CC BY
17
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ КРАЕВЫЕ КАТАСТРОФЫ И РАВНОМЕРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Крюковский Андрей Сергеевич,
АНО ВО Российский новый университет, Москва, Россия
Бова Юлия Игоревна,
АНО ВО Российский новый университет, Москва, Россия
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10174
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-02-04206-а)
Ключевые слова: краевые катастрофы, поля, волны, частотная модуляция, дисперсия, равномерные асимптотики, плазма, распространение, пространство-время.
Исследовано применение теории краевых волновых катастроф к проблеме описания распространения электромагнитного излучения в холодной плазме в нестационарном случае. Изучены условия образования краевых особенностей при распространении частотно-модулированного радиоимпульса в однородной диспергирующей среде - ионосфере, характеризуемой плазменной частотой. Предполагается, что эффективная диэлектрическая проницаемость среды (холодной плазмы) зависит от круговой частоты как единица минус отношение квадрата плазменной частоты к рабочей частоте. Начальная фаза поля пропорциональна несущей частоте, умноженной на начальное время выхода сигнала и нелинейную функцию, характеризующая частотную модуляцию радиосигнала. Эта функция с точки зрения теории катастроф ответственна за пространственно-временную каустическую фокусировку геометрооптический лучей, а с физической точки зрения характеризует компрессию и декомпрессию радиосигнала. Учтена комплексная частотная характеристика фильтра приемного устройства. Рассмотрен полубесконечный радиосигнал, задаваемый функцией Хевисайда. Первоначально решение задачи представлено в виде быстроосциллирующего интеграла по частоте и начальному времени выхода сигнала. При рассмотрении пространственно-временной фокусировки помимо вклада геометрооптических лучей существенную роль играет вклад пространственно-временных краевых лучей, порождаемых начальной точкой полубесконечного радиоимпульса. Игнорировать вклад краевых лучей возможно, с некоторой степенью точности, только вдали от границы "свет-тень" пространственно-временных геометрооптических лучей, где вклад краевых лучей обычно существенно меньше вклада геометрооптических лучей. Фокусировки возникают при условии равенства нулю вторых производных фазовой функции по частоте и времени. Показано, что возможны лишь одномерные каспоидные фокусировки пространственно-временных геометрооптических лучей серии А.
В работе приведены лучевые и каустические структуры для простых (нуль-модальных) катастроф B, C, F и равномерные асимптотики как для простых пространственно-временных краевых особенностей, так и унимодальных и получены равномерные асимптотики с использованием специальных функций волновых катастроф. В общем случае равномерная асимптотика выражается по формуле, содержащей специальную функцию краевой волновой катастрофы, её производные, специальную функцию сужения катастрофы на границу, и её производные.
Информация об авторах:
Крюковский Андрей Сергеевич, д.ф-м.н., профессор, декан факультета Информационных систем и компьютерных технологий
АНО ВО Российский новый университет, Москва, Россия
Бова Юлия Игоревна, старший преподаватель кафедры Информационных технологий и естественнонаучных дисциплин,
АНО ВО Российский новый университет, Москва, Россия
Для цитирования:
Крюковский А.С., Бова Ю.И. Пространственно-временные краевые катастрофы и равномерные асимптотические решения волновых
уравнений, описывающие распространение волн в холодной плазме// T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №11.
С. 34-42.
For citation:
Kryukovsky A.S., Bova Yu.I. (2018). Space-time EDGE catastrophes and uniform asymptotic decisions of the wave equations describing
wave propagation in cold plasma. T-Comm, vol. 12, no.11, pр. 34-42. (in Russian)
При описании распространения излучения в холодной однородной и неоднородной плазме возникает проблема построения равномерных асимптотических решений. Нами исследовано применение теории краевых катастроф к проблеме описания распространения частотно-модулированных электромагнитных волн в плазме.
