CC BY
17
Пирамидальные копры.
Основной плоской фермой пирамидальныхъ копровъ является трапеція, которая, если предположить всѣ соединенія шарнирными, представляетъ изъ себя геометрически измѣняемую фигуру. Отъ воздѣйствія активниыхъ силъ Т фигура эта будетъ перекашиваться до тѣхъ поръ, пока не приметъ формы, устойчивой для активныхъ силъ даннаго направленія (черт. 54).
Въ строительномъ дѣлѣ такія конструкціи примѣняются рѣдко, (висячіе мосты), и не примѣнимы къ надшахтнымъ копрамъ, подверженнымъ дѣйствію силъ, перемѣнныхъ, какъ по направленію, такъ и по величинѣ. Если концы ногъ Л В и С1) задѣланы неподвижно въ прочные фундаменты, то перекашиваніе устранено, но тогда ноги подвергаются боковому изгибу, что не желательно. Въ виду этаго примѣняются жесткія соединенія и, кромѣ того, вводится по крайней мѣрѣ еще одинъ стержень, благодаря которому ферма становится геометрически неизмѣняемой при шарнирныхъ соединеніяхъ. Эту цѣль можно достигнуть при помощи одной діагональной связи, но на практикѣ къ этому способу прибѣгаютъ рѣдко въ виду того, что при сколько-нибудь солидномъ сооруженіи такая связка получилась бы слишкомъ длинной. Самый простой способъ приданія жесткости фермѣ—это соединеніе ногъ при помощи горизонтальной тяги; при этомъ ноги остаются неразрѣзными. Тяга соединяется съ ними вполнѣ жестко, или такимъ образомъ, что можетъ передвигаться на малые углы. Опредѣлимъ напряженія, дѣйствующія въ частяхъ такой идеальной фермы. (Черт. 55). Пусть 1Л и будутъ разстоянія точки приложенія силы Т, измѣряемыя но верхней балкѣ, до вершинъ ногъ, а0—напряженіе въ горизонтальной связкѣ, а—въ верхней панели, а;{—въ нижней тягѣ—лежнѣ, о/ и о2'—напряженіе въ верхнихъ (до связки) частяхъ ногъ, и аь о.2—въ нижнихъ. Остальныя обозначенія прежнія и понятны изъ чертежа.
Уравненія моментовъ силъ относительно полюсовъ А и В, при наличности сѣченіи а Ъ и ah', будутъ
составить слѣдующія уравненія моментовъ относительно полюсовъ С и D:
3) L cos Tj -\- Т cos г (l2 + Н tg ;)— Tsins//=Of
4) з2 L cos ; + Т cos г + Н tg?;) —- Т sin г // =0,
откуда
„ (L, + Hig;) cos г — Н sin е
Зі — — I _ J
1 L cos Tfj
(/] + 77tg?j)coss — 7isin г
3-2 = — 1------------г-----г-----------
L COS;
Сѣченіе ef относительно полюса J) даетъ уравненіе —
(48)
5) 3j L cos -|- a0 Hx -f- з H -\-T cos e (/, + H tg ;) — T sin e //= 0,
но, въ виду наличности уравненія 3-го, уравненіе 5*ое принимаетъ видъ:
6) з0 7/, -(- з Н = 0.
Сѣченіе gh относительно полюса С даетъ уравненіе—
7) о2' Lcos ; -f- 3о Hi + Тcos г (/, + #tgYj) + Tsin г Н = О,
которое даетъ возможность написать:
8) (a2 — a.,') L cos ; — з0 ІІ{ = Т sm г Н.
Окончательно уравненія 6-е и 7-е даютъ, по предварительномъ исключеніи з2'
___Н_
~ Иі
h\^r{ — lx tg; I
cos s -f- sin
in .],
^, = T
/2tgT) —/jtgS , . ]
----------j-------- COS S sill £ ,
(49)
Сѣченіе km даетъ намъ возможность составить уравненіе статическаго равновѣсія:
9) з0 + з + з:. = О,
и значитъ—
= + т
н—нх
Нх
f2 tg П — h tg с l
cos s + sin e
(50)
Ноги передаютъ опорамъ силы, направленныя вдоль ихъ; горизонтальная слагающая этихъ силъ будетъ з;{'
10) 3;}' -Ь 3.2 sin ; — 3| Siri Tj = 0.
Разность (з;і — 3;,') опредѣляетъ то горизонтальное давленіе, которое передается опорамъ вслѣдствіе бокового изгиба ногъ. Если первоначально ферма имѣетъ видъ А С І> F (черт. 56), то отъ дѣйствія горизонтальной силы з она деформируется и принимаетъ видъ, который мы можемъ уяснить себѣ фигурой АВХ Сх 1>х Ех Ъ.
Собственно, для полнаго разъясненія дѣйствія силъ на ферму, разсматриваемаго типа, слѣдовало бы опредѣлить напряженіе отъ бокового изгиба ногъ, но мы не будемъ рабирать этого вопроса вслѣдствіе его сложности.
Наконецъ з;{' легко получить при помощи уравненія 10-го и уже найденныхъ значеній з, и з2
(Іх tg $ - Ісг tg г)) cos £ + // (tg ; + tg tj) sin s
L
Для графическаго опредѣленія тѣхъ же силъ можно предложить слѣдующій простой пріемъ:
Продолжимъ стороны ЛВ и СВ до взаимнаго пересченія въ G (черт. 57). Силу Т разложимъ по направленію GFE и панели ВС. Въ точкѣ G вообразимъ силу GI, равную и противоположную по направленію FS, и горизонтальную силу MG, моментъ которой относительно одной изъ опоръ былъ бы равенъ и противоположенъ моменту силы FN, т. е. сила GM опредѣляется уравненіемъ:
GM. (// + У/') + FN. Н = О
Для этого откладываемъ PG=FE и соединяемъ Р съ N. Горизонтальная сила GMi по своей величинѣ отвѣчаетъ этому условію, такъ какъ
6М/,
FN
GP
PF
EF Е G
И
// + #
Если Л/G = ЛГ]6г, то намъ остается разложить G1 и М G по направленіямъ, А G и GB или, точнѣе говоря, по ихъ продолженіямъ, и слѣдовательно будемъ имѣть:
о2 = G К -f G и,
Oy — GL — G і.
Справедливость пріема доказывается слѣдующимъ: такъ какъ NT = FS, то изъ треугольника FNT получаемъ —
FN
FS
откуда—
sin (г — о) sin (90 — г) sin (90 + о)
sin (г — о)
ЕХ=Т
COSO
FS = Т-Ч
COSO
У
Для разложенія силы — Тх = Ъ S мы можемъ воспользоваться формулами (37), перемѣнивъ въ нихъ обозначенія согласно даннному случаю; точно также по формулѣ (38) мы опредѣлимъ составляющія GM
sy г_____гг. sin (; - о)
. . 1 sm (?) -h ;) ’
(тК = —
sm (?) -+- ;)
Gi = — (rM™S ’
sin(yj + 5)
но такъ какъ
GM=—FX
sin (?) + ;)’
H , L — I
7, — — IF ------^---»
/74- H
L
то послѣ подстановокъ найдемъ, что з, = - Т
COS S Sin (?) -J- 6) ]j — / COS T) sill (£ — o) 1 cos о sin (?) + ' L cos Ь sin (?) + ») I
з, = -Т
cos £ sin(;—6) L — l cos; sin (s — o)1 cos 3 sin (?) + $7 L cos 3 sin (r^ -j- ;)J
(52)
Для того, чтобы привести эти выраженія къ виду (48), воспользуемся геометрическими свойствами фигуры 57-й, а именно:
h = Я' <tg?) + tgo), L = 1 + 7/(tgу; -f tg5) и 1Г = H -^4rj» которыя позволяютъ опредѣлить уголъ о:
/
Выраженія для напряженій напишемъ теперь такъ:
Оо = — Т
+
COS 3 /sin?) + COSY)tg3\
.tg^J + tg; \ cos;cos?) /
/sin S — COS £ tgo \1 \ cos; cist) /I
H (tg ?) + tg ;) cos?)
L tg?) 4-tg5
О] — — Т
cos г / sin; — cos £ tg 5
tg rt + tg ; \ cos ; cos K]
)-
22(tgT) + tg;)
L
COS!
+ tg5
•(
sill S — COS £ tg COS І COS Tj
послѣ сокращеній эти выраженія примутъ слѣдующій видъ:
— Т
°2= Т-----“
L cos с
«і =
— Т
L cos ѵ\
(tg ^ + tg о) L
(tg ; — tg 3) L tg>3 -ftgS
COS £ — 27tg 0 COS £ + 2/ sin £ COS £ + H tg 0 COS £ — 2/sin £
Подставимъ въ эти выраженія найденное значеніе для tgo, написавъ ихъ предварительно слѣдующимъ образомъ:
____— Т
°2 — L cos;
^(tgyi + tgo) . tg T2 -f- tg с
cos £ -f 7/tg y; cos £ -f> Hsin e
— T L cos r(
/(tg ; —tgo) tg^ + tg;
cos г -h H tg ; cos £ — 2/ sin г >
и тогда они принимаютъ въ точности видъ уравненія (48). Остальныя силы о0. а, о;{ легко получаются при помощи такихъ же общихъ способовъ геометрическаго построенія, такъ что мы этотъ вопросъ будемъ считать исчерпаннымъ.
Формулы (48) даютъ намъ возможность сдѣлать нижеслѣдующій выводъ: въ пирамидальныхъ копрахъ, разсматриваемаго типа, въ заднихъ ногахъ (обращенныхъ къ машинѣ) всегда имѣетъ мѣсто сжатіе, въ переднихъ же—только до тѣхъ поръ, пока
(/2 + Н tg;)coS£ — Н sin г > О
иначе, пока
/ + 7/tg; > 2/ tg s, (53)
или, геометрически, пока равнодѣйствующая всѣхъ силъ не пересѣкаетъ заднихъ ногъ, (см. черт. 57).
ъ
III) > U )Ѵ.
Формулы (49) показываютъ, что въ части о В верхней панели имѣется сжимающее усиліе, а въ связкѣ—растягивающее. Напря-
женіе въ нижней панели, лежнѣ, и сумма горизонтальныхъ реакцій опоръ не равновелики, какъ у призматическихъ копровъ, горизонтальной слагающей активной силѣ Т, а разнятся отъ нее на нѣкоторую величину
Дс = о;1 — Tsine.
Опять таки, если обратимся къ способу расчета при помощи построенія, то окажется, что опорами должна восприниматься неосред ственно сила:
//'
Н + ІГ
L
FN.
Еслибы активная сила Т2 была приложена не къ верхней панели, а къ связкѣ, то на основаніи аналогичнаго расчета мы получили бы:
аЗ = — То ——
(l\ +//і tgr,) cos gg-f- Л\ sin г..
О? = - Тс
L cos £
(І2'+Нх tg ;) cos — Hi sin s2
-■■■■— ------------------------*
Lcosr
(54)
а для горизонтальныхъ силъ-
0.--TЛ
h' tgr, — /,* tg 5
a! = - To
COS C2+Sin 3.2
igrt — f\ tg'
V
cose2 + sin s2
(55)
и проч. Въ случаѣ копра съ отдѣленіями, расположенными одно за другимъ, когда въ основной плоской фермѣ одновременно имѣются силы Т] и Т2, наклоненныя къ вертикалямъ подъ углами £] и е2, для полученія полныхъ напряженій слѣдуетъ ихъ суммировать:
0*2+ °S), + (а + а°), (о0 + о°),
помня, что
L — I Н{ tg г( tg ?) — / + Н\ (tg rj -f- tg с).
Только что разсмотрѣннный нами типъ основной фермы является часто характернымъ для малыхъ деревянныхъ копровъ. Для болѣе крупныхъ копровъ, въ особенности для желѣзныхъ, предпочитаютъ примѣнять фермы съ діагональными перекрещивающимися связками»
Черт. 54.
при чемъ ноги остаются неразрѣзными. Часто при деревянныхъ копрахъ кромѣ горизонтальной связки примѣняются еще діагональныя тяги—въ части между верхней панелью и связкой, (черт. 58).
Случай этотъ легко сводится къ разсмотрѣнному раньше при помощи простого, указаннаго на чертежѣ, разложенія силъ. Силу Т, перенесенную въ какую-нибудь произвольую точку G, разлагаемъ по направленіямъ G В и G Е, а затѣмъ силы СЕ и Be — по направленіямъ ногъ и діагональнымъ тягамъ.
Конечно, сопротивленія ногъ будутъ равны и противоположны силамъ: (В<і — Ее) и {Са — ЕЬ).
Напряженія въ тягахъ: Ег = Сп и ВІ = Ет. Остается сила (Ef — tjl), которая вызываетъ напряженія въ ногахъ, легко вычисляемыя по формуламъ (48—51), или при помощи фиктивной силы, моментъ которой, взятый по отношенію къ какой нибудь изъ опоръ, равенъ (Ef — (fF)H[: сила, обусловливающая этотъ моментъ, приложена въ точкѣ пересѣченія ногъ В А и СI). Эту силу мы разлагаемъ но направленіямъ ногъ.
Въ панели ВС и тягѣ ЕЕ напряженія удобно вычислить при помощи простыхъ формулъ (49). Впрочемъ, этимъ путемъ мы опредѣляемъ напряженія въ ВС и ЕЕ только приблизительно, такъ какъ мы не ввели напряженій въ тягахъ, которыя играютъ нѣкоторую роль въ передачѣ горизонтальной силы. Въ разсматриваемомъ отношеніи часть фермы ЕВСЯ статически неопредѣлима: или горизонтальныя или діагональныя тяги являются лишними. Если назовемъ горизонтальную силу Ef — f/F черезъ р, при чемъ р = — з0 (формула 49), напряженія въ тягахъ—черезъ st и s,,, углы наклона ихъ къ горизонту—у и і, то тогда для равновѣсія должны существовать уравненія (конечно, при отсутствіи горизонтальной связки):
S! COS у — COS $ + Р = О,
Si sill У -f~ s2 sin 'J = 0,
откуда —
sin 'll
S] — — p . —.----:>
‘ sin (y -b у)
sin z
*2 = - ? —
sin (6 — y)
Если почему-либо желательно имѣть выраженія напряженій въ функціи высотъ точеі ъ ихъ прикрѣпленія къ ногамъ, то можно воспользоваться зависимостью
tg
Я-Л,
J + Ш-Н1)tgrj
И tg'^ =
н-н{
Болѣе точный расчетъ получится, если мы разобьемъ р пополамъ, то есть—отнесемъ~ р на горизонтальныя тяги и ' р на наклонныя.
Часто примѣняемыя на практикѣ фермы, изображенныя на черт. 59, для приблизительнаго расчета приходится разбить на два случая: (черт. а и Ь).
Черт. 5У.
Если горизонтальныя тяги отсутствуютъ, то расчетъ очень простъ: стоитъ только столько разъ произвести разложеніе силъ по способу, указанному выше, на сколько поясовъ раздѣлена ферма.
