CC BY
150
Инвестиционная политика
УДК 330.322.01
ТЕОРИЯ И МОДЕЛИ ИНВЕСТИЦИИ*
В.А. ЦАРЬКОВ,
кандидат технических наук, старший научный сотрудник, начальник аналитического управления E-mail: [email protected] ООО «КБ «БФГ-Кредит», Москва
Исследование посвящено обзору моделей инвестиций. Целью обзора является исследование общепринятых моделей и новой инновационной модели оценки эффективности инвестиционных проектов на принципе заемного капитала.
В первой части рассмотрены две экономико-математические модели расширенного воспроизводства капитала: с дискретным циклом и непрерывным воспроизводством капитала. В работе показано, что процесс дисконтирования инвестиций по существу отражает формирование траектории роста капитала в результате регулирующего воздействия положительной обратной связи в экономической системе расширенного воспроизводства капитала. Исследована взаимосвязь динамики роста капитала с формулой дисконтирования.
На основе общепринятого метода оценки эффективности инвестиций проведен анализ простого проекта с инвестицией (покупки актива) в начале проекта и поступлением дохода (от продажи актива) в конце проекта. Общепринято оценивать эффективность проекта на основе параметра чистой приведенной стоимости - NPV (Net Present Value) и внутренней нормы доходности - IRR (Internal Rate of Return): Общее правило NPV: если NPV>0, то проект принимается. Общее правило IRR: если IRR>r, то проект принимается. Эти правила просты и универсальны. В этом их достоинство и их недостаток. Но они не дают ответа на вопрос: какова на самом деле величина дохода инвестора в денежном выражении. В статье исследована новая, инновационная модель оценки проекта на принципе заемного капитала.
* Окончание. Начало см. в журнале «Финансовая аналитика: проблемы и решения», № 43 (229) - 2014.
Новая модель основана на разделении валового дохода по проекту на доход инвестора и процентный расход по займу.
Теоретическим результатом исследования является математическое доказательство следующего утверждения: IRR - это ставка по кредиту, при которой весь валовой доход инвестиционного проекта расходуется на оплату процентов по привлечению заемного капитала. Практическим результатом является создание универсальной модели в виде финансового портрета проекта в программной среде Excel.
Ключевые слова: модель, капитал, инвестиция, теория, денежный поток, стоимость, дисконт, доход
Модель простого инвестиционного проекта
Показатели эффективности простого инвестиционного проекта. Рассмотрим простейшую финансовую модель инвестиций, состоящую из одного вложения средств в объеме К0 = 100 млн руб. в момент времени ^ = 0 и одного поступления средств (дохода) в момент времени t= 10 лет в конце срока реализации в объеме Вп = 300 млн руб. Срок реализации проекта обозначим через А = 10. Он равен разности Аtпр = tn - Эта модель отражает покупку актива в начале проекта и его продажу в конце проекта.
Определим эффективность (доходность) Е инвестиции К0 на основе траектории роста при расширенном воспроизводстве капитала. Допустим,
что начальная величина инвестиции К0 возрастает в соответствии с траекторией роста до значения Кп = КЖ - О = Dn.
Как было показано ранее, возможны три вида траектории, которые можно использовать для расчета эффективности Е: экспоненциальный, процентный и линейный. Запишем формулы расчета этих траекторий:
О Е Сп -о)
тг = М0 = е ;
К
D = X(t) = (1 + E)
К w v '
(tn-k).
D = ^(t) = [1 + E(tn -10)]. К
(22)
(23)
(24)
Вычислим величину ставки дисконта г = |Е| для
(25)
каждой из трех траекторий:
Г = = —1п ^т = 11,0%;
r = \Еп\ =
At„
(D >
Кп
V К0 J
Ainp
-1 = 11,6%;
(26)
D -1
r = IЕ I = -= 20,0%.
л 1 л| Ai
r , r ,
п' л'
Расчетные значения ставки дисконта гг вычисленные из приведенных уравнений, не совпадают по величине. Это означает, что используя разные эталоны для сравнения динамики роста капитала в инвестиционном процессе, получим разную величину нормы эффективности.
Подобный случай свойс- 3 5 твенен фрактальным системам в природе [6]. Известно, что измеряя изломанную линию, например, береговую линию на море, эталонной линейкой, имеющей разную длину, получим разную длину береговой линии. Чем меньше длина эталонной линейки, тем больше будет длина береговой линии.
По существу экономика в целом и ее отдельные части воспроизводят самое себя как фрактальные системы, охваченные обратной связью, в общем случае нелинейной. В
данном случае измерение возрастания инвестиционного капитала на конечную дату проекта также выполняется с использованием своеобразных эталонов. Такими эталонами являются нормативные траектории роста системы расширенного воспроизводства капитала, однозначно «оцифрованные» величиной ставки дисконта.
Траектории роста капитала для простой модели инвестиции с вычисленными ставками дисконта показаны на рис. 4.
Траектории роста по экспоненте с гэ = 11,0% в год и процентная траектория с гп = 11,6% в год совпадают, так как при выбранных гнэ и гнп основания в обеих степенных функциях (25) и (26) равны друг другу, а именно (1 + гп) = егэ = 1,116.
В чем смысл построенных траекторий и как они связаны с существующими методами оценки эффективности инвестиции? По существу, все три вычисленные ставки дисконта обеспечивают рост капитала до величины, равной всей сумме дохода Кп = Dn. Другими словами, находится ставка дисконта как для линейной траектории, так и для степенных траекторий, которая обеспечивает равенство дисконтированных затрат Кп величине дохода Dn, полученного в момент завершения проекта.
Зависимость от ставки дисконтирования. Как уже отмечалось, принято называть разницу между дисконтированным доходом и дисконтированными затратами на дату дисконтированным доходом PVdn, или иначе - NFV . Вычисленные в приведенном числовом примере ставки дисконта обеспечивают равенство NFV = 0. В литературе по
Год
0
12 3 4 Линейная траектория
5 6 7 8 9 — Процентная траектория
10
Экспоненциальная траектория
Рис.4. Траектории роста капитала для простой модели инвестиции
инвестициям такие ставки при дисконтировании по формуле сложных процентов называются внутренней нормой доходности - ВНД [2], или внутренней процентной ставкой - ВПС [17], в английском варианте - IRR.
На конечную дату завершения проекта в простой модели инвестиции чистый дисконтированный доход (дисконтированная прибыль) NFV вычисляется из уравнения
NFV = Dn -K0X(tn -10).