Рассмотрим условия образования краевых особенностей (катастроф) при распространении частотно-модулированного радиоимпульса в однородной диспергирующей среде - ионосферной плазме. Будем считать, что поле и удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона:
Ар и -
I д2и с2 et2
СО
(1)
J Jz(û>)w0(r)exF
t-т—Цсо))
1/2
dcodr W
В формуле (2) r = Irl = a — эффективная диэлекгриче-
ская проницаемость среды (холодной плазмы):
«М-1-4
СО
Выражение для начального поля иа имеет вид:
(3)
«(Я')
r=r„,t=z
=ио(Т) = —ЖТ) ехр| 'Фо};
г0 —>0, о)0 »сор,
(4)
совместно со своими сужениями определяет лучевые семейства, описывающие распространение радиосигналов в пространстве-времени:
ф(г,<э,г,/) +й//-г--I +а>0(г+/(г))- (8>
Семейство пространственно-временных геометрооптических лучей находится из анализа седловых точек фазовой функции как решение системы уравнений, полученной приравниванием нулю производных фазовой функции по начальному времени и круговой частоте:
В выражении (1) с - скорость света; г = (.Х',у,2) - координата точки наблюдения, I - время, а о - плазменная частота.
Пусть источник излучения находится в начале координат. Тог да решение задачи может быть представлено в виде быегроосциллирующего интеграла по круговой частоте со и начальному времени выхода сигнала г (см., например, [1, 2]):
+00+00
A W \ Л
- =<>i =~û)+û) +Ф fi (г)=0' ОТ
5Ф л г / ч л —- =Ф2 = г-т--=-+jr,(û>J=0-
OCO С^Е(СО)
(9) (10)
В формулах (9-10) /. =д]//дг', а - Функ-
ция / (г) с физической точки зрения характеризует компрессию и декомпрессию радиосигнала, а с позиций теории катастроф ответственна за каустическую пространственно-временную фокусировку геометрооптический лучей.
Для дальнейшего анализа фокусировок необходимо вычисление вторых производных фазовой функции Ф по ги со\
02Ф Вт2 д2Ф дтдео
В2 Ф
=Фп=й?0/2(Т>
= ф13=-1*0>
Всо с ctf
Нетрудно показать, что
Ф.*,я =0' в>1. k>\-, ф =й>0/„{т)> п>2.
(И) (12)
(13) (И)
Предполагается, что фаза Ф(, начального поля щ зависит от времени по закону:
Фо^л^Дг» (5)
где сиа — несущая частота; /(г) — гладкая функция, характеризующая частотную модуляцию радиосигнала. Под интегран-ту также входит функция
1(со) = \1(а>)\ ехр{ /$(й))} (6)
- комплексная частотная характеристика фильтра приемного устройства. Рассмотрим полубесконечный радиосигнал, задаваемый функцией Хевисайда и некоторой гладкой функцией а(т) - огибающей радиосигнала:
А(т)=Х(т)А(т),х(т)=^^°. (7)
[О, г<0
Величина интеграла (2) определяется вкладами его критических точек, которые соответствуют лучевым семействам различного типа. Критическими точками интеграла являются полюса (в данной задаче отсутствуют), седловые точки фазовой функции, а также, благодаря функции Хевисайда, седловые точки сужения фазовой функции на начало импульса (т=0).
Рассмотрим фазовую функцию Ф интегранты, которая
В формулах (11-14) индексами обозначены производные по г(1) и по со (2) соответственно.
Из равенства (12) следует, что максимальный корапг матрицы Гесса вторых производных фазовой функции Ф равен I. Поэтому в данной задаче возможны лишь одномерные, то есть каспоидпые фокусировки (X — А ) пространственно-временных геометрооптических лучей [1,2]. Если функция /(т) зависит от г линейно, а ¿' — 0, то прострап-
ственно-временные геометрооптические лучи не фокусируются, Когда
(15)
координаты каустики (гс, в пространстве-времени
как функции параметра Т определяются равенствами (см. [2, 3]):
а<а0сор
tc=r+-
=£{еосУ,
сос =й>„(1 + аг)- (16)
Гладкая каустика (без края) пространственно-временных геометрооптических лучей рассматривалась в различных работах (см., например, в [4-8]),
7ТТ
Щ
СВК краевой волновой катастрофы Су+ь СВК краевой волновой катастрофы Сдач имеет вид двукратного интеграла от экспоненты, к показателе которой стоит отрезок полинома по двум переменным. Интегрирование по одной переменной ведется от 0 до +ао , а по другой от - оо до -н». Специальная функция сужения 1 ^ (Я|,...,ЯЛ_|) =
(23)
= |ехр +
-ф
то есть СВК основной волновой катастрофы Ац. имеет вид однократного интеграла от экспоненты, в показателе которой стоит отрезок полинома, а интегрирование от - оо до -к».