%
Комбинированные призматичесни-пирамидальные нормальные копры.
Намъ остается еще разсмотрѣть основную плоскую ферму копровъ которые, строго говоря, не могутъ быть отнесены ни къ призматическимъ, ни къ пирамидальнымъ, а представляютъ комбинацію ихъ. Это копры, которые, пожалуй, можно назвать шестиножными; чертежи ихъ и описаніе приведены выше.
Схематическій чертежъ <Ю представляетъ основную плоскую ферму этаго типа. Равнодѣйствующая Т приложена въ точкѣ О. Нижняя панель-лежень, обыкновенно отсутствуетъ; ноги упираются въ фундаменты. Предполагаемъ, что всѣ соединенія шарнирныя.
Составимъ уравненія моментовъ активныхъ силъ и напряженій для всѣхъ узловъ. Для верхнихъ узловъ, въ предположеніи, что сила Т разложена на горизонтальную и вертикальную слагающую, уравненіе моментовъ будетъ:
1) о2 / cos £ + о:) / cos С + Т lx cos г = О,
2) а, I cos т) 4 Т /2 cos г = 0; для нижнихъ узловъ—
3) з2 L cos ; *j- о;> (Z 4* Ijj ) cos £ -f- T cos s (/
4) Oj (L 4- Xj) cos tj — a2 cos £ — T cos £ (/2 + II tg С) 4- T sin s H = 0,
5) aj L cos r( + a;J Lx cos £ — T cos z (l2 4- H tg£) 4 T sin г H — 0.
/
Кромѣ того, имѣемъ уравненія статическаго равновѣсія у опоръ:
6) а! sin Tj — а2 sin £ — а3 sin £ — Т sin г = О,
7) Oj cos rt -f а2 cos £ 4" cos £ + T cos г = 0.
4- H tg r/) 4- T sin г H = 0,
Уравненій 1-го, 2*го, 6-го и 7-го вполнѣ достаточно для опредѣленія всѣхъ неизвѣстныхъ; полученные корни повѣряютъ уравненіе
3-тье, 4-ое и 5-ое; кромѣ того, уравненіе 1-е, сложенное съ уравненіемъ 2-мъ, даетъ намъ уравненіе 7-ое, такъ что на самомъ дѣлѣ у насъ только три уравненія съ тремя неизвѣстными. Изъ уравненія
2-го имѣемъ:
cos £ 7 cos rt
(57)
Если при помощи этого выраженія исключимъ Oj изъ уравненія 6 го, то оно приметъ видъ:
8) + з2 / sin £ -J- о3 / sin £ + Т (/ sin г l2 cos £ tg r() — О,
которое совмѣстно съ уравненіемъ 1-мъ даетъ намъ возможность опредѣлить о2 и о3:
о2 =
33 =
у l\ COS Yj sin (С — s) — /о COS С sin (Yj + s)
/ COS Yj sin (C — i)
— cos rt sin (£ — s) -f- (2 cos ; sin (rj -f- s)
T 1 • " Г\
/ cos sin (- — ;)
(58)
Для графическаго опредѣленія напряженій можно предложить слѣдующій простой методъ. Такъ какъ равнодѣйствующая напряженій, направленныхъ по J) В и ЕВ, должна пересѣкаться въ одной точкѣ съ напряженіемъ oh направленнымъ по Д С, и равнодѣйствующей Т, то для того, чтобы найти направленіе равнодѣйствующей силъ о2 и о3, соединяемъ точку пересѣченія направленія ноги АС съ направленіемъ силы Т, т. е. точку F съ Л, тогда FB есть искомое направленіе. Въ точкѣ F предполагаемъ приложенной силу равную Т и разлагаемъ ее по направленіямъ AF и BF; сила — Oj = Fc; Fb = Т0 есть равнодѣйствующая — о2 и — о3. Точку приложенія и1*
ея переносимъ въ В и разлагаемъ по направленіямъ 1)Е и ЕВ\ тогда
— а2 = Вd и — Oj = Be.
Для доказательства справедливости построенія разсмотримъ соотношеніе сторонъ и синусовъ угловъ въ треугольникѣ aFb; такъ какъ
то
и
Т0. Т
) ЗІП (Гу + з) Sill Q + Г}) ’
ь
т
о
sill (t3 - s) sin (t3 + rt)
sin(Tj + s) sin (,3 4-rj ’
изъ треугольника у Be получимъ:
(59-a)
х.
sin — i) ’
а слѣдовательно, подставляя вышеприведенное выраженіе для Т0, имѣемъ возможность написать:
— _ т sin ^ + . sil1 — ?)
1-2 sin (г; + jS) sin (^ — l) ’
(59-6)
sin (У) + s) # Sinj-J — ;)
““ 11 Г 1 • / | Л\ '♦ 1*4
sin (n) -j- ji) sm(, — ;j
Только что выведенныя выраженія напряженій удобны для логариѳмическихъ вычисленій; въ нихъ уголъ ,3 пока еще неизвѣстенъ, и для опредѣленія его разсмотримъ треугольники А F О и А FJ% изъ этихъ треугольниковъ имѣемъ:
А F ______________І±____
sin (90 — з) sin (у) -•(- з) ’
А F /
sin (90 — _ sin (г; + р)
Исключивъ А F, мы получимъ уравненіе:
/ cos ,3 sin (г, -f- г) — /| cos г sin (г, -f- (3) = О,
изъ котораго находимъ:
Если въ выраженіяхъ (596) развернемъ синусы суммъ и разностей угловъ съ (3 и напишемъ такъ:
S'n (Т] + с) sin £ — cos.С tg 3
^2 А • h\ ' • I .
Sin (£ — ;) Sin Y] + COS rj tg ti
5 _ _ X sin (y ~ s) . sill z -f cos Stg |3 8 sin(£— ;) sin y] -j- cos y] tg (3
то, замѣнивъ tgp приведеннымъ выше выраженіемъ, мы гірійдемъ къ формулѣ (58); то же самое относится, конечно, и къ а2.
Копры этого типа строятся обыкновенно такъ, что rt =;; чаще всего углы эти равны нулю, то есть ноги, поддерживающія шкивныя. балки, вертикальны. Въ этомъ случаѣ выраженія для напряженій упрощаются:
Т — cos г
^ Іл sin (£ — г) — /2 cos £ sin г sin £ eoss—/ cos £ sin s /i}M
1 / sin (£ —;) 1 J sin (£ - =) { У
_ T/isin(— s) H~^2sill s ___sin*___
3 / sin (C — ;) sin (£ — ;)
Всѣ усилія—сжимающія; Oj—•всегда сжимающее, какъ это видна изъ формулы (59а), а о.2 и о;5 до тѣхъ поръ, пока
/! cos У] sin (£ — *) — /2 cos £ sm (yj -(- г) > О,
— lx cos rj sin (£ — г) + /2 cos г sin (y) -{- г) > 0.
Преобразуемъ эти неравенства въ нижеслѣдующія:
/jtg£ — ^2 tg — /rgs>0
—tg£ + /*tgY) -f/tgs > О
Второе неравенство соблюдено всегда при обыкновенныхъ конструкціяхъ, первое же надо имѣть въ виду при составленіи первоначальныхъ чертежей. Графически оно выражаетъ условіе при которомъ направленіе усилія Т0 (на нашемъ чертежѣ FВ) не выходятъ изъ угла DBE,
Для опредѣленія напряженій, дѣйствующихъ въ верхней панели, приходится вертикальную слагающую силы Т раздѣлить по узламъ, тогда ясно, что въ лѣвой части будетъ слѣдующее усиліе:
з' = Т |2 tg т) cos s
(«1 а)
для правой же (по отношенію къ точкѣ приложенія равнодѣйствующей)
'V
*" = Т tg Т) cos з + sin £ j ■
(61 ft)
которая, равно какъ и лѣвая часть вертикальной силы, воспринимается узломъ и передается ногами опорамъ.
Иногда совѣтуютъ отодвигать подпорныя ноги, и въ этомъ случаѣ— точка приложенія активной силы Т находится между В и С въ О. (черт. 62) Разсмотримъ этотъ случай. Пусть имѣются сѣченія аЪ и cd.
Для верхнихъ крайнихъ полюсовъ уравненія моментовъ будутъ:
1) з2 / cos ; -f- з;і (7 -f-10) cos C+T (l40 cos s= 0,
2) з, (l+l0)cos ri 4-°2 h cos 5+T l% cos s = 0; для нижнихъ крайнихъ—
3) ^27/ cos s -f- з;> (/у -j- 74) cos С -|- T cos £ (/ -j- /] -f- .11 tg Yj) H- T sin 2 77 = 0,
4) a, (L 7/]) cos -f- з2 Lx cos-j- T cos г (/2 H tg — T sin г 11=0.
Кромѣ того, можно было бы составить и уравненія моментовъ для среднихъ узловъ, но это безцѣльно, такъ какъ они будутъ тождественны съ получаемыми отъ исключенія з2 изъ 1-го со 2-мъ, или 3-го съ 4-мъ. Уравненія статическаго равновѣсія опорныхъ моментовъ будутъ—
5) — з, sin г] -j- 3.J sin ; -(- з;1 sin \ 4- Т sin г — О,
6) 3j cos rj -f- з2 cos ; 4- за cos С 4* Т cos г = 0;
эти уравненія даютъ намъ возможность при опредѣленіи силъ избѣжать болѣе сложныхъ уравненій 3-го и 4-го и пользоваться только
(
1, 2 и 5, а 6-мъ—какъ вспомогательнымъ, тождественнымъ съ 1 и 2-мъ, или съ 3 и 4-мъ, разсматриваемыми совмѣстно. Итакъ, если исключимъ изъ уравненія 5*го и 6-го силу зь то получимъ уравненіе—
7) a2sin (; + "»/) + 33 sin + rj) + Т sin (з + rj) — О,
изъ котораго при помощи уравненія 1-го находимъ:
— (/ + fi)sin(s — ;)cosr) -f- Іл sin (е -f-rj) cos і /sin(?—С) cos t] -f /0sin (r( + ?)cos^.
j {I ~\~ h) sin (£ — ») cos г) -f- /2sin (e ~t~ rj) cos C .
/ sin (? — C) cos rj /() sin (rj + c) cos C
(62)
<3j опредѣляемъ подстановкой найденныхъ выраженій въ уравненіе 6-е:
а
1
^sinfe — С) cos? + /2sin (е — ;) cos С / sin (? — С) cos rj 10 sill (У] + 5) COS
(62а)
Такъ какъ всѣ эти напряженія должны быть вызваны сжимающими силами, то необходимо, чтобы имѣли мѣсто нижеуказанныя неравенства:
— (J + ) (£ — ?) COS Tj + ^1 sill (з -f 7j) cos ? > 0 (?+/) sin(s—C)cosrj + /2sinfs -!-rj)cosC < 0,
(626)
lx sin (s -- ') cos ; -f- /2 (з — ?) cos \ < 0.
Легко однако доказать, что существованіе перваго неравенства часто исключаетъ возможность послѣдняго. Напишемъ ихъ такъ
V + /|) COS г, +1, (* + ^ cos Q О,
Sill х
— (/ + /j) cosrj +/J
sin (s -f Tj) sin (s — ?)
cos ; < 0;
послѣ сложенія и сокращенія на sin (s + rj), которое, какъ положительная величина, не мѣняетъ знака неравенства, получимъ
___/1cos ?
sin (s — ?)
/2 COS ^ ;>
sin (г — l) <
если
sin (г — ;) > 0 и sin (г — £) > О, то при наличности условія —
I sin (с — С) cos yj -f ?0 sin (г; + ?0) sin (£ ““ S)cos ч > О, имѣемъ изъ предыдущаго—
?! sin (с — С) COS = + ?2 sin (£ — £) cos С < О,
а значитъ въ заднихъ ногахъ будетъ имѣть мѣсто растяженіе.
Если переднія и среднія ноги, поставлены вертикально, то выраженія для напряженій въ такихъ случаяхъ сильно упрощаются. Въ виду частаго примѣненія такой конструкціи, разсмотримъ этотъ случай отдѣльно. Положивъ—
= ? = О,
найдемъ
sin
_ (/ + h) sin (г — С) + lo sin е cos С
о.2= 1 --------------г-г—у--------------1
о,= -Т
/ sin
?! sin (г —С) -f- ?•> cos * sin г / sin С
(63>
Для того, чтобы всѣ усилія были сжимающія, необходимо, чтобы
(? + ?Д sin (е — £) h sin г cos С < О,
*
?! Sin (£ — ;)+ ?2 COS ' Sill £ > 0; это возможно, однако, только тогда, когда—
s — С < 0.
Строители стараются иногда подобрать С такъ, чтобы при Max Т
cos С
и а, =
— Т -j- cos С,
оно было Тогда:
а слѣдовательно въ среднихъ ногахъ появится растяженіе. Конечно, незачѣмъ упоминать, что если балка АВС сплошная и всѣ вообще соединенія жесткія, то приведенныя нами разсужденія имѣютъ только приближенное значеніе. Впрочемъ это замѣчаніе относится ко всѣмъ вообще нашимъ разсужденіямъ.
Условныя неравенства (626) послѣ преобразованія могутъ быть написаны такъ:
+ 70)tg£-H0tgir] —JtgC^O,
а такъ какъ вообще чаще всего rj = 5, то—
-f-2-^-j tg £ <tgC.
Такъ какъ, однако— С > 5,
что соблюдается во всѣхъ существующихъ конструкціяхъ, то первое неравенство нѣсколько ограничиваетъ возможность уменьшенія угла Вообще разсмотрѣніе выраженій напряженій даетъ намъ указаніе на то обстоятельство, что при подборѣ главныхъ размѣровъ проектируемаго копра этого типа надо поступать очень осмотрительно. Графически расчетъ можетъ быть произвенъ при помощи пріема, похожаго на приведенные выше. Мы продолжаемъ направленія силы Т и ноги ВС до встрѣчи ихъ въ F и затѣмъ точку F \ соединяемъ съ точкой G—пересѣченіемъ продолженій ногъ АЕ съ ID. Точку приложенія силы Т переносимъ въ F и разлагаемъ по направленіямъ FC и FG. Отрѣзокъ Fa даетъ намъ силу, направленную по ногѣ ВС, такъ что
аа = — Fa
Отрѣзокъ Fb = р даетъ намъ силу, воспринимаемую ногами jЕА и ID. Точку приложенія ея переносимъ въ G и разлагаемъ по направленіямъ EG и GD\ отрѣзки Gc и Gd даютъ намъ силы, направленныя по этимъ ногамъ, такъ что:
а2 =■—G с и <3j = — Gd.
Для доказательства сказаннаго назовемъ уголъ наклона FG къ вертикальной линіи черезъ 8 и составимъ отношенія:
<*з _ р _ Т_ _
sin (г— о) sin (С — 8) sin [180— (С — 8]’
___ °1 _ __ °2 __ _________Р______•
sin(;— 8) sin (yj -f- 8) sin [180 — С*! + ?)]’
