Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 3 (2012)

УДК 511.9.

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С МОДИФИЦИРОВАННЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СЕТКАМИ1

© 2012. Е. Д. Ребров (г. Тула)

Аннотация

Построен концентрический алгоритм численного интегрирования для периодических функций многих переменных из класса Еа с использованием алгебраических сеток с весами по методу К. К. Фролова в модификации Н. М. Добровольского.

Библиография: 22 название.

1. Введение ....................................................53

2. Вспомогательные леммы .......................................57

3. Решётки и гиперболическая дзета-функция решёток .............64

4. Алгебраические решётки .....................................68

5. Обобщенная гиперболическая дзета-функция алгебраической решётки ..........................................................69

6. Класс функций ) ............................................77

7. Оценки сверху погрешности квадратурных

формул на классах функций Еа(С) ................................78

8. Алгебраические сетки.........................................82

Список цитированной литературы .................................88

1 Введение

В данной работе рассматриваются вопросы приближенного интегрирования функций многих переменных по единичному в—мерному кубу

= {х | 0 ^ xv ^ 1, V = 1, 2,...,в}, С8 = {х | 0 ^ xv < 1, V = 1, 2,...,в}

по методу К. К. Фролова [21] в модификации Н. М. Добровольского ([8] —

[14]) для непрерывных периодических функций с периодом равным единице

1 Работа выполнена по гранту РФФИ 11-01-00571

по каждой из переменных хи (и = 1, 2,..., в), принадлежащих классу Еа(С), который состоит из периодических функций

/(х) = X! С (т)е

для которых

2пг(т,х)

\С(т)\ ^ (____ °_____)а, (а> 1)

(т1 . . . Ша)а

и т = тах(1, \т\) для любого вещественного т.

Для произвольного вектора х его дробной частью называется вектор {х} = ({Х1},..., {ха}). Отсюда следует, что всегда {х} Е С а. Целой частью вектора называется вектор [х] = х — {х}. Через р(х) = \х + (22)] обозначим ближайший целый вектор в смысле нормы ||х|1 = тах(\х1\,..., \ха\). Для нормы вектора отклонения от ближайшего целого 5(х), заданного равенством

5(х)=р(х)—х = (2 '•••■ 2)—{х 42 ■•••’ 2)

справедливо неравенство |5(х)|1 ^ 2_

Далее везде под произвольной решеткой Л С Ка мы будем понимать только полные решетки, то есть

Л = {т1 Х1 + ... + та\а \ т1,... ,та Е Z},

где \1,...,\а — система линейно-независимых векторов в Ка.

Напомним определения трех типов обобщенных параллелепипедальных сеток М(Л), М^Л) и М'(Л) решетки Л (см. [19] стр. 204), которые определяются через взаимную решетку Л* = {х \Уу Е Л ( х,у) Е Ъ}.

Л

педальной сеткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* П Са.

Сетка, М1(Л) = Л* П [—1; 1)а.

Обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода М'(Л) называется множество М' (Л) = {х \х = {у}, у Е М1(Л)}.

Модификация Н. М. Добровольского метода К. К. Фролова опирается на следующую общую конструкцию (см. [19] стр. 247 — 248).

Определение 2. Весовой функцией порядка г с константой В называется гладкая, функция р(х), удовлетворяющая условиям

о

р( х + (е1;..., еа)) = 1 щи х Е Са,

£1 ,...,£в =— 1

р(х) = о щи х Е (—1; 1)а,

1 1

[.. У р(х)е2П(3’^ в,х 11

^ В(в1... ва) г для любого В Е Еа.

Определение 3. Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипе-

р( х)

["'[ f (X)dx = (det^)-1 Е Pxf (x) - RN'(A)[f],

0 0 xeM'(A)

г* Px = Е P(v)’ N' (Л)= 1М'(Л)1.

y&M1(A),{y}=x

Rn'(A)[f ] — погрешность квадратурной формулы.

Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедаль-ной сеткой II рода на классе Ef справедлива оценка

Rn'(Л)[E<a(C)} = sup |Rn'(A)[f]| ^ CB ■ ci(a)s(H(Л|а)

f ^Ea(c)

где ci(a) = 2a+1 f 3+ a 2 Л , Zh(Л|а) = ^ (xi... Xs) a

' ' XeA

Рассмотрим для произвольного вектора г сдвинутую решетку Л + г и дадим следующие определения.

Определение 4. Для произвольной решетки Л и произвольного г модифицированной обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л, г) назавем множество М(Л, X) = (Л* + X) П Са.

Сетка М1(Л, г) = (Л* + г) П [—1; 1)а.

Модифицированной обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода М'(Л, г) назавем множество М'(Л,г) = {х \ х = {у}, у Е М1(Л,г)}.

Определение 5. Квадратурной формулой с модифицированной обобщен-

р( х)

формулу вида

1 1

[...[ / ( х)д,х = ^Л)-1 ^ рх/ ( х) — Вм '(Л’Х) [/],

0 0 х&Ы'(А’^)

где рх = ^ р( у), N (Л, у) = \М' (Л,У)\,

уеЫ! (А,г)’{у}=х

Вм'(А,г)[/] _ погрешность квадратурной формулы.

Квадратурные формулы с модифицированной обобщенной параллелепипе-

р( х)

Л Л1 С Л

Ь = ^Д1 — индекс подреш етки Л1 решет ки Л Обозначим ч ерез К (Л, Л1) полный

Л

Ль тогда \К(Л, Л1)\ = Ь и справедливо представление

Л= ^ (Л1 + у)■

геК (Л,Л1)

Переходя к взаимным решеткам получим: Л* С ЛЦ,

Л* = и (Л* + X), М' (Л1)= и М' (Л, г).

?еК(Л\,Л*) геК (А|,А*)

Отсюда следует, что

1 ^ ((ае1Л)-1 ^ рх/( х) — ВМ'(Л,г)[/]) , (1)

2еК(Л\,Л*) у хеМ'(А,г) у

Вм '(Л1)[/] = ь X! Вм '(Л,г)[/]. (2)

.?ек(л*,л*)

Формулы (1) — (2) являются основой для концентрических алгоритмов численного интегрирования с квадратурными формулами по обобщенным пара. I-лелепипедальным сеткам (см. [7], стр. 192, 193).

Определение 6. Для концентрической пары, обобщенных параллелепипе-

М (Л) С М (Л1 ) р( х)

пликативной дискретной дисперсией А = Д(М'(Л),М'(Л1),р( х),/( х)) назовем, величину

А=Ь ^2 \ВМ'(Л,г)[/] — ВМ'(Л1)[/]\2. (3)

гек(А*1,л*)

Нетрудно понять, что определение 6 согласуется с аналогичным определение из работы [7] (см. стр. 204), так как сетка М'(Л1) является произведением сетки М' (Л) и сетк и К (Л*, Л*).

Цели данной работы — получить оценки погрешности квадратурных формул с модифицированными обобщенными параллелепипедальными сетками II

р( х) Л

Л

кретной мультипликативной дисперсии для концентрических алгоритмов приближенного интегрирования с обобщенными параллелепипедальными сетками

р( х)

1 1

J■■■J /( х)^х =

о о

2 Вспомогательные леммы

Как обычно, через £ (а) = ^ т а обозначается дзета-функция Римана при

т=1

а > 1, для которой выполнены неравенства

СЮ СЮ

1 Г йх .. . Г йх 1

-----7 = — < С (а) < 1 + — = 1 +------т ■

а 1 ха ха а 1

Лемма 1. Для любого действительного а выполняется неравенство

(1 - \х\)в2жгахйх

1

'—\—2

(4)

где а = тах(1, \а\).

1

Доказательство. Если а = 0 то взяв интеграл /(1 — \х\)в2жгахйх по ча-

1

стям, получим:

1 о 1

2тох! I /1 | ^\„2жга^^^ . I /1 ^.\„2жгах.

