Теория катастроф и её приложения к описанию фокусировки, дифракции и распространения волновых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55; 537.876

А.С. Крюковский1,2, Д.С. Лукин2, Е.А. Палкин1,2, Д.В. Растягаев1,2

1 Российский новый университет 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

Теория катастроф и её приложения к описанию фокусировки, дифракции и распространения волновых

полей

Рассмотрены основные положения волновой теории катастроф: их классификация, методы построения равномерных асимптотик, применяемых для описания структуры волновых полей в таких областях, анализ структуры поля. Дано общее описание классов специальных функций, использующихся для построения равномерных асимптотических разложений волновых полей, свойств этих функций и методов расчёта. Приведены примеры прикладных задач, в которых применение волновых катастроф оказалось продуктивным. Описаны математические основания для решения дифференциальных уравнений методами теории основных, краевых и угловых катастроф.

Ключевые слова: основные, краевые, угловые катастрофы, каустики, универсальные деформации, дифракция, фокусировка, распространение, волновые поля, равномерные асимптотики, специальные функции.

I. Введение

В работе изложены основные понятия теории волновых катастроф и её применение к процессам рассеяния, дифракции и распространения электромагнитных (ЭМ) волн. Рассмотрено применение теории особенностей дифференцируемых отображений [1] (теории катастроф) для построения равномерных асимптотических по параметру Л ^ 1 решений (систем) линейных дифференциальных уравнений волнового типа:

1 (;г’ “ и(Л’х) = °'

(1)

с определёнными граничными и (или) начальными условиями.

Наиболее распространенными асимптотическими методами являются хорошо известные различные лучевые подходы, такие, как приближение геометрической оптики (ГО), метод ВКБ, метод геометрической акустики и др. Согласно данным методам решение уравнения (1) строится в виде произведения быстро осциллирующей экспоненты от фазовой функции и асимптотического ряда по обратным сте-

пеням большого параметра задачи:

U(A,x) « ехр (гЛ0 (х)) х ^ (■A)j^j ^ ’

’ ” (2)

или конечной суммы таких рядов:

Ng

U(Л,х) & ^2 ехР (i^0k (x)) х k=i

х У--------rbjkix). (3)

U ш

Подставляя (2) в (1), можно получить цепочку рекуррентных соотношений (дифференциальных уравнений первого порядка), первое из которых является уравнением типа Гамильтона-Якоби и определяет фазовую функцию 0(х), а остальные — уравнениями переноса, и последовательно определяют амплитудные функции b0(x), b1(x), ... (см., например, [2]). Решение этой рекуррентной системы уравнений находится с помощью бихарактеристик, построенных на основе символа оператора уравнения (1), и сводится к вычислению функций 0(х), b0(x), b1(x), ... вдоль лучевых траекторий — проекций бихарактеристик из фазового пространства в конфигурационное пространство [3].

Однако лучевые методы становятся неприменимыми в областях, близких к огибающим лучевых семейств — каустикам и их особенностям, при приближении к которым уже первый амплитудный коэффициент Ь0 (х) стремится к бесконечности, поскольку он обратно пропорционален величине где ./ = д(ат) — якобиан

расходимости, обращающийся на каустике в нуль, а а, т — лучевые координаты. Кроме того, известно, что при построении решения задачи в окрестности простой каустики (рис. 1) при переходе меняется тип решения. Выше каустики с точки зрения геометрической оптики наблюдается каустическая тень, ниже каустики — интерференция двух геометрооптических лучей. Для фокусировок более высокого порядка структура решения усложняется — необходим расчёт интерференции нескольких ГО-лучей, причём число таких лучей различно для разных областей. На рис. 2 представлено двумерное сечение каустической структуры, соответствующей особенности А5 — «бабочка». В центральной области наблюдается интерференция 5 ГО лучей, при переходе через каустическую поверхность число лучей уменьшается на 2, то есть в решении (3) число слагаемых Мд в сумме изменяется. Данное обстоятельство наряду с принципиальной неприменимостью полученного решения в окрестности каустик и их особенностей определяет неравномерность лучевого решения. Фокусировка поля может носить многомерный характер, то есть семейства лучей сходятся в фокальную точку по двум независимым направлениям. На рис. 3 представлено двумерное сечение, полученное при отражении лазерного излучения, соответствующее дифракционной структуре поля для сложной фокусировки. На фотографии видны несколько сложных каустических структур.

v ч. ч < V \ % \ v■ \ v v i \111

W!!lh/////Wy'S у

Семейство ГО-лучей

Рис. 1. Лучевая структура в окрестности простой каустики

Рис. 2. Лучевая и каустическая структуры в окрестности каустики А5 («бабочка»)

Рис. 3. Дифракционная структура поля в области сложной фокусировки

При рассмотрении задач дифракции и распространения ЭМ волн существуют различные интегральные методы, позволяющие получить равномерные асимптотические решения в виде осциллирующего интеграла:

U (Л; x) = Л6/2

f (Л; n,x) • exp (гЛФ^^)) dn,

G

5 = dim n, (4)

применимые в более широкой области, как на каустических поверхностях, так и в их окрестностях.

Наиболее общим из них является канонический оператор В.П. Маслова (КОМ) [3, 4]. Не вдаваясь в подробности построения решений типа (4), отметим, что амплитуда интегранты имеет вид

асимптотически сходящегося ряда:

3=0

причём для функций Ф(п,х) и

/(3)(п,х), ] = 1,2..., как и в случае лу-

чевых решений, можно получить рекуррентную цепочку из дифференциальных уравнений первого порядка. Как правило, в интегральных методах амплитуда инте-гранты определяется на компактном носителе, что позволяет считать интегралы (4) сходящимися, хотя О = В^.

Интегральная форма асимптотического решения задачи часто не является окончательной, поскольку, во-первых, многократные быстро осциллирующие интегралы с трудом поддаются вычислению, а во-вторых, возможен их дальнейший анализ и переход к эталонным равномерным асимптотическим решениям, связанным с особенностями каустических поверхностей. Можно определить соответствие между особенностями каустических поверхностей и особенностями дифференцируемых отображений (катастрофами). Такие особенности подробно классифицированы [1].

На основе этой классификации равномерное асимптотическое решение уравнений (1) может быть представлено в виде разложения по конечному набору специальных функций волновых катастроф (СВК) и их первых производных с коэффициентами в виде асимптотически сходящихся рядов, причём от типа особенности зависит вид «главной» СВК (основной СВК). Тип вырождения обобщённого эйконала Ф (п,х) соответствует определённому типу каустической особенности, а она в свою очередь — определённому типу дифракционной структуры волнового поля. Поэтому поле в окрестности каустической особенности оказывается «пропорциональным» специальной функции волновой катастрофы (СВК) вида

I Е(А,а)

ехр(гЕя(£,а,А))^,

где ^ — универсальная деформация основной катастрофы типа Е [1].