отсюда легко получить, перемѣнивъ знакъ у Т:
, sin (s — 8) *sin (С — 8)1
sin — е) sin (т) + 8)
sin (yj -(- § sin (С - 8)’
sin С — e) # sin (; --8) ^ sin (yj -f- ;) sin (C — 6)
Согласно чертежа
4 . GM.
tor 0 = -г,,,»
° FM
а такъ какъ GM = NB — I0B — 01, a MF= FN— GO,
(64)
то слѣдуетъ опредѣлить эти длины въ функціи извѣстныхъ.
И такъ AF = BF cos С, NB = BFsin С; для опредѣленія BF имѣемъ равенство:
BE _ /2 '
sin (90 + е) sin (С — г)
въ виду этого —
AF = k
cos С cos е sin (С — е)
NB=k
sin Yj COS £ Sin G, — £)
>
далѣе: GO=IG cos $, OT) = IG sin!;, при этомъ—
IG
1
sin (90 — YJ) sin (Yj + ;) ’
такъ что
COS Yj COS ? y-. T 7 COSY] sin 5
trU = l —7—т-р- и OI=l—г—г—m' sm (y] + c) sm (yj + z)
Окончательно имѣемч.:
„ Г sin Ceos s sin; cos у;] . I cos Ceos г cos; cos rj
tg°— I 2sin (C s) 0 Sin (yjT”») I [2sin(^—g) sin (Tj + 5)_
Стоитъ преобразовать выраженіе для Oj, о2 и а3, такч> чтобы въ нихъ входилъ tgo вмѣсто cos 8 и sin о, что очень легко сдѣлать, и подставить найденное выше выраженіе, то мы получимъ формулы, тождественныя съ (02).
Приведенный графическій способъ даетъ намъ возможность подобрать размѣры копра такъ, чтобы всѣ напряженія въ ногахъ были вызваны сжимающими усиліями, а именно: точка пересѣченія направленія силы Т съ йогой ВС (собственно съ ея продолженіемъ) должна лежать между F и е, ибо только въ этомъ случаѣ направленіе G F будетъ внутри угла EGD. При всякомъ другомъ положеніи точки F оно выйдетъ наружу, и тогда среднія или переднія ноги будутъ под-твержены растяженію.
Если переднія и среднія ноги поставлены вертикально, то общій ходъ построенія остается тотъ же. Силу Т въ точкѣ F (черт. 65) мы разлагаемъ по направленію наклонной ноги и вертикальному, которое, въ свою очередь, разлагаемъ на параллельныя ему направленія по ногамъ. Условіемъ сжатія надо считать то обстоятельство, чтобы F не выхолила изъ пространства, ограниченнаго продолженіями вертикальныхъ ногъ.
Иногда встрѣчаются конструкціи, въ которыхъ наклонная нога подпираетъ шкивныя балки въ пространствѣ между средними ногами (черт. 66). Конечно, приведенная въ разсматриваемомъ чертежѣ схема разнится отъ дѣйствительныхъ сооруженій тѣмъ, что среднія и заднія ноги не лежатъ въ одной плоскости. Предположимъ, что въ точкѣ ихъ пересѣченія на чертежѣ нѣтъ никакого соединенія, такъ что ноги могутъ свободно скользить одна по другой. Для опредѣленія напряженій въ ногахъ составимъ уравненія моментовъ по отношенію къ верхнимъ крайнимъ узламъ. Согласно
обозначеніямъ, показаннымъ на чертежѣ, будемъ имѣть: o2Zcos тг) 4- о3 (?! + Z0) cos С -f TZj cos e = О,
<3] Z cos 5 -|- o3 (Zg — Z0) cos С + T Z2 cos e = 0.
Уравненія статическаго равновѣсія опорныхъ сопротивленій будутъ: <*! cos т) + о2 cos z -f- o3 cos С + T cos e = 0,
— O] sin 7j -f o2 sin £ + аз sin С + T sin г = 0.
Первое изъ этихъ уравненій непосредственно слѣдуетъ изъ уравненія моментовъ силъ, такъ что у насъ имѣются только три уравненія. Для среднихъ узловъ, а также по отношенію къ опорамъ, мы уравненій моментовъ не составляемъ, такъ какъ онѣ не могутъ разниться отъ предыдущихъ. Уравненія статическаго равновѣсія послѣ исключенія Oj даютъ равенство—
о2 sin (S + т]) + о3 sin (С 4- tjH- Т sin (е + т)) = О,
которое съ первымъ уравненіемъ моментовъ даетъ намъ возможность опредѣлить о2 и о3; послѣ же подстановки въ уравненія статическаго равновѣсія горизонтальныхъ силъ находимъ и а,. И такъ у насъ:
Zj cos е sin (£ Ч~ yj) — Z cos 7] sin (г -f- 7))
°:J — (Zj + Z0) sin (6 — 7)) cos C — Z cos 7) sin (C +* у)’
T h COS г sin (C + 7]) — (lx -f- Z0) cos C sin (s + 4).
2 (h + ?o) S™ (5 + *)) COS C — Z COS T] sin (C -f- tq) ’ * '
o,=T
li cos e sin (6 — C) -f (Zj + Z0) cos C sin I e — 5) + Zcos rj sin (C — s) $1 + k) sin (<: +tj) cos C — Zcos 7] sin (C -f *])
Чаще всего стараются подводить подпорныя ноги подъ точку приложенія активной силы: если къ тому же ноги поставлены вертикально, то
т] = с = 0 и Z0 = 0,
и тогда—
Z2 sin (С — е)
<3і — — 1 -------:—=-------1
sin С
m h S,n (С — £) г I sm С
Графическій способъ опредѣленія силъ, дѣйствующихъ вдоль ногъ, можно предложить слѣдующій.
Направленіе силы Т продолжаемъ до С
пересѣченія съ продолженіемъ подпорной £\
ноги 01) въ F; точку приложенія ея '•
переносимъ въ F и разлагаемъ Т на
Условіе для сжатія во всѣхъ ногахъ то, чтобы точка F не очутилась внѣ угла AG В. Доказательство справедливости указаннаго построенія ничѣмъ не отличается отъ приведенныхъ выше. Изъ параллелограммовъ силъ получаются равенства:
силы, направленныя по KG и EG. 1
силы, направленныя по FT) и FG, то есть—по направленію ноги и прямой, соединяющей F съ точкой пересѣченія продолженій передней и средней ноги. Точку приложенія силы Fb = р переносимъ въ G и разлагаемъ ее на двѣ
Силы, сжимающія ноги, будутъ даны отрѣзками Fa, Go, Gd, а именно:
Черг. 67.
а;1 = — Fа, а2 = — G с и — G d.
Т
sin (: — г) sin (е -f- j3) sin (С -f- р) ’
а.2 Р
sin ("*) — sin (тг) 5) sin (; + ?)’
откуда:
з0 = — Т
sin (С — е) sin (*] — |3)
sin (г) + ;) sin (С + ?) ’
(68)
sin G — е) _ sin (I — ft) _ sin (г, + ;) sin (' + k3)
Формулы эти удобны для логариѳмированія; величина угла [3 мо жегъ быть опредѣлена изъ формулы:
ln cos С sin е cos т] sin«
sin Г, =1) + 1*~1 sin (tf+
l COS Yj COS %
sin (tj +;)
COS £ COS £
sin (£ — £)
Конечно, формулы (68) можно привести къ виду уравненій (06).
0 верхней части копровъ.
Очень часто для пирамидальныхъ копровъ, а также и для призматическихъ, примѣняется слѣдующая-конструкція верхней части.
Верхнія части какъ переднихъ, такъ и заднихъ ногъ покрываются балками, которыя, въ свою очередь, соединены продольными балками. На поперечныхъ балкахъ помѣщаются шкивння балки, параллельно соединительнымъ (черт. 16). Передача силъ отъ осей шкивовъ ногамъ происходитъ посредствомъ поперечныхъ балокъ, въ виду чего намъ приходится въ первую очередь разсмотрѣть распредѣленіе силъ. Вопросъ о передачѣ вертикальныхъ давленій поперечнымъ балкамъ былъ разсмотрѣнъ нами раньше, а именно—при разсмотрѣніи балочнаго станка башенныхъ сооруженій; настоящій случай ничѣмъ отъ того не отличается, и поэтому мы можемъ пользоваться формулами (29).
Что же касается горизонтальныхъ силъ, то здѣсь мы можемъ отличить слѣдующіе два случая: 1) если оба конпа шкивной балки неподвижно прикрѣплены къ поперечнымъ и 2) если одинъ изъ концовъ можетъ скользить по нимъ. Въ эгомѣ второмъ случаѣ все горизонтальное усиліе передается закрѣпленному концу, или, точнѣе,—все
горизонтальное усиліе тикальнаго давленія на минусъ сила, возбуждаемая свободномъ концѣ. треніемъ отъ
^-L-k '•У £-*!> 6 Т\ Л * 0 *■ . Д-Лз
и и V t] Г®’ ^ г— J -—1 ш
Черт. 08.
На черт. 68 (а) конецъ А закрѣпленъ, часть балки АО вытянута и воспринимаетъ горизонтальное натяженіе U', а конецъ В— силу U1'
V = U-Pfj и U"= Pf^j
Въ случаѣ 6, закрѣпленный конецъ В подвергается давленію U'\ а конецъ А — U':
U"= и U' = Pf!f; часть ОуВ{ сжата.
Въ случаѣ с, часть балки Л202 вытянута, часть 02В2—сжата; для опредѣленія V и U" необходимо разсмотрѣть деформаціи. Если черезъ іѵ и ц обозначимъ соотвѣтственныя растяженія и сжатія, приходящіяся на единицу площади, черезъ Еу и .Е2—модули упругости и, наконецъ, черезъ и>—поперечное сѣченіе балки, то будемъ имѣть:
U' =Еііоі1 и U" = E2o>i2.
Общее же сокращеніе длины или удлиненіе балки можетъ быть выражено черезъ—
ДI — 12і2 Іу іу.
Но такъ какъ наши поперечныя балки по бокамъ связаны, а кромѣ того имѣется еще и сопротивленіе ногъ, то въ дѣйствительности Д^ мало.
Предположимъ, что Д/ = 0;
это мы вправѣ сдѣлать—въ виду основного положенія о геометрической неизмѣняемости формы копра. Кромѣ того, такъ какъ
то легко найти, что
и= іг + и\
----Еуі2----
u Exl2 + E2lх и'
Л»_____Pkh тт
Eth + Eth U-
(69)
Горизонтальныя силы, воспринимаемыя узлами, вычислить послѣ сказаннаго очень легко. Обозначимъ разстояніе осей шкивовъ отъ крайнихъ связывающихъ балокъ черезъ X, а разстояніе между шкивами черезъ Хь (черт. 16). Если соотвѣтственныя горизонтальныя силы будутъ Z7/' и С/2", то, обозначивъ черезъ Us и XJC противодѣйствующія силы въ узлахъ, будемъ имѣть моменты:
Ѵх (X + X,) + U2 X- Е7*(2 X + X,) = О,
+ ^і) + и," X — TJC{2Х -(- Xj) — О,
откуда:
rr Ui"a+h) + ut"-k
L*=-------п+ь--------’
(70)
тг uffr + xit + usi
Uc~ 2Х + ^і
Мы взяли самый простой примѣръ; но ясно, что и для болѣе сложнаго соотношенія между разстояніями способъ расчета будетъ
тотъ же.
Расчетъ надшахтныхъ копровъ.
Намъ остается теперь примѣнить свѣдѣнія, собранныя въ предыдущихъ главахъ, къ расчету типическихъ конструкцій. Мы ограничимся всего нѣсколькими примѣрами деревянныхъ и желѣзныхъ копровъ.
Расчетъ производится первоначально по схематическому упрощенному чертежу, причемъ вѣсъ частей сооруженія принимается приблизительно, сообразуясь съ существующими устройствами. Если впослѣдствіи оказывается, что проектируемыя летали получили размѣры, отличающ’еся значительно отъ первоначально принятыхъ, то приходится вводить поправки. Въ случаѣ отсутствія подходящихъ практическихъ данныхъ, первоначалі ный расчетъ можно произвести, не принимая во вниманіе вѣса сооруженія и ввести его во вторичный окончательный расчетъ на основаніи размѣровъ, полученныхъ первоначальнымъ расчетомъ. Графическіе методы можно рекомендовать какъ для первоначальной распланировки сооруженія, такъ и для повѣрки числовыхъ результатовъ расчета. Отдѣльныя фермы можно, конечно, разсчитывать по общепринятымъ графическимъ способамъ.
Расчета желѣзныхъ и деревянныхъ копровъ вообще мало отличается другъ отъ друга. Разница заключается лишь въ томъ, что при небольшихъ дерявянныхъ сооруженіяхъ возможны нѣкоторыя упрощенія: очень часто, напримѣръ, не принимаютъ во вниманіе давленія вѣтра и боковыхъ опрокидывающихъ усилій, чего нельзя допускать при солидныхъ желѣзныхъ копрахъ. Кромѣ того желѣзныя конструкціи гораздо сложнѣе, и передача давленій ногамъ и опорамъ не такъ проста, какъ при деревянныхъ копрахъ; наконецъ—здѣсь незачѣмъ избѣгать частей, подверженныхъ растяженію.
Въ настоящее время строятъ въ большинствѣ случаевъ желѣзные копры, принадлежащіе къ типу призматическихъ, съ задними—наклонными и передними—вертикальными ногами, такъ называемые двуножные копры, и комбинированные, призматическо-пирамидальные—съ вертикальными ногами. Для полноты изложенія мы разсмотримъ и болѣе старые типы копровъ.
Для перехода отъ выраженій, выведенныхъ въ главѣ .Теорія надшахтныхъ копровъ", къ примѣняемымъ для вычисленій, примемъ:
П = Тcos г = Іі cos G0 + р0 = P-f- G0 + рч,
(71)
ОС
Q = Т sin г — 11 sin 9~ 4- ѵ0 = U + %
Въ этихъ формулахъ Тобозначаетъ равнодѣйствующую всі>хъ силъ, приложенныхъ къ копру, послѣ перенесенія точки приложенія ихъ на ось шкива, какъ это мы видѣли выше; уголъ г—наклонъ ея къ вертикали, какъ въ главѣ Ш-й. В—равнодѣйствующая натяженій
каната, —ея наклонъ къ вертикали, какъ въ главѣ І-й; точно также
такія же значенія имѣютъ Р и U. Наконецъ Go—вѣсъ сооруженія, приложенный къ оси шкива, р0 вертикальная, а ѵ0— горизонтальная слагающія давленія вѣтра, отнесенныя къ той же точкѣ. Изъ формулы (71) слѣдуетъ, что
о
tgs=-"- =
U + ѵ„
Р + G0 -}-і?о
(72)
Само собой разумѣется, что для Max II и Max Q мы будемъ имѣть выраженія:
Max П = Max Р+ G0 +jp0,
Max О = Max II + vQ,
въ которыхъ Max Р и Max U опредѣляются согласно равенствамъ (25) и (26). Развернемъ выраженія (37) и (38) и подставимъ въ нихъ наши новыя обозначенія; тогда призматическіе коцры, въ которыхъ сила Т остается въ пространствѣ между ногами, подвергаются только сжатію; силы, направленныя въ плоскостяхъ этихъ ногъ параллельно осевой плоскости копра, будутъ:
_ ___П sin ; — Q cos ?
