CC BY
220
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЧЕТКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ВЕРОЯТНОСТИ НЕЧЕТКИХ СОБЫТИЙ
О.М. ПОЛЕЩУК, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р техн. наук
olga.m.pol@yandex. ru ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса» 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, ул. 1-я Институтская, д. 1, МГУЛ
Как показывает практика, не всегда можно построить корректные модели и решить поставленные задачи, используя только теорию вероятностей и не прибегая при этом к понятиям теории нечетких множеств. Особенно это касается задач обработки информации, основанной на естественном языке и содержащей нечеткие понятия. В статье предлагается подход к определению нечетко-вероятностных пространств и вероятностей нечетких событий, который открывает новые возможности обработки информации с неопределенностью двух типов - случайности и нечеткости. Случайная величина задается рядом распределения или плотностью распределения вероятностей, что позволяет определить вероятность принадлежности этой случайной величины к любому подмножеству действительной прямой. Однако кроме числовых значений случайной величины могут быть заданы ее лингвистические значения, которыми невозможно оперировать только методами теории вероятностей без привлечения понятий теории нечетких множеств. В статье определяется нечеткое событие, операции над нечеткими событиями и вероятность нечеткого события. Приводятся примеры вычисления вероятностей нечетких событий. Предложенный в статье подход позволяет решать задачи различных областей деятельности человека в условиях неопределенности разных типов. Общим для класса таких задач является наличие статистической информации, возможность повторения эксперимента и присутствие эксперта, который в рамках естественного (профессионального) языка описывает событие, вероятность которого необходимо определить.
Ключевые слова: нечетко-вероятностное пространство, вероятность нечеткого события.
Многолетние попытки решения задач с разными типами неопределенности привели к появлению и развитию методов обработки информации, которые сочетают основы теории вероятностей и математической статистики в совокупности с основами теории нечетких множеств. Дискуссии о приоритетах теории вероятностей над теорией нечетких множеств в последние годы звучат неубедительно, что, несомненно, связано с теми достижениями и темпами развития, которые демонстрирует теория нечетких множеств.
Достаточно привести ряд простых примеров, которые подтверждают, что не всегда возможно построить корректные модели и решить поставленные задачи, используя только теорию вероятностей и не прибегая при этом к понятиям теории нечетких множеств. Предположим, что мы хотим найти вероятность нормального функционирования объекта. Или найти вероятность того, что параметр X достаточно большой, если он немного больше параметра Y со значениями около 0,3. Чтобы найти требуемые вероятности, сначала необходимо понять природу событий «нормальное функционирование», «достаточно большой», «низкий», «немного больше», «около 0,3». Будут ли эти события событиями в том понимании, которое вкла-
дывается в определение случайного события в рамках теории вероятностей? Если нет, то и вероятности этих, скажем так, «особых событий» мы в рамках только теории вероятностей определить не сможем.
Хотелось бы привести высказывание Bernie Widrow, всю свою жизнь посвятившего разработкам в области теории адаптивной фильтрации, которая, как известно, целиком основана на теории вероятностей. Адаптивные фильтры используются в каждом модеме в мире и являются одной из необходимых технологий, делающих возможным существование Интернет. Высказывание Bernie Widrow прозвучало в рамках открытой дискуссии членов BISC-Group (Инициативной группы Калифорнийского университета Беркли по мягким вычислениям) и было адресовано основателю теории нечетких множеств профессору Lotfi Zadeh: «Я продолжу работать с вероятностью, но я сохраню мои глаза открытыми для того, чтобы видеть ваш прогресс в работе с нечетким подходом. Я думаю, что нечеткий подход - новая рациональная конструкция, имеющая большое практическое и проницательное значение».
Теория вероятности не разрабатывалась, чтобы иметь дело с восприятием человека - особенно с восприятием, описанным на
162
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
естественном языке. Однако она может быть обобщена через добавление понятий и методик, взятых из теории нечетких множеств и нечеткой логики. В таком случае обобщенная теория вероятностей действительно имеет возможность обрабатывать информацию, основанную на естественном языке.