(1 — \х\)в2жгахйх = /(1+ х)в2жгахйх + /(1 — х)в2жгахйх

1

1

о

2п%а

— в2жгахйх + в2жгах йх

1

(2пга)2

в2тах 10 + в2пгах 11

— в 1 + в о

в2жга — 2 + в

— 2п,1а

вт2 па

п2а2

(2пга)2

Теперь оценка (4) для а = 0 следует из неравенства

1

вт па

па

па

Если а = 0, то оценка (4) очевидна:

(1 — \х\)в жгахйх = 2 / (1 — х)йх = 1 =

—1

(а)2'

□

1

о

1

1

1

1

1

1

Лемма 2. Пусть функция рг(х) определена равенствами

рг (х)

0,

г— 1 (—1)^

1 — (2г — 1)6-——2 £ С——!хг+-

г + V

при \х\ ^ 1, при 0 ^ х < 1,

и=0

г—1

1 — (—1)г(2г — 1)62гг-—1^ 6Г—1 -+-хг+и, при — 1 < х < 0

и=0 Г + ^

(5)

1

а

1

/Г М = / рг (х)в^х —1

выполняется, оценка

(6)

и функция рг (х) — весовая, функция п орядка г + 1 с консгпан той В (г), где

В(г)

(2г — 1)62——2 п(2п)г

вир

Мм

(Р—— 1(1)в2та — Р—1(0)) — Рг—1— (х)в2жгахйх

определена, форм,ул,а,м,и 9 и 10 (см,, стр. 61).

Доказательство. Прежде всего проверим выполнение тождества рГ(х) + рг(х — 1) = 1 (0 ^ х ^ 1)

Для этого воспользуемся интегральным представлением

0,

при \х\ ^ 1,

р— (х) = <

1 — (2г — 1)С^—Г-12 у ((- — Ь)Ь)Г 1йЬ, при 0 ^ х < 1,

0

1 х|

1 — (2г — 1)С'ГГ—.12 / ((1 — Ь)Ь)Г—1йЬ, при — 1 < х < 0

((1 — Ь)Ь)Г—1йЬ = / ((1 — Ь)Ь)Г—1йЬ

1х

1

х

1

х

1 1

[((1 — г)г)г—1йг = 1—- /(1 — г)Г—ЧГм =

(г — 1)(г — 2) ■■■ 1 I 2г—2

г(г + 1) ■ ■ ■ (2г — 2)

г2Г—2(г

(2г — 1)С2г-12

ТО

р— (х) + р— (х — 1) = 1 — (2г — 1)С2Г—2у ((1 — £)£)г (ь+

о

1 х—11

+ 1 — (2г — 1)С2г——2 У ((1 — ^)Г ( =

0

х 1

2 — (2г — 1)С—г-2 I [((1 — ^)Г ( + />((1 — ^)^)Г (

2 — (2г — 1)С2Гг-2 / ((1 — ^)^)Г ( = 1

и тождество установлено.

Из этого тождества и определения функции рг (х) сразу следуют равенства:

рг(0) = — рг(—1) = рг(1) = 0 и / рг(х)(х = 1.

1

а

р— (х)в2тах(х

1

^ у р— (х)(х = \\рг (х)||1 = 1, 1

поэтому при \а\ ^ 1 выполняется соотношение

р— (х)в2тах(х

1

1

х

1

1

1

1

Пусть \а\ > 1, тогда для интеграла Т— (а) справедливы преобразования

1 1

I— (а) = [ р— (х)в2пгах(х + [ р— (х — 1)в2пга(х—1)йх

0 0 1 1

= У р— (х)в2жгах(х + у (1 — р— (х))в2пга(х—1)йх =

0 0 1 1

в—I ^+(-—в—2„„) I р—=

0 0

1

1 Г Л (пЛ^,2пгах

в2пга - I р (х)в2пгах

в—2жга^_________^ + (- — в—2пг^ I

2пга \ 2пга

р—(х)в йх

0 2пга

00

1

1 р—2жг& 1 „—2жг& г п/ р2жгах

1 в в — (1 — в—2пгст) р-^------------(х

V ) /

2пга 2пга 2пга

0

1

(- — в -2пг*) (2г ~~ -)^2 , ((- — х)хГ (7)