1 ~ 0l — sin (S + У]) ’
п . ' о (73)
П snno + й cos то
U = — == • 7** І ч *
sm (; + Tj)
Въ этомъ случаѣ tx и t2 обозначаютъ не напряженія, а силы, на ко горы я разложена Т.
Если равнодѣйствующая проходить съ внѣшней стороны переднихъ ногъ, то
°1 = ~
П sin; + Qcos 5 sin (т] — ;)
to — — O2 —
П sin Tj — Qcos 7] sin (7) — *)
(74)
и при томъ обѣ ноги лежатъ влѣво отъ вертикали. Формулы (73) для случая, когда заднія ноги вертикальны, принимаютъ болѣе простой видъ, а именно, положивъ ; = 0, найдемъ:
Q
t\= — ■ 1
1 SUIT]
to — П -
Q
tgrl
(75)
и наоборотъ, когда переднія ноги вертикальны, то положивъ т] = О, найдемч: •
tx = ГІ —
Q
sin '
(76)
Этими послѣдними формулами намъ придется воспользоваться для расчета англійскаго трехножнаго копра, похожаго на коперъ, изображенный на черт. 26. Коперъ этого типа, въ которомъ шкивныя балки помѣщены горизонтально по направленію оси всего сооруженія, дол-женъ быть построенъ такъ, чтобы продолженія плоскостей переднихъ вертикальныхъ ногъ и заднихъ наклонныхъ пересѣкались по прямой, совпадающей съ осью шкивовъ. Если это условіе не соблюдено, и верхняя часть копра представляетъ изъ себя положенныя горизонтально другъ на друга балки, какъ показано на черт. 16, то хотя такой коперъ и нельзя, строго говоря, назвать пирамидальнымъ, такъ какъ ноги его при продолженіи не пересѣкаются въ одной точкѣ, но тѣмъ не менѣе расчетъ его тождественъ съ расчетомъ пирамидальныхъ копровъ, и потому мы не будемъ разсматривать его особо. Трехножный англійскій коперъ схематически представленъ на черт. 69 и 70 (стр. 92). Согласно теоріи, вертикальныя силы воспринимаются
вертикальными ногами, горизонтальныя же разлагаются на обратныя первымъ вертикальныя и силы, дѣйствующія въ плоскости наклонныхъ
ногъ. Величины тѣхъ и другихъ силъ даны формулой (76) Ясно, что
і>
Max t = Max П — —»
Max У. Max t\ — —:—? sm;
и такъ какъ Max П соотвѣтствуетъ. Max Р, то значитъ вертикальныя стойки надо разсчитывать на вертикальное давленіе, являющееся при разрывѣ нижняго каната, и соотвѣтствующую этому случаю горизонтальную силу U по формулѣ (26), наклонныя же стойки—на горизонтальную силу при разрывѣ верхняго каната.
Разсмотримъ теперь переднія и заднія ноги въ отдѣльности. Ферма наклонныхъ ногъ представлена схематически на черт. 70; въ плоскости ея, при нормальномъ подъемѣ, дѣйствуютъ силы t% и параллельныя оси этой фермы; величина ихъ постоянно мѣняется такъ, что
t ' ^ і' h < ‘2
Силы эти при посредствѣ балки АБС передаются ногамъ. Расчетъ этой балки производится главнымъ образомъ на изгибъ, при томъ для простоты обыкновенно принимается, что она состоитъ изъ двухъ отдѣльныхъ частей АВ и СВ. Итакъ, крайнія стойки должны противодѣйствовать силамъ и 2 средняя же—силѣ y {t% ~h К)> такъ какъ крайнія стойки наклонены подъ нѣкоторымъ угломъ а къ оси фермы, то сжимающія ихъ усилія равны:
1___
cos а
J. **
и t2
1
2 cos а'
Горизонтальныя же балки АС и СВ сжимаются силами —
,, tg« Н о
«і
Такъ какъ Max t?, возникаетъ при разрывѣ верхняго каната у шкивовъ, то, слѣдовательно, стойку, соотвѣтствующую этому шкиву,
слѣдовало бы дѣлать крѣпче другой, но такого рода экономія матеріала врядъ-ли умѣстна; притомъ нельзя пріурочивать разъ на всегда данный шкивъ къ нижнему или верхнему канату, и потому сила, сжимающая крайнія стойки, находится по формулѣ:
Sj = Max
to ~-------1
* 2 cos a
средняя же стойка разсчитывается на силу—
St = (Max Ѵ-КЛ.
t2' находится по формулѣ (76) для случая наибольшей нормальной нагрузки шкива нижняго каната, то есть—при положеніи груженой клѣти въ низшей точкѣ шахты. Поперечную балку АВС повѣряютъ на сжатіе отъ силы—
s = Max t2 ~г~*
Такъ какъ отъ силы—
sn = (Max t2 —12')
tga
2
возможно перекашиваніе, то заднія ноги связываютъ между собою діагональными тягами. Напряженія, возникающія отъ силы s0 во всей фермѣ, можно было бы точно разсчитать при помощи формулъ (48) главы ІІІ-й, но обыкновенно, въ виду громаднаго запаса прочности, не вносятъ въ разсчетъ соотвѣтствующихъ поправокъ; точно также не принимаютъ во вниманіе давленіе вѣтра.
Разсчетъ фермы, составляемой вертикальными ногами, сходенъ съ только что приведеннымъ; онъ отличается только тѣмъ, что предполагается разрывъ нижняго каната у шкивовъ и полная нагрузка верх-
%
няго. Если ноги поставлены вертикально, —= 0 и ихъ двѣ, а не три, то сжатіе каждой изъ нихъ опредѣлится силой:
Sj' = Max^".
Намъ остается еще опредѣлить П и Q для даннаго копра. Такъ какъ мы пренебрегаемъ при небольшихъ деревянныхъ сооруженіяхъ
давленіемъ вѣтра, то для даннаго случая остается только указать значеніе —
— & 4" ~^(G\ + &2)-
гдѣ G ес-ъ вѣсъ шкива и половины балокъ, покрывающихъ верхнюю часть копра, Gl—вѣсь вертикальной, (г2—наклонной фермы. Половину вѣса каждой изъ нихъ мы относимъ кт, верхнему узлу, а вторую половину—на опоры; итакъ—на каждую ось шкива приходится четвертая часть всего вѣса. Такъ какъ нижнія части ногъ несутъ полный вѣсъ фермы, то, въ виду сказаннаго, сжимающія ихъ усилія нѣсколько больше, чѣмъ указываемыя формулами, и потому намъ приходится ввести поправки на эту вторую половину вѣса, и тогда усиліе, сжимающее наклонныя ноги внизу, опредѣлится формулой:
Si = Sx +
1 (т2
8" cosT
усиліе же, приходящееся на среднія части ногъ будетъ—
S-2 = $2 +
1 бг2
. . і ф
і cos;
Собственно, уклонъ наклонныхъ крайнихъ ногъ нѣсколько разнится отъ угла £ но, въ виду того, что мы допускаемъ цѣлый рядъ упрощеній въ приведенномъ нами расчетѣ, находимъ возможнымъ считать этотъ уголъ ■=;. Вертикальныя ноги (если ихъ двѣ) будутъ сжаты внизу силой —
I
Что касается опорныхъ сопротивленій, то ясно, что величины ихъ должны быть равны и противоположны Slt S^, S{, и каменные устои должны разсчитываться по нимъ. Если имѣются деревянные лежни, въ которые упираются ноги, то разсчитывать ихъ приходится согласно способу закрѣпленія; напримѣръ,—на растяженіе и скалываніе, если закрѣплена часть у вертикальной стойки; усилія, вызывающія эти напряженія, понятно, равны тогда:
Sjsin; или $2sin;.
Разсмотримъ теперь англійскій деревянный двуножный коперъ, (черт. 25). Точка приложенія силъ Вг и В% лежитъ нѣсколько въ
сторонѣ отъ наклонныхъ ноп; если мы перенесемъ ее перпендикулярно къ ногѣ на ея ось, то тогда у насъ явится моментъ 11 е\ здѣсь е—раз-
стояніе оси шкива отъ оси ноги. Этотъ моментъ старается свернуть подшипникъ или часть ноги въ плоскости соприкосновенія ея'съ подшипникомъ. Такъ какъ е мало то мн пренебрегаемъ утимъ моментомъ, хотя намъ приходится оговориться, что онъ является вообще нежелательнымъ, и потому конструктивнѣе помѣщать оси шкивовъ въ плоскости осей ногъ; конечно— въ тѣхъ случаяхъ, когда это не связано съ большими неудобствами.
Итакъ, для расчета копра мы будемъ предполагать, что точка приложенія силы находится въ осевой плоскости наклонныхъ ногъ. Для опредѣленія силъ въ плоскостяхъ переднихъ и заднихъ ногъ, на которыя разлагается эта сила, воспользуемся формулой (43), предположивъ въ нихъ 1\ = 0, такъ что
Т2 sin г2 = Q и Т2 cos £о = ГІ,
и тогда:
Щ П sin ; — Q cos £
^1 = СТІ = 11
Н sin (т) + 5)
Н\ И sin ; — Q cos \ cos т) П
(78)
I _і_
II sin (т) -f- £) cos z cos z
Для нашего случая эти выраженія еще упрощаются въ виду того, что г, — 0; поэтому—
(79)
формулами (78) и (79) можно пользоваться также для точнаго опредѣленія силъ, направленныхъ параллельно осямъ фермъ и вызываемыхъ давленіемъ вѣтра и вѣсомъ фермъ. Для даннаго примѣра мы произведемъ однако расчетъ напряженій, вызываемыхъ вѣсомъ, по способу, принятому въ первомъ расчетѣ; такъ что если G0 имѣетъ то же значеніе, что и раньше, но безъ вѣса шкивовъ и шкивныхъ балокъ, то
полная слагающая въ вертикальной фермѣ будетъ для нашего случая:
h — ■
Вертикальная ферма воспринимаетъ наибольшее напряженіе при разрывѣ нижняго каната; это напряженіе выражается формулой:
Max <; = в0 + §-' ( Max П
наклонная же -- при разрывѣ верхняго. Величина напряженія опредѣляется равенствомъ:
ЛІ , /( Я,\ П Max У
Max М«7т------------------------г-?-*
\ Н ) cos ? sin ;
Намъ остается теперь разсмотрѣть обѣ фермы въ отдѣльности. Въ наклонной фермѣ (см схему черт. 72) къ осямъ шкивовъ приложены силы II|. ГІ2 и Qj, Эти силы могутъ быть разложены на
нормальныя и параллельныя къ шкив-нымъ балкамъ; при этомъ—
N = П sin ; — Q cos
7’= II cos с -f- У sin £.
Итакъ, каждую шкивную балку приходится разсчитывать на изгибъ по формулѣ:
Max N = ~ (Max. П sin ? — У Е),
, ибо шкивы расположены по серединѣ про-
ч,. 72 межутка между балками. Понятно, что
всѣ балки дѣлаются одинаковой толщины.
Горизонтальная поперечная балка CD воспринимаетъ половину нормальныхъ давленій на шкивныя балки, а также часть продольнаго давленія на нихъ. Отъ разложенія нормальнаго и продольнаго давленія окончательно получаются силы и t2, которыя мы опредѣлили выше. Такъ какъ первоначальныя силы приложены у шкивовъ, то силу t мы можемъ считать приложенной въ той же точкѣ, а слѣдовательно, части ея, воспринимаемыя балками CD и КП, опредѣлятся по формуламъ (69). Въ виду того, что шкивы помѣщаются прибли-
зительно по серединѣ балокъ, мы можемъ принять, что половина силъ передается балкѣ CD, а вторая половина балкѣ КН. Въ виду того, что для желѣза модуль упругости при сжатіи мало отличается отъ модуля упругости при растяженіи, такое предположеніе будетъ довольно близко къ дѣйствительности для желѣзныхъ копровъ. Оно допустимо и для небольшихъ деревянныхъ копровъ, такъ какъ въ этомъ случаѣ погрѣшности разсчета могутъ безъ вреда для сооруженія быть нѣсколько большими. Если разстояніе Са = Ы> обозначимъ черезъ /,, а аЬ черезъ 1.2, то тогда давленія въ узлахъ Си/) опредѣлятся выраженіями:
давленіе въ узлѣ
/) =
h t-2 ■+* (^і “Ь
2 (2 *, + /*)
П
С —
~Ь (^і ~f~
2(2/, + /*)"
Если наклонъ ногъ кч. оси разсматриваемой фермы назовемъ черезъ а, то силы передаваемыя ногамъ, будутъ.
__ Uh ~Ы^і
Ь'2~ 2(2/, + і2 Ісоза ’
__ М-> Ч~((і ~г h)tz
'S‘1— 2(2 /, + /2) cos а
Если уклонъ подкосовъ LK и КО къ оси фермы данъ угломъ (3, то силы, воспринимаемыя ими будутъ:
1
2 2cos,3 И 2 2COS,:!
,Эти силы передаются ногамъ и діагональнымъ тягамъ: но, такъ какъ для того, чтобы имѣть свободный проходъ въ нижней части копра, часто предпочитаютъ примѣнять горизонтальную связку, то, разложивъ давленіе отъ подкосовъ по направленіямъ ноги и горизонтальному, получимъ изъ параллелограмма силъ:
s, — /2
1
2 cos а
і/ . // *
И So о а л “
2 22cosot
Въ горизонтальной связкѣ силы, вызывающія растяженіе, будутъ: ( sill (3 — «) sin Q — а) .
to
і tt
И to -z
2 2 cos a cos [i 2 2 cos а cos ;3
ригель 11'K сжимается силами:
-!«?,
' іі о и Ч о
а верхняя балка—силами:
U t2' 4- (/і + /2) к" . + + ,
2(2h + l2) е 2(2/,+ f2) ° ’
сжатіе стоекъ въ нижнихъ частяхъ опредѣлится формулами:
- 3'2 = 8і + в," +
G
2 cos ;
s2"-s'2+s2" + 2.;
надо однако замѣтить, что эти формулы даютъ только приблизительное значеніе для—о2' и °2"> такъ какъ наклонъ ногъ не точно равенъ z. Если подставимъ въ 02' и *2 выраженія для s,'t а/', s*, а2”» то получатся слѣдующія формулы:
/___(3 Іі -}~ 212)І2 -f- /] t2" G
а‘- 2 (2 /, -f- /2) cos a *"2 cos ; ’
//__ (3?! -j- 2/2)/"24- t\t2 G °2 2 (2 12) cos a ‘2 cos -
(80)
Если Max. t2' > Max /2', что имѣетъ мѣсто тогда, когда U" соотвѣтствуетъ шкиву верхняго каната, а U—нижнему, то абсолютная величина
Max з2" > Max з2';
это легко доказать сравненіемъ выраженій (80), а значитъ намъ приходится расчитывать ноги и всю вообще накіонную ферму на случай разрыва верхняго каната
Итакъ, нижнюю часть ногъ мы будемъ считать сжатой силой, «опредѣляемой выраженіемъ —
(3 /, + 2/2) Max t2 4- hh' , & .