Фактический валовой доход (прибыль) для рассматриваемого проекта равен ADE = Dn -К0. Поэтому несложно убедиться, что при выборе ставки дисконта меньшей, чем IRR, дисконтированный доход на момент завершения проекта NFV будет меньше фактического (не дисконтированного) дохода, т.е. NFV <ADE.
Проиллюстрируем этот вывод для рассматриваемого проекта (доход равен 300 млн руб., инвестиции - 100 млн руб.). Результат расчетов представлен на рис. 5 в виде графика зависимости NFV от величины ставки дисконта для трех видов нормативной траектории роста капитала: экспоненциальной, процентной и линейной.
Значения функции X(t) вычислялись в соответствии с формулами (22)-(24) для заданной величины At = t - tn = 10 лет.
пр n 0
Графики NFV пересекают ось абсцисс в точке пересечения Ен = ВНД = IRR (точки В1, В2, В3). Как видим, графики пересекают ось абсцисс:
для экспоненциальном траектории роста в точке ВНД = 11,0%/год (точка В1);
- для процентной траектории в точке ВНД = 11,6% в год (точка В2);
- для линейной траектории в точке ВНД = 20,0% в год (точка В3, см. рис. 5).
Каждая точка на графиках разделяет отрезок на оси ординат 200 млн руб. на две части: нижняя часть равна NFV = PVn (дисконтированной прибыли), верхняя - нормативной прибыли PVни, т.е. PVdn = ДОЕ — PV: = ДОЕ — *„[*,(£ - о -1]. Например, для дисконтной ставки г = 8% в год получим: PVdn = 200 -100[(1 + 0,8)10 -1] = 200 --100[2,159 -1] = 84,1 млн руб.
Таким образом, чистый дисконтированный доход PVdn - это дополнительный доход (прибыль) инвестора относительно нормативного дохода PVнn, задаваемого траекторией роста, выбранной инвестором в соответствии со ставкой дисконта.
В дальнейшем при моделировании инвестиционных проектов в качестве нормативной траектории роста капитала будем использовать формулу сложных процентов.
Финансовый портрет простой модели инвестиции. Как было показано, показатели эффективности инвестиции для экспоненциальной и процентной нормативной траектории не зависят от даты приведения, но они существенно зависят от ставки дисконта. Выбор ставки дисконта зависит от решаемой задачи в инвестиционном проекте. Общепринято, что инвес-
225
175
125
75'
25 0
-25
^Ставка дисконта, %/год
.... .... Экспоненциальная траектория
— — Процентная траектория
— О — Линейная траектория
Рис. 5. Графики зависимости NFV от ставки дисконта для экспоненциальной, процентной и линейной траектории роста капитала, млн руб.
тор должен получить доходность проекта равную, а лучше большую, чем ставка дисконтирования (норма дисконта). Для таких инвесторов норма дисконта отражает максимальную годовую доходность альтернативных и доступных направлений инвестирования и одновременно минимальные требования по доходности, которые инвестор предъявляет к проектам, в которых он намерен участвовать [2, с. 194].
В зависимости от этого делается выбор величины нормативной ставки. Как правило, ставка дисконтирования выбирается равной требуемой для инвестора доходности с добавлением премии за риск. В рассматриваемом примере простой модели инвестиций будем исходить из ставки, ориентированной на величину средней для депозитного рынка ставки 8% в год. Модель проекта представим в виде так называемого финансового портрета в электронной таблице Excel [7, 14, 17, 19].
На рис. 6 приведен финансовый портрет проекта с датой приведения на начальную дату срока проекта t0 = 0. Финансовый портрет содержит:
- исходные данные для расчета показателей проекта - ячейки D3-D5;
- инвестиции и поступления - колонки G и H;
- денежный поток - колонка I;
- дисконтированный денежный поток - колонка
j;
- данные расчета эффективности инвестиционного проекта - колонка D. Обратим внимание на то, что сумма нормативного дохода НД = PV* и дисконтированного дохода ДД = РУЦ равна фак- -А-тическому валовому доходу ADS.
Внутренняя процентная ставка IRR составляет всего лишь 11,6% в год, несмотря на значительную разницу между инвестицией и поступлением. Очевидно, если цена привлечения будет равна 11,6%, то выдача такого кредита не принесет
экономической выгоды инвестору, так как NPV будет равняться нулю. Чтобы убедиться в этом, изменим ставку дисконта с 8% в год (см. рис. 6) на 11,6% в год. Финансовый портрет варианта со ставкой r = ВПС = IRR показан на рис. 7.
Чистый дисконтированный доход в соответствии с теорией стал равным нулю. Важно понимать, что при ставке, равной IRR, дисконтированный доход будет равен нулю независимо от периода приведения. Проиллюстрируем это на финансовом портрете модели. Изменим период приведения с нулевого года на 10-й год. Результат показан на рис. 8. Таким образом, J22 = 0, как и в предыдущем варианте (см. рис. 7).