2пга

Заметим, что при 0 ^ V ^ г — 1 имеем:

(((1 — х)х)——1)(") = ((1 — х)х)——1—" Ри (х)

где

Р0(х) = 1, Ри+1 = V(1 — 2х)Ри(х) + х(1 — х)Р1 (х) (V = 0, ■ ■ ■ ,г — 2),

— 1 — 2

Р——1 (х) = ^ '(—1)у С——1 (г — 1 + V — к)хи,

v=0 к=0

и при г ^ V ^ 2г — 2 имеем:

(((1 — х)х)——1уи> = Р——(х), Р——1,— (х) = Р—— 1 (х),

)——1^ №) ——1 V —1

Р— 1,,(х)= £ ( —-УС— , Д(г — - + » — к)xг-1+'‘-■' = Р, — ,(х) = Р— ' + 1)(х),

Ju=v+1—— к=0

Р——1,2——2(х) = ( — 1)— 1(2г — 2)!^

г

((1 — х)хУ—1в2пг(7х(х

((1 - х)х)—-1в

1^2тах

2пга

1

1 1

/■((1 — х)х)——2Р1(х)в2жгах Г ((1 — х)х)——2Р1(х)в2жгах

------йх — — I -----------------;------------йх

2пга

2пга

(-1)

— 1 —

Р——1(х)в2пгах (2пга)——1

йх

(2пга)—

(2пга)—

(—1)——1 (Р——1(-)в2пг- — Р——1(0)) (2пга)—

Проинтегрировав ещё г — 2 раза по частям, полагая PГ—1,Г—1(x) = Р——1(х), получим

2— 2

((1 — х)х)——1в2пгнх(х = ^

(—1)" (Р——1^ (1)в2пгСТ — Р——1^ (0))

"= — -1

(2пга)

"+1

Переходя в равенстве (8) к модулям, получим

((1 — х)хУ—1в2жгах(х

1

(—1)——1 (Р——1(1)в2пг^ — Р——1(0)) + Г Р——1,— (х)в2пгнх(х

(2пга)7

0

(2пга)—

В1(г)

а

где

В1(г) =

(2п)— н

вир

н|>1

(Р——1 (1)в2пгн — Р——1(0)) — Р——^ (х)в2жгнх(х

(9)

и, учитывая равенство 7, лемма полностью доказана с константой

(2г — 1)0—

В (г)

п

■Bl(г)■

(10)

1

1

1

0

1

1

1

1

2

□

Заметим, что лемма 1 является уточнением леммы 2 так как р1(х) = 1 — |х| при —1 ^ х ^ 1. Из доказанной леммы следует, что функция р— ( х), заданная равенством

р—(х) = П р— (х3), (П)

3=1

является весовой функцией порядка г + 1.

Лемма 3. Для любого действительного а и 7 > 1 для величины ф1>— (а), заданной равенством

Ж

ф1— (а) = ^ т —1 (т + а)——,

т=—ж

выполняется неравенство

(2а+с ^» + (-+2с ^ , ,1ри - < 7 в г,

ф1(а) ^ < 2(1 + ((г)) + (1 + 2((г))2— (12)

(а)—

Доказательство. Прежде всего, заметим, что ф1, — (а) — четная функция. Действительно,

Ж

ф1— (—а) = ^ т —1 (т — а)—— = ^ —т —1 (—т — а)

т=—ж т=—ж

Ж

= т —1 (т + а)—— = ф1>— (а)

Г

а=0

ф1— (0) = У ' т —1 т—— = 1 + 2( (7 + г) =

Ш= — Ж

Ж

ъг^/ - ^т 1т г=1+2с (т+г)=1+^+г) •

(а)т

ш=—ж

Преобразуем выражение для ф1 , — (а) при 0 < а < 1, получим:

1 Ж 1 Ж

ф1 — (а) = —— + У т 1 (т + а) — + - + У т 7(т — а) — ^

’ (а)— ^ (1 — а)— 1 7

4 7 т=1 х ' т=2

2 + 2С (7 + г)

^ 2 + 2((7 + г)

(а)'