Таким образом, в окрестности каустической особенности реально наблюдаемая структура поля оказывается подобной некоторой эталонной. Более точное выражение для равномерной асимптотики поля рассмотрено ниже.

Волновая теория основных катастроф позволяет описывать поля в окрестности каустических особенностей не только ГО, но и вторичных лучей — краевых, угловых, вершинных и так далее. Но она не решает проблемы построения асимптотических решений в окрестности границ «свет-тень».

Для описания дифракции ЭМ волн на проводящих телах лучевыми методами в середине 1950-х годов Дж. Б. Келлером была предложена геометрическая теория дифракции (ГТД). В ГТД к ГО первичным лучевым полям добавляются вторичные лучевые поля, возбуждённые первичными полями на границах тел. Они могут быть описаны лучевыми семействами: краевыми лучами, возбуждёнными на кромках тел, лучами соскальзывания, возникающими при дифракции на выпуклых поверхностях, лучевыми семействами, соответствующими волнам шепчущей галереи, а также боковым и поверхностным волнам. Методы ГТД были рассмотрены в большом количестве публикаций, в которых приводятся различные прикладные задачи, а также развивается теоретическая сторона вопроса: решаются новые модельные задачи, позволяющие найти коэффициенты дифракции в неоднородных диспергирующих анизотропных средах при дифракции на телах с конечной проводимостью с ребрами переменной кривизны, сопоставляются различные асимптотические методы теории дифракции, строятся модификации, учитывающие кроме главного последующие члены асимптотики, а также различные виды пе-реотражений и порядки дифракций.

Особыми областями решения задачи (1) по-прежнему являются каустики семейств ГО лучей, но к ним добавляются также каустики краевых лучей, а также границы «свет-тень» ГО лучевого семейства. В окрестности этих поверхностей лучевое решение становится несправедливым, а при переходе через них вид решения меняется, так как меняется число действительных лучей в точке наблю-

дения. На рис. 4 представлена лучевая структура при дифракции поля на клине в неоднородной среде. Из-за неоднородности среды краевые лучи образуют каустику, на которую накладывается граница «свет-тень» семейства ГО лучей (на рис. — предельный ГО луч). Полученные лучевые асимптотики будут неравномерными для данной задачи и неприменимы собственно в окрестности каустики и границы «свет-тень».

Каустика

ля на клине в неоднородной среде (краевая катастрофа)

Границы «свет-тень» возможны не только у ГО, но и у краевых лучевых семейств. В частности, если в задаче присутствует точка излома кромки, образуются два семейства краевых лучей с краем и семейство угловых лучей, возникающих в точке излома. В этом случае говорят об угловых (обобщённых краевых) катастрофах.

Для краевых задач равномерные асимптотические интегральные решения также могут быть представлены в виде сумм типа (4) [5-9], однако область интегрирования О уже имеет границы, связанные с тем, что в случае краевых задач лагранжево многообразие, на котором построены бихарактеристики, является лагранжевым многообразием с краем. С помощью подходящей замены переменных область интегрирования (для тттиро-кого класса задач) можно представить в виде

О = В+ х В6-1' = [пі, + то) х [пі, + то) х..

Таким образом, возникает проблема построения равномерных асимптотик быстро осциллирующих интегралов типа (4) с областью интегрирования типа (5) с особенностями типа катастроф в фазе инте-гранты.

Все изложенное выше справедливо как для стационарных, так и для нестационарных задач. От времени может зависеть как характеристика среды распространения сигнала, так и параметры источника излучения. ГО в нестационарных задачах с диспергирующей средой распространения называется пространственно-временной ГО (ПВГО) и имеет свою специфику, связанную прежде всего с существованием временного конуса. По аналогии с ГТД для описания распространения импульсов в диспергирующих средах построена пространственно-временная геометрическая теория дифракции (ПВГТД), в которой помимо обычных краевых волн вводятся в рассмотрение «временные» краевые волны, излучаемые началом или концом радиоимпульса и распространяющиеся в дальнейшем по законам обычной геометрической оптики. Очевидно, что краевые лучи также могут иметь каустики и дифрагировать на препятствиях, причём ПВГО границы лучевых семейств совпадают с мировыми линиями, проходящими через начало или конец импульса.

К задачам, в которых возникают такие интегралы, относятся задачи о распространении и дифракции электромагнитных и акустических волн в неоднородных нестационарных (анизотропных) диспергирующих средах (например, лабораторная или ионосферная плазма), о квантовомеханическом сечении рассеяния частиц на сложных потенциалах и др.

Ниже изложены основные понятия теории волновых катастроф и подходы к построению равномерных асимптотических решений указанного типа, обобщающие результаты, полученные ранее, например, в работах [5-8, 10-12] для частных случаев

V = 0, 1, 2.

х... х [пі, + то) х В6 ”.

(5)

II. Классификация дифракционных структур, соответствующих обобщённым краевым катастрофам

Определение 1. Сужением функции Ф(п,х) (или Р%(£,а,А)) типа будем называть функцию

Ф(Пъ Пз-ъПЬПз+ъ П& ,х) (или

..., 0-1,0,0+ъ ..., &,а,А)) и обозначать как (Ф)е. (или (Р^)#. )• Число различных сужений одной и той же функции называется порядком сужения. Символом «д» будем обозначать саму функцию, отмечать её седловые точки (называемые ГО седловыми точками) и другие параметры. Сужение первого порядка будем называть сужением на ребро. Седловые точки этого сужения называются краевыми. Седловые точки сужения второго порядка называются угловыми. Сужение порядка V называется сужением на вершину.

Главная проблема состоит в том, что особенности имеет не только сама функция, но в общем случае и все её сужения, которые взаимно согласованы и подлежат классификации.

Определение 2. Предположим, что существует такое значение х = хс, при котором функция Ф(п,х) и все её сужения на границу д О области О имеют в некоторой открытой области П (п € П) единственную особую точку, то есть все решения систем уравнений

дФ(п,х)

дпг

0,

l, ..., 8.

дФ(п,х)

дпг

0,

П] =щ

г = 1,...,3 - 1,3 + 1, ..., 8; 1 ^ з ^ V,

дФ(п,х)

дпг

0,

П] =п] Пк=пк

г = l, ..., 8,г = з,3 = к,г = М ^ з,к ^ V..

дФ(п,х)

дпг

П1=П1 ■

П»=П1

v+l,..., 8, (6)

имеют при х = хс в области П единственное решение п = пс. Тогда говорят, что функция Ф(п,х) имеет особенность типа Е.