Оценка инвестиционного проекта на принципе заемного капитала
Постановка задачи. Общепринятые оценки эффективности, как правило, основаны на анализе денежного потока. В учебнике проф. И. Я. Лу-касевича «Инвестиции» [9] в качестве основных критериев эффективности проекта рекомендуются чистая приведенная стоимость NPV (Net Present Value) и внутренняя норма доходности IRR (Internal Rate of Return):
A В | С | D |E| F | G н 1 J К
1 Финансовый портрет инвестиционного проекта
2 3 Исходные данные год инве стиц ИИ посту плени я денежн ый поток дискон тир поток
Сумма инвестиции млнр 100 год млнр млнр млнр млнр
4 Сумма поступлений млнр 300,0 0 100,0 0,0 -100,0 -100,0
5 Срок проекта ........год 10 1 0,0 0,0 0,0 0,0
6 2 0,0 0,0 0,0 0,0
7 Динамическиеп 3 0,0 0,0 0,0 0,0
8 Ставка дисконта %/год 8,0% 4 0,0 0,0 0,0 0,0
9 Период приведения год :;о П.. ::м 11м 111м 111м
10 Валовой доход млнр 200,0 6 0,0 0,0 0,0 0,0
11 Нормативный доход-ОД млнр 161,0 7 0,0 0,0 0,0 0,0
12 Дисконтированный доход-Д# млнр 39,0 8 0,0 0,0 0,0 0,0
13 Внутренняя процентная ставка-//?/? %/год 11,6% 9 0,0 0,0 0,0 0,0
14 10 0,0 300,0 300,0 139,0
15 Статические показатели 0 0,0 0,0 0,0 0,0
16 Выручка .......руб. 300,00 0 0,0 0.0 0,0 0,0
17 Инвестиции .......руб. 100,00 0 0,0 0.0 0,0 0,0
18 Валовой доход ........руб. 200,00 0 0,0 0.0 0,0 0,0
19 Фактическая рентабельность % 200,0% 0 0,0 0.0 0,0 0,0
20 Срок проекта .........ГОД 10,0 0 0,0 0.0 0,0 0,0
21 Доходностьпо проекту %/год 20,0%
22 100,0 300,0 200,0 39,0
Рис. 6. Финансовый портрет проекта с приведением затрат и доходов к начальной дате проекта (компьютерное отображение)
NPV = £
FCF,
Рис. 7. Финансовый портрет проекта с дисконтированием по ставке r = IRR (компьютерное отображение)
wx A в с D El F G н 1 J К
1 ГИЦИО иного пр оеи та
2 Исходные данные год инве стиц ИИ посту плени я денежн ый поток диско н тир поток
3 Сумма инвестиции млнр 100 год млнр млнр млнр млнр
4 5 — Сумма поступлений млнр 300,0 0 100,0 0,0 -100,0 -300,0
Срок проекта год 10 1 0,0 0,0 0,0 0,0
6 z 1111111111111Г1111 III III 2 0,0 0,0 0,0 0,0
7 Динамические показатели 3 0,0 0,0 0,0 0,0
8 9 10 — Ставка дисконта %/год 11,6% 4 0,0 0,0 0,0 0,0
Период приведения год_ 10 5 0,0 0,0 0,0 0,0
Валовой доход млнр 200,0 6 0,0 0,0 0,0 0,0
11 Нормативный дохор,-НД млнр 200,0 7 0,0 0,0 0,0 0,0
12 13 — Дисконтированный доход-ДЦ млнр 0,0 8 0,0 0,0 0,0 0,0
Внутренняя процентная ставка-//?/? %/год 11,6% 9 0,0 0,0 0,0 0,0
14 ш Zill 10 0,0 300,0 300,0 300,0
15 Статические показатели 0 0.0 0,0 0,0 0.0
16 17 — Выручка руб 300,00 0 0.0 0,0 0,0 0.0
Инвестиции .......руб 100,00 0 0,0 0,0 0,0 0,0
18 Валовой доход .......руб 200,00 0 0.0 0,0 0,0 0.0
19 — Фактическая рентабельность % 2(Ю,0% 0 0,0 0,0 0,0 0.0
20 21 Срок проекта год_ 10,0 0 0.0 0,0 0,0 0.0
Доходностьпо проекту %/год 20,0%
22 100,0 300,0 200,0 0,0!
Рис. 8. Финансовый портрет проекта с периодом приведения n = 10 лет и r = IRR (компьютерное отображение)
(1 + г У где г - ставка дисконтирования; n - число периодов реализации проекта;
FCF. - свободный денежный поток операции проекта в периоде t. Общее правило NPV: еслиNPV> 0, то проект принимается.
Под внутренней нормой доходности понимают процентную ставку в коэффициенте дисконтирования, при которой чистая современная стоимость денежного потока инвестиционного проекта NPV равна нулю.
Общее правило IRR: если IRR > r, то проект принимается.
Эти правила просты и универсальны. В этом их достоинство и их недостаток. По существу они носят индикативный характер и не дают ответа на вопрос: «Какова на самом деле величина дохода инвестора в денежном выражении, генерируемого инвестируемым капиталом?». Решение задачи расчета дохода инвестора оказалось возможным на основе метода оценки эффективности инвестиционного проекта на принципе заемного капитала, впервые разработанном автором.
Новая (инновационная с точки зрения теории инвестиций) оценка эффективности инвестиционных проектов изложена автором в работах [14, 17]. В них предложен метод оценки валового дохода инвестиционного проекта с учетом себестоимости инвестиции. Существо метода заключается в разделении валового дохода по проекту на доход инвестора и процентный расход по привлечению инвестиций.
Общеизвестно, что денежные активы имеют свою стоимость. Если для инвестиций в проекте привлекаются собственные средства, то они оцениваются по стоимости собственного капитала фирмы инвестора. В случае дополнительного привлечения активов стоимость инвестиции оценивается по средневзвешенной стоимости привлечения WACC (Weight cost of capital). Если используются в качестве инвестиций кредиты, то стоимость определяется кредитной ставкой [4].
Бесплатных активов не бывает. В любом случае необходимо оценивать стоимость инвестиций. Для такой оценки ставка дисконта приравнивается к стоимости привлечения инвестиционного капитала. Ставка дисконта, таким образом, будет ориенти-
рована на минимальным доход, компенсирующим расходы на привлечение капитала.
Методика оценки дохода инвестора основана на разделении валового дохода по проекту за каждый период на доход инвестора и процентный расход на привлечение капитала. Далее дается математическое обоснование модели инвестиционного проекта на принципе заемного капитала.
Методика оценки проекта с заемным капиталом. Описание инвестиционного проекта с заемным капиталом рассмотрим на примере проекта со следующими данными:
- начальный инвестированный капитал К0 = 20 млн руб.;
- общая сумма распределенных инвестиций - 100 млн руб.;
- общая сумма распределенных по времени поступлений (выручка) - 300 млн руб.;
- срок проекта п = 10 лет.
Модель проекта с распределением инвестиций и денежных поступлений представлена в форме финансового портрета в электронной таблице Ехсе1 на рис. 9.
A В | С D Е F | G н I I I J К IL |М N О Р I
1 Финансовый портрет инвестиционного проекта
2 Исходные данные год инвес тиции посту плени я денеж ный поток доход инвес тора диско нтир поток диско нтир доход %- ный дох погаш ение за им j
3 Сумма инвестиции млнр 100 ед млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр МЛНр!
4 Сумма поступлений млнр 300,0 0 20,0 0,0 -20,0 0,0 -20,0 0,0 20,0]
5 6 7 8 9 10 Срок проекта год 10 1 20,0 0,0 -20,0 0,0 -17,4 0,0 3,0 -23,0 43,01
Процентная ставка привлечения %/год 15,0% ...... 2 20,0 12,0 -8,0 0,0 -6,0 0,0 ...... 6,5 -14,5 57,5]
3 40,0 12,0 -28,0 0,0 -18,4 0,0 8,6 -36,6 94,11
Динамические показатели 4 0,0 18,0 18,0 0,0 10,3 0,0 14,1 3,9 90,2!
