5. Orlov A.I. Ustojchivost' v social'no-jekonomicheskih modeljah. - М.: Nauka, 1979. - 296
s.
6. Vorob'ev O.Ju., Valendik Je.N. Verojatnostnoe mnozhestvennoe modelirovanie
rasprostranenija lesnyh pozharov. - Novosibirsk: Nauka, 1978. - 160 s.
7. Vorob'ev O.Ju. Srednemernoe modelirovanie. - М.: Nauka, 1984. - 136 s.
8. Kolmogorov A.N. Osnovnye ponjatija teorii verojatnostej. 2-e izd. - М.: Nauka, 1974. -
120 s.
9. Lebeg A. Ob izmerenii velichin. - М.: Uchpedgiz, 1960. - 204 s.
10. EfimovN.V. Vysshaja geometrija. - М.: GIFML, 1961. - 580 s.
11. Orlov A.I. Organizacionno-jekonomicheskoe modelirovanie : v 3 ch.: Ch.l. Nechislovaja
statistika. - М.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2009. — 541 s.
12. Orlov A.I. Osnovanija teorii nechetkih mnozhestv (obobshhenie apparata Zade). Sluchajnye tolerantnosti // Algoritmy mnogomemogo statisticheskogo analiza i ih primenenija. - М.:
Izd-vo CJeMI AN SSSR, 1975. - S. 169 - 175.
13. Goodman I.R. Fuzzy sets as equivalence classes of random sets / Fuzzy Set and Possibility Theory: Recent Developments. - New York-Oxford-Toronto-Sydney-Paris-Frankfurt, Pergamon Press, 1982. - P.327 - 343. (Perevod na russkij jazyk: Gudmjen I. Nechetkie mnozhestva как klassy jekvivalentnosti sluchajnyh mnozhestv. - V sb.: Nechetkie mnozhestva i teorija vozmozhnostej. Poslednie dostizhenija. - М.: Radio i svjaz', 1986. - S. 241-264.)
14. Kontrolling / A.M. Karminskij, S.G. Fal'ko, A.A. Zhevaga, N.Ju. Ivanova; pod red. A.M. Karminskogo, S.G. Fal'ko. - 3-e izd., dorab. - М.: Ш «FORUM»: INFRA-M, 2013. - 336 s.
15. Zagonova N.S., Orlov A.I. Jekonometricheskaja podderzhka kontrollinga innovacij. Nechetkij vybor / Rossijskoe predprinimatel'stvo. 2004. №4. S.54-57.
16. Orlov A.I. Organizacionno-jekonomicheskoe modelirovanie: v 3 ch.: Ch.2. Jekspertnye ocenki. - М.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2011. - 486 s.