Символ особенности Е содержит 2^ компонент и имеет вид [7, 9]:

Е (Ед ; ЕЁ1 , ..., ЕЕ„ ; ...уЕЕ1 Е] ,..; ...,

ЕEiEjет, ...; ...;ЕЕ1 ...Е„). (7)

Здесь и в дальнейшем предполагается, что два индекса в каждом символе не могут быть одинаковыми, и каждый набор индексов включается лишь однократно, так как очередность сужений не играет роли. Каждая компонента символа особенности является обозначением основной катастрофы в соответствии с принятой классификацией [1].

Определение 3. Кратностью М особенности Е называется сумма кратностей корней каждой системы (6):

V V

= Мд + ^2 МЕ1 + ^ МЕ1Ек +

г=1

г,к=1

+ ^ МЕ1ЕкЕзк + ... + МЕ1.Е . (8)

г,к,з = 1

Сформулируем основную теорему.

Теорема 1. Пусть в некоторой открытой области П (п € П) (регулярная) функция Ф(п,х) имеет особенность типа Е. Тогда в некоторой открытой окрестности точки (пс ,хс) существует невырожденная замена п ^ С'-

пз = п*з + Одз(Л,С,x), 3

Щ = дк(Л,С,х), к = V + I, ..., 8; V ^ 8,

l, ..., V,,

дС

(9)

такая, что

1) имеют место тождества

д : ЛФ(п,х) = Л0 + (С,а,А),

Ег : Л (Ф(п,х))Е, = Л0 + №(С,а,А))Е, ,

ЕгЕ3 : Л(Ф(п,х))ЕЕ, =

= Л0 + (Р^(С,а,Х))Е.Е]

Е1...Еи : л(ф(п,х))е1.е =

Л0 + (РЕ(С,а,А))Е1...Е, , (10)

где 0 = 0(х), А = А(Л,а), а = а(Л,х) — регулярные функции х; а функция

Ft — универсальная деформация особенности Е (полином простейшего вида, Fs(0,a,A) = 0);

2) из nj ^ Vj следует, что £j ^ 0 (j = 1, ..., v), аиз n = Vc, х = xc следует, что £ = 0, A = 0;

3) универсальная деформация имеет вид

Ft (£,a,A) = ^ (£ь ts,a) +

+^2 Aj$ (£i, ...,&+ ^2 ±£j. j=1 j=s+1

Определение 4. Параметры ai называются функциональными модулями. Их изменение не влияет на тип особенности. Размерность вектора а называется модальностью.

Определение 5. Параметры Ai называются коэффициентами универсальной деформации. Они образуют пространство, в котором особенность структурно устойчива. Их изменение всегда приводит к изменению типа особенности. Размерность L вектора A называется коразмерностью особенности. L — это размерность пространства внешних параметров задачи, в котором данная особенность может быть устойчивой.

Определение 6. Функция , являющая полиномом по £j и линейная по ai, называется нормальной формой особенности.

Определение 7. Функции <Р? (i > 1)

называются возмущениями и (как правило) являются мономами по £j. Добавление их к нормальной форме понижает тип особенности, в частности, уменьшается кратность и коразмерность особенности как минимум на единицу. Возникающие при этом особенности более низкого порядка связаны с исходной схемами подчинения [1, 13].

Можно показать, что кратность, определённая как (8), совпадает с кратностью, определённой как

Nt = dim (p/D^) ,

где p — это пространство всех полиномов от переменных £i, ..., £$; D% — пространство полиномов вида

дут

+hv+1£v+1

д^т

+ ... + h,

d£v+1

а hi(£1, ..., £$) — всевозможные полиномы, включая константу. Общее число параметров универсальной деформации Ft , включая коэффициенты Ai, фазу 0 и компоненты функционального модуля а, равно кратности особенности Е:

Nt = L + dim а + 1.

После определения типа катастрофы возникает следующая задача — определение параметров универсальной деформации. Сформулируем метод седловых точек для определения таких параметров: фазы 0, коэффициентов A и компонент функционального модуля а.

В рамках метода необходимо дополнить систему (6) аналогичной системой уравнений относительной универсальной деформации:

dFT (£,a,A)

^ °’ d£i

dFT (£,a,A)

=0

d£i

.., j - 1,j + 1 ....,8; dFT (£,a,A)

1, ..., 8.

0,

i = 1,

1 ^ j < v

d£- ~ d£i j=0.tk=0

8,i = j,j = k,i = м ^ j,k ^ v

dFT (£,a,A)

d£i

0,

51=0, ..., 5^=0

г = V + 1, ..., 8. (II)

Тогда при х = хс из системы (6) можно найти все седловые точки:

nEiE2...Ev

V(i)

(12)

%),%),%) , как самой функции Ф(п,х), так и её сужений. Число седловых точек каждого типа определяется кратностями соответствующих особенностей (8). Из системы (11) можно найти седловые точки универсальной деформации:

tg tEj tEj Ek £

t(i),t(i) ,£(i) , ..., £

Ei E2 ...Ev

(i)

но они зависят от параметров А и а, которые сами подлежат определению. Чтобы получить замкнутую систему алгебраических уравнений, необходимо подставить

(12) в (10), учесть (11) и выделить 2V подсистем, которые необходимо решать последовательно, начиная с сужения самого высокого порядка.

Для того чтобы перейти к построению равномерных асимптотик, проведём классификацию параметров универсальной деформации: коэффициентов А и функциональных модулей а. Определим вектор Б как вектор, состоящий из всех компонент векторов А и а, расположенных специальным образом. Разобьем вектор Б на группы, каждая из которых в соответствии с методом седловых точек находится из своей системы уравнений, отвечающей определённому типу седловых точек. Так, Ыд компонент вектора Б находится из системы уравнений для Ыд ГО седловых точек, Ые1 (г = I, ..., п) компонент вектора Б (различные для каждого г) определяется из анализа краевых седловых точек, Ме1е] (г = 3, г, з = I, ..., п) компонент Б определяются из анализа Ме1е] угловых точек и так далее. Последние Ме1е2...е„ — I компонент вектора Б и параметр 0 определяются из анализа v-кратного сужения тождества (120).