Ставка дисконта %/год 15,0% 5 0,0 18,0 18,0 0,0 8,9 0,0 13,5 4,5 85,7 j
Период приведения год 0 6 0,0 30,0 30,0 0,0 13,0 0,0 12,9 17,1 68,61
11 Дисконтированный доход млнр 33,2 7 0,0 40,0 40,0 0,0 15,0 0,0 10,3 29,7 38,8!
12 Внутренняя процентная ставка-IRFi %/год 23,7% 8 0,0 48,0 48,0 3,3 15,7 1,1 5,8 38,8 ........м
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 — 9 0,0 54,0 54,0 54,0 15,4 15,4 0,0 о.о o.oj
Распределение доходов 10 0,0 68,0 68,0 68,00 16,8 16,8 0,0 0,0 о.о!
Доход по проекту млнр 200,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 о.о!
Доход инвестора млнр 125,3 0 0,0 о.о 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 о.о!
Процентный доход по займу млнр 74,7 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 о.о!
— 100,0 300,0 200,0 г................ 125,3 33,2 33,2 74,7 20,0 497,8!
Рис. 9. Финансовый портрет модели инвестиционного проекта с заемным капиталом
(компьютерное отображение)
Финансовый портрет содержит:
- исходные данные - ячейки D3-D6;
- динамические показатели проекта - ячейки D8-D12;
- PVm = ^ Д (1 + r )m 1 - денежный поток, приве-
- данные по распределению дохода по проекту ячейки D14-D21;
- денежные потоки инвестиций и поступлений -колонки G и H;
- чистый денежный поток поступлений за вычетом инвестиций - колонка I;
- денежный поток дохода инвестора - колонка
J;
- дисконтированный чистый денежный поток по проекту- колонка К;
- дисконтированный денежный доход инвестора - колонка L;
- расчетные потоки процентных платежей - колонка N;
- расчетный поток амортизации займа и сальдо по займу - колонки О и Р.
Как видим, финансовый портрет (см. рис. 9) отображает следующие расчетные данные по проекту: внутреннюю процентную ставку - IRR = 23,7% в год (ячейка D12), величину дохода инвестора -125,3 млн руб. (ячейка J22) и процентные расходы по займу - 74,7 млн руб. (ячейка N22), которые в сумме равны общему доходу по проекту - 200 млн руб. (ячейка I22).
Примем следующие обозначения:
- IN. - инвестиции в i-м периоде;
- CF . - поступления в i-м периоде;
- D. = CF. - IN. - валовой доход по проекту в i-м периоде;
- K0 - заем в начальном периоде срока проекта;
- K. - величина займа (сальдо по займу) в i-м периоде;
- r - ставка дисконта;
- E - процентная ставка по займу;
- p. = EK j - процентный доход по займу в i-м периоде;
- d . - доход инвестора в i-м периоде;
n
- Ad = ^di - доход инвестора за весь срок про-
1
екта;
n
- AD = ^ D i - валовой доход инвестиционного
о
проекта;
- ВПС = IRR - внутренняя процентная ставка денежного потока, %/год;
денный к расчетному периоду m;
- NPV = I (1 + г )0- 1 - доход, приведенный к
о
начальному периоду проекта т=0;
п
NFV = I Di (1 + г )п- 1 - доход, приведенный к
конечному периоду проекта п. Валовой доход по проекту представим в виде алгебраической суммы начальной величины инвестиций К0 и суммы дохода по проекту за каждый период проекта, начиная от периода с номером 1 и кончая периодом с номером п:
AD = £ Di = - K0 + Х Di.
(27)
Метод расчета дохода инвестора по проекту можно описать следующим образом. Текущая величина займа К._1 уменьшается или увеличивается на величину амортизации А Амортизация А. представляет собой разницу между доходом/расходом по проекту В. и процентным расходом за пользование займом в .-м периоде:
Аг = Dl - рг.
Таким образом, сальдо по займу в т-м периоде будет равно:
К = К - А
Лт Лт-1 т ■
Если учесть, что начальная величина займа К0 последовательно уменьшается на величину амортизации в каждом периоде, начиная с начала проекта, то можно записать
т / т т \
Кт = Ко -X А = Ко -[I D1 -£ Р, | (28)
Доход инвестора й. в каждом .-м периоде вычисляется из уравнения
d> = D, - p, - Д..
(29)
Приведенные уравнения определяют модель инвестирования, учитывающую стоимость заемного капитала. Однако чтобы модель стала действующей в операционной среде Ехсе1, необходимо определить условия погашения займа. Решение этой задачи потребует использования логических функций программы Ехсе1.
Принцип разделения валового дохода инвестиционного проекта. Математическое описание принципа разделения валового дохода по проекту будем выполнять при следующем допущении: общая сумма поступлений в течение срока проекта за минусом общей суммы инвестиций является положи-
0
0
тельной величиной, т.е. XDi = X (CFi - INi) > 0.
00
Логика погашения займа заключается в следующем. Пока выполняется неравенство = Di - pi < К1_1, происходит амортизация займа. Сальдо по займу уменьшается или увеличивается на величину А. в зависимости от знака. Но после того как А. превысит значение К р величина сальдо по займу амортизируется полностью, т.е. выполняется условие равенства: А. = К
Допустим, что такое превышение при ставке дисконта, равной процентной ставке по займу Е, наступает в т-м периоде. Амортизация будет равна
А = K_
(30)
В результате сальдо по займу в т-м периоде обнуляется:
Кт = Кт-1 - Кт-1 = 0.
Доход инвестора в этом периоде с учетом уравнений (29) и (30) будет равен
й = D - р - А = D - р - К .. (31)
т т ¿т т т ±т т-1 4 '
В свою очередь величина Кт-1 вычисляется из уравнения (28). После подстановки ее в уравнение (31) можем записать, что
т-1 т-1
йт = ^ - Рт - К0 +1 А -1 Рг =
= - K0 + X D, -X Р,.
(32)
Начиная с периода т и до конца срока проекта значения сальдо по займу, процентный доход и амортизация обнуляются. В результате, доход инвестора будет увеличиваться за счет поступлений В. за каждый период, начиная с периода с номером т + 1 и кончая периодом п в конце срока проекта (см. рис. 9, ячейки Л3, Л4).