2 (2 li + l2) cos a ' cos; ’
(81)
горизонтальная связка растягивае^я усиліемъ -
ригель К'Н'—
Ми Ь".
2 cos а cos (і
tg 3
Max to
« верхняя балка усиліемъ—
tg а 1Л t2' -f- (/1 -+- h) Max t,,"
~2 (277+5
(82)
(20)
(84)
Ходъ расчета вертикальной фермы не отличается въ общемъ отъ только что указаннаго. Точки приложенія силъ, дѣйствующихъ въ «плоскости этой фермы, суть а и Ь, такъ что узлы воспринимаютъ и передаютъ непосредственно ногамъ давленія:
Н~ (^і ~Ь l^t\ /1^/ -f- {1\ 4) '
(2/,+у " (2 /, + У
•Но такъ какъ въ этомъ случаѣ ,
Мах£/ > Max//',
то есть, самое большое вертикальное давленіе возникаетъ при разрывѣ нижняго каната, то расчетъ нижней части ногъ ведутъ на сжатіе силой
Мі" + (*і + *в)МахѴ G
(2 1, + /*) +2‘
Остается еще разсчитать горизонтальную балку СІ); она подвержена изгибу отъ двухъ силъ pt и р2- приложенныхъ въ точкахъ а и Ь, и отъ собственнаго вѣса. Величина этихъ силъ опредѣляется выраженіями:
Силы эти не лежатъ въ одной плоскости, и потому балка подвергается сложному изгибу. Мы для простоты расчета совмѣстимъ ихъ въ одну плоскость и станемъ разсчитывать балку на усиліе Pj + Max р2 или Max pi + р2, и будемъ пользоваться результатами того расчета, ко" торый дастъ большія величины. Понятно, максимальныя величины р опредѣляются наибольшими значеніями t2 и tx.
Что касается опорныхъ сопротивленій, то разсчитать ихъ очень легко, а именно: давленіе на опоры вертикальныхъ стоекъ равнове* лико <зь наклонныя же стойки давятъ но направленію своихъ осей и, кромѣ того, передаютъ часть горизонтальной силы отъ разложенія Т на горизонтальное направленіе и параллельное оси наклонной фермы. Величина этой силы опредѣляется формулой —
Max а0 = (Ptg 5 + Max U) 7-1 >
а слѣдовательно равнодѣйствующая о2 и о0, то есть дѣйствительное давленіе, воспринимаемое опорой, будетъ —
Ро = 4- о?) + Ч Ч sin 5:
I
уголъ наклоненія ея къ горизонту—
. Ч
sm 7 = cos z
Ч
Понятно, для расчета р и ] вводятся наибольшія значенія 4и 4+ получаемыя при Max U.
Въ приведенномъ нами расчетѣ есть упрощенія и даже нѣкоторыя неточности. Умѣстность ихъ объясняется примѣненіемъ ихъ только къ небольшимъ подъемнымъ устройствамъ; болѣе точные пріемы мы примѣнимъ при расчетѣ большихъ желѣзныхъ копровъ.
•»
Пирамидальные копры.
Займемся теперь примѣненіемъ нашей теоріи къ пирамидальнымъ копрамъ. Для примѣра разсмотримъ простую деревянную конструкцію, описанную ранѣе (черт. 36). Изъ теоріи балочныхъ шкивныхъ станковъ мы знаемъ, что какъ вертикальныя, такъ и горизонтальныя силы передаются при посредствѣ поперечныхъ балокъ узламъ. Въ зависимости отъ того, какъ прикрѣплены шкивныя балки, эта передача можетъ совершаться различно, но въ конечномъ счетѣ всегда горизон-
тальныя силы дѣйствуютъ вдоль соединительныхъ балокъ, и разница въ конструкціи сводится только къ тому, растягиваются ли эти балки или сжимаются. Если шкивныя балки прикрѣплены совершенно неподвижно, то горизонтальныя силы передаются какъ переднимъ, такъ и заднимъ узламъ. Вертикальныя сиды мы можемъ разсчитать по формулѣ (29), а по формулѣ (69)—горизонтальныя.
Итакъ, на основаніи теоретическихъ соображеній мы заключаемъ, что для расчета копра вообще безразличенъ способъ прикрѣпленія балокъ, вся разница сводится только къ тому, что въ одномъ случаѣ эти балки приходится разсчитывать на сжатіе, а въ другомъ—на растяженіе.
На основаніи всего сказаннаго величина силъ, дѣйствующихъ въ каждомъ узлѣ, можетъ считаться извѣстной. Разсмотримъ сначала вертикальныя силы. Пусть въ узлѣ А приложена вертикальна сила р . Черезъ наклонную ногу и эту силу проводимъ плоскость, которая пересѣкается съ плоскостью соединительныхъ балокъ по прямой СА. Если мы силу рл будемъ считать равнодѣйствующей силъ направленныхъ по ногѣ и прямой СА, и уголъ, составляемый ногой съ вертикальной прямой, назовемъ у, то сила, направленная по ногѣ окажется равной
Sl cos у’
горизонтальная же слагающая по АС будетъ
Ѵл *gT-
Если углы, составляемые направленіемъ АС съ соединительной и поперечной балкой, назовемъ 5 и о, то, разлагая эту силу по направленіямъ Т) А и В А, получимъ
р tg У cos д и р tg у cos о.
* А А *
:ь
Если ыы продолженіе АЕ (см. черт. 73-а) А будемъ считать діагональю параллелепипеда, направленія сторонъ котораго суть DA, ВА и продолженіе р, то, назвававъ уголъ между ВА и АЕ черезъ а,
между В А и ЛЕ черезъ ft, на основаніи геометрическихъ свойствъ параллелепипеда имѣемъ:
„ cos (180 — ot) COS (180 — 3)
COS 0 = ----:------ И COS o = ----------— »
sin у sm y
а слѣдовательно сила, дѣйствующая по направленію А 7), будетъ
а по АВ—
ва = —Р
cos а л sin Y
Ь = -Ра
cos a sin y
Такъ какъ углы ft и я—тупые, то s2 и имѣютъ положительныя значенія. Опредѣленныя нами силы вызываютъ противоположныя напряженія въ стержняхъ узла; поэтому, если назовемъ эти напряженія $і', s2', Sz, то будемъ имѣть равенства:
Si — — Sj , Sg--------------S2 И Sg-------------Sz •
Если составимъ уравненіе равновѣсія для этого узла относительно системы трехъ взаимно перпедикулярныхъ осей Х-{АВ) и 1— (ЛВ) и Z—(p), то, конечно, убѣдимся въ правильности разложенія силы р. Эти уравненія будутъ
РА S|' cos я = 0,
Pj 7ГГ7Г -f «2 Р
cosy
cos3
= 0.
' Н~ <§з = 0. ■* cos y
(85>
Всѣ три напряженія вызваны сжимающими усиліями. Точно такимъ же образомъ мы опредѣляемъ силы и напряженія, дѣйствующія вдоль прутьевъ въ остальныхъ трехъ узлахъ. Если вър,р и ир. мы предположимъ включеннымъ вѣсъ шкивовъ, поперечныхъ и соединительныхъ балокъ и вѣсъ.соотвѣтственной части наклонной ноги со всѣми связками и раскосами, то для силъ,* направленныхъ вдоль связываю щихъ балокъ АВ и СТ), мы можемъ написать слѣдующія выраженія:
_ cos я, cos я
2і = S =^у>і —р------------1- w ~
1 ли 1 1 а cos Yi ' 1 ь cos y
„ 0 cos а, cos ol .
~2 со 0,2 'Pc cos Yj cos ’
(86)
вдоль же поперечныхъ балокъ АС и ВІ) дѣйствуютъ силы:
о.
АС
COS^i , COS^i
- Р “ ‘ 4- Р ----- - 5
х 1 cos уі 0 cos 7і
Q"= Я = <«
и
ВІ)
r,t (jt
COS , COS li
&COS Y ^ r°COS Y
(87)
Эти опрокидывающія усилія Q' и й" при расчетѣ малыхъ пирамидальныхъ копровъ или вовсе не принимаются во вниманіе или, если иногда и принимаются, то только для провѣрки поперечныхъ балокъ на сжатіе, причемъ, конечно, провѣрка производится для большихъ изъ нихъ. Для того однако, чтобы не возвращаться больше къ копрамъ этого тина, мы изслѣдуемъ напряженія, вызываемыя всѣми опрокидывающими силами.
Въ виду того, что въ пирамидальномъ копрѣ переднія ноги также какъ и заднія, вмѣстѣ взятыя, образуютъ фермы, имѣющія видъ трапеціи, очень часто безъ діагональныхъ стержней, наклоненныхъ нѣсколько другъ къ другу, то намъ придется обратиться къ формулѣ (48). Преобразуемъ ихъ по общему способу и, замѣнивъ напряженія силами, вызывающими ихъ, именно —
найдемъ, что
h
h =
ti —
и #2 — — о2,
(h + В tg ij) П + НИ (/+ Hlgrt + tftg;) cos'; 1
_J/2 + gtg$)n+#Q .
(J + #tg Tj + Htg£) cosrj ’
(88)
но такъ какъ мы вертикальныя давленія уже распредѣлили по направленію ногъ и продольныхъ и поперечныхъ балокъ, и желательно ввести только дѣйствіе поперечныхъ горизонтальныхъ силъ, то для этого случая слѣдуетъ предположить
П = 0,
и тогда:
t і--2 — — ' ’
//• — I 1-2 —
LcosTj
ш
■I »
L cos?
Подставляя въ эти выраженія 12' и 12", а также соотвѣтственныя значенія для угловъ наклоненія ногъ къ оси фермы, мы опредѣлимъ силы, ti", t-2 • которыя будучи суммированы съ прежними (85)» позволяютъ намъ вычислить напряженія въ ногахъ по формуламъ:
аі = - («) — *і); ъ = — (s + О-
Намъ остается использовать полученныя выраженія для того, чтобы имѣть возможность судить о роли каждой изъ принятыхъ во вниманіе активныхъ силъ, которыхъ вслѣдствіе сложности я приводить не стану.
Для опредѣленія горизонтальныхъ сила. 12j и 12, у насъ имѣются выраженія (69).
• Формулы (29), указывающія, кака, распредѣляются вертикальныя давленія, даютъ намъ возможность вычислить вертикальныя силы, •дѣйствующія по узламъ:
рл=--
h О- 4- А]) -f- 1\ А
/
(2 X + Xj)
Р» =
!\ ]\ (А -}- А]) і2Х
/ (2 -h X,)
__12 (X “f" Xj) X _ ^1 Р-іО- Xj) “Н X
~ Т (2 X + X,) 'р\> ~1 (2 А -|- X,)
Если для простоты обозначимъ
Л(Х + Xj)-f- Р.г1
(2 X -|- Xj) то будемъ имѣть:
Р-2 0-2 Xj) -)- і\ X
черезъ П, и ——^ ” черезъ П2,
(2 а /.j)
+ Г п.. Р.=','аь /', = 'f П,. /’„ =п,„
(91)
гдѣ Пі и П2—это силы, которыми на соединительныхъ балкахъ НА и CD мы вправѣ замѣнить вертикальныя давленія Рх и 1\ у осей шкивовъ.
Приведенный способъ расчета по пріему своему сходенъ съ примѣняемымъ на практикѣ, но безъ тѣхъ вольностей, которыя обыкновенно допускаются. Заднія ноги разсчитываются на силу
lx Max Пі Л Max П2
I cosy 1 cosy
Какъ видно, такой расчетъ, собственно говоря, ни на чемъ не основанъ. Формулами, выведенными для распредѣленія силъ по узламъ, мы воспользуемся впослѣдствіи, при расчетѣ пирамидальныхъ копровъ,— въ которыхъ ноги соединены діагональными прутьями.
Для случая, когда неизмѣняемость геометрической формы копра обусловлена только горизонтальными связками, воспользуемся способомъ идеальной фермы, то есть, замѣнимъ давленія, передаваемыя поперечнымъ балкамъ отъ силъ П и Q, силами направленными въ плоскостяхъ переднихъ и заднихъ ногъ, и приложенными къ серединѣ разстоянія между поперечными балками, поддерживающими каждый изъ шкивовъ. Если наклонъ фермы переднихъ ногъ къ вертикальной плоскости— у;, а заднихъ z, то, подставивъ въ уравненіе (88) соотвѣтственно llj, 12j и П2, й2, найдемъ двѣ группы силъ:
Такимъ образомъ въ передней наклонной фермѣ, въ плоскости ея, дѣйствуютъ силы (черт. 73) и а въ задней — ^’ и f2".
Разсмотримъ заднюю ферму; наклонъ ногъ въ ней одинаковъ, уголъ, составляемый ногою съ горизонтальной поперечной балкой, пусть будетъ слѣдовательно уклонъ ихъ къ оси фермы ——90°. Наклонная высота этой фермы —
Напряженія въ ногахъ этой фермы вызываются силами t2 и t2" и боковымъ давленіемъ вѣтра, а также силы, вызываемой отклоненіемъ
каната г2; эти напряженія выразятся формулами:
[Х+7/2 tg (?'-90)]*'2 [(Х+AO-f Л2 tg (?' - 90°)) t*" _ Л,ѵ2 L-2cosф' — 90°) />2cos(j3' — 90°) ‘ ~L,cos(^'-90)’
(92)
__ [(A-fAij-j-J/gtg ф — 90°)]^a' [7 +До tg (tT—90°)] t-2 H2 ?*2_
°I,— L2 cos ([T — 90°) L3cos(|T—90°) ~"~L» cos(^'—90)
Двойной знакъ у силы давленія вѣтра и боковыхъ отклоненій каната поставленъ потому, что вѣтеръ можетъ быть направленъ, какъ съ, одной такъ и съ другой стороны; впрочемъ, этимъ членомъ часто пренебрегаютъ, такъ какъ въ и уже вошло продольное давленіе вѣтра:
іо = 2 X —)— лj —f- 2 Но tg — 90с1).
Ясно, что если
t-г > V'.