Обозначим каждую такую группу параметров векторов А и а соответствующим индексом:

Л = (Л9

= (Л9 . .,ЛЕі

Л^гЕ] . . лЕіЕ2...Е^

...,аЕіЕ, ........ аЕіЕ2..Е

Тогда вектор Б имеет вид

а = [а9. ...,аЕ'‘

а — (ад. аЕ^ . qEiEj . пЕ 1Е2...Е„\

ББ I ^Б ; ...,^Б , ...; ...,^Б , ...; ...; кБ / ,

(13)

где

Бд = (Ад,ад), Бе = (Ае,аЕ*) , ...,

БЕ\Еъ...е^ ^аЕ1Е2...е^ аЕ1 Е2...Е^)

Например, АЕ^-Е] — это V(V — 1)/2 векторов типа АЕ1Е2, АЕ1Ез , АЕ2Ез и т. д. Чтобы найти мономы, коэффициентами перед которыми являются компоненты вектора АЕ1Е2, необходимо положить в универсальной деформации С1 = С2 = 0. Оставшиеся

мономы (за вычетом тех, которые не обращаются в нуль при сужениях более высокого порядка: Еі Е і Ек, Еі Е і Ек Е3 и т. д.) и образуют необходимый базис, а коэффициенты перед ними составляют вектор ЛЕі Е2.

Поскольку каждому из компонент вектора Б соответствует моном в универсальной деформации, то эти мономы будем отмечать теми же индексами, что и коэффициенты, стоящие перед ними, и обозначать

V (0.

Тогда

Гу

N9

ЬЕк

МЕк

+ Е І Е І Vе + Е аЕ І I + ... +

к—1 уІ—1 І—Евк+1

ЬЕіЕ2-..Еи

+ \ л еіе2■■■е^ VElE2...Ev

+ 2^ лі Vi

І—1

+

NE1E2■■■EV-1

+

Е

Еі Е2...Е„ Еі Е2 ■■■ЕV

а,• 2 V,-1 2 .

(14)

І—Ье1 е2...е1, +1

Помимо изложенного метода седловых точек для вычисления функциональных модулей а и коэффициентов А универсальных деформаций существует также альтернативный подход: метод степенных рядов (локальный) [14].

В табл. 1 и 2 в качестве иллюстрации приведены универсальные деформации некоторых соответственно краевых и угловых особенностей. Более подробные списки особенностей, а также методы их определения по виду функции Ф(п,а) можно найти в [1, 7, 9, 13, 15, 16].

Построенная классификация обобщённых краевых катастроф и полученные выражения для универсальной деформации позволяют детально интерпретировать и проводить анализ лучевой картины задачи. Для определения структуры собственно поля необходимо построение асимптотики интегрального решения.

Таблица 1

Краевые катастрофы

Символ особенности Е <Л Нормальная форма <р^(£,а) Деформации <р%,г= 1) •••) Ьд Деформации (/9®, г = 1, ..., Ье

Ви+\ = (Лгу,^) 1 1 2 N+1 £N+1 с,е,-,е —

См+1 = (А1,Ам) 0 66±^+1 6 £ £.Л/ — 1 <ъ2, •••, *ъ2

^4 = (^2,^2) 1/6 £ + 1 6,4142 46

^1,0 = (-041А2) 1/3 41 + аб42 + 42 6, 4142) £? 46

Л-4,2 = (Лз,^-з) 1/4 £ + <141 + Й 41) 4142 6, $

Алг,2 = (^4з,^4м-1) 1^ 6, 4142 £ л.Л/—2 <ъ2, *ъ2

1^6 = (Лг,^) 1/6 42 =Ь 6£з + 4341 + а66 & сГг\ ьо <Гт\ СО сГг\ ьою

Е1^2М-3 = (^-2ЛГ,^-з) 1/4 (41 + 4г) + а424^, N > 1 гСп <ГО </Т> (О <ГО (О г г> 1 6, $

^Ч2ЛГ-4 = (Л2ЛГ-1,Лз) 1/4 (41 + 42) + а^1 , N > 2 <ГО 1 </Т> (О </Т> (О г г> 1 6, й

Л-4,Л? = (Ал/Ч-1, Лз) 1/4 а£,1 + 4142 =Ь 42) ^ > 2 £26,6,.... еГ-1 6, й

-Р\,лг = 1/3 <+3 + е141 + е23, N>0 466,6, -, еГ+2 ь

А- = р5,Аз) 3/8 ±й + 6£? + <! 6, 66, & 6£1 6, й

х** = (А4,А4) 3/10 42 + 41 + а1б гСп '■р> <Гг> (О <Гг> (0(0 6, 42, 41

^8 = (Е6,А2) 5/12 41 + 41 + <?6 66, 6& 6, 41, 41 ь

в\ = (АгМ 1/4 42 ± 4243 + 6?1 + ^4241 6,66 6, 6, 41, 41

ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 2

О}

ьо

Таблица 2

Угловые катастрофы

Символ особенности Е <л Нормальная форма </?о(6а) Деформации

?' 1, ..., Ьд Е\ <А: , г = 1, ••., 1^Е1 Е-, <Рг “> 1 1, ..., % == 1,..., Т

{МЛпЛтЛ!) ^ п+1 т-\-1 4Т+1 + <1б+6"+1 ~ 6, -, & 6, -, 41™ —

(Ап,А1,А1,Ат) 1—т 2(га+1) ,Т+1 +66 + 66 + а^' бб, -, 6^_1 6 6 £ £т— 1 43, •••, Чз

{А2,А2,А1,А{) 1/6 ч1 + а662 + 63 4бб 6, Й 6 —

{А\,А1,А2,А2) 0 43 + 66 + 41 + а66 — 6 6, 66 6

{Аз,Аз,А1,А{) 1/4 41 + а1б42 + ^2642 + 42 4бб 6, 41, 41 6 —

{А\,А1,Аз,Аз) 0 43 + 66 + 41 + «166 + Й2643 — 6 6, 66 ся со ■и/> со

(А2,А2,А2,А2) 1/6 43 + 42 + 41 + «166 + «2666 — 6, 66 6, 66 6

(04,А2,А2,А1) 1/3 41 + 42 + а1б42 + а2Ч1б + ЙЗЧ1Ч2 4бб 6, 41 6, 41 —

(А2,АМ,А2) 1/6 43 + 66 + 41 + а14]ЛЗ + «266 + ЙЗЧ16 — 6 со ■и/> ^7> СМ ч—1 ^7> 6

(АъА2,А2,В4) 0 43 + 644 + (6 + 6)6 + «166 + «266 + «збб — 6 6 см со -и/> со ^У>

ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 2

Рассмотрим равномерные асимптотики, построенные методами волновой теории катастроф. Все они вне зависимости от типа особенности имеют одно общее свойство: решение строится как сумма некоторых специальных функций с коэффициентами, имеющими вид асимптотически сходящихся рядов по параметру. Такие равномерные асимптотические решения могут быть получены либо эвристически, то есть из сопоставления реальной каустической структуры задачи с эталонной каустической структурой, возникающей в окрестности каустической особенности того или иного типа, либо из анализа интегральных асимптотических решений систем (псевдо-) дифференциальных уравнений в частных производных.

III. Равномерные асимптотики

Подобно предыдущему разделу вначале введём необходимые определения теории волновых катастроф.