При этом до периода погашения займа величина дохода инвестора равнялась нулю в каждом периоде. В этом легко убедиться, если подставить в уравнение (29) выражение А. из уравнения (30). На основании приведенных доводов из уравнения (32) следует справедливость следующего уравнения:
X d, =-K0 +X Di-X Р,.
(33)
Из совместного рассмотрения уравнений (27) и (33) получим следующее выражение:
X d,+X Рг = ad.
(34)
Левая часть уравнения (34) представляет собой сумму дохода инвестора и процентного дохода по займу капитала за весь срок инвестиционного про-
екта. Правая часть - это валовой доход по инвестиционному проекту в целом. Таким образом, справедливо утверждение (впервые отмеченное в работе [17]): валовой доход по инвестиционному проекту состоит из суммы дохода инвестора и процентного дохода заимодавца, выдавшего инвестору кредит по процентной ставке, равной ставке дисконта. В финансовом портрете инвестиционного проекта на рис. 9 это соотношение отражается в виде суммы - J22 + N22 = 122.
Вывод основных уравнений. Уравнение сальдо по займу в т-м периоде. Запишем последовательно уравнения сальдо по займу, начиная с первого годового периода проекта:
К = К - А = К - (Dl - Р1) = К0 - (А - ЕК0)К)(1 + Е) - Dl ^ К1 = К0(1 + Е) - Dl; К2 = К1 - А2 = К0(1 + Е) - D1 - D2 + ЕК1 = К0(1 + Е) - Д -D2 + Е[К0(1 + Е) - D1] ^ К2 = К0(1 + Е)2 -D1(1 + Е) -D2;
^з = - 4 = #0(1 + Е)2 -^ (1 + Е) - D2 - D3 + ЕК2 ^ К3 = К0(1 + Е)3 -D1(1 + Е)2 -D2(1 + Е) -D3;
^ = ^3 - Д, = К0(1 + Е)3 -Ц(1 + Е)2 -D2 (1 + Е) - Ц3 - + ЕК3 ^ КА = К0(1 + Е)4 - Ц(1 + Е)3 -(1 + Е)2 - Ц3 (1 + Е) - ;
Кт = К0 (1 + Е)т - D1(1 + Е)т-1 - D2(1 + Е)т-2 -
Dз(1 + Е)т-3... - Dm—1 (1 + Е) - Dm. (35) Полученное общее уравнение сальдо по займу для произвольного периода позволяет вычислить остаток займа для произвольного периода на основе исходных данных инвестиционного проекта. В финансовом портрете (см. рис. 9) эти данные отражены в колонке Р.
Уравнение дохода dmинвестора в т-м периоде. Для вывода уравнения дохода инвестора воспользуемся уравнением (31) для того периода, когда заем будет полностью погашен. Если Ат = Кт1, то получим
¿ш = ^ - рт - Кт-1 ^ ¿ш = = Dm - ЕКт-1 - Кт-1 ^
¿т = Dm - (1 + Е)Кт_1. (36)
Величину Кт-1 можно вычислить на основании уравнения (35):
Кя-1 = К0(1 + E)m-1 - Dj(1 + E)m-2 - D2(1 + E)m-3 -
-D3 (1 + E )m-4... - Dm-2 (1 + E) - Dm-1. (37)
После подстановки (37) в уравнение (36) и несложных преобразований получим следующее уравнение для вычисления дохода инвестора в т-м периоде:
dm = - К0 (1 + E )m + £>1(1 + E у-1 + D2(1 + E )m-2 +
+D3 (1 + E)m-3... + Dm_i (1 + E) + Dm . (38)
Величина дохода инвестора в период, когда заем полностью погашается, отображена финансовым портретом в ячейке J12 = 3,3млн руб.
Уравнение суммы процентного дохода по займу. Из уравнения (32) после простых преобразований можно получить
m m
X p1 =-K +X Dl - dm. (39)
I 1
Подставим в уравнение (39) dm из уравнения (38). В результате, после объединения слагаемых получим
m
X Р , = K0 [(1 + E)m -1]- D1 [(1 + E)m-1 -1]-
1
-D2 [(1 + E)m-2 -1]... - Dm-1 [(1 + E) -1].
Так как после погашения займа в т-м периоде процентные доходы в последующих периодах равны нулю, можно записать
X Р, = K0 [(1 + E)m -1]- D [(1 + E)m-1 -1]-
1
D2 [(1 + E)m-2 -1]... - Dm_1 [(1 + E) -1].
Полученное уравнение позволяет вычислить процентные расходы по займу на основе исходных данных по инвестиционному проекту. В приведенном финансовом портрете проекта (см. рис. 9) эта сумма отражена в ячейке N22 = 74,7 млн руб.
Распределение валового дохода при крайних значениях ставки дисконта. Особый интерес представляет распределение валового дохода проекта при дисконтной (кредитной) ставке Е = IRR. В соответствии с уравнением (39) определим сумму процентных доходов при погашении займа в конце срока инвестиционного проекта при ставке Е = IRR:
Xpi = -K +XDi -dn. (40)
II
Величина dn в соответствии с уравнением (38) будет иметь вид
dn = -К0(1 + IRR)" + Д(1 + IRR)"1 + D2(1 + IRR)" 2 +
+D3 (1 + IRR)"3... + Dn_1 (1 + IRR) + Dn.
Сумма в правой части уравнения представляет собой сумму дисконтированного денежного потока проекта, приведенную к конечному сроку проекта NFV. Из теории инвестиционных проектов известно, что эта сумма равна нулю. Другими словами, сумма дохода инвестора при Е = IRR в конце срока проекта равна нулю, т.е. можно записать, что dn (IRR) = NFV = 0.
В результате, из уравнения (40) получим
X Рt =-K +X Di = AD. (41) 11
Чтобы убедиться в справедливости соотношения (41), поставим в ячейку D6 в модели инвестиционного проекта (см. рис. 9) значение IRR = 23,7% в год из ячейки D12. Результат представлен в финансовом портрете на рис. 10.
Вся сумма валового дохода по проекту ушла на оплату процентных расходов по займу (см. рис. 10). Таким образом, можно сформулировать новый взгляд на экономическую сущность параметра IRR: внутренняя процентная ставка IRR - это ставка, при которой весь валовой доход инвестиционного проекта расходуется на оплату процентов по привлечению заемного капитала.