то Max будетъ соотвѣтствовать Мах(/ и наоборотъ, если
то ноги слѣдуетъ разсчитывать по Max t%", а именно, слѣдуетъ принять во вниманіе оА при вышеуказаннномъ значеніи £>". Итакъ, намъ надо разобраться, какое изъ неравенствъ
Max ^ Max t^'
имѣетъ мѣсто. Но такъ какъ вообще найбольшія напряженія возникаютъ при разрывѣ канатовъ, то у насъ могутъ имѣть мѣсто для всякаго каната (шкива) усилія:
(Мах (2) і =
(l-\- Нtg yj) Max П 4- НQ L cosS
(Max to) 2 =
(/] -f Й tg ?j) П -f- H Max Q L cos 5
Разсмотримъ сначала напряженія, имѣющія мѣсто у шкива верхняго каната, причемъ мы для простоты примемъ во вниманіе только натяженія, вызываемыя подъемомъ. При разрывѣ каната у шкива величина силы согласно уравненію (25) главы І-й, будетъ—
(/t 4-/itg7])o(l + cosa/) -f -Hosing/ .
Lcos $ ’
если канатъ разрывается, когда груженая клѣть находится въ нижней части шахты, то эта сила опредѣлится выраженіемъ
(?! -f- -fltg7i)a(l -f- cos а/') -f-i/osina,']
L cos?
Разность этихъ величинъ положительна и іи отрицательна, сообразно-съ тѣмъ, которое изъ написанныхъ ниже неравенствъ имѣетъ мѣсто:.
(ІІ + tftgY)) (cos я/ — cos -f Н (sin а/ — sin я,") ^ 0.
Напишемъ его такъ:
Н- tg 7] + о,
гдѣ
sin aj' — sin я/'
/ 77*
COS Ot! — COS
Для опредѣленія 3/ воспользуемся формулой (7), которая даетъ намъ (при замѣнѣ L на 1)) слѣдующія равенства:
sin я = [Л Ѵ ТР + № — (р — ®)2 + Л (р — »)]|
cos я = grjrffi [Л2 Ѵ7ІгТ№ ~ (р - »)2~- «(р -«)]•
Если въ эти выраженія станемъ подставлять вмѣсто ,о его предѣльныя значенія ,о, и ѵ, то въ первомъ случаѣ опредѣлимъ sin я/ и; cos я/, а во второмъ—sin я/' и cos я/'; итакъ:
_ X у/Л2~Л?ггТр^)г+ Л (рі — — № + Л2
‘ Щ/IP + D2 - (р, - е)«— » (р, — о) - Л(/ И2 + Л2’
а сѣ достаточной для нашихъ разсужденій точностью:
поэтому, если
^ + р>°> ' (93а>
t
то Max ^ имѣетъ мѣсто при Max U. Наоборотъ, если
4-tgT)—Ц < 0, (936)
то наибольшее значеніе іх принимаетъ при Max Р. Разсуждая такимъ же точно образомъ относительно напряженій у шкива нижняго каната,
мы придемъ буквально къ такому же выводу, а слѣдовательно заднія ноги слѣдуетъ разсчитывать на Max И, при существованіи неравенства 93а, и на Max П (уравненіе 25) при неравенствѣ 93Ь.
Разсмотримъ теперь ферму переднихъ ногъ. Напряженія въ нихъ опредѣляются выраженіями, аналогичными съ (92), съ соотвѣственной замѣной обозначеній; напряженія эти будутъ:
[X-f #itg(t3 —90)f/ [(X+Xi)-hi¥itg(?--9Q°)]r1 _ Щѵх
7,, cos (p — 90°) *' cos ф — 90°) Ly cos —90)’
(94)
_[(X-rA.)+7/1tg(|3-90°)]V , _ Щ vx_________.
c Li cos ф — 90°) ** L\ cos ф — 90°) Lxcos (p-90°)
Для того, чтобы оба напряженія были сжимающими, необходимо, чтобы t\ и //'были величинами положительными. Условіе, необходимое, для этого, выражено въ уравненіи (53); если въ немъ tg г замѣнимъ tg а, которой можно вычислить, какъ выше было указано, то
I) V Н- IP - (р - vf + //( о — ѵ)
* = Н |/Т/2 I)- — (р - vf - І)ф - ѵ) 9
но, ограничившись тать, что
довольно грубымъ приближеніемъ,
tga =
D
Л
и тогда получимъ слѣдующее:
tg; >
D-k " Н
можемъ
счи*
Впрочемъ, въ теоріи этотъ случай разсматривается болѣе точно. Неравенство наше наглядно показываетъ, что типъ пирамидальныхъ копровъ, въ особенности деревянныхъ, пригоденъ только для малыхъ машинъ, которыя, благодаря небольшой длинѣ барабановъ, могутъ быть устанавливаемы непосредственно у шахтъ.
Итакъ, если условіе (53) соблюдено, то понятно, что
Max Min t\
(/2 + 77 tg Ь Max ГІ - i> H L cos r.
(/2 + 7/tg;) П — H Max <2 L cos r(
- J
наоборотъ если условіе не соблюдено, и переднія ноги приходится разсчитывать на растяженіе, то въ основу расчета должно принять предыдущій минимумъ, который въ данномъ случаѣ явится максимумомъ растяженія. Остальныя соображенія тѣ же, что и при расчетѣ заднихъ ногъ, такъ что повторять ихъ излишне.
Перейдемъ теперь къ случаю, когда переднія и заднія ноги соединены діагональными прутьями., Въ атомъ случаѣ коперъ можно разсматривать, какъ сооруженіе, состоящее изъ двухъ продольныхъ, связанныхъ между собою рѣшетчатыхъ фермъ., .Расчетъ недѵтъ слѣдующимъ образомъ: всѣ дѣйствующія силы распредѣляются по узламъ, а вертикальныя разлагаются на горизонтальныя и направленныя по ногамъ, согласно способу, • указанному въ началѣ главы о пирамидальныхъ копрахъ. Такъ какъ ноги состоятъ изъ неразрѣзныхъ брусьевъ, то силы, направленныя по нимъ, временно считаются несуществу-.ющими, и расчетъ дальше состоитъ въ разложеніи горизонтальныхъ силъ по направленію ногъ и тягъ. Итакъ, въ данномъ случаѣ вовсе не безразлично, какъ прикрѣплены шкивныя балки къ поперечнымъ, ибо отъ способа эггіго прикрѣпленія зависитъ то обстоятельство, въ какой степени горизентальное усиліе передается переднимъ и заднимъ ногамъ (см. черт.) Въ случаѣ, если балки соединены наглухо, то, соединивъ формулы (69) съ (70), получимъ равенства:
W
л ” Лт О»!, = К-2 а»!, WJ} =* К\ «>2 И = К2 <*>>
въ которыхъ
*1 =
Е,1,
І-і -+- h 2 !\
и кі = ѵ
Е2іі
И такъ, горизонтальныя силы, дѣйствующія по направленію оси копра, будутъ:
о тг ^тт COS3ti о ѵ . Ѵп cosa'
У. — /L] <*>і — 1 Пі t — /іоw 1 Т7 Пі * И * , 1 1 I ‘cosy, * * 1 1 / !COSY
О V 1*п C(,S“l О А- ,*1 п C0sa -
И = Ао <д>о — у" По . П — Ао и>і Н“ у По ~ /* V О * л I ^COSYi О “ 1 / -COSV
(95)
силы же, дѣйствующія перпендикулярно оси копра—
, kr, cosi3i , hrj cos ft'
У =(1),-----г 111------, У = ш0 — -Г П]--------,1
л 1 I cos Yi и / cos y
Г** / , k п cos О* . , h п cos ?'
Q = 0)і -|—=г По , Ц — Wo Н- і П«2 ;*
с 1 ' I -cosyi и I ‘‘cosy
Во второй группѣ выраженій знаки поставлены такъ, какъ будто •еила Q' и ея составляющія «>,' и <*>2’ направлены отъ А къ С: не слѣдуетъ однако забывать, что она можетъ перемѣнить свое направленіе, такъ что для вполнѣ точнаго расчета слѣдовало бы провѣрить сооруженіе и на это послѣднее сочетаніе силъ. Согласно способу прикрѣпленія вшивныхъ балокъ, приходится видоизмѣнять конструкціи •боковыхъ фермъ, если желательно, чтобы онѣ были статически опре-•дѣлимыми. Расчитываютъ ихъ чаще всего при помощи метода разложенія силъ по стержнямъ, который въ данномъ случаѣ удобно примѣнить; конечно, можно было бы съ успѣхомъ примѣнить одинъ изъ общихъ методовъ Риттера, Кремона и пр., но въ большинствѣ слу-* чаевъ указанный нами способъ не создаетъ никакихъ затрудненій. Итакъ, если вшивныя балки прикрѣплены неподвижно къ поперечной -балкѣ у переднихъ ногъ, то активныя силы, какъ это намъ извѣстно, -передаются главнымъ образомъ переднимъ узламъ; мы можемъ принять для этого случая
<1 = і>
А АН'
О = о ~'с сг> ’
причемъ, конечно, предполагается, что
о — Q =о.
В о
Ферма, сооівѣтствующая этому случаю, показана на чертежѣ 74. Обозначенія понятны •безъ объясненій. Разлагаемъ силы, начиная отъ узла А, по напра-• вленію ноги AAj и стержню Abt:
*/ = Q
Sin Гц
Sill Я,
1 - ™ I * / N
1 -<sm(otl — о,) ^sin^i—Oj)
Затѣмъ переносимъ точку приложенія силы ,о1 въ точку Ьх и разлагаемъ ее по направленію связки ах Ьх и ноги ВВ\.
«2
sin 0. sin (я' — Oj)
= Pi “-2=Рі
sin я
Sill я
Перенесемъ теперь й2 въ и разложимъ, какъ это было сдѣлано ѵвыше:
„ л sino2 „ sin я,
1 * Sin (я, — $2г “ ■ Sill (я, — О.,)
затѣмъ дѣлаемъ разложеніе силъ въ точкѣ Ь:
,, sin 0.2 sin («' 4- о2)
*" sm я г" sin а
и такъ дальше; силы о/, й2» ~з —растягивающія, а2', рь р2, р3—сжимающія. Полное напряженіе въ нижнихъ частяхъ ногъ опредѣляется силами:
Si — 1 s{ и Я, + I si,
гдѣ п—число поясовъ фермы. Конечно, при желѣзныхъ конструкціяхъ желательно, а при деревянныхъ необходимо, чтобы
> 0.
Если задніе концы шкивныхъ балокъ закрѣплены, а передніе могутъ скользить, то
причемъ, конечно,
£2 = Q и 2 = Q ,
А АП I) CD’
Соотвѣтствующая конструкція показана на черт. 75. Ходъ расчета, понятно, ничѣмъ не отличается отъ указаннаго выше.
Горизонтальныя связки въ настоящемъ случаѣ подвергаются сжатію, діагональныя стержни—растяженію:
Sill Oj
sm я
So = Q—.—r—:—гт и pt = £2 . , , „ .
Л Sin (Я —0^ ‘ * Sill (я — Oj)
и такъ дальше.
Для проектированія не лишне замѣтить, что съ увеличеніемъ угловъ о увеличиваются <3і и о.2' и т. д, наоборотъ р1, р2.... —уменьшаются, что же касается силъ £22, Q3...., то онѣ увеличиваются вмѣстѣ съ о. Въ случаѣ, если оба конца шкивныхъ балокъ прикрѣплены неподвижно къ поперечнымъ балкамъ, такъ что горизонтальныя силы распредѣляются по всѣмъ узладоъ, согласно форм. (95), то примѣнять слѣдуетъ ферму, изображенную на черт. 76, съ перекрещивающимися діагональными стержнями, причемъ, какъ соединительная балка ЛВ, такъ и вообще всѣ горизонтальныя связки являются лишними. Расчетъ
въ общемъ прежній, ходъ его достаточно ясно виденъ изъ чертежа. Стержни ЛЬЪ щ Ь2, а.> Вх подвергаются сжатію, стержни же ВаІГ а2, Ь2 Л\—растяженію. Если почему либо желательно примѣнить
расчетъ, такъ что онѣ придають сооруженію нѣкоторый, впрочемъ неопредѣленный, избытокъ прочности.
Поперечныя фермы, которыя состоятъ изъ переднихъ или заднихъ ногъ, приходится снабжать скрещивающимися діагональными стержнями, такъ какъ онѣ подвергаются поперемѣнно опрокидывающимъ усиліямъ то съ той, то съ другой стороны. Если при расчетѣ продольныхъ фермъ уже принято во вниманіе максимальное давленіе вѣтра, то незачѣмъ вводить его вторично при расчетѣ поперечныхъ фермъ; въ этомъ случаѣ сила «>' опредѣляется согласно формулы (20), на основаніи бокоього отклоненія канатовъ.
Что касается вопроса, какое изъ максимальныхъ усилій, вертикальное или горизонтальное должно лечь въ основу расчета копра, разсматриваемаго типа, то для этого слѣдуетъ примѣнить указанія, приведенныя выше и формулы (93).
Для провѣрки можно также, воспользовавшись методомъ основной идеальной фермы съ діагональной связкой, опредѣлить опорныя сопротивленія.
Черт. 70.
кромѣ діагональныхъ еще и горизонтальныя связки, то для приблизительнаго расчета можно примѣнить методъ разбивки .іермы на простѣйшія, а именно, разсчитать усилія, согласно случаямъ 1-му и 2-му, и сложить результаты. Горизонтальныя связки окажутся подвергутыми растяженію и сжатію, и потому размѣры ихъ приходится опредѣлять по разности этихъ силъ. Впрочемъ, чаще всего, если и ставятъ въ этихъ случаяхъ горизонтальныя связки, то не принимаютъ ихъ въ
Призматическо-пирамидальные копры (шестиножные).
Уравненія (57) и (58), выведенныя для основной фермы этого копра и преобразованныя для расчета силъ, будутъ:
*і =
/2П
/ cos т.
to =
(Іг COS Y) silt \ — 12 sin Г) cos С) П — I COS Т) cos С Q I COS Tj sin (С — ?)
(97)
__( —/, cost)sin S-f^sin rj cos ;) П -Kcost)cosSQ
3 l cost) sin (C — !;)
Въ желѣзныхъ конструкціяхъ чаще всего дѣлаютъ переднія и среднія ноги вертикальными; такъ какъ въ этомъ случаѣ
cos т] = cr.s - = I и sin Т) = sin ; = 0, то
Для того, чтобы въ среднихъ ногахъ имѣлось всегда сжатіе, у насъ выведено условное неравенство. Ясно, что переднія ноги приходится разсчитывать на Max. вертикальнаго давленія. Точно также, если условное неравенство соблюдено даже при Max. горизонтальнаго давленія, то среднія ноги приходится разсчитывать на сжатіе отъ вертикальнаго давленія. Наооборотъ, заднія ноги необходимо разсчитывать на наибольшее горизонтальное усиліе. Впрочемъ, намъ къ этому вопросу придется еще вернуться.
Расчетъ конструкцій разсматриваемаго типа можно вести двоякимъ путемъ, а именно: 1) распредѣлить всѣ активныя силы путемъ разложенія на верхніе узлы, причемъ—вертикальныя силы окажутся приложенными во всѣхъ узлахъ, горизонтальныя же только въ среднихъ.