Определение 8. Быстро осциллирующий интеграл специального вида:

4) (С)^ и (С')0 — области интегрирова-

+СЮ -+с^

I Е(Л,а)

d£l...d£v

-+СЯ

+1..Л£К х ехр (гЕЕ (£,а,Л)} (15)

называется (главной) специальной функцией обобщённой краевой катастрофы (СВК) типа Е. Минимальная кратность СВК 8 равна 8 = Се1...е„ + V, где Се1...е„ — коранг особенности Ееь..е„ (особенности максимального сужения).

Определение 9. Введём обозначения:

1) Q — это один из символов: д, Ег, ЕгЕ^, EiEjЕт, ..., Е\Е2...Еи;

2) Е£^ = (FS)Q, то есть Е±я — сужение типа Q универсальной деформации ^ на край; Ея — тип обобщённой краевой катастрофы, которая соответствует сужению типа Q.

3) №)д —это вектор ^ = (^1, ..., ^$), из которого исключены компоненты с теми индексами, по которым выполнено сужение;

ния вида С = Пі, + то) х- • С = [0, + то)1 х -

- х [пі, + то) х В6-,

- х [0, + то)^ х В-,

из которых исключены интервалы вида [пі, + то) или [0, + то)і с индексами, соответствующими тем Пі(хі), по которым проводятся сужения типа Q.

1. Пусть вектор д состоит из всех возможных сужений, порядок которых меньше на единицу сужения Q. Обозначим через Q/j компоненту вектора д, не содержащую сужения = 0 (иначе Еі). Таким образом, если в сужение Q входят т компонент вектора х (или п) (т ^ и), то в сужение Q/j входят только т — 1 компонент, причём дополнительным сужени-

ем (&

0

Пі = П') можно перевести

Qlj в Q.

Сформулируем основную теорему. Теорема 2. Пусть фазовая функция Ф(п,х) в интеграле (4) с областью интегрирования (5) при х = хс имеет единственную обобщённую краевую особую точку

типа Е (7) (п = пс = ...п^п^^ ..., п0),

а /(п,х) и Ф(п,х) — аналитические (или регулярные) функции. Тогда существует такая открытая окрестность П С Цт точки хс и такое Ло(хс) > 0, что для всех х € П и всех Л ^ Л0 справедливо равномерное асимптотическое разложение

и (Л,х) = ехр(гЛ0(х)){[д] + [Е*] + [EiEj ] +

+ [EiEj Ек] + ... + [Е1...Е^ ]} (16)

состоящее из 2й слагаемых, первое из которых является определяющим, а остальные — поправочными членами [7, 9]. В формуле (16) каждая квадратная скобка является асимптотическим разложением

N0

д1ь о

Ю] = (17)

т=2 д^т-1

по специальным функциям (СВК)

ехР я)

С Ь

и их первым производным. Коэффициенты асимптотических разложений имеют вид асимптотически сходящихся рядов:

(і )я = £ (15“>(Л,х))

п=0

я

0

0

п=0

Я

(18)

и определяются с помощью 2й цепочек рекуррентных соотношений:

шЯ = (4п)) Я + ^^?.1 (Г) Я +

к=2

/ ж

+Е

д£к

(п)

Я

где в последней сумме, отмеченной «/», суммирование проводится только по индексам «к» (к Е (1, ..., 5)), соответствующим таким £к, которые не входят в сужение типа Q. Коэффициенты ШЯ имеют вид

/ д (н'п-1))

д? = Е - ;

Я

Шш(д)

+н

(п)

д£к

Я/ЗАз=0

(19)

и могут быть вычислены через амплитуду и фазу интегранты (4) [7], причём

Ш00 = -гЛ‘/21 |Д|

Б9

п

Е

д (нкп-1)

п > 0.

к д£к ’

А = ск*

д£

В формуле (19) (нjn))я/j — это функции, входящие в рекуррентные соотношения, соответствующие сужению Q|j■I

а (н^я/зл,=0 — это сужение функции (н(п))я/3 на край ^ = 0. Во втором слагаемом правой части (19) выполнено суммирование по всем j, дополняющим Q|j до Q, то есть по всем компонентам вектора д. Формула (19) справедлива при всех п ^ 0. При п = 0 первое слагаемое в правой части (19) следует отбросить (н(к) = 0 при к < 0).

Рассмотрим частные случаи, соответствующие различным типам волновых катастроф.

Следствие 1. Случай V = 0 соответствует основной катастрофе. Основная катастрофа возникает, когда область интегрирования неограниченная, а вырожденная седловая точка имеет конечно-определённую особенность типа Е. Равномерная асимптотика состоит из одного слагаемого вида (17):

и(Л,х) = ехр (гЛ0(х)) х ^,»д/Е(Б

X

19Р (Б(Л,х)) + > 19

Для определения коэффициентов асимптотического разложения через амплитуду и фазу интегранты (9) цепочки рекуррентных соотношений имеют вид [10]:

N

л*/|Д|

(0)

у9

X. X №

1 Я Ч9

9 з=2 дЬj-1

(0)

+

+

з=1

№

н

(0)

£аЖ±={1*"

з=1

д£

+

N0

+Е

у=2 ази

(п)

+

з=1

№

н

(п)

п

1. 2,

(20)

Следствие 2. Случай V =1 соответствует краевой катастрофе. Краевая катастрофа возникает, когда вырожденная седловая точка фазы интегранты (4) оказывается вблизи седловых точек (возможно, вырожденных) сужения фазовой функции на границу области интегрирования. Равномерная асимптотика состоит из двух групп слагаемых [5-7]:

и(Л.х) = ехр (гЛ0(х)) х

х

+

1Е/Ее (бе(Л.х)) + V Iе

дБ9 -1

дРЕ {Б дБЕ

+

Е

В каждую группу входит столько специальных функций, сколько седловых точек (лучей) соответствующего типа сливается в особой точке. Первое слагаемое, заключённое в квадратные скобки, содержит

1

3

9

9

9

I

9

9

У

краевую СВК, отвечающую краевой особенности в целом, а второе слагаемое является поправкой. Определяющим в этом слагаемом является вклад СВК соответствующей особенности Ее краевых лучей (Е£е = Ех;|^1=0). Коэффициенты 3 являются асимптотически сходящимися рядами (18), вектор Б имеет вид

Б = (Б9.Бе) = (Л9,а9,ЛЕ,аЕ) .