Основным понятием теории вероятностей, как известно, является вероятностное пространство. Чтобы обобщить это понятие, остановимся на основных аспектах его построения.
Рассмотрим некоторый эксперимент, не ограничивая общности, со счетным числом исходов ю ю2, ... ю ..., которые несовместны, образуют полную группу и не обязательно равновероятны. Исходы ю1, ю2, ... юи, ... будем называть элементарными событиями, а их совокупность
Q = { ю1, ю2, ... юп, ...}
(счетным) пространством элементарных событий или пространством со счетным числом исходов [1].
Определение элементарного события является тем кирпичиком, с которого начинается построение вероятностного пространства. Следующим необходимым понятием является понятие случайного события.
Рассмотрим совокупность всех подмножеств Q, включая само Q и невозможное событие. Определим на этой совокупности известные теоретико-множественные операции (пересечение, объединение, дополнение) и замкнем эту совокупность относительно этих операций, производимых в счетном числе. Обозначим полученную совокупность, которая является о-алгеброй, через A.
Событием (случайным событием) называется любое подмножество A пространства элементарных событий Q, которое принадлежит A.
Для любого события A возможен ответ одного из двух типов: ю. е A или ю. £ A. Обратим здесь внимание на то, что ответить на вопрос о принадлежности любого элементарного события к событию A можно только четко - да или нет.
Вероятность события A равна сумме вероятностей всех элементарных событий,
принадлежащих A
Р(Л)=£р(щ).
Вообще говоря, вопрос о том, как задавать вероятности элементарных событий, является достаточно трудным. Ответ на этот вопрос лежит вне рамок теории вероятностей. Споры на эту тему продолжаются до сих пор.
Тройка (Q,A,P(A)) называется вероятностным пространством (со счетным числом исходов).
Рассмотрим классическую задачу бросания кубика с цифрами от 1 до 6 на его гранях. Всем известно, что если кубик правильный, то вероятность выпадения каждой из цифр равна 1/6. Соответственно вычислить вероятности событий типа «выпало больше 2 очков», «выпало меньше 4 очков», «выпало от
3 до 6 очков» не представляет никакого труда. Теперь предположим, что мы хотим вычислить вероятность события «выпало много очков» или вероятность события «выпало мало очков». Чтобы вычислить эти вероятности, нам необходимо понять, какие элементарные события принадлежат каждому из этих двух событий. Предположим, что 1 и 2 очка принадлежат событию «выпало мало очков», а 5 и 6 очков принадлежат событию «выпало много очков», а вот 3 и 4 очка вызывают некоторую неуверенность в вопросе определения принадлежности. Вроде бы 3 очка уже не мало, а
4 очка еще не много. Например, можно сказать, что элементарное событие «3 очка» принадлежит событию «выпало мало очков», а элементарное событие «4 очка» принадлежит событию «выпало много очков», но степень уверенности в этом только 2/3.
Проблема возникает в связи с тем, что события «выпало мало очков» и «выпало много очков» определены нечетко, то есть по своей сути не являются классическими событиями (для которых всегда со степенью уверенности 1 возможен ответ одного из двух типов: ю. е A или ю. £ A), а являются нечеткими множествами, которыми теория вероятностей не оперирует.
Нечетким событием называется любое нечеткое подмножество А пространства
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
163
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
элементарных событий Q или множество пар вида
(А, цДюД ю. е Q, 0 < цГ(юг) < 1, где цГ(ю.) функция принадлежности нечеткого подмножества (множества) А.
Для нечеткого события возможен не только ответ одного из двух типов: ю. е Г или ю £ А, а также ответ, что ю е А со степенью уверенности (принадлежности) 0 < цГ(ю.) < 1. Частным случаем нечеткого события является классическое событие, функцией принадлежности которого является обычная характеристическая функция, принимающая значения 0 или 1.
Определим основные теоретико-множественные операции на множестве всех нечетких подмножеств (множеств) обычного множества X.