Рассмотрим теперь случай, когда одновременно и .у (й?) Ф 0. и /(г) Ф 0- Тогда могут возникнуть каустики и их
особенности как пространственно-временных геомегрооп-тичееких лучей, так и краевых лучей. Положение каустики пространственно-временных геометрооптических лучей в
пространстве Я хТ определяется системой из трех уравнений с двумя параметрами г и со~. уравнений (9) (10) и уравнения
Ф22-Ф11КФ12)2, (24)
эквивалентного
(О,
иг(т)
( (2 {(0) + --^{£{(0))
1-3/2
с (О
=1'
(25)
Каустика пространственно-временных краевых лучей определяется системой из двух уравнений с параметром ео:
2
с о?
=о;
с^е(<х>)
Из анализа формул (9-10), (25-26) следует, что каустики краевых лучей не пересекаются с каустикой геометроопти-ческих лучей. Поэтому в данной задаче не формируются особые центральные сечения (то есть сечения краевых катастроф, проходящие через центральную особую точку) за исключением катастроф Влч 1 и Сдц. Однако образуются сечения каустических структур катастроф типа 2=(Адг ,Адг ) с такими и Д'е, которые допустимы в
соответствии с классификацией краевых катастроф (см. таблицы 1 и 2, а также [3, 12]), В таблице 1 представлены особые ростки простых и некоторых унимодальных краевых катастроф, а в таблице 2 - возмущения, В таблицах 1-2 введены обозначения; М- Д'„ + Д'^, — кратность особенности, I — коразмерность особенности, М— модальность катастрофы, а - функциональный модуль.
Для того чтобы составить универсальную деформацию особенности, необходимо, выбрать катастрофу (строчку в таблице), записать особый росток из табл. 1 и добавить к нему возмущения из табл. 2 с коэффициентами Хг
Положения центров краевых катастроф можно определить, пользуясь необходимыми и достаточными условиями, приведенными в таблице 3 [2, 3, 12-16].
Таблица 1
№ I Т Особый росток N 1 М ае
] А А ±с2 2 2 0 1
2 С2 2
3 А N 0 1
4 А Ар/ N 0 2
5 А2 А2 ±с,2 ±£3 4 3 0 2
6 А А 6 4 1 2
7 ЛЧ,2Л'-3 Л2N Л 2Л'+3 2Л'+1 1 2
8 л1,2АГ-4 2ДГ+2 2Ы 1 2
9 КN,2 N+2 N 1 2
10 А4 А ?5 + С2+аЯ3 8 6 1 2
Таблица 2
№ I Возмущения: Ограничения на функциональный модуль а
1 В2 С -
2 С2 № -
3 в\'+] -
4 -
5 -
6 К4 2 а2Ф± 4
7 К" \ЛN-Ъ аФ 0
8 К* 1,2^-4 аФ 0
9 К-Н,2 аФО
10 с
Таблица 3
I X Необходимые п достаточные условия Общее условие: Ф| - Фп — Ф = 0
^ЛГ+1 Ах А, 1 ф]( =0,к = 1,...,М; ф[ЛГ+(
А 2 ф1к = 0. к = 1,...,М; Ф2у+1 *0,Ф,2
2 ф12 =ф22 = 0; Фц Ф222 Ф 0
^■4.2 2 Ф2222 ф 0 ; Фм Ф222 = Ф22 = Ф12 =0: ФпФ2222 ФЗ Ф2122
Кщщ 2 Ф2к =0- к = ],...,N - 1; Ф^д, Ф0 фм ф 0; Ф12 = 0; Ф,22 N>5
4 3 2 Ф22 = ф]2 = ф222 = 0Ф2222 * 0 ; Ф11 * 0 Ф, ,Ф2222 = 3 Ф2П2; ФцФ22222 * 1 0Ф11ф122ф1222 "> 5ф, 12(Ф122 У
<м к ¿5 ¿3 2 Ф22=Фп=Ф222 =0:Ф2222 * 0;Фп Ф0 Ф1 |Ф2222 = ЗФ?22 ; фпф22222 = 1 0Ф11Ф122Ф1222 " 1 5Ф112(Ф122 )2 ' ФПФ222222 * 15ФГ1Ф12222Ф122+15Ф1ПФШ~ -45ФПФ1122ФГ22 + 10[Ф;1Ф1222 -ЗФ|12Ф|22]2
а4 а4 2 Ф22 = Ф12 = Ф222 = Ф122 = Ф2222 = Р> Ф22222ФП * 0
И общем случае равномерная асимптотика выражается по формуле (подробнее см. [3, 12]) содержащей СВК краевой волновой катастрофы X =(ХВ, ХеХ сё производные, специальную функция сужения катастрофы на границу т=0, то есть СВК! основной волновой катастрофы типа ■ и её производные:
и(г,г)=е
¡в
N.