а IЕ (Б) (см. (17) с V =1) — это специальные функции краевых волновых катастроф — краевые СВК. Для определения коэффициентов асимптотического разложения через амплитуду и фазу интегран-ты (9) необходимы две цепочки рекуррентных соотношений: цепочка (29) для ГО коэффициентов и цепочка для краевых коэффициентов (п = 1, 2, ...):

(0)

Ме

/>Г)

9,^1=^ V )е ^ дБЕ_л у3 /е

З=2 3-1

+

<5

+£

3=2

дР^Е (Н(0)

д£

З

Е

гн

(п)

+

9 ,«1=0

Л д(н,

■

3=2

п- 1 3 ) Е

д£з

(П >е +

Ме

+г

д&

Е

Следствие 3. Случай V = 2 соответствует угловой катастрофе. Угловая катастрофа возникает, когда вырожденная сед-ловая точка фазы интегранты (4) оказывается вблизи седловых точек сужений фазовой функции на границы области интегрирования и на угловую точку. Равномерная асимптотика состоит из четырёх слагаемых [7-9]:

и = ехр (гЛ0) | [ЕЗ-1

V 3=1

Ё

N1

111 + 1т

д1

т=2

дБт-1

(21)

содержащих угловую СВК, её первые производные, а также краевые и основные

СВК, отвечающие особенностям сужений фазовой функции. В (21) введены обозначения: Е£0 = Е = (Е9,Ее1 .ЕЕ2 ,Ег);

ЁЗ = (ЕЕ1 ,Ег), j = 1,2; Ёз = £г. 1

это СВК ^ = 0 — угловая; j = 1,2 — краевые; j = 3 — основная). Аргументы СВК Бз состоят из компонент векторов а и Л.

Для определения из рекуррентных соотношений (26-28) коэффициентов асимптотических разложений, имеющих вид асимптотически сходящихся рядов типа (12), может быть использован метод глобальной асимптотики, аналогичный методу седловых точек для определения параметров универсальной деформации [7]. Например, в случае краевых катастроф из выражений (13), (14) нетрудно получить три замкнутые системы уравнений для вычисления коэффициентов асимптотического разложения в главном приближении:

1) система для вычисления ГО коэффициентов :

(0)

+

N.

*Е(Щ (<Г).-

з=2 ^ 3-1 / (р) 9

2) вспомогательная система для вычисления н1(0)

9 ,(Р),«1=0

\Е _ Л(0)'

Л«(/ |Д|)5м.=„= ('Г’)я +

+ (я<«л ,(ЩЕ ,

V 1 Л,(?->),«1=0 V ^6 / (р)£1=0

р = 1. .... NE;

3) система для вычисления краевых ко-

(0) : Е

гн

+

9,(р),«1=0 V ^ УЕ

ме / гч т-1 \ Е

.....*

З=2 ^ 3-1 ' (р)

Величины, отмеченные индексами (р) и д или (р) и Е, вычисляются в ГО или

9

З

краевых седловых точках соответственно. Обобщение для произвольного значения, соответствующего обобщённым краевым катастрофам, очевидно [7]. Метод глобальной асимптотики эквивалентен методу асимптотического сшивания равномерных и неравномерных асимптотик.

Важной проблемой является изучение свойств СВК и их первых производных, а также разработка численных методов их расчёта. Амплитудно-фазовые структуры простейших СВК хорошо известны. Так, таблицы функции Эйри (V =0, Е = А2) построены ещё В.А. Фоком.

Все методы расчёта СВК основаны на свойствах этих специальных функций, среди которых следует выделить:

1) интегральные представления СВК;

2) представления СВК в виде рядов Тейлора;

3) системы канонических уравнений;

4) неравномерные асимптотики;

5) асимптотики по большому параметру, полученные методом регуляризации.

Остановимся подробнее на методе, основанном на использовании систем канонических уравнений.

IV. Специальные функции обобщённых краевых катастроф

Специальные функции краевых и угловых катастроф (СВК) и их производные имеют вид многократных быстро осциллирующих интегралов (15). В силу специального вида универсальной деформации СВК обладают рядом свойств, позволяющих разработать эффективные алгоритмы их расчёта. Можно показать, что СВК, определённые как (15), удовлетворяют системам дифференциальных канонических уравнений второго или первого порядка [7,9,17] вида

Мк Iе (А,а)

д

V,

0, к

V + 1, ..., Е

3к Iе (А,а) = д2

двк дАН1 дАН2к

I (А,а) = 0,

В качестве примера выпишем системы канонических уравнений для СВК обобщённой краевой катастрофы Е = А1 (V = 8 = 5 = 3) в случае положительных знаков в универсальной деформации (табл. 1, для отрицательных знаков обобщение очевидно). Первая группа уравнений имеет вид

~2%д\Е2«з + Ае2ЁЗ/У11(А,а) =

= IIА (АЕ1Ез,АЕ1Е2 ,аЕ1) ,

~213\ехЕз + хЕ1ЕчА1(Х’а) =

= IIА* (АЕ2Ез,АЕЕ ,аЕ2) ,

~‘М~0ХЁ^ + ^Е1Е21А1(^а) =

= IIА (АЕ2Ез,АЕ1Ез,аЕз) . (22)

Вторая группа уравнений в данном примере связывает производные по функциональным модулям с производными по коэффициентам:

.д^!

д21А1

даЕ1 дАЕ1 Ез дАЕ1Е2

д1А 1 д21А1

даЕз 0 \ Ез Ез Д Ех Еп

д1А 1 д21А1

даЕз 0\Е2Ез£)^Е1Ез

дIAl г = д21А1

Все три уравнения (22) являются неоднородными. В их правой части стоит СВК угловой катастрофы Е = А\, которая сама удовлетворяет системе канонических уравнений (см. обозначения табл. 1):

дтА1

2г—^ + \Е21АЦ\Е2,\Е\а9) = ИА* (А®1) дА 2

ЯТ--1

-2г—— + ХЕ11А"(ХЕ21ХЕ11а9) = г1А? (А®2)

А4

дАЕ

А4

2 тА*

д21

да9 дАЕ1 дАЕ2'

к =1, ..., Ь + &ша — Е

Интеграл в правой части уравнений (411) и (412) — это интеграл Френеля — СВК

краевой катастрофы Е = Л\ = В2. Единственное каноническое уравнение, которому удовлетворяет этот интеграл (см. обозначения в табл. 1, имеет вид

-^ + ла^<ла>

г.

Таким образом, в систему канонических уравнений для СВК входят неявным образом системы канонических уравнений всех сужений, что необходимо учитывать при построении численных решений.

На основе систем дифференциальных канонических уравнений в [7, 18, 19, 20] для расчёта СВК разработан метод обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), который позволяет избежать прямого вычисления многократных СВК (15). Вместо этого необходимо решать линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно СВК и её первых производных, входящих в равномерную асимптотику:

<т

= Wn+1)

где

W

а П — линейные функции своих аргументов.