Нечеткие множества А и В равны, если для всех х е X выполнено
Нечеткое множество А принадлежит нечеткому множеству В, А^В, если
^(*)^s(*)V*eX. _
Нечеткое множество А называется
дополнением нечеткого множества А, если
Нечеткое множество q называется пересечением нечетких множеств А и В, C=Ar\B , если |^(х)=тт(цл(х)^(х))УхеХ
Нечеткое множество Q называется объединением нечетких множеств А и В, C=A\jB, если ц(?(х)=тах(цл(х)цд(х))\/хеХ.
Нечеткое множество С называется разностью нечетких множеств А и В, С=А-В=АпВ, если ц(?(х)=1шп(цл(х)1-ц^(х))УхеХ.
Рис. 1 Функции принадлежности нечетких множеств выпало мало очков» и «выпало много очков» Fig. 1 Functions of fuzzy sets has dropped few points «and» dropped a lot of points
Нечеткое множество С называется дизъюнктивной__ суммой нечетких множеств А и В, С=АФВ=(А-Вул(В-А), если Цс 0)=тах(тт(цл (х)Д-Ц Ё (х)),
тт(1-цл (х),Цд (x))),VxeX.
В общем случае операторы min и max заменяются на операторы из классов треугольных норм и треугольных конорм [2].
Определим на совокупности нечетких событий (нечетких множеств Q) теоретико-множественные операции (пересечение, объединение, дополнение), замкнем ее относительно этих операций, производимых в счетном числе, и обозначим полученную совокупность через H(X).
Вероятность нечеткого события А равна сумме произведений вероятностей всех элементарных событий, принадлежащих А, на степени их принадлежности к А
Р(А)=^Р{^УаМ-
Ю
Тройка (Q, H(X), P(A)) называется нечетко-вероятностным пространством (со
счетным числом исходов).
Нечетко-вероятностное пространство является обобщением классического вероятностного пространства. Вероятность случайного события A является частным случаем вероятности нечеткого события и может быть записана в виде
к(р,)=-
со
1,С0 teA 0,(0 ^А.
Вернемся к задаче определения вероятностей нечетких событий «выпало много очков» и «выпало мало очков» при бросании кубика. Сначала необходимо задать их функции принадлежности. Если в теории вероятностей отдельной задачей является определение вероятностей элементарных событий, то в теории нечетких множеств похожей задачей (и аналогично выходящей за рамки самой теории) является определение степеней принадлежности элементарных событий или построение соответствующих функций принадлежности. Обозначим через А нечеткое событие «выпало мало очков», а через А2 нечеткое событие «выпало много очков». Тогда (рис. 1)
164
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
1,х<2
5-х U-; (х)=
Х,2<х<5, Г
V 3
—,2<х<5 3
1,5<х<6.
Элементарное событие «3 очка» принадлежит событию «выпало мало очков» со степенью принадлежности 2/3, а элементарное событие «4 очка» принадлежит событию «выпало мало очков» со степенью принадлежности 1/3. Элементарное событие «3 очка» принадлежит событию «выпало много очков» со степенью принадлежности 1/3, а элементарное событие «4 очка» принадлежит событию «выпало много очков», со степенью принадлежности 2/3.
Соответственно получаем Р(Л~) = 1/6 х 1 + 1/6 х 1 +
+ 1/6 х 2/3 +1/6 х 1/3 = 1/2,
Р(Л2) = 1/6 х 1/3 + 1/6 х 2/3 +
+ 1/6 х 1 +1/6 х 1 = 1/2.
Как известно, случайной величиной X называется числовая функция на пространстве элементарных событий (ограничимся определением так называемой простой случайной величины, не давая более общего определения случайной величины, как боре-левской функции [2]). Случайная величина задается рядом распределения
2№=х,)=1
!=1
или плотностью распределения вероятностей g(x), xe R. Однако, кроме числовых значений случайной величины могут быть заданы ее лингвистические значения. Например, температура воздуха является случайной величиной со значениями (в определенной местности), принадлежащими отрезку [-40, 40]. Кроме числовых значений температуры могут быть заданы ее лингвистические значения - очень низкая, низкая, средняя, высокая, очень высокая или низкая, средняя, высокая. Число лингвистических значений определяется в рамках постановки каждой конкретной задачи. Формализовать лингвистические значения случайной величины на основе теории нечетких множеств позволяет лингвистическая переменная [3, 4].