—

Преобразуем выражение для ф1 , — (а) при 1 < а < 2, получим:

1Ж

Ф1,— (а) = + V т—1 (т + а)—— + 1 + 2—7+

(а)—

т=1

, Ж_—^ < 1 , С(^) , п , 1 , С(г) <

+ у т (т — а) < —т—+ -—т—+ 1 + —т—+ —— <

т=3 (а)— (т)— (а)7 (ар

2(1 + ((т)) + 27 п < <

------—-, прИ 1 < ^ < г,

< ) а'

<< 2(1 + ((г)) + 2—

------—---------- при 7 > г

а

Преобразуем выражение для ф1— (а) при а ^ 2, получим:

ф1— (а) = —— + т 7 (т + а) — + т 7 (а — т) —+

’ <а(г £—/ £—/

т=1 1<т<[н] —1

тГ'+ ([т] +-П + 5] т— (т — т)— ^

т=Н+2 <а(Г Ю—

Если а ^ 2, то

т 7 (а — т) — = ^ т 7 (а — т) —+

1<т<[н] —1 1<т< 2

2^ _____ 27

+ 5^ т — (а — т)—— < ~ ^ т — +—7 т—— <

2 <т<[ст] — 1 1<т< 2 1<т< 2

< ((7) + 2" С (г)

< а— т'< '

Отсюда следует, что

Ф ю < - , С(7) . 2—с(7) . 27с(г) | 27 + - + С(г)

ф'<' ю < Юг + (О7 + ~Р~ + ~^~ + Юр + Юр + (г)7 =

- + (- + 2—К(7) + (27 + -«- + с (г)) <

ЮГ + ЮГ <

2(1+ С (7)) + (- + 2( (7)) 2 < <

---------------ю;----------------■ при- <7 < г

< 2(1 + ((г)) + 2— (-+2С (г)) >

---------------—-----------------, при ^ > г,

□

ГО

Лемма 4. Для любого абсолютно сходящегося ряда ^ | пи | при а > 1

и=—ГО

справедливо неравенство

ГО / ГО \

£ I Uv Iа < £ I Uv I

=—ГО \v=—ГО /

1 И" ^ ■ (13)

Доказательство. Рассмотрим при а > 1 на отрезке [0,1] функцию f (х) =

ха + (1 — х)“. Так как f'(х) = а (ха—1 — (1 — х)а—^ и f,(х) < 0 при 0 < х < 2

^ (1) = 0 ^(х) > 0 при 1 < х < - то f (х) < 1 при 0 < х < 1.

Пусть а ^ 0 Ь ^ 0 и а + Ь > 0, тогда

2

аа + Ьа = (а + Ь)а А< (а + Ь)а■

а+Ь

Отсюда по индукции следует для любых а1г .. ,ап справедливость неравенства

nn

Ia< [Ylкi

j=1 \j=1 J

Действительно,

n (n — 1 \ а / n \

Iа < £ к i + ыа < £ a I

j=l \j=l J \j=l J

Следовательно, для любых целых Р < Q выполняется соотношение

Я ( я \а

^ 1 иV ^ 1 иV 1 ■

и = Р \" = Р /

Переходя к пределу при Р ^ —ж и Q ^ ж получим утверждение леммы. □

а

а

3 Решётки и гиперболическая дзета-функция решёток

Следующие два примера решёток - решётка Л(а1,...,а8; N) решений линейного сравнения и алгебраическая решётка Л(^) играют важную роль в теоретико-числовом методе в приближенном анализе.

Множество Л = Л(а1,... ,as; N) решений линейного однородного сравнения

a1 • x1 + ... + as ■ xs = 0 (mod N),

является решёткой Л с det Л = N, а также, если F — чисто вещественное алгебраическое расширение степени s поля рациональных чисел Q и ZF — кольцо

целых алгебраических чисел поля то ^-мерной решёткой является множество

Л(^), следующим способом образованное с помощью ZF:

Л(Г) = еы) і е(1) є zF},

(14)

ГД6 — система алгебраически сопряженных чисел и если й - дис-

криминант поля Г, то detЛ(F) = \[й.