д\-
к =2 с:>к-1 31х*
ыг
Е д$Е
(27)
7ТТ
350 400 450 500 550 600 650
t. МКС
Рис. 8
Здесь Iх(5) - СВК краевой волновой катастрофы X 1н). S = (Sg, SK) - аргументы СВК, включающие коэффициенты (A¡) и функциональные модули (íí),
~ специальная функция сужения катастрофы на
границу г=0, то есть СВК основной волновой катастрофы типа Zb ;Ve - кратность (число лучей) геомстрооптической катастрофы /Vt - кратность (число лучей) краевой катастрофы Se-
Например, если
/(г)Лг2, (28)
то образуется сечение краевой катастрофы F4 = (А 2, А ) .
1!а рисунках 7 и 8 показаны сплошными тонкими линиями пространственно-временные геометрооптические лучи, толстой линией с точкой обрыва каустика пространственно-временных геометрооптических лучей, штриховыми линиями пространственно-временные краевые лучи и толстой непрерывной линией каустика краевых лучей. Предельный геометрооптический луч касается как каустики геометрооптических лучей, гак и каустики краевых лучей, но н разных точках:
1 ( t > и
• pW ) сЕ Р
рЛ{е{со0ГП- <29>
СО,,
(, НЕС
Рис. 7
Лучевая и каустическая структуры, а =1300 с\ Ь =-1,5 10~п с2.
На рисунке 8. являющимся фрагментом рис. 7, видно, что каустики не пересекаются.
Лучевая и каустическая структуры, фрагмент рис, 7, а =1300 с'1, Ь =-1,5 10"" с3
Равномерная асимптотика радиосигнала в случае особенности Р4 содержит СВК катастрофы IV её производную, СВК катастрофы Л2 (функцию Эйри) и ее1 производную и имеет вид
-Ив -Н»
IЦ,Й2,Лз)= рс |ехр{г {±С+^-+Л]г + Л2С+ щЫ
0 -и
(31)
СЕЖ краевой волновой катастрофы Р4, а
+М
А*(4ИА*Ш= (32)
функция Эйри (СВК основной волновой катастрофы А:).
Аналогичные выражения справедливы и для более сложных краевых особенностей. Например, равномерная асимптотика радиосигнала в случае унимодальной краевой катастрофы к.4 т [17] содержит СВК катастрофы К4 г две
производные и функция Пирси (СВК основной волновой катастрофы А3) и её две производные:
В формуле(30)
( I л
где
+О0
I (34)
-КС
х Jexpjt agV±? + Х£г + ЛС +
-40
СВК краевой волновой катастрофы
+0С
Jcxp + (35)
-со
функция Пирси (СВК основной волновой катастрофы Аз).
Таким образом, в настоящей работе рассмотрен подход, лежащий в основе применения теории краевых волновых катастроф [3, I8-21J к описанию распространения частотно-модулированных радиосигналов в холодной плазме - ионосфере Земли 122-24J. Приведены лучевые и каустические структуры для простых (нуль-модальных) катастроф B;V+¡, СЛч-|, F4 и равномерные асимптотики как для простых пространственно-временных краевых особенностей, так и унимодальных.
Литература
!. Крюковский A.C.. Лукин Д.С. Краевые и угловые катастрофы а равномерной геометрической теории дифракции. Учебное пособие. М.: МФТИ. 1999. 134 с.
2. Крюковский A.C., Скеорцова Ю.И. Применение теории катастроф для описания пространственно-временной структуры частотно-модулированного сигнала в плазме // Электромагнитные волны и электронные системы. 2013, Т. 18. № 8. С. 18-23.
