CC BY
343. Рахмонов З. Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95, вып. 3.
4. Рахмонов З. Х, Нарзублоев Н. Н., Рахимов А. О. Короткие суммы Г. Вейля и их приложения // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, №1 (53).
5. Рахимов А. О. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля четвёртого порядка в малых дугах // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2015. Т. 58, № 8.
6. Рахмонов З. Х. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН Респ. Таджикистан. 2000. Т. 43, № 3.
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЙ МЕТОД В ПРИБЛИЖЕННОМ АНАЛИЗЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В ПОИВС «ТМК»1 И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский, (г. Тула) E-mail: [email protected], [email protected]
Основные проблемы теоретико-числового метода приближенного анализа непосредственно связаны с рядом фундаментальных задач теории чисел. Теоретико-числовые подходы продемонстрировали свою эффективность для построения алгоритмов вычисления оптимальных многомерных квадратурных и интерполяционных формул на основе теоретико-числовых свойств используемых сеток для конкретных классов функций.
Разработка ПОИВС (проблемно-ориентированной информационно вычислительной системы) «ТМК» (Теоретико-числовой метод Коробова) актуальна для эффективного внедрения результатов фундаментальных исследований по теоретико-числовому методу в приближенном анализе.
Основными объектами исследования являются: пространство решток; гиперболическая дзета-функция решеток; дзета-функция сеток с весами; отклонение сеток; квадратичное отклонение сеток и q-ое отклонение сеток, граничные функции на классах функций.
Основные задачи данного проекта состоят в:
• изучении гиперболической дзета-функции произвольных решеток и алгоритмов её вычисления;
• разработке алгоритмов вычисления основных характеристик обобщенных параллелепипедальных сеток;
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-41-03262).
• приложении полученных результатов к разработке ПОИВС «ТМК», включающей теоретические результаты, программную реализацию алгоритмов на многомерных сетках и решетках, а также результаты практических расчетов.
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы теории решеток и обобщенных параллелепипедальных сеток, связанной с построением алгоритмов вычисления основных характеристик этих объектов исследования, имеющих важное значение для построения эффективных теоретико-числовых многомерных квадратурных и интерполяционных формул, и приложение этой теории к вопросам численного решения линейных интегральных уравнений.
Предполагается использовать методы алгебраической теории чисел и диофантова анализа, геометрии чисел, аналитической теории чисел, теории рядов Дирихле. Совокупность этих методов применительно к теоретико-числовому методу в приближенном анализе успешно применяется в тульской школе теории чисел и является оригинальным подходом к рассматриваемым проблемам.
Прежде всего планируется:
1. Исследование приведенных алгебраических иррациональностей.
2. Совершенствование алгоритмов численного вычисления кратных интегралов с помощью алгебраических сеток.
3. Создание информационных ресурсов по теоретико-числовому методу в рамках разработки ПОИВС «ТМК».
Результаты исследований будут представлены в серии статей и в электронных ресурсах ПОИВС «ТМК».
В настоящее время не имеется ПОИВС, в которых в полной мере отражены достижения по теоретико-числовому методу в приближенном анализе. Одна из целей проекта систематизировать достижения Тульской школы теории чисел за 65 лет её существования, что будет способствовать дальнейшему развитию и росту научного потенциала Тульского региона.
Коллектив, участвующий в разработке данного проекта и составляющий современное ядро тульской школы теории чисел, получил следующие основные результаты:
— построено метрическое пространство сдвинутых решеток и изучены его локальные свойства;
— определен класс декартовых решеток и найдено их каноническое
представление как сдвига решетки подобной простой целочисленной решетки;
— найдена асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции алгебраической решетки с растущим детерминантом;
— построено аналитическое продолжение обобщенной гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решетки;
— найдены выражения через полиномы Бернулли значения во всех целых точках гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решетки;
— установлена аналитическая связь между решеткой решений линейных сравнений и соответствующей решеткой решений системы линейных сравнений;
— доказано обобщение теоремы Рота о квадратичном отклонении на случай произвольной сетки с весами с использованием комбинации общего метода Колмогорова и частного метода Рота;
— построены две группы преобразований й-мерного куба: группа арифметических сдвигов и группа поразрядных сдвигов и доказано равенство средних арифметических д-ых отклонений для произвольных сеток по орбитам этих двух групп преобразований;
— построены быстрые алгоритмы вычисления оптимальных коэффициентов для концентрической последовательности параллелепипедаль-ных сеток, заданных допустимой последовательностью простых чисел;
— получены оценки логарифмической и основной мер качества для таких наборов оптимальных коэффициентов;
— найдены правила остановки для концентрических алгоритмов приближенного интегрирования;
— выполнены численные эксперименты по расчету кратных интегралов высокой кратности.
Решение указанных задач было достигнуто за счет развития теоретико-числового метода в приближенном анализе с привлечением методов геометрии чисел, тригонометрических сумм, теории рядов Дирихле, и алгебраических методов. Такое сочетание различных методов, которое содержится в основных работах коллектива авторов является оригинальным и доказало свою эффективность полученными результатами. Более подробную информацию о работе Тульской школы теории чисел можно найти в работе [1].
Библиографический список
1. Добровольский Н. М, Реброва И. Ю., Устян А. Е, Подсыпа-нин Ф. В., Подсыпанин Е. В. Тульская школа теории чисел (к 105-летнему юбилею Владимира Дмитриевича Подсыпанина (16.01.191011.10.1968) и 65-летию тульской школы теории чисел) // Материалы XIII Междунар. конф. Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения (г.Тула, 25-30 мая 2015). Дополнительный том. Тула : Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015.
АЛГЕБРЫ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛИНОМОВ А. Н. Сергеев (г. Саратов, г. Москва) E-mail: [email protected]
Симметрических полиномы играют важную роль во многих областях математики (1), в частности в комбинаторике, алгебраической геометрии, теории представлений и теории интегрируемых систем. Настоящая работа была мотивирована теорией интегрируемых систем и ее связями с теорией представлений. Кольцо симметрических полиномов Лорана Лт = Z[x±,... ,xm]Sm можно интерпретировать как кольцо Гротен-дика категории конечномерных представлений полной линейной группы GL(n). Эта интерпретация позволяет выделить в кольце Лп важный базис состоящий из функций Шура s\. Алгебра C 0 Лт также изоморфна алгебре интегралов соответствующей квантовой задаче Калоджеро-Мозера-Сазерленда.
Оказывается, что естественным аналогом кольца симметрических полиномов, для супергруппы GL(n,m) является кольцо суперсимметричных полиномов Лорана
Лт,п = {f е Z[x±, ...,xm,y±,..., | f + f e (Xi - yj)}
где (х{ — у^) обозначает идеал порожденный (х{ — х^). Оно является кольцом конечномерных представлений супергруппы ОЬ(и,т) (2) и предельным случаем алгебры интегралов деформированной задачи Калоджеро-Мозера-Сазерленда. построенной по системе корней супергруппы СЬ(и, т).
Основным результатом работы, является описание кольца Лт,п в терминах образующих и соотношений. Так как теория представлений супергруппы ОЬ(и,т) не является полупростой, поэтому не существует