Пусть матрица Т = \ \tvk не вырождена, тогда линейное преобразование

Т с матрицей Т переводит фундаментальную решётку Zs в решётку Л = Т ■ Zs с базисом = (tj1,..., tjs) (1 ^ і ^ в). Ясно, что

Л = {х = (t11m1 + ... + ts1ms,..., t1sт1 + ... + tssms)\m1,... ,ш3 Є Z} .

Будем эту решетку обозначать через Л(Т).

Таким образом, если Zs = {(m1,...,т^ \ т1,... ,ms Є Z} и

Т

( tl і . t21 .

\ ts 1 .

tl \

Ь2 s

( і* П1

Т

1

21

і* \ і1 s

ь2 s

ТО

л(т) = т ■ zs = {х = (х1,... ,х^ = m ■ т \m = (m1,...,ms) Є Zs} ,

Л*(Т) = (Т-1)т ■ Zs = {х = (xl,...,xs) = m ■ (Т-1)т \ m = (ml,...,ms) Є zs}.

Гиперболическим параметром решётки называется величина

д(Л) = тіп я(х),

хЄЛ\{0}

которая имеет простой геометрический смысл : гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решётки Л при Т < д(Л) . Гиперболическим крестом называется область

К(Т) = {х \ д(х) ^ Т},

где д( х) = х1 ■ ... ■ Xs — усеченная норма х, и для вещественного х обозначаем х = тах(1, \х\).

Так как тах(1, N (х)) ^ д(х), то тах(1, N (Л)) ^ д(Л) для любой решётки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что

д(Л) ^ тах^е^, 1).

Гиперболической дзета-функцией решётки Л для а > 1 определяется абсолютно сходящимся рядом

(и(ли = £ (х1 ■... ■ х.) “

(15)

сЄЛ

і

і

S S

По теореме Абеля гиперболическую дзета-функцию решёток (н (Л|а) можно представить в следующем интегральном виде

СЮ

сн (Л|а) = а] У-н .

1

где В(Т|Л) — количество ненулевых точек решётки Л в гиперболическом кресте К (Т).

Л

усеченной нормы на ненулевых точках решётки:

Qsp(Л) = {Л | Л = д(х), X е Л\{0}}.

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, т. е.

Qsp(Л) = {Л1 < Л2 < ... < Лк < ...} и Иш Лк = то.

Очевидно, что

о(Л) = шт Л = Л1.

вр(Л)

Порядком точки усеченного спектра называется количество точек решётки с

Л

спектра обозначается через д(Л).

Таким образом, гиперболическую дзету-функцию решётки можно записать как ряд Дирихле:

Сн (Л|а) = £'(Х1,... X.- = £ Л)= 53 .

хел ле0,р(л) 3=1 3

Лемма 5. Пусть матрица Т = Цгик||зХз иТ-1 = 1\Ь*ик||зХз — её обратная матрица. Тогда при Л < Л(Т), где

в-мерный параллелепипед

П(Т, Л) = {х | ^„1X1 + ... + Хз| ^ Л (V = 1, 2,..., в)}

не содержит целых точек к = (к1,...,кз) = 0 а в-мерный куб [—Л, Л]в не содержит ненулевых точек решетки Л(Т).

Доказательство. См. [3] стр. 22.□

Лемма 6. Пусть матрица Т = \\ЬикиТ 1 = \\Ь*ик— её обратная матрица. Тогда при А < А(Т), где

г

А(Т >= (йк Ё ')

для любого а € К5 в-мерный параллелепипед

П(Т, а, А) = {х \ аи ^ ^1X1 + ... + изх3 ^ аи + А (и = 1, 2,..., в)} содержит не более одной целой точки к = (к1,... ,к5),

5

а в-мерный куб П [а„ ,а„ + А] содержит не более одной точки решетки Л(Т). ^=1

Доказательство. См. [3] стр. 22, 23. □

Пусть К+ = {х\х ^ 0} и е € { — 1,1}5, тогда различных е € { — 1,1}5 ровно 25. Положим для а €

П(Т, а,е) = {х \ аи ^ еу (^1X1 + ... + изх3) ^ аи + 1 (V =1, 2,..., в)},

если Ь„ = £„а„ + (V = 1,..., в), то П(Т, а, е) = П(Т, Ь, 1). Обозначим через

Q(T, а, е) количество целых точек в П(Т, а,е).