Лингвистической переменной называется пятерка
{X, T(X), U, V, S}, где X - название переменной;
Т{Х)={Х^=йп}- терм-множество переменной X, то есть множество термов или названий лингвистических значений переменной X (каждое из этих значений - нечеткая переменная со значениями из универсального множества U);
V - синтаксическое правило, порождающее названия значений лингвистической переменной X;
S - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной с названием из T(X) нечеткое подмножество универсального множества U.
Нечеткой переменной называется
тройка
{X, U, А },
где X - название переменной;
U - область ее определения (универсальное множество);
А - нечеткое множество универсального множества, описывающее возможные значения нечеткой переменной. Существуют ряд методов построения лингвистических переменных [5-9], которые опираются на статистическую или экспертную информацию. По своей сути формализованные на основе лингвистической переменной лингвистические значения Xt,i=\,m случайной величины X являются нечеткими событиями. Будем предполагать, что Uij=\jn - подмножества действительной прямой, на которых заданы функции^ принадлежности нечетких множеств Хг,г=1,ти. Тогда
P{x:)=YP{x=xj)M{xj),
если случайная величина X является дискретной, и
P(Xi)=
и, '
если случайная величина X является непрерывной.
В общем случае
m
1=1
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
165
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
но если на функции принадлежности лингвистической переменной ввести дополнительные условия, то мы получим, что
/=1
Проведенные теоретические исследования свойств лингвистических переменных, направленные на повышение адекватности экспертных моделей и их полезности для решения практических задач, позволили обоснованно сформулировать такие требования
[4]. _ _
1. Для каждого понятия Х,4=\/п существует U. ф 0, где U . = (х е U : р,(х) = 1} есть точка или отрезок.
2. Пусть U. = (х е U : ц.(х) = 1}, тогда цг(х),/=1 /п не убывает слева от U . и не возрастает справа от U..
3. \JL,(x)i=\jn имеют не более двух точек разрыва первого рода.
4. Для каждого
т
х е U ХЯ (*Н.
г=1
Опираясь на эти свойства, покажем,
что
т
г=1
для непрерывной случайной величины X, принимающей значения из области U е R. Проверка равенства для дискретной случайной величины проводится аналогично.
т ^ т
-Z
i=1
Jg(x)/x+ J ФУх'(х}Ь
и
и,-и,
t/l-tfl
+ j (хУ1~^х2 (*))&+•••
и2-й2-и1
+ j 1_^ w)^x=I^(x)&=i •
и -и и
w т т
А зачем мы формализуем лингвистические значения с помощью нечетких множеств и соответственно их функций принадлежности? Не проще ли разбить числовые значения случайной величины (некоторого параметра) на промежутки и каждый из этих промежутков идентифицировать с некоторым лингвистическим значением? В результате мы будем оперировать не с нечеткими множествами, а с промежутками, что проще. Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим следующий пример.
Пусть некоторый параметр х определен на универсальном множестве X, принимает значения от X до Хж и имеет плотность распределения вероятностей fx). Будем предполагать, что определены граничные значения этого параметра хт и хм, при которых объект считается нормально функционирующим. Тогда понятие «нормальное функционирование объекта» может быть определено с помощью множества A, характеристическая функция которого имеет вид (рис. 2)
К{ХУ
1,х <х<х
м
[0,х<хт,х>хм.
Таким образом мы пытаемся формализовать лингвистическое понятие «нормальное функционирование объекта» с помощью четкого отрезка.