2) Вертикальныя силы у переднихъ узловъ разложись на силы, направленныя по ногамъ, и двѣ горизонтальныя —по переднимъ поперечнымъ и горизонталі нымъ боковымъ связывающимъ балкамъ. Затѣмъ точку приложенія этихъ новыхъ горизонтальныхъ силъ перенести въ средніе узлы, на которые такимъ образомъ будетъ дѣйствовать сумма указанныхъ горизонтальныхъ силъ плюсъ вертикальныя силы, которыя опредѣлены раньше. Эги вертикальныя силы мы разлагаемъ на горизонтальныя, направленныя вдоль поперечныхъ балокъ и другія, направленіе которыхъ дается прямой пересѣченія вертикальной плоскости, проходящей черезъ поперечную балку, и плоскости проведенной черезъ среднюю и заднюю ногу. Теперь остается эту силу, а также раньше найденныя горизонтальныя разложить по направленію средней и задней ноги. Для опредѣленія напряженій, вызываемыхъ только что найденными боковыми горизонтальными силами въ совокупности съ силами, возникающими отъ отклоненія канатовъ, отъ осевого направленія и бокового давленія вѣтра, мы разсматриваемъ заднія ноги, которыя въ связи съ горизонтальной поперечной балкой образуютъ ферму—трапецію, и въ которыхъ распредѣленіе силъ обусловлено распредѣленіемъ поперечныхъ и діагональныхъ стержней. Силы эти опредѣляются согласно одному изъ указанныхъ выше способовъ. Что же касается такой же средней фермы, то является вопросъ, какъ распредѣлить по нимъ горизонтальныя силы, направленныя вдоль поперечной балки. При настоящемъ способѣ расчета этотъ вопросъ рѣшается приблизительно; напримѣръ: принимается, что величина ихъ пропорціональна величинѣ силъ, направленныхъ по ногамъ; это довольно близко къ истинѣ. Проще, но менѣе точно, раздѣлить горизонтальную силу по* ровну и принять, что каждая изъ этихъ половинъ воспринимается фермами ногъ въ отдѣльности. Напряженія въ ногахъ, вычисленныя при разсмотрѣніи поперечныхъ фермъ, суммируются съ опредѣленными раньше. Что же касается того, какія максимальныя напряженія слѣдуетъ принимать при расчетѣ, то указанія даны нами выше.
Конечно, величина опорныхъ сопротивленій равновелика усиліямъ въ нижнихъ частяхъ ногъ.
Приведенный нами способъ расчета довольно сложенъ; поэтому намъ предстоитъ прибѣгнуть къ общему способу разложенія активныхъ силъ по направленіямъ частей идеальной оіновной фермы, которыхъ
въ данномъ случаѣ двѣ, совершенно аналогичныхъ такимъ же у пирамидальныхъ копровъ. Разложеніе можно произвести при помощи формулъ (97) или графически по способу, указанному раньше (черт. 61).
Итакъ, въ плоскости каждой изъ поперечныхъ фермъ у насъ будутъ дѣйствовать силы и s2 и s2\ s3 и s's, которыя являются активными силами. Согласно имъ мы и ведемъ расчетъ фермы, сообра" зуяеь, конечно, съ ея конструкціей. Чаще всего примѣняется раздѣленіе на нѣсколько поясовъ съ діагональными, перекрещивающимися стержнями, такъ что разсчитывать ихъ приходится по способу распре-дѣ тенія силъ по узламъ и затѣмъ поочередному разложенію по стерж-• нямъ. Конечно, можно примѣнить способъ Риттера или какой нибудь другой. Часто, для того чтобы имѣть свободный доступъ къ устью шахты, приходится довольствоваться только перекрещивающимися прутьями и горизонтальными связками въ верхнихъ частяхъ фермы, внизу же ноги остаются безъ скрѣпленій; въ этомъ случаѣ мы можемъ воспользоваться формулой (48). Поправку на боковое давленіе вѣтра и силу, вызванную отклоненіемъ каната, можно ввести отдѣльно, причемъ разпредѣляютъ это давленіе по узламч, а въ заднемъ узлѣ, кромѣ того—еще по двумъ фермамъ, какъ указано выше. Изъ всего изложеннаго вытекаетъ, что всякія боковыя связки, соединяющія переднія ноги со средними, или эти послѣднія съ задними, не имѣютъ строго опредѣленнаго значенія и, если ими снабженъ коперъ, какъ это показано на черт. 37 и 38, то дѣлается это для устраненія бокового изгиба ногъ, такъ что эги части сооруженія не поддаются расчету; да въ этомъ и нѣтъ необходимости. '
Для случая копровъ съ отодвинутыми подпорными ногами расчетъ въ общемъ остается такой же, но, конечно, для опредѣленія силъ слѣдуетъ примѣнить формулы, которыя въ развернутомъ видѣ будутъ:
I Q — ilx tg ч + k tg 5) П
[I (tg = — tg С) +10 tg 5)] cos V
, -(/ + /р)Й + [Ц + /i)tgC-/2tgr|]n
2 [/ (tg 5 — tg C) + /0 (tglfj + tg £)] COS S li
(99)
li [/ (tg ; — tg С) + /0 (tg *) + tg £)] cos C
/Q-[(/-Hing; + /ltgY)]n
Для случая, который чаще всего примѣняется на практикѣ, когда переднія и среднія ноги поставлены вертикально, эти формулы
упрощаются вп виду того, что tg tj = lg; = 0; такъ что
, -K2 + J,UtgC
------Ш—’
, (/-h^Q-^ + zontg:
h = -
о
sin
(100)
Для копровъ, въ которыхъ подпорныя ноги подведены непосредственно подъ шкивныя балки, общія выраженія для силъ, дѣйствующихъ въ поперечныхъ фермахъ, могутъ быть наипсаны слѣдующимъ образомъ:
[ZjSinCS-C) - (li4-£o)cosCsinjj-f fcosTjsinC] П+[і /1+/0)cosCcosl;-/cosrjCos^]Q
1-— (1Л + /0) sin (; + yj) cos С — Z cos rt sin (*
_ _ [h sin (P -f П) — (h + Ip) cos C sin У)]П — (^ -{-10) cos C cos Q ** (ij + /0)sin(S — T])eosC —?c°s>jsin(C + 7]) ’ ^ '
[?!8Іп(Е + ^ — l COS V} sin У)] П — /cos .
^ ~ + l0) sin (; + T]) cos C — l cos rj sin (С + *])'
эти формулы значительно упрощаются, если поцпорныя ноги непосредственно подведены подъ шкивы, и если заднія и среднія ноги наклонены одинаково. Если среднія и заднія ноги поставлены вертикально, то формулы эти примутъ видъ—
Іл ---- 1(
IJ sin С — Q cos С /sin С
= *(п-Й
/2 —1\
П sin С — Q cos С / sin С
- На-
(102)
h
2
tg
— •
г
Разсмотримъ теперь конструкцію копра, изображеннаго на черт. 34. Коперъ этотъ въ самомъ упрощенномъ видѣ можетъ быть предсталенъ схемой, изображенной на черт. 77. Въ центрѣ шкивовъ дѣйствуютъ горизонтальныя силы Uі, U2 и вертикальныя 1\ Р2. Очевидно, что крайнія
подушки воспринимаютъ усилія Ux и -j U2, -j 1\ и \ Р2, а среднія—
Y (Ед + Ц>) и Ѵд (Рі "Ь Ро)* Эти ^илы въ свою очередь передаются посредствомъ балокъ СТ) и РР узламъ, такъ что въ С и Р будутъ дѣйствовать вертикальныя силы (3 Рі+Р2) и вдоль балки DP-горизонтальная сила ^ (3 Ux + Ра) Съ другой стороны копра будутъ
дѣйствовать аналогично:(Рх+3 Р2) и(Ul -f- 3 ?Х2). Дальнѣйшій расчетъ можно вести: или разлагая вертикальныя силы по ногамъ и горизонтальнымъ направленіямъ CP, CP, РР и EF, или же при полощи идеальной фермы, построенной аналогично боковымъ фермамъ копра, если ноги соединены между собою неизмѣняемо при помощи горизонтальныхъ или наклонныхъ связокъ, не доходящихъ до опоръ. Въ этомъ случаѣ проводимъ вертикальныя плоскости черезъ CF DE. Если плоскости переднихъ и заднихъ ногъ наклонены къ вертикальнымъ подъ углами г] и то положивъ
<Г = ~ (3 и, + игу, П' = ’ и\ + 3 Г2) и /, = /„= у?,
при помощи формулъ (48) опредѣлимъ ? и дѣйствующія въ плоскостяхъ BCDA и GFEK у узловъ С и F. Такимъ же точно способомъ вычисляемъ силы t" и і"\ у узловъ Р и Р. Дальнѣйшій расчетъ сводится къ разсмотрѣнію фермъ, составляемыхъ передними и задними ногами, подобно тому, какъ мы это видѣли при пирамидальныхъ копрахъ.
Разсмотримъ теперь коперъ, упрощенная схема котораго можетъ быть представлена черт. 78; описаніе его дано при черт. 28; заднія ноги за- -мѣнены гибкими тягами, канатами, такъ что активныя силы дѣйствуютъ въ вершинѣ треугольной фермы. Разсматриваемый случай подходитъ къ формуламъ (36); всѣ углы здѣсь отрицательные.
Такъ какъ намъ желательно получить не сразу напряженія, а •силы, дѣйствующія въ плоскостяхъ фермъ, то, перемѣнивъ знаки
и развернувъ эти выраженія, получимъ:
— ГІ sin ; -f- Q cos ;
sin (?) + 5)
(103)
П sin yj — Q cos г)
sin (r; — -)
Въ вертикальныхъ сѣченіяхъ, проведенныхъ черезъ шкивы, будутъ дѣйствовать силы £/ и ti", растягивающія ферму гибкихъ тягъ и { и t2'\ сжимающія ноги.
Найдемъ силы дѣйствующія на тяги, разлагая указанныя силы по направленіямъ тягъ и поперечному направленію; согласно чертежа будемъ имѣть:
боковое опрокидывающіе усиліе, возникающее отъ дѣйствія силъ t‘ и t", будетъ
гдѣ 1% — І-і = 10 не что иное, какъ разстояніе шкивовъ или осей подъемныхъ отдѣленій между собою. Итакъ, съ увеличеніемъ % возро-стаютъ, какъ растягивающія напряженія въ тягахъ а/ и а/', такъ и перекашивавающіе усиліе и>, которое можетъ быть воспринимаемо только ногами. Желательно дѣлать а по возможности малымъ. Если тяги направлены параллельно плоскости симметріи копра, то есть а = О, то, конечно, со = 0 и
Ферма ногъ подвержена дѣйствію сжимающихъ силъ t% и t2 , направленныхъ вдоль ея оси. Кромѣ того она должна противостоять всѣмъ боковымъ силамъ, именно: разсмотренной только что <о, силѣ вѣтра, давленіе котораго для даннаго случая является самымъ опаснымъ по направленію перпендикулярному оси копра, а также силамъ, возникающимъ отъ отклоненія канатовъ. Растяженіе въ тягахъ и сжатіе въ йогахъ обусловлено неравенствами:
і--------; «і = —і-----------’
I СОЯ 01 I cos я
I
П sin z + 2 cos 5 < 0 и П sin rj — Q cos tj > 0,
что въ свою очередь сводится къ неравенствамъ:
е < ; и £ < т);
впрочемъ, первое неравенство предрѣшаетъ второе, такъ какъ ?] > £. Изъ этихъ неравенствъ кромѣ того слѣдуетъ, что при настоящемъ расположеніи копра относительно машины какъ наибольшая величина растяженія, такъ и сжатія имѣютъ мѣсто при Max. П; слѣдовательно, коперъ разсчитывается на разрывъ нижняго каната у шкивовъ. Обѣ тяги, такъ же, какъ и ноги, дѣлаютъ, конечно, одинаковыхъ размѣровъ, соотвѣтствующихъ большему изъ напряженій. Если имѣется средняя тяга, то расчетъ въ общемъ не мѣняется, но растягивающія усилія приходится распредѣлять на эти три направленія. Расчетъ фермы ногъ не отличается отъ другихъ этого рода расчетовъ, поэтому мы здѣсь его разсматривать не станемъ.
Вмѣсто того, чтобы расширять у основанія разстояніе ногъ, копры этого типа снабжаютъ иногда боковыми тягами OD и О'Е; назначеніе ихъ противодѣйствовать боковымъ опрокидывающимъ силамъ. Эти тяги легко можно разсчитать, исходя изъ того предположенія, что все боковое давленіе воспринимаетсь одной тягой и одной ногой. Если эго давленіе U, то сила, вытягивающая тягу OD, будетъ
а сила, сжимающая ногу—
sin^
U
tg а
Разсмотрѣнный типъ копровъ можно примѣнять исключительно къ небольшимъ подъемамъ.
Еслибы при такой же конструкціи копра машина была помѣщена не съ лѣвой, а съ правой стороны (какъ на чертежѣ), то уравненіе для силъ, дѣйствующихъ въ обѣихъ фермахъ, примутъ видъ:
П sin £ -}- 12 cos £
1 = ~ віп (г, - £) ’
^ ГІ sin rj -j-Q cos tq
to " i / l*\ ^
sm — ;)
ибо s-—положительная величина. Выраженія эти показываютъ, что въ тягахъ будетъ имѣть мѣсто растяженіе, а въ ногахъ—сжатіе при
всевозможныхъ значеніяхъ Р и U,—даже и тогда, когда машина поставлена у самой шахты, такъ, что V = О. Кромѣ того, эти же формулы показываютъ, что съ увеличеніемъ Р или U возрастаетъ, какъ th такъ и t2.
Сравнимъ величины силъ t при разрывѣ верхняго и нижняяго каната (абсолютныя):
, з(1 -|- cos a|)sin ; -j- asin я, cos ;
— sin(Tj—=)------------(для верхняго),
„ a(l + cosot2)sin ; + asin a0cos;
—U = - • / *-4 ' (для нижняго)
1 sin (*) —;) v ’
Для того, чтобы опредѣлить, какая изъ нихъ больше, вычтемъ одну изъ другой; въ такомъ случаѣ будемъ имѣть:
(cos — cos a2) sin % + (sin Я] — sin a2) cos; < 0;
преобразуемъ это неравенство такъ:
Й! + 0t2 . Я] — a8 . и я, + я о . я3 — я, „ >
— 2 sin—-—-sm-1-^—= sin с+ 2 cos 0 "sm-^—cos;<0,
или
я, 4- я о
1 < tg J ѵ - “ *g ; •
Въ случаѣ наличности перваго неравенства, расчетъ приходится вести на разрывъ верхняго каната, въ случаѣ же второго - на разрывъ нижняго.
Для ногъ мы можемъ получить аналогичное выраженіе:
>
<
tg
Н~ «2
tgr/-
Такъ какъ tj > то нижнія неравенства слѣдуютъ одни изъ другого, но верхнія могутъ и не совпадать. Наше разсужденіе относится къ цилиндрическимъ бабанамъ и основано на формулахъ (25, 26).
Яі -4- а2
Понятно, что здѣсь —s— есть уголъ средняго уклона равнодѣй-
ствующихъ.