Лемма 7. Справедливы неравенства

Q(T,a,e) ^ ^1 + а(т)^ ,

У ((*цШ1 +... + ^Шз)... (г31Ш1 +... + г33ш3)) а ^

т€П(Т,а,е)

^ Г1 ^ (ОТ...а)-. (16)

□

Лемма 8. Пусть матрица Т = \\Ьик\\5Х5 не вырож;дена и а — действительное число большее единицы. Тогда ряд

ГО

((*11Ш1 + ... + *1зШз) . . . (*з1Ш1 + ... + гззШз)) а

Ш1,...,Шв = — ГО

сходится.

□

Из последней леммы вытекает, что определение гиперболической дзета-функции решетки корректно, так как в абсолютно сходящемся ряде члены можно переставлять в любом порядке, а потому можно писать просто сумму по точкам решётки.

4 Алгебраические решётки

Рассмотрим гиперболическую дзета-функцию решетки

(и (*Л(Т)|а)

£ (П

гп€Хв \ь>=1

д(іі„ ті + ... + т8)

)

е' Гіг * ■

'ел(т) \^=1 /

(17)

жеЛ(Т)

для алгебраических решеток дЛ(Т), д ^ 1. Пусть все коэффициенты многочлена

8 — 1

Р5(х) = а^ х^ + ж5

(18)

и=0

целые рациональные, и он неприводим над полем рациональных чисел. Пусть, кроме того, все корни (и = 1,..., в) многочлена (18) действительные.

Обозначим через Т = Т( а), где а = (а0,а1,..., а3-1) — вектор целочисленных коэффициентов многочлена Ря(х), матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел ©1г . . ,©5 — корней многочлена Ря(х):

Т

1 ©1

V©;

.1

. ©5

. ©5-1

Положим

Л1( а) = \\Т( а)|1 = тах 1 |©1| + ... + © ,

0<к<5—1

Л2( а) = \\Т( а)||2 = гпазс (1 + ©1 + ... + |0^—1|) = ||тТ( а)||ъ

и=1,...,в

где Тт — транспонированная матрица к матрице Т. Так как хотя бы один корень |©^| > 1, то, очевидно, Л2(а) > в.

Пусть матрица Т = ЦЬики Т— 1 = — её обратная матрица.

Положим

Х(Т )= (ї5Яй £ ^

1

Т

-1М-1

Теорема 1. Если ©и, (и = 1,..., в), действительные корни неприводимого многочлена

5-1

Р5(х) = аи хи + хя

и=0

— а

1

с целыми коэффициентам,и, матрица Т = Т( а) и а — действительное число больше единицы, то для гиперболической дзета-функции решетки (н (дЛ(Т)|а) справедлива, оценка:

Доказательство. См. [3] стр. 29 — 31. □

5 Обобщенная гиперболическая дзета-функция алгебраической решётки

Для вектора г = Цу € ЦЛ(Т), где у = т ■ Т = 0,0 4 т^ 4 д — 1 (1 4 ] 4 в), оценим обобщенную гиперболическую дзета-функцию решётки

для алгебраических решеток дЦЛ(Т), Ц ^ д > 1.

Все обозначения предыдущего раздела оставляем без изменения. Сформулируем теперь некоторые свойства сдвинутых алгебраических реше-

ЛЕММА 9. Пусть N — число целых точек, принадлежащих области

Кдх1 + т^) + ©^ (дх2 + т) + ... + ©V 1(ях$ + т*)| 4 , (и = 1,..., в). (21)

Тогда

(н (дЛ(Т)|а) 4

4 и* ■ (в +1) (

—+ в к^МТ)) + ^ 'с(а)+

+ (а — 1)Л(Т)«—1

ва2*+«—1

(н (дЦЛ(Т) + ^а) = -гзи(т* + дп*))

(20)

ток дЛ(Т) + т ■ Т С Л(Т- тогда 0 4 т^ 4 д — 1(1 4 ] 4 в). Очевидно, что

Л(Т) = У (дЛ(Т) + т ■ Т).