Теперь рассмотрим три значения х: х х2 и х Значения х х2 расположены близко к нижней границе отрезка хт, но соответственно слева и справа от него. Значение х3 распо-
кл (х)
1
X
X X
m л 2
X 3 хм Xm X
Рис. 2. Характеристическая функция множества, формализующего понятие «нормальное функционирование объекта»
Fig. 2. Characteristic function of formalizing the notion of «normal operation of the facility»
166
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ложено ближе к верхней границе отрезка *м , но слева от него. Очевиден некоторый парадокс описанной выше формализации на основе отрезка: значения х х2 для модели являются различными, а х х3 - одинаковыми (по отношению к понятию «нормальное функционирование объекта», формализованного с помощью множества A). Таким образом, компьютерная модель может «видеть» фактически близкие ситуации (х х2) как разные, а физически различные х2, х3 - как одинаковые. Если нет однозначного правила (модели) вычисления граничных значений хт и хм, то данная ситуация может привести к тому, что выводы, полученные при анализе такого рода моделей, не будут соответствовать представлениям экспертов.
В этом несоответствии языка теории множеств и способа мышления человека и кроется одна из причин краха попыток использования математических методов и компьютерных технологий в тех областях, где сильно влияние человеческого фактора.
Теперь определим понятие «нормальное функционирование объекта» как нечеткое множество А, график функции принадлежности которого цг(х) представлен на рис. 3.
Сравнивая рис. 2 и рис. 3, можно заметить исчезновение отмеченного выше парадокса: значения х1 и х2 видятся моделью при формализации с помощью нечетких множеств как близкие. Таким образом, компьютерная модель, построенная на принципах теории нечетких множеств, «воспринимает» фактически близкие ситуации как похожие.
Тогда
(
нормальное функционирование объекта"
ЛМ
=р (Л)=J /(x)pi (x)dx.
В завершение приведем несколько примеров на вычисление вероятностей нечетких событий.
Пример 1. Количество семян шишек сосны имеет нормальное распределение со средним 17.39 и стандартным отклонением 10.21. Найти вероятность большого количества семян в шишках.
Минимальное количество семян в шишках равнялось 1,а максимальное 42. Для
нечеткого события «большое количество семян» была построена функция принадлежности
ц(х)='
х-25
,25<х<30
Тогда
большое
количество
семян
1,30<х<42.
30 6-17-39/
1
л/2л10.21
I-
2(10,2l/
х-25
dx+
' 42-17.391 ( 30-17.39^
+Ф -------- -Ф
10.21
_ (10.21)2
_ л/2я10.21
3° (
\-
+Ф
42-17.39
10.21
х-17.39-25+ 17.39
10.21 j
\ (х-17.39/
2(10.21/
Ф
5(10.21)
30-17.39^
10.21
dx +
(х-17.39/
10.21 Г т > 2(10.21/_
5л/2л
Jde'
7.61
5л/2п10.21
JV
J*
(х-17.39 / 2(10.21/
сЬс +
+Ф| 42-17.39 _ф 30-17.39
10.21 J { 10.21
.... ( (7Mf (12.61/ ^ 10.21 2(10.21/ _е 2(10.21 /
5у/2п
7.61
Ф
30-17.39 1 7.61
ч
10.21
+ -
Ф
25-17.39
10.21
= 0.1925.
у
ф(x}=—j= \е 2 dy- функция Лапласа.
W V^0J
Пример 2. Найти вероятность молодого преподавателя в вузе, если численность профессорско-преподавательского состава составляет 500 человек, а численность преподавателей от 21 года до 40 лет представлена в таблице.
тва А, формализующего понятие «нормальное функционирование объекта»
Fig. 3. Membership function of the fuzzy set A, formalizes the notion of «normal operation of the facility»
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
167
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таблица
Численность преподавателей от 21 года до 40 лет Number of teachers from 21 to 40 years
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
15 4 6 8 10 10 5 9 1 10 5 12 12 14 13 6 10 20 10 20
Событие «молодой преподаватель» является нечетким, поэтому необходимо определить его функцию принадлежности. Предлагается в качестве таковой функции взять следующую функцию
' 1,21<х<30
40-х
ц(х)=
Тогда
10
30 < х < 40.