Рассмотрим амплитудно-фазовые структуры некоторых основных, краевых и угловых СВК. Далее мы не будем различать понятия «амплитудная структура поля» и «амплитудная структура СВК», имея в виду аппроксимацию решения задачи СВК соответствующей особенности.

V. Амплитудные структуры основных, краевых и угловых СВК

Приведём результаты расчётов СВК для некоторых основных, краевых и угловых СВК.

На рис. 2 была представлена лучевая и каустическая структура для катастрофы

А5. СВК данной особенности имеет вид однократного интеграла, зависящего от четырёх параметров:

+ СС

1Лб (Л1,Л2,Лз,Л4)

ехр[г(х6 + л4х4+

+Л3Х + Л2 х + Л1х)]1х.

Амплитуда данной СВК представлена на рис. 5. В качестве примера выбрано сечение в переменных Л1 и Л2, соответствующее значениям нулевому значению Л3 = 0 и отрицательному Л. В данном случае в центральной области интерферирует уже пять лучей. При больших значениях параметров Л4 в окрестности этих точек поле будет описываться функцией Пирси и аддитивным вкладом двух оставшихся седло-вых точек. В нижней части графика происходит интерференция двух ГО лучей, и поле имеет типичную интерференционную структуру. В верхней части, выше каустики, волнообразная структура обусловлена взаимодействием действительного ГО и комплексного луча, связанного с каустикой.

Л

Со

МУ©

Рис. 5. Амплитудная структура СВК основной катастрофы А5 («бабочка»)

Краевая катастрофа С3 соответствует точке слияния каустики краевых лучей и предельного ГО луча (рис. 4). СВК данной особенности имеет вид

+ СЮ +СЮ

I°3 (Л1 ,Л2)

1х

ехр[г(ху ± у3+

+Л2У2 + Л1у)]1у.

0

-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8 3.

Л

-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8 3.

Рис. б. Амплитудная структура СВК краевой катастрофы C3-

-3 -1.8 -О.б 0.6 1.8 3.

Л

Рис. 7. Амплитудная структура СВК краевой катастрофы СНа рис. 6 и 7 представлены линии равного уровня амплитуды для знаков «+» и «-» соответственно. В обоих случаях каустика краевых лучей определяется уравнением Аі = 0, только в первом случае область каустической тени расположена при А1 > 0, а во втором случае при А1 < 0. В первом случае (рис. 6) зона «света» ГО лучей находится внутри параболы. Таким образом, внутри параболы интерферируют три луча (ГО луч и два краевых луча), что приводит к слабым осцилляциям на фоне сильного ГО поля; когда А1 < 0. два краевых луча интерферируют вне параболы, и, наконец, когда А1 > 0, остаётся только один комплексный краевой луч. Во

втором случае (рис. 7) зона «света» ГО лучей находится вне параболы. Таким образом, внутри параболы интерферируют два краевых луча, когда А1 > 0, вне параболы интерферируют два краевых и ГО луч, и, наконец, при А1 < 0 остаются только ГО луч и комплексный краевой луч. Влияние комплексного краевого луча очень мало.

Л

-г —-А.** _ X.-» •*. С. I.

А

Рис. 8. Амплитудная структура СВК краевой катастрофы К4,2

Краевая катастрофа К4,2. Данная катастрофа соответствует совместной каустике ГО и краевых семейств лучей. Амплитудная структура СВК особенности К4 2 представлена на рис. 8. СВК данной особенности имеет вид

+ СЮ

+СЮ

IK42 (Л1, Л4^)

dx1

dx2

x exp [i(x2 + ax1x2 ± x2 + Л^2 + Л^2 + Л^ + + Л4Xl x2)].

Для «центрального сечения» особенности, что соответствует случаю, когда каустики ГО и краевых лучей совпадают, все ГО лучи являются краевыми лучами одновременно и всякое отклонение по фазе ГО поля и поля краевых лучей отсутствует, структура СВК краевой особенности K4,2 полностью аналогична (вплоть до умножения на постоянный множитель) структуре СВК основной особенности A3. На рис. S представлена амплитудная структура СВК для значения a = —1, когда каустики ГО и краевые семейства лучей разделены. Общая структура поля остаётся

0

той же самой (аналогичной структуре А3), так как при данном значении функционального модуля оба каустических острия расположены по одну и ту же сторону. Однако тонкая структура поля подвергается значительным изменениям: минимумы, наиболее чувствительные к фазе поля, смещаются, изменяются значения максимумов (значение главного амплитудного максимума изменяется от 2,25 до 3,25). Более существенные отличия амплитуды от амплитуды «центрального сечения» возникают в плоскости, где А3 = 0 или А4 = 0.

Угловая катастрофа (А2,А2,А1 ,А1). На рис. 9 показана амплитудная структура СВК особенности Е = (А2,А2,А1,А1). Данная катастрофа описывает дифракцию радиоимпульса на полуплоскости в однородной плазме. СВК данной особенности имеет вид двукратного интеграла:

+ СЮ

+ СЮ

I Е(А1,А2,Аэ,А4,а)

йх

ехр[г(х2 + у3+

+аху2 + А1Х + А2У + Азу2 + А2ху)]йу.

Уравнение А1 = 0 определяет границу «свет-тень», а уравнение А2 = 0 описывает одновременно границу «свет-тень» и каустики краевых и ГО лучей. Структура поля представляет набор максимумов, иду-тттих вдоль границ «свет-тень», больших по амплитуде вдоль каустики ГО и краевых лучей.

10 -7.5 -5 -І.5

Л

Рис. 9. Амплитудная структура СВК угловой катастрофы (А2, А2, А1, А1)

VI. Заключение

Рассмотренные в статье равномерные асимптотики обобщают известные ранее асимптотические разложения, полученные, например, в [10, 12] для основных простых катастроф, а также для краевых и угловых катастроф в [5-9]. Отметим также, что наиболее полно равномерные асимптотики однократных быстро осциллирующих интегралов рассмотрены в работах [11, 21-23].

В качестве резюме сформулируем алгоритм построения асимптотических решений дифференциальных уравнений (1) в виде асимптотических разложений по СВК и их первым производным. На первом этапе строится формальное интегральное решение в виде (4, 5, 7), например, методом КОМ. Для краевых задач КОМ позволяет получить фундаментальное интегральное асимптотическое решение и затем использовать принцип свёртки [7]. Из анализа особенности фазовой функции ин-тегранты с учётом границы области интегрирования определяется (необходимые и достаточные условия см. в [7, 8]) тип обобщённой краевой катастрофы и в соответствии с теоремами 1 и 2 строится равномерная асимптотика.