3. Крюковский A.C. Равномерная асимптотическая теория краевых и угловых волновых катастроф М.: РосНОУ, 2013. 368 с,
4. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд. М.: 11аука, 1967, 684 с.
5. Кравцов /O.A., Островский Л.А., Степанов Н.С. Геометрическая оптика неоднородных и нестационарных диспергирующих сред. И ТИИЭР. 1974. Т.62. № 11. С. 91-112.
6. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука. 1980. 304 с.
7. Felsen L.B. Transiems in dispersive media, pari I: theory // ШЕЕ Trans, on Ant. and Prop, 1969. AP-I7.№ 2, pp.191-200.
8. Lewis R.M, Asymptotic theory of transients //In: Electromagnetic Wave Theory. Part 2. Ы. by J. Brown. N.Y.: Pergamon Press. 1967, pp. 845-869.'
9. Анютин А.П. Асимптотическая теория распространения радиосигналов в неоднородной плазме // Распространение радио*
волн в ионосфере. М.: ИЗМИР АН СССР. 1978. С. 29-36.
10. Анютин А.П. Равномерная модификация метода ВГТД в случае произвольной диспергирующей среды и каустик ВГО и ВГТД лучей. Дифракция и рас пространен не волн. Междув. сборник. М.: МФТИ, 1985. С. 32-36.
11. Чистяков Д.Н., Крюковский A.C., Лукин Д.С., Растягаев Д.В. Трехмерные пространственно-временные фокусировки радиоимпульсов в нестационарных диспергирующих средах / Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. М., 19-23.12.2001, РосНОУ. Тез. докл. М.: МФТИ (ГУ), 2001. Т. 2. С. 456-459.
12. Крюковский A.C.. Лукин Д. С., Пал кип Е.А. Краевые и угловые катастрофы п задачах дифракции и распространения волн. Казань: Каз. авиационный ин-т, 1988. 199с.
13. Крюковский A.C. Необходимые и достаточные условия образования основных волновых катастроф с корангом, равным двум // Распространение и дифракция электромагнитных волн. Между вел. сб./М.: МФТИ. 1993. С. 4 - 19.
14. Крюковский A.C. Необходимые и достаточные условия образования краевых катастроф. Проблемы дифракции и распространения волн. Межвед. сб. М,: МФТИ, 1994. С. 47-54.
15. Крюковский A.C.. Растягаев Д.В. Исследование устойчивых фокусировок, возникающих при нарушении симметрии волнового фронта. Дифракция и распространение электромагнитных воли. Сб. М.: МФТИ, 1993. С. 20-37.
16. Крюковский A.C.. Растягаев Д.В. О необходимых и достаточных условиях образования каспоидных катастроф. Распространение и дифракция волн в неоднородных средах. Сб. М.: МФТИ 1989. С. 56-60.
17. Крюковский A.C., Скворцова Ю.И. Каустическая структура краевой катастрофы К4 2 // Вестник Российског о нового университета. Серия «Сложные системы: модели, анализ и управление» / М.: РосНОУ, 2015. Выпуск 2(10). С. 5-9.
18. Ипатов Е.Б.. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Пашни Е.А. Краевые катастрофы и асимптотики // ДАН СССР. 1986. Т. 291. №4. С. 823-827.
19. Крюковский A.C., Лукин Д.С.. Палкин Е.А. Равномерные асимптотики и угловые катастрофы //Доклады РАН. 1995, Т.341. № 4. С. 456-459.
20. Крюковский A.C.. Лукин Д.С., Растягаев Д.В, Теория пространственной фокусировки видеоимпульсов в диспергирующих средах // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. Т. 12. № 8. С. 15-25.
21. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Падким Е.А. Численное сравнение двух асимптотических методов решения задач дифракции волн в плавнонеоднородных средах // Изв. MB и ССО СССР (Радиофизика). 1986. Т. 29. № I. С. 79-88.
22. Крюковский A.C., Лукин Д. С., Растягаев Д.В, Математическое моделирование распространения радиоволн в анизотропной неоднородной ионосфере // Вестник Российского нового университета. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика». М.: РосНОУ, 2009, Выпуск 2. С. 7-14.
23. Крюковский A.C., Зайчиков И.В. Особенности распространения радиоимпульсов в средах с дисперсией // Электромагнитные волны и элекгронные системы. 2008. Т. 13. № 8. С. 36-41.