P (молодой преподаватель) = 15/500 + 4/500 + 6/500 + 8/500 + 10/500 + 10/500 + 5/500 + 9/500 + 1/500 + 10/500 + 5/500 х 9/10 + 12/500 х 8/10 + 12/500 х 7/10 + 14/500 х 6/10 + 13/500 х 6/10 + 6/500 х 4/10 + 10/500 х 3/10 + 20/500 х 2/10 + 10/500 х 1/10 + 20/500 х 0 = 0,2822
Пример 3. Найти вероятность того, что преподаватель Сидорова среднего возраста, если она на несколько лет старше Петровой, а Петровой около 35 лет.
События А =«несколько лет» и А =«около 35» являются нечеткими, поэтому необходимо их формализовать, определив функции принадлежности.
^Д М =
—,1<х<3 2
1,3 < х < 5 1^,5<х<1,
х-35
2
37-х
х-35,33<х<35
,35<х<37.
Определим возраст Сидоровой как нечеткое множество А = А + А2 с функцией принадлежности
———,34 < х < 38 4
1,38<х<40 44 — х
——-,40 < х < 44.
Определим понятие «средний возраст» как нечеткое множество В с функцией принадлежности
Мг(*)=
х-40
, 40 < х < 45
1,45<х<59
64-Х
-----,59 < х < 65.
Степень принадлежности возраста Сидоровой к среднему возрасту определим как значение функции принадлежности Г (нечеткого множества «возраст Сидоровой») в точке пересечения с функцией принадлежности В (нечеткого множества «средний возраст») [10]. Приравняв
(44 - x)/4 = (x - 40)/4, получим x = 42(2/9), а цГ(х) = 4/9.
Считая, что людей среднего возраста в России 20 %, получаем, что вероятность того, что Сидорова среднего возраста равна 1/5 х 4/9 = 4/45 ~ 0,0889.
Заключение
Применение теории вероятностей для обработки неопределенностей неслучайного характера можно объяснить двумя причинами. До появления теории нечетких множеств - безальтернативностью теории вероятностей, а после появления и развития теории нечетких множеств неким отторжением этой теории, возможно, в силу модной тенденции использовать ее повсеместно как завершающий бантик на упаковке. В принципе давно очевидно, что не всегда возможно построить корректные модели и решить поставленные задачи, используя только теорию вероятностей и не прибегая при этом к понятиям теории нечетких множеств. Особенно это касается задач обработки информации, основанной на естественном языке и содержащей нечеткие понятия.
В статье предлагается подход, основанный на обобщении основных понятий теории вероятностей (вероятностное пространство и вероятность события) через добавление основных понятий теории нечетких множеств. Этот подход позволяет решать задачи различных областей деятельности человека в условиях
168
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
неопределенности разных типов. Общим для класса таких задач является наличие статистической информации, возможность повторения эксперимента и присутствие эксперта, который в рамках естественного (профессионального) языка описывает событие, вероятность которого необходимо определить.
Библиографический список
1. Ширяев, А.Н. Вероятность. - M.: Наука, 1980. -576 с.
2. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Inform. And Control. - 1965. - № 8. - pp. 338 - 352.
3. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - M.: Мир, 1976. - 165 с.
4. Poleshchuk O., Komarov E. Expert Fuzzy Information Processing. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011. - 237 p.
5. Darwish A., Poleshchuk O. New models for monitoring and clustering of the state of plant species based on
sematic spaces / // Journal of Intelligent and Fuzzy Systems.- 2014.- Vol. 26. - pp. 1089-1094.
6. Ashraf Darwish and Olga Poleshchuk Fuzzy Models for Educational Data Mining // Jоumal of Telecommunications.- 2012.- Vol. 15, № 2. -
pp. 8-22.
7. Полещук, О.М. Построение групповой экспертной оценки качественных показателей сложных технических систем // Вестник МГУЛ - Лесной вестник.
- 2012. - № 6 (89). - С. 37-40.