А как распределится валовой доход по проекту при Е = 0, т.е. при бесплатном заемном капитале? Бесплатный инвестируемый капитал - такого не бывает, но для проверки работоспособности модели допустим, что стоимость привлечения равна нулю (Е = 0). Результат представлен на рис. 11.
Что же получилось? Доход инвестора стал равным сумме валового дохода проекта, процентный доход по займу обнулился, а заемный капитал возвращен уже на 7-й год. Доходность инвестора относительно средневзвешенной суммы займа увеличилась до 68,5%/год (ячейка D20).
О влиянии временного фактора на эффективность проекта. Распределение во времени инвестиций и поступлений имеет существенное влияние на внутреннюю процентную ставку IRR и, соответственно, на величину дохода инвестора. Это общеизвестные истины. Интересует, как временной фактор будет отображен финансовым портретом инвестиционного проекта.
Допустим, что исходные данные по проекту остаются прежними. Но вся сумма инвестиции сделана в начале срока проекта, а вся сумма поступлений реализована в последний годовой период проекта. Такой проект рассматривался выше на основе общепринятой методики анализа. Напом-
A В I С | D El F| G Н 1 J к L IM N О р I
J_ Финансовый портрет инвестиционного проекта
2 Исходные данные год инве стиц ИИ пост упле ния денеж ный поток ДОХОД инвес тора диско нтир поток диско нтир доход %- ный дох сумма погаш ения займ
3 Сумма инвестиции млнр ; loo год млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр!
4 Сумма поступлений млнр [ 300,0 0 20,0 0,0 -20,0 0,0 -20,0 0,0 20,Ol
5 Срок проекта ........год I 10 .......1 20,0 0,0 -20,0 0,0 -16,2 0,0 ........V .....„"24,7 44,7|
6 Процентная ставка привлечения %/год 23,7% 2 20,0 12,0 -8,0 0,0 0,0 10,6 -18,6 63, з|
7 3 40,0 12,0 -28,0 0,0 -14,8 0,0 15,0 -43,0 106,31
8 Динамические показатели 4 0,0 18,0 18,0 0,0 "'III 0,0 25,2 III 113,51
9 Ставка дисконта %/год 23,7% 5 0,0 18,0 18,0 0,0 .........6,2 0,0 26,9 -8,9 122,4 j
10 Период приведения ........ГОД 0 6 0,0 30,0 30,0 0,0 .......8,4 0,0 29,0 ...........1,0 121,3;
11 Дисконтированный доход млнр I 0,0 7 0,0 40,0 40,0 0,0 9,0 0,0 28,7 11,3 110,11
12 Внутренняя процентная ставка-/ЯЯ %/год 23,7% 8 ........0,0 48,0 48,0 0,0 8,8 0,0 26,1 21,9 88,11
13 9 0,0 54,0 54,0 0,0 8,0 0,0 20,9 33,1 55,01
14 Распределение доходов 10 0,0 68,0 68,0 0,00 .........8,1 0,0 13,0 55,0 0,0;
15 Доход по проекту млнр ; 200,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 о,о]
16 Доход инвестора млнр [ 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 q.oj
17 Процентный доход по займу млнр I 200,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0.0 j 0,0 о,о)
18 Средневзвешенная сумма займа млнр ' 84,5 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 q.oj 0,0 о.о]
19 Доходность по проекту %/год 23,7% 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0.01 0,0 o,oj
20 Доходность инвестора %/год 0,0% 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0} 0,0 q.oj
21 Доходность по займу %/год 23,7%
22 100,0 300,0 200,0 У............... 0,0 0,0 0,01 200, о! 20,0 844,7!
Рис. 10. Финансовый портрет модели инвестиционного проекта при Е = IRR (компьютерное отображение)
A В I С | D El F | G Н I J К L м N 0 р I
J_ Финансовый портрет инвестиционного г роекта
2 Исходные данные год инве СТИЦ1 и посту плени я дене жный поток доход инвес тора дискон тир поток диско нтир доход %- ный дох сумма погаше ния займ I
3 Сумма инвестиции млнр ; loo год млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр млнр|
4 Сумма поступлений млнр 300,0 0 20,0 0,0 -20,0 0,0 -20,0 0,0 20,0|
5 Срок проекта .........год ; 10 1 20,0 0,0 -20,0 0,0 -20,0 0,0 0,0 -20,0 40,0 j
6 Процентная ставка привлечения %/год 0,0% 2 20,0 12,0 -8,0 0,0 -8,0 0,0 0,0 -8,0 48,oj
7 3 40,0 12,0 -28,0 0.0 -28,0 0,0 0,0 -28,0 76,0 j
8 Динамические показатели 4 0.0 18,0 18,0 0,0 18,0 0,0 0,0 18,0 58,0!
9 Ставка дисконта %/год : 0,0% 5 0,0 18,0 18,0 0.0 18,0 0,0 0,0 18,0 40,0 j
10 Период приведения .........ГОД 0 6 0,0 30,0 30,0 0,0 30,0 0,0 0,0 30,0 10,oj
11 Дисконтированный доход млнр ! 200,0 7 0,0 40,0 40,0 30,0 40,0 30,0 0,0 10,0 0,0]
12 Внутренняя процентная ставка-//?/? %/год 23,7% G 0.0 48,0 48,0 48,0 48,0 48,0 0.0 0,0 о.о]
13 9 0,0 54,0 54,0 54,0 54,0 54,0 0,0 0.0 0,0]
14 Распределение доходов 10 0,0 68,0 68,0 68,00 68,0 68,0 0.0 0,0 о.о]
15 Доход по проекту млнр ; 200,0 0 0,0 0,0 0,0 0.0 0,0 0,0 0.0 о.о!
16 Доход инвестора млнр 200,0 0 0.0 0,0 0.0 0,0 0,0 0.0 0,0 о.о?
17 Процентный доход по займу млнр 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0.0 о.о!
18 Средневзвешенная сумма займа млнр! 29,2 0 0.0 0,0 0.0 0,0 0,0 0,0 0,0 о.о?
19 Доходность по проекту %/год | 68,5% 0 0,0 0,0 0.0 0,0 0.0 0,0 0,0 о.о!
20 Доходность инвестора %/год! 68,5% 0 0.0 0,0 0,0 0,0 0,0 0.0 0,0 q.Of
21 Доходность по займу %/год | 0,0%
22 100,0 300,0 200,0 Г.............. 200,0 200,0 200,0 0,0 20,0 292,0!