24. Кирьянова К.С.. Крюковский A.C. Особенности лучевого распространения радиоволн в ионосфере Земли // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2012. № 11. С. 25-28.
-
f I л
SPACE-TIME EDGE CATASTROPHES AND UNIFORM ASYMPTOTIC DECISIONS OF THE WAVE EQUATIONS DESCRIBING WAVE PROPAGATION IN COLD PLASMA
Andrey S. Kryukovsky, ANO VO Russian New University, Moscow, Russia Yuliya I. Bova, ANO VO Russian New University, Moscow, Russia
Abstract
The application of the theory of edge wave catastrophes to the problem of describing the propagation of electromagnetic radiation in a cold plasma in the nonstationary case is investigated. The conditions for the formation of edge singularities in the propagation of a frequency-modulated radio pulse in a homogeneous dispersive medium-the ionosphere characterized by a plasma frequency-are studied. It is assumed that the effective dielectric permittivity of the medium (cold plasma) depends on the circular frequency as a unit minus the ratio of the square of the plasma frequency to the operating frequency. The initial phase of the field is proportional to the carrier frequency multiplied by the initial time of the signal output and the nonlinear function characterizing the frequency modulation of the radio signal. This function, from the point of view of catastrophe theory, is responsible for the spacetime caustic focusing of the geometric-optical rays, and from the physical point of view characterizes the compression and decompression of the radio signal. The complex frequency response of the receiver filter is taken into account. A semi-infinite radio signal specified by the Heaviside function is considered. Initially, the solution of the problem is presented in the form of a rapidly oscillating integral with respect to the frequency and the initial time of the output of the signal. When space-time focusing is considered, in addition to the contribution of geometric-optical rays, the contribution of spacetime edge rays, generated by the initial point of a semi-infinite radio pulse, plays an important role. Ignoring the contribution of edge rays is possible, with some degree of accuracy, only far from the light-shadow boundary of space-time geometro-optical rays, where the contribution of the edge rays is usually much smaller than the contribution of geometro-optical rays. Focusing occurs when the second derivatives of the phase function with respect to frequency and time are zero It is shown that only one-dimensional caspoid focusings of space-time geometric-optical rays of the A-series are possible. Radiation and caustic structures for simple (zero-modal) catastrophes B, C, F and uniform asymptotics for simple space-time edge singularities and unimodal ones are presented and uniform asymptotics are obtained using special functions of wave catastrophes. In the general case, the uniform asymp-totics is expressed by a formula containing a special function of the edge wave catastrophe, its derivatives, a special function of restriction the catastrophe to the boundary, and its derivatives.
Keywords: edge catastrophes, field, wave, frequency modulation, dispersion, uniform asymptotics, plasma, propagation, space-time. References
1. Kryukovsky A.S., Lukin D.S. (1999). Edge and corner catastrophes in a uniform geometric theory of diffraction. Moscow: MIPT. 134 p. (in Russian)
2. Kryukovskii A.S., Skvortsova Yu.I. (20I3). Application of the theory of catastrophes to describe the space-time structure of a frequency-modulated signal in a plasma.
Electromagnetic waves and electronic systems. Vol. I8. No. 8, pp. I8-23. (in Russian)
3. Kryukovsky A.S. (20I3). Uniform asymptotic theory of edge and corner wave catastrophes. Moscow: RosNOU. 368 p. (in Russian)
4. Ginzburg V.L. (I967). The propagation of electromagnetic waves in the plasma. 2nd ed. Moscow: Nauka. 684 p. (in Russian)
5. Kravtsov Yu.A., Ostrovsky LA, Stepanov N.S. (I974). Geometrical optics of inhomogeneous and non-stationary dispersive media. Proceedings IEEE. Vol.62. No I I, pp. I492-I5I0.
6. Kravtsov Yu.A., Orlov Yu.I. (I980). Geometrical optics of inhomogeneous media. Moscow.: Nauka. 304 p. (in Russian)
7. Felsen L.B. (I969). Transients in dispersive media, part I: theory. IEEE Trans. on Ant. and Prop. AP-I7. No. 2, pp. I9I-200.
8. Lewis R.M. (I967). Asymptotic theory of transients. Electromagnetic Wave Theory. Part 2. Ed. by J. Brown / N.Y.: Pergamon Press, pp. 845-869.