8. Poleshchuk O. The determination of students’ fuzzy rating points and qualification levels // International Journal of Industrial and Systems Engineering. - 2011. -Vol. 9, № 1.- pp. 3-20.
9. Полещук О.М. О развитии систем обработки нечеткой информации на базе полных ортогональных семантических пространств // Вестник МГУЛ
- Лесной вестник. - 2003. - № 1 (26). - С. 112117.
10. Dubois D., Prade H. Ranking Fuzzy Numbers in Setting of Possibility Theory // Information Science.
- 1983. - Vol. 30. - pp. 183 - 224.
FUZZY PROBABILITY SPACES AND PROBABILITIES OF FUZZY EVENTS
Poleshchuk O.M., Doctor of Technical Sciences, Professor of Higher Mathematics Department MFSU
Moscow State Forest University (MSFU) 1st Institutskaya st., 1, 141005, Mytischi, Moscow reg., Russia
As practice shows, it is not always possible to construct a correct model and to solve a problem using only the theory of probability and not resorting to the concepts of the fuzzy sets theory. It applies especially to information processing tasks based on natural language and containing fuzzy concepts. The paper proposes an approach to the definition of fuzzy probability spaces and the probabilities of fuzzy events, which opens up new possibilities ofrandom andfuzzy information processing. Random variable is given by the distribution or probability densityfunction. It allows to determine the probability that a random variable belongs to any subset of the real line. However, apart from the numerical values of a random variable may be determined its linguistic meanings, with which can not operate only methods of probability theory without concepts of the fuzzy sets theory. The fuzzy event, operations on fuzzy events and the probability of fuzzy event are defined in the paper. There are examples of calculating the probabilities of fuzzy events.
The proposed approach allows to solve problems of different areas of human activity in the conditions of different types of uncertainty. General class of such problems is the availability of statistical information, the possibility of a repetition of the experiment and the availability of an expert who uses natural (professional) language and describes an event whose probability is to be determined.
Key words: fuzzy probability space, probability of fuzzy event.
References
1. Shirjaev A.N. Veroyatnost' [Probability]. Moscow. Nauka, 1980. 576 p.
2. Zadeh L. A. Fuzzy sets. Inform. And Control. 1965. № 8. pp. 338-352.
3. Zadeh L.A. Ponyatie lingvisticheskoy peremennoy i ego primenenie kprinyatiyu priblizhennykh resheniy [Concept of a linguistic variable and its application to adoption of approximate decisions]. Moscow. Mir, 1976. 165 p.
4. Olga Poleshchuk and Evgeniy Komarov Expert Fuzzy Information Processing. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011.237 p.
5. Ashraf Darwish and Olga Poleshchuk New models for monitoring and clustering of the state of plant species based on sematic spaces. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. 2014. Vol. 26. pp. 1089-1094.
6. Ashraf Darwish and Olga Poleshchuk Fuzzy Models for Educational Data Mining. Jоuгnal of Telecommunications. 2012. Vol. 15,
№ 2. pp. 8-22.
7. Polestahuk O.M. Postroenie gruppovoy ekspertnoy otsenki kachestvennykhpokazateley slozhnykh tekhnicheskikh sistem [Creation of a group expert assessment of quality indicators of complex technical systems] Moscow State Forest University Bulletin - Lesnoi Vestnik. 2012. № 6 (89). pp. 37-40.
8. O. Poleshchuk The determination of students’ fuzzy rating points and qualification levels. International Journal of Industrial and Systems Engineering. 2011. Vol. 9, № 1. pp. 3-20.
9. Polestahuk O.M. O razvitii sistem obrabotki nechetkoy informatsii na bazepolnykh ortogonal'nykh semanticheskikh prostranstv [On the development of fuzzy information processing systems on the basis of complete orthogonal semantic spaces]. Moscow State Forest University Bulletin - Lesnoi Vestnik. 2003. № 1 (26). pp. 112-117.
10. Dubois D., Prade H. Ranking Fuzzy Numbers in Setting of Possibility Theory. Information Science. 1983. Vol. 30. pp. 183-224.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2014
169