Намъ остается еще сдѣлать нѣсколько замѣчаній, касающихся расчета крупныхъ надшахтныхъ копровъ. Эти копры строятся въ
настоящее время главнымъ образомъ по типу англійскихъ двуножныхъ или же комбинированныхъ шестиножныхъ. Въ общемъ, способъ расчета этихъ сооруженій разсмотрѣнъ нами раньше, здѣсь-же намъ придется заняться нѣкоторыми конструктивными особенностями.
Если имѣются горизонтальныя продольныя связки, соединяющія наклонныя ноги съ вертикальными (схем. черт. или болѣе детальный черт. 33), * то для точности расчета необходимо 0
ввести ихъ вѣсъ и пр. Назовемъ вѣсъ половины наклонной фермы между ОиА черевъ ()х, между Л и Б—д2 и т. д. Вѣсь горизонтальной связки А а пусть будетъ //, ВЪ — //".... Распредѣлимъ давленіе отъ силы тяжести по узламъ въ предположеніи, что центры тяжести разсматриваемыхъ частей находятся по серединѣ ихъ длины. Мы находимъ, что въ узлахъ О, А,
В, С и опорѣ I) дѣйствуютъ вертикальныя силы:
<)\ !І + 0\ + fh + fh + fh ff" + fh + fh Ок
9’ 9 ~ ’ 9 ’
2
2
которыя распредѣляются по направленію горизонтальныхъ связокъ и вдоль частей наклонныхъ ногъ. Первыя изъ этихъ силъ будутъ:
fh
о
. - // ~г fh + fh , и f) ' + fh + fh . г fh . >. tp;, 9------------ 9 lg$, — tg;.
Части наклонной ноги подвергнуты нижеслѣдующимъ сжимающимъ усиліямъ:
Часть ОА—усилію s/ = .5-7'т^
м cos f
Часть АВ
.. _2 <г/і + д + fh 1 2 cos ;
Часть ВС
,,, - Я\ + - fh + o' + f)" + 0: і
S I —
2 cos -
и т. д.
Эти самыя силы, направленныя перпендикулярно вертикальной ногѣ, передаются частью узлу О, частью непосредственно опорамъ. Если черезъ Н обозначимъ высоту всего копра, черезъ h\} 1і2) 7і$.— высоты связокъ надъ горизонтомъ, то, на основаніи равенства момен-
товъ, равнодѣйствующая ихъ въ узлѣ О опредѣлится формулой:
&і = 2 Д ^ "Ь ІУ + Оі + ^-2 +.....+ iff" + fh 4* У а) Л 4 ]
Эту силу і/, (горизонтальную) мы можемъ разложить по направленію наклонной ноги и вертикальной такъ:
-
sm
с»
S2_tg'
и присоединить напряженія, вызываемыя этими силами, къ опредѣленнымъ по активнымъ силамъ, или просто присоединить U\ къ активнымъ силамъ. Что касается силъ V, а/' и т. д., то напряженія вызываемыя этими силами, вводятся въ расчетъ постепенно при опредѣленіи размѣровъ соотвѣтственныхъ частей. Если вѣса частей вертикальной ноги Оа, аЬ, Ъс, и т. д. обозначимъ и т. д. то напряженія въ
частяхъ ихъ будутъ обусловлены силами:
і , <) , , , Я + И
Чь Ъ + <h + 2 . ffi + 'Л+ 0з + 2 И Т* Д*
Напряженія, вызываемыя давленіемъ вѣтра, мы можемъ разсчитать такимъ же образомъ; вся разнипа заключается лишь въ томъ, что намъ приходится разлагать давленіе, нормальное къ ногамъ, на горизонтальное и направленное по нимъ. Если давленіе вѣтра на части ОА, АВ, ВС и т. д. назовемъ Q.2, Q-u то въ узлахъ О, А, В... будутъ дѣйствовать горизонтальныя силы:
^1 ^4 + ^2 @2+$3-
* --- у ---- — J
2 cos; 2 cos; 2 cos;
а силы, направленныя по ногѣ, будутъ:
%tg$,
^ + (к to. 5 9* + 9* ;
о lt> ** о *Ь
Эти силѣ мы вводимъ въ расчетъ на тѣхъ же основаніяхъ, какъ и силы, возникающія отъ вѣса частей копра.
Расчетъ напряженій отъ подъемнаго механизма можно производить по общему способу, именно—разложить силы, сосредоточенныя въ центрахъ шкивовъ, по направленіямъ, получаемыхъ пересѣченіемъ вертикальной плоскости, проведенной черезъ шкивъ параллельно оси
копра, съ плоскостями ногъ. Такимъ образомъ опредѣлятся силы, дѣйствующія вдоль осей наклонной и вертикальной фермы. Равнодѣйствующія силъ тяжести и давленій вѣтра, отнесенныя къ вершинѣ копра, разлагаемъ по тому же способу; точки приложенія этихъ силъ лежатъ въ точкахъ соприкосновенія переднихъ и заднихъ ногъ копра.
Однако для полнаго расчета неообходимо принять во вниманіе еще и боковыя опрокидывающія силы, которыя состоятъ изъ бокового давленія вѣтра ѵг и натяженій р, возникающихъ отъ оклоненія канатовъ; такимъ образомъ
Силу «» мы относимъ къ фермѣ заднихъ ногъ. Незачѣмъ упоминать, что наклонную ферму приходится разсчитывать на силу отъ разрыва верхняго каната, а вертикальную на разрывъ нижняго. Для примѣра произведемъ алгебраическій расчетъ двухъ типическихъ фермъ, часто встрѣчающихся въ существующихъ сооруженіяхъ.
Слѣдуетъ замѣтить, что хорошо заранѣе подсчитать, которое изъ давленій вѣтра осевое или боковое вызываетъ болѣе значительныя напряженія въ ногахъ;въ окончательный расчетъ, конечно, слѣдуетъ принимать большее изъ нихъ. Боковое давленіе вѣтра мы относимъ, конечно, *ъ вершинѣ копрч, т. е. къ пересѣченію ногъ. Понятно, со можетъ быть направлено какъ въ ту такъ и въ другую сторону. Фермы представленныя на черт. 80, какъ видно даже изъ бѣглаго разсмотрѣнія ихъ, принадлежатъ къ статически неопредѣленнымъ. въ виду чрезмѣрно большаго числа соединительныхъ стержней. Мы устранимъ въ первой горизонтальныя связки, а во второй діагональныя, а также подкосы, назначеніе которыхъ поддерживать помосты п. Тогда у насъ явятся упрощенныя фермы черт. 81 стр. 124).
Горизонтальную силу мы будемъ считать перенесенной на поперечину АС. Это достигается, конечно перерасчетомъ момента по отношенію къ опорамъ тѣхъ силъ, которыя приложены выше. Итакъ, если высота приложенія центра бокового давленія вѣтра— #2 высота
расположенія шкивовъ — П\, а высота копра до соприкосновенія ногъ— Н, то
О) 11 = U>J lh+рЩ.
Въ обѣихъ фермахъ верхнія части одинаковы; если и tx"— слагающія активныхъ силъ отъ подъема, t\— прочихъ внѣшиихъсилъ то у лѣвой подушки имѣется давленіе, направленное по оси фермы о “Ні> У среднихъ
•подушекъ— | (Ѵ+О,
7 правой— g
/
і
ы.
Крайнія давленія разлагаются но направленію ногъ и горизонтальной поперечины такъ, что ноги сжимаются силами:
, + 2/Г
3| О •
1 2 COS OL
I cos я
^ '_f
а. вдоль поперечины является сила ѵ 1 9
tg я.
Давленія отъ среднихъ подушекъ передается узлу F; кромѣ того, въ этой же точкѣ мы можемъ считать сосредоточенными всѣ гори-
зонтальныя силы zr: ш -)- -—tg», которыя вмѣстѣ съ прежними
осевыми воспринимаются подкосами. Лѣвый подкосъ подверженъ сжимающему усилію —
- _ Л + t" _ - t" _ (»
м — 4 cos р 4 sin ^ 2 sin
Подкосы наклонены къ вертикали подъ угломъ [1; иравый подкосъ •сдавленъ силою -
_ _ f + tj" г,-у La 4cos|3 ' 4 sin іЗ
а
•о
а>
2 sin $
а слѣдовательно горизонтальная сила, дѣйствующая вдоль первой, связки, будетъ
О = со2 — o)j,
а послѣ подстановокъ—
У =
tga
tg?
—|—(^і—ti")
tga
‘2
Для дальнѣйшаго разсчета мы будемъ полагать, что въ узлѣ приложена активная сила 12; вспомогательныя сѣченія даютъ намъ возмо-жность составить уравненія моментовъ относительно полюсовъ—узловъ:.
о/' /2 cos я = — 12 (Н\ — Но) и а/ /2 cos я = Q (Нх — Н2),
з,/3 cos я = — 12 (//j — ]]:і) и
о*
1z cos я = 12 (7/j — If..),
з^^соэя = — 12(7/j — /У4) и а2,Ч4со8Я = 12(/У1 — і/4) и т. д.
Если напряженія въ связкахъ обозначимъ черезъ о’, и т. д. и-станемъ проводить сѣченія, которыя пересѣкаютъ горизонтальныя связки и ноги, то, составляя уравненія моментовъ по отношенію къ узламъ, находящимся ниже, мы можемъ опредѣлить натяженія въ связкахъ. Именно мы будемъ имѣть уравненіе:
откуда—
далѣе -откуда—
затѣмъ —
(о' + 12) | И\ — Но) = з2' /2 cos я,
а' — — 12 + а5
, hcosa . И\ — Ну
а" (Но - Д) = а2" /у cos я - 12 (Я2 - Д3), он'~н* 4- І3 cos “ :
J “ ~п,~нг ‘ /4-Я,
а"' (//2 — Д>) = а2'" /4 cos я — 12 (/Д — і/4) и т. д.
Для опредѣленія напряженій въ нижей связкѣ - лежнѣ мы можемъ, воспользоваться ур. статическаго равновѣсія:
о' 4- о" + о" + ... ап,) 4-0 = 0;
Дальнѣйшій ходъ разсчета различенъ для той или другой фермы и поэтому намъ придется разсматривать ихъ особо. Ферму показанную на черт. I мы разсчитаемъ, примѣняя способъ поочереднаго разложенія силъ, для фермы же изображенной на черт. II, примѣнимъ методъ Риттера.
Итакъ разлагаемъ ^ по направленію ноги и діагональнаго счержня, наклоненіе котораго къ вертикали у найдемъ изъ формулы:
„____sin (у + ;3) _ _ sin (|3 4- а).
Яі — 4 sin (у + «) И |>1 1 sin (Т + *)'
отъ праваго подкоса получимъ аналогично:
а2
it
_ sin (у -J- (3) 4sin(y + a) ,J
_ sin -fa).
‘2 sin (y -f Of)
Напряженія Oj" и a/—сжимающія pj и p'— растягивающія.
При слѣдующихъ узлахъ разложеніе усилій, передаваемыхъ стернями, дастъ намъ формулы:
и
іи
а1
, sin (о —J— у) ^ _ , sill (у — а)
sin (a -f б) ’ іЛі ~ sin («4-о)
sin (б + Т)
sin (a + б)'
sin (у — a) ‘0l sin (Of -f o)’
гдѣ силы a/" и o2'"—растягивающія p„ и p"—сжимающія. Итакъ, общія напряженія внизу ногъ опредѣляются выраженіями:
°і — 0і/ + Ѵ — аі"' + °і,ѵ — 5Г +....................+ зу*"—
а2 = °1 “Ь °2W — a2 ”1" .............................И- 32_" аі2"”*"1.
Изъ этихъ выраженій видно, что стержни сжаты и вытянуты по-неремѣнно,—четные сжаты, а нечетные растянуты.
Разсмотримъ теиерь второй случай—ферму съ горизонтальными связками; силы, направленныя по подкосамъ, разлагаемъ по направленіямъ ногъ и связокъ:
если псѣ {п-1) напряженій уже опредѣлены, то напряженіе п—ое. получится какъ разность Q и суммы всѣхъ найденныхъ напряженій.
Вертикальныя ноги соединяются діагональными и поперечными связками, образуя ферму, показанную на черт. 82. Ходъ расчета въ общемъ не отличается отъ расчета наклонной фермы; впрочемъ онъ нѣсколько проще; именно, въ только что выведенныхъ формулахъ слѣдуетъ принять я = 0. Такимъ образомъ:
? + 21°
и
3 2 =
Г + 2
о
Подкосы сжимаются силами:
- _ *' + *'!_-11 — 4 cos |3 t2‘
вѣтра
Горизонтальныя силы, возникающія отъ давленія и отъ отклоненія канатовъ, воспринимаются наклонной фермой, такъ что въ данномъ случаѣ о> = 0.
Въ обѣихъ фермахъ необходимо ввести еще поправку, касающуюся собственннаго вѣса. Въ расчетъ наклонной фермы приходится, конечно, ввести не вѣсъ частей, а слагающую его, направленную параллельно оси фермы. Вѣсъ частей распредѣляется по узламъ, поправки, касающіяся его, можно вычислять отдѣльно и - затѣмъ присоединить ихъ къ числовымъ величинамъ, полученнымъ при расчетѣ главныхъ силъ.
Горизотальныя связки играютъ часто роль подпорныхъ балокъ для помостовъ на разгрузочныхъ горизонтахъ; въ этомъ случаѣ ихъ приходится разсчитывать еще на грузъ, воспринимаемый помостами, также какъ и подкосы, поддерживающіе эти балки. Этимъ подкосамъ придаютъ часто форму арокъ.
Когда опредѣлены сжимающія и растягивающія усилія, дѣйствующія вдоль частей пространственной фермы копра, приступаютъ къ вычисленію размѣровъ ихъ. Эти части опять таки рѣшетчатыя фермы, обыкновенно статически неопредѣлимыя въ виду слишкомъ большого количества діагональныхъ и поперечныхъ связокъ. Обыкновенно, не затрудняясь точнымъ разсчетомъ, принимаютъ, что силы передаются главнымъ панелямъ, для которыхъ выбираютъ соотвѣтственное по
размѣрамъ сѣченіе фасоннаго желѣза. Роль связывающихъ прутьевъ сводится такимъ образомъ къ приданію жесткости фермѣ и устраненію продольныхъ изгибовъ. Впрочемъ, они разсчитываются тѣмъ не менѣе на продольный изгибъ—на случай сжатія, такъ какъ длина ихъ обыкновенно значительна.
\
•r? 'J*h
)\
Чер. 43.
Г Ч ,У^Л— (г /
ТГРЮШ П У.іг br=T75TT^d У J-? _)«=* у л-;» .^тч г
>•)
< г И Ті^^Е^Ч
і-ІГ^., -,_ і :: ::
1 1 а 1ІШВ-
Чер 34
Чер. ЗА.
,Д1І ___I I Д IZJ
и
Г rxi^ffr^fry
С ѵ ; ; р*"» ''