Рис. 11. Финансовый портрет модели инвестиционного проекта при Е = 0 (компьютерное отображение)
ним, что такой проект, например, предполагает, что инвестор занимает под 15% в год 100 млн руб. и покупает недвижимость, а на 10-й год продает эту недвижимость за 300 млн руб. Валовой доход в проекте равен 200 млн руб.
На первый взгляд хороший бизнес. Однако отрицательный результат такого бизнеса очевиден. Но в нашем случае интересно, как это будет отражено в модели финансового портрета на принципе заемного капитала. Результат показан на рис. 12.
Финансовый портрет отобразил все стороны «бизнеса» по покупке и продаже недвижимости. При распределении во времени инвестиций и поступлений на рис. 9 внутренняя процентная ставка была 23,7% в год, а на рис. 12 - 11,6% в год. В проекте (см. рис. 9) инвестор получил 125,3 млн руб. прибыли, а в проекте (см. рис. 12) инвестор получил убыток в размере 104,6 млн руб. Дальнейшие комментарии излишни, кроме одного. Финансовый портрет отобразил все свойства проекта с заемным капиталом, а именно:
- равенство сумм дисконтированных потоков -К22 = L22;
- равенство суммы дохода инвестора и процентного дохода по займу величине валового дохода по проекту - J22 + N22 = 122;
- равенство суммы погашений начальному капиталу - 022 = 100,0 млн руб.
Заключение
Исследование моделей оценки эффективности инвестиции показало преемственность методов оценки эффективности капитала инвестируемого в производственную сферу экономики и инвестиционные проекты. Дисконтирование инвестиций и доходов в инвестиционном проекте отражает связь с динамикой роста капитала в системе расширенного воспроизводства.
Дальнейшим развитием методов оценки эффективности инвестиций является создание и теоретическое обоснование инновационной модели инвестиционного проекта на принципе заемного капитала. Теория инвестиционного проекта на принципе заемного капитала не отвергает общепринятые индикативные критерии эффективности -
Рис. 12. Финансовый портрет модели проекта покупки и продажи недвижимости (компьютерное отображение)
NPVи IRR. Более того, она объясняет экономическую сущность внутренней процентной ставки IRR. Процентная ставка IRR - это ставка, при которой весь валовой доход по проекту расходуется на привлечение капитала.
Изменение дисконтной ставки в пределах от нуля до величины IRR меняет распределение валового дохода по проекту на доход инвестора и процентный расход по привлечению инвестиций. При равенстве ставки дисконта величине IRR валовой доход по проекту полностью расходуется на оплату процентов за привлечение инвестиций. Соответственно при «бесплатном» привлечении доход инвестора становится равным валовому доходу, а инвестируемый «бесплатный» капитал возвращается его владельцу.
При этом сумма дохода инвестора, сложенная с суммой расхода на привлечение инвестиций по ставке дисконта, тождественно равна валовому доходу независимо от даты приведения. Этот вывод, доказанный на теоретическом уровне, важен для практики.
В работе применена новая модель инвестиционного проекта в виде финансового портрета в операционной среде Ехсе1. Модель в виде финансового портрета является эффективным инструментом для широкого применения как аналитиками, так и проектантами и менеджерами, управляющими реализацией инвестиционных проектов.
Список литературы
1. Вааг Л.А. О нормативном коэффициенте экономической эффективности // Экономика и математические методы. 1976. Т. XII. Вып. 5. С.975-978.
2. Виленский П.Л., Лифшиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика: учеб. пособие. 3-е изд., испр. и доп. М.: Дело, 2004. 888 с.
3. Газеев М.Х., Смирнов А.П., Хрычев А.Н. Сущность новых показателей эффективности инвестиций. М.: ВНИИОЭНГ, 1993. 20 с.
4. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов / пер. с англ. 6-е изд. М.: Альпина Паблишерз, 2010. 1338 с.
5. Залесский А.В. О нормах эффективности капитальных вложений и приведения разновременных затрат и результатов // Экономика и математические методы. 1976. Т. XII. Вып. 1. С. 155-156.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.
7. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994. 268 с.
8. ЛившицВ.Н., ЛьвовД.С., ОвсиенкоЮ.В. Методологические вопросы оценки экономической эффективности новой техники // Известия АН СССР. Серия экономическая. 1979. № 3. С. 39-58.
9. Лукасевич И.Я. Инвестиции: учебник. М.: Инфра-М, 2011. 413 с.
10. Лурье А.Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства. М.: Наука, 1973. 435 с.
11. Методика (основные положения) определения экономической эффективности использования в народном хозяйстве новой техники, изобретений и рационализаторских предложений. М.: Экономика, 1977. 45 с.
12. Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. 206 с.
13. Федоров Б.Г. Англо-русский толковый словарь валютно-кредитных терминов. М.: Финансы и статистика, 1992. 240 с.
14. Царьков В.А. Аналитические методы и модели анализа инвестиционных проектов // Аудит и финансовый анализ. 2014. № 2. С. 241-247.
15. Царьков В.А. Динамические модели экономики (теория и практика экономической динамики) / предисл. Ю.С. Попкова. М.: Экономика, 2007. 213 с.
16. Царьков В.А. Использование методов теории автоматического управления при построении и анализе динамических моделей экономики производства // Измерения, контроль, автоматизация. 1984. № 4. С. 66-78.
17. Царьков В.А. Новые методы и модели анализа инвестиционных проектов // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2013. № 47. С. 33-44.
18. Царьков В.А. О проблеме единого критерия оценки экономической эффективности научно-технической и производственной деятельности. М.: ИЭ АН СССР, 1982. 25 с.
19. Царьков В.А. Экономико-математические модели инвестиций // Аудит и финансовый анализ. 2011. № 4. С. 316-333.
20. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, Business Речь, 1992. 319 с.
Financial analytics: science and experience Investment policy
ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)
THEORY AND MODELS OF INVESTMENT
Vyacheslav A. TSAR'KOV
Abstract
Importance The research reviews investment models.
Objectives The review is aimed to study the common models and new innovation models of evaluation of the efficiency of investment projects on the principle of borrowed capital.