9. Anyutin A.P. (I978). The asymptotic theory of the propagation of radio signals in an inhomogeneous plasma. Propagation of radio waves in the ionosphere. Moscow: IZMIR Academy of Sciences of the USSR, pp. 29-36. (in Russian)
10. Anyutin A.P. (I985). Uniform modification of the TGTD method in the case of an arbitrary dispersing medium and caustics of TGO and TGTD rays. Diffraction and wave propagation. Moscow: MIPT, pp. 32-36. (in Russian)
11. Chistyakov D.N., Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V. (200I). Three-dimensional space-time focusing of radio pulses in non-stationary dispersing media. Proceedings of the XII All-Russian School-Conference on Diffraction and Wave Propagation. Moscow I9-23.I2.200I, RosNOU. Tez. report Moscow: MIPT (State Un.). 200I. Vol. 2, pp. 456-459. (in Russian)
12. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Palkin Eu.A. (I988). Edge and corner catastrophes in problems of diffraction and wave propagation. Kazan: Kaz. Aviation Institute, I988. I99 p. (in Russian)
13. Kryukovsky A.S. (I993). Necessary and sufficient conditions for the formation of main wave catastrophes with corank equal to two. Propagation and diffraction of electromagnetic waves. Moscow: MIPT, pp. 4-I9. (in Russian)
14. Kryukovsky A.S. (I994). Necessary and sufficient conditions for the formation of edge catastrophes. Problems of diffraction and wave propagation. Moscow: MIPT, I994, pp. 47-54. (in Russian)
15. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D.V. (I993). The study of stable focusing arising in violation of the symmetry of the wave front. Diffraction and propagation of electromagnetic waves. M.: MIPT, I993, pp. 20-37. (in Russian)
16. Kryukovsky A.S., Rastyagaev D.V. (I989). On the necessary and sufficient conditions for the formation of cuspoid catastrophes. Propagation and diffraction of waves in inho-mogeneous media. Moscow: MIPT I989, pp. 56-60. (in Russian)
17. Kryukovsky A.S., Skvortsova Yu.I. (20I5). Caustic structure of edge catastrophe K4,2. Bulletin of the Russian New University. Series "Complex systems: models, analysis and management". Moscow: RosNOU. Issue 2 (I0), pp. 5-9. (in Russian)
18. Ipatov Eu.B., Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Palkin Eu.A. (I986). Edge catastrophes and asymptotics. Doklady of Academy of Sciences of the USSR. Vol. 29I. No. 4, pp. 823-827. (in Russian)
19. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Palkin Eu.A. (I995). Uniform asymptotics and corner catastrophes. Doklady of the Ryssian Academy of Sciences. Vol. 34I. No 4, pp. 456-459. (in Russian)
20. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V. (2007). Theory of spatial focusing of video pulses in dispersing media. Electromagnetic waves and electronic systems. V. I2. No. 8, pp.I5-25. (in Russian)
21. Kryukovskii A.S., Lukin D.S., Palkin E.A. (I986). Numerical comparison of two asymptotic methods for solving wave diffraction problems in smooth inhomogeneous media // Radiophysics and Quantum Electronics. Vol. 29. No I, pp. 67-75.
22. Kryukovsky A.S., Lukin D.S., Rastyagaev D.V. (2009). Mathematical modeling of radio wave propagation in an anisotropic inhomogeneous ionosphere. Proceedings of the Russian New University. A series of "Management, computer technology and computer science". Moscow: RosNOU. Issue 2, pp. 7-I4. (in Russian)
23. Kryukovsky A.S., Zaychikov I.V. (2008). Features of the propagation of radio pulses in media with dispersion. Electromagnetic waves and electronic systems. Vol. I3. No 8, pp. 36-4I. (in Russian)
24. Kiryanova K.S., Kryukovsky A.S. Features of the ray propagation of radio waves in the Earth's ionosphere // T-Comm. 20I2. No II. P. 25-28. (in Russian) Information about authors:
Andrey S. Kryukovsky, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Dean of the Faculty of Information Systems and Computer Technologies, ANO VO Russian New University, Moscow, Russia
Yuliya I. Bova, Senior Lecturer, Chair of Information Technologies and Natural Science Disciplines, ANO VO Russian New University, Moscow, Russia