Существует альтернативный подход, согласно которому на первом этапе строятся лучевые (ГО, ВКБ, ГТД) решения и из анализа топологии каустик всех лучевых семейств и границ «свет-тень» (по «атласам каустик» [7]) определяется тип обобщённой краевой катастрофы и соответственно вид равномерной асимптотики. В этом случае параметры равномерной асимптотики (аргументы СВК и коэффициенты асимптотических разложений) находятся методом асимптотического сшивания с неравномерной асимптотикой. Получаемые формулы аналогичны тому, что дают методы седловых точек и глобальной асимптотики.

В последнее время изложенные выше методы волновой теории катастроф нашли применение не только в стационарных задачах, но и при описании распространения, дифракции и фокусировки радиосигналов [21, 25, 26, 27] и видеоимпульсов [28, 29], а также при решении задач с

о

о

нелинейной средой распространения излучения [30, 31].

Полученный фактический материал, включающий в себя нормальные формы и универсальные деформации особенностей, атласы каустик и лучевых структур, амплитудно-фазовые структуры СВК, справочный материал по СВК, а также необходимую библиографию, содержится в созданной нами Информационной системе «Волновые катастрофы в радиофизике, акустике и квантовой механике» [32].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 06-02-16804,

07-02-00663).

Литература

1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гу-сейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Ч. I. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. — М.: Наука, 1982.

2. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. — М.: Наука, 1972.

3. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квази-классическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976.

4. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: МГУ, 1965.

5. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Palkin E.A. Uniform asymptotics for evaluating oscillatory edge integrals by methods of catastrophe theory // Soviet Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 1987. — V. 2, N. 4. — P. 219-312.

6. Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Краевые катастрофы и асимптотики // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 291. № 4. — С. 823-827.

7. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Палкин Е.А. Краевые и угловые катастрофы в задачах дифракции и распространения волн. — Казань: Каз. авиационный институт, 1988.

8. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Палкин Е.А. Равномерные асимптотики и угловые катастрофы // Доклады РАН. — 1995. — Т. 341, № 4. — С. 456-459.

9. Крюковский А.С., Лукин Д.С. Построение равномерной геометрической тео-

рии дифракции методами краевых и угловых катастроф // Радиотехника и электроника. — 1998. — Т. 43. № 9. — С. 1044-1060.

10. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций с вырожденными седловыми точками: Препринт. — М.: ИРЭ АН СССР, 1984. — № 41 (413).

11. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987.

12. Duistermaat J.J. Oscillatory

integrals: Lagrange immersions and

unfolding of singularities // Communic. on Pure and Appl. Math. — 1974. — V. 27, N. 2. — P. 207-281.

13. Крюковский А.С., Растягаев Д.В. Классификация унимодальных и бимодальных угловых катастроф // Функциональный анализ и его приложения. — 1992. — Т. 26, вып. 3. — С. 77-79.

14. Крюковский А.С. Локальные равномерные асимптотики волновых полей в окрестности основных и краевых каспоид-ных каустик // Радиотехника и электроника. — 1996. — Т. 41, № 1. — С. 59-65.

15. Sieresma D. Singularities of functions on boundaries, corners, etc // Quart. J. Math. — 1981. — V. 32, N. 125. -P. 363-371.

16. Крюковский А.С., Лукин Д.С.,

Палкин Е.А., Растягаев Д.В. Волновые катастрофы фокусировки в дифракции и распространении электромагнитных волн // Радиотехника и электроника. — 2006. — Т. 51, № 10. — С. 1155-1192.

17. Крюковский А.С., Лукин Д.С.,

Палкин Е.А. Специальные функции вол-

новых катастроф: Препринт. — М.: ИРЭ АН СССР, 1984. — № 43 (415). — 75 с.

18. Крюковский А.С. Метод обык-

новенных дифференциальных уравнений для расчёта специальных функций волновых катастроф (СВК) // Дифракция и распространение электромагнитных и акустических волн. — М.: МФТИ, 1992. — С. 29-48.

19. Карепов С.Л., Крюковский А.С. Расчёт волнового поля методом интерполяционной локальной асимптотики // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т. 46, № 1. — С. 40-46.

20. Крюковский А. С., Лукин Д. С. Теория расчёта эталонных фокальных и дифракционных электромагнитных полей на

основе специальных функций волновых катастроф // Радиотехника и электроника. — 2003. — Т. 4S, № S. — С. 912-921.

21. Ludwig D. Uniform asymptotic expansion of the field scattered by a convex object at high frequencies // Communication on Pure and Applied Math. — 1966. — V. 19, N. 2. — P. 215-250.

22. Bleistein N. Uniform asymptotic expansions of integrals with many nearly stationary points and algebraic singularities // J. Math. and Mech. — 19бТ. — V. 2Т, N. б. — P. 533-559.

23. Rice S.O. Uniform asymptotic expansions for saddle point integrals-application to a probability distribution occurring in noise theory // The Bell. Syst. Tech. J. — 196S. — V. 4Т, N. 9. — P. 19Т1-2013.

24. Крюковский А. С., Растягаев Д.В., Вергизаев И.А. Трехмерные пространственно-временные фокусировки волновых полей типа катастроф // Радиотехника и электроника. — 1999. — Т. 44, № 4. -С. 455-4б2.

25. Ипатов Е.Б., Крюковский А.С., Лукин Д.С., Растягаев Д.В., Чистяков Д.Н. Компрессия, фокусировка и инверсия частотно-модулированных радиоимпульсов в пространственно-временных областях типа катастроф // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т. 46, № Т. — С. S16-S25.

26. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Растягаев Д.В. Классификация и равномерное асимптотическое описание пространственно-временных трёхмерных краевых фокусировок волновых полей // Радио-

техника и электроника. — 2005. — Т. 50, № 10. — С. 1221-1230.

27. Крюковский А.С., Зайчиков И.В. Особенности распространения радиоимпульсов в средах с дисперсией // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2008. — Т. 13, № 8. — С. 36-41.

28. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Растягаев Д.В. Теория пространственной фокусировки видеоимпульсов в диспергирующих средах // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2007. — Т. 12, № 8. — С. 15-25.

29. Аллин И.В., Крюковский А.С. Особенности распространения видеоимпульсов в плазме в окрестности светового конуса // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2007. — Т. 12, № 8. — С. 26-40.

30. Крюковский А.С., Сарен Ю.В. Исследование влияния слабой нелинейности среды на каустическую фокусировку кас-поидного типа // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47, № 1. — С. 63-69.

31. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Сарен Ю.В. Бифуркации типа катастроф при изменении параметров тепловой нелинейности среды распространения электромагнитных волн // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2008. — Т. 13, № 8. — С. 31-35.

32. Дорохина Т.В., Крюковский А.С., Лукин Д.С. Информационная система «Волновые катастрофы в радиофизике, акустике и квантовой механике // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2007. — Т. 12, № 8. — С. 71-75.

Поступила в редакцию 21.10.2008.