Methods In the first part of the paper, I am considering two economic-mathematical models of extended capital reproduction: with discrete and continuous capital reproduction. The article demonstrates that the process of discounting investment essentially reflects a capital growth trajectory as a result of the regulatory capital impact of positive feedback in the economic system of extended capital reproduction. I investigate the interrelation dynamics of capital growth with discounting formula. On the basis of generally accepted methods for evaluating investment performance, I have carried out an analysis of a simple project with investment (asset purchase) at the beginning of the project and the availability of income (sale of the asset) at the end of the project. As per common practice, the project efficiency is assessed on the basis of net present value - NPV and internal rates of return - IRR: the general rule is NPV: if NPV > 0, in that case the project will be adopted. The general rule is IRR: if IRR >r, in that case project will be adopted. These rules are simple and versatile. These features comprise their advantages and their shortcomings. But they do not provide any answer to the question: what is the value of an investor's income in money-wise terms? I research a new innovation model of evaluation on the principle of debt capital. The new model is based on the separation of gross income of the project on income of the investor and the interest expense on the loan.
Results The theoretical result of the research is a new mathematical proof of the following predicating: IRR is a loan rate, at which the gross income of the investment project is spent on paying interest on attracting borrowed capital. The practical result is to create a financial model in Excel software as a financial picture of the project.
Keywords: model, capital, investment, theory, cash flow, value, discount, profit
References
1. Vaag L.A. O normativnom koeffitsiente eko-nomicheskoi effektivnosti [On the normative economic efficiency ratio]. Ekonomika i matematicheskie metody - Economics and mathematical methods, 1976, vol. XII, iss. 5, pp. 975-978.
2. Vilenskii P.L., Lifshits V.N., Smolyak S.A. Ot-senka effektivnosti investitsionnykh proektov. Teoriya i praktika [An evaluation of investment projects performance. Theory and practice]. Moscow, Delo Publ., 2004,888 p.
3. Gazeev M.Kh., Smirnov A.P., Khrychev A.N. Sushchnost'novykh pokazatelei effektivnosti investitsii [The essence of new indicators of investment effectiveness]. Moscow, All-Russian VNIIOENG Publ., 1993, 20 p.
4. Damodaran A. Investitsionnaya otsenka. Instru-menty i metody otsenki lyubykh aktivov [Investment Valuation. Tools and Techniques for Determining the Value ofAny Asset]. Moscow, Al'pina Pablisherz Publ., 2010,1338 p.
5. Zalesskii A.V. O normakh effektivnosti kapital'nykh vlozhenii i privedeniya raznovremen-nykh zatrat i rezul'tatov [On the efficiency standards of capital investment and performing of different time expenditures and results]. Ekonomika i matematicheskie metody - Economics and mathematical methods, 1976, vol. XII, iss. 1, pp. 155-156.
6. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [A handbook of mathematics for scientists and engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 720 p.
7. Kochovich E. Finansovaya matematika. Teoriya i praktikafinansovo-bankovskikh raschetov [Financial mathematics. Theory and practice of financial and banking transactions]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1994, 268 p.
8. Livshits V.N., L'vov D.S., Ovsienko Yu.V. Metodologicheskie voprosy otsenki ekonomicheskoi
effektivnosti novoi tekhniki [Methodological issues of economic estimation of new technology efficiency]. Izvestiya ANSSSR. Seriya ekonomicheskaya - Proceedings of Academy of Sciences of USSR. Economics series, 1979, no. 3, p. 39-58.
9. Lukasevich I.Ya. Investitsii [Investment]. Moscow, INFRA-M Publ., 2011, 413 p.
10. Lur'e A.L. Ekonomicheskii analiz modelei planirovaniya sotsialisticheskogo khozyaistva [An economic analysis of the planning models of the socialist economy]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 435 p.
11. Metodika (osnovnye polozheniya) oprede-leniya ekonomicheskoi effektivnosti ispol'zovaniya v narodnom khozyaistve novoi tekhniki, izobretenii i ratsionalizatorskikh predlozhenii [A technique (general provisions) of determining economic efficiency of applying new technologies, inventions and innovation in the national economy]. Moscow, Ekonomika Publ., 1977, 45 p.
12. Paitgen H.O., Richter P.H. Krasota fraktalov. Obrazy kompleksnykh dinamicheskikh system [The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems]. Moscow, Mir Publ., 1993, 206 p.
13. Fedorov B.G. Anglo-russkii tolkovyi slovar' valyutno-kreditnykh terminov [English-Russian dictionary of monetary terms]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1992, 240 p.
14. Tsar'kov V.A. Analiticheskie metody i modeli analiza investitsionnykh proektov [Analytical methods and models ofthe investment projects analysis]. Audit i finansovyi analiz - Audit andfinancial analysis, 2014, no. 2, pp. 241-247.
15. Tsar'kov V.A. Dinamicheskie modeli ekonomiki (teoriya i praktika ekonomicheskoi dinamiki) [Dynamic
models of the economy (theory and practice of economic dynamics)]. Moscow, Ekonomika Publ., 2007, 213 p.
16. Tsar'kov V.A. Ispol'zovanie metodov teorii avtomaticheskogo upravleniya pri postroenii i analize dinamicheskikh modelei ekonomiki proizvodstva [Using the methods of theory of automatic control at construction and analysis of dynamic model of production]. Izmereniya, kontrol', avtomatizatsiya - Measurement, control, automation, 1984, no. 4, pp. 66-78.
17. Tsar'kov V.A. Novye metody i modeli analiza investitsionnykh proektov [New methods and models of investment projects analysis]. Finansovaya analitika: problemy i resheniya - Financial analytics: science and experience, 2013, no. 47, pp. 33-44.
18. Tsar'kov V.A. O probleme edinogo kriter-iya otsenki ekonomicheskoi effektivnosti nauchno-tekhnicheskoi i proizvodstvennoi deyatel'nosti [On the problem of single criterion of the estimation of economic efficiency of scientific-technical and production activities]. Moscow, Institute of Economics of Academy of Sciences of USSR Publ., 1982, 25 p.
19. Tsar'kov V.A. Ekonomiko-matematicheskie modeli investitsii [The economic-mathematical models for investment]. Audit i finansovyi analiz - Audit and financial analysis, 2011, no. 4, pp. 316-333.
20. Chetyrkin E.M. Metody finansovykh i kom-mercheskikh raschetov [Methods of financial and commercial payments]. Moscow, Delo, Rech' Publ., 1992,319 p.
Vyacheslav A. TSAR'KOV
OOO CB BFG-Credit, Moscow, Russian Federation [email protected]