04т 4д—1, (14.74*)

Доказательство. Пусть N > 2* ^1 + д 1(Я1... Я*) ^ ^ . Найдем целое число Л, удовлетворяющее неравенствам

д—1(^1... Я*)« < Л 4 1 + д—1(Я1... Я*)«,

и покроем область (21) параллелепипедами

4 (дх 1 + т1) + ©V (дх2 + т2) + ... + ©**—1(дх* + т*) 4 к^ ,

ки = —Л, —Л +1,..., 0,1,... ,Л — 1, (и = 1,..., в).

Таких параллелепипедов будет 2*Л* < N и, следовательно, хотя бы один из них содержит две различные целые точки. Таким образом найдется целая точка х = 0

д|х1 + ©Vх2 + ... + ©*, 1х*| 4 ^, (и = 1,..., в)

*

Замечая, что произведение (х1 + ©Vх2 + ... + ©* 1х*) — целое отличное

V=1

от нуля число, получим:

Я1 ...Я* ^ Л*д*,

что противоречит неравенству Я1.. .Я* < Л*д*.

Следовательно,

N 4 2* (1 + д—1(Я1 ...Я*) «У ,

□

Лемма 10. Для, числа целых точек N(к,к1), принадлежащих области *

п ((дх1 + т1) + ©V(дх2 + Ш2) + ... + ©V— 1(дх* + т*))

V=1

gxv + mv| 4 к1, (и = 1,...,в)

справедлива оценка

N (к, к1) 4 2* ^1 + д—12 к (в + 1) (в ^2(^Л) + 2)*—

4к

где постоянная, Л = Л2( а) = тах (1 + |©V | + ... + |©* 11) зависит лишь от

V=1,...,*

корней ©1,, (и = 1,..., в) многочлена (18).

х

выполняются неравенства

м 1 * 1 4 |(дх1 + т1) + ©v(gx2 + т2) + ... + ©*— 1(дх* + т*)| 4 Лк1,

(Лк1)* 1

(V =1,...,в), (23)

Ясно, что А > 1 и к^2 А > 0.

Действительно, если х — целая точка, то алгебраически сопряженные числа

0^(х) = (дх1 + т1) + 0и(дх2 + т2) +... + 03- 1(дх3 + т3) — целые алгебраические числа (и = 1,..., в), поэтому

£

Д |(дх1 + Ш1) + 0^(дх2 + Ш2) + ... + 0'1-1(дх3 + т3)\ ^ 1,

^=1

(Ак1)£-1\(дх1 + Ш1) + 0м(дх2 + Ш2) + ... + 0^-1(дх5 + т8)| ^ 1,

|(дх 1 + Ш1) + 0м(дх2 + Ш2) + ... + 03~\дх3 + шя)| ^ 1 1 (^ = 1,..., в).

Следовательно, достаточно оценить число целых точек для области, удовлетворяющей ограничениям (22, 23). Такую область можно покрыть параллеле-

ПИП6ДЭЛУ1И

|(дх1 + Ш1) + 0^ (дх2 + Ш2) + ... + 0£-1(дх3 + m3)| 4 к 7 2^, (и = 1,..., в),

(24)

где целые числа у1, ... ,у3 удовлетворяют ограничениям

0 4 У1 + ... + Уз 4 в,

-(в - 1) ^2(кА - 1°Е32к 4 Уи 4 1о§2 к1 - ^ + 1о§2 а + 1, (25)

V = 1, 2 ..., в.

х

23), найдутся такие действительные числа пи, (V = 1,... , в), для которых выполняются соотношения

|(дх1 + Ш1) + 0^ (дх2 + Ш2) + ... + 0£-1(дхз + Шз )| 4 к 7 2и, V = 1,... ,в,

щ + ... + Пз = 0,

-(в - 1) log2(klА) 4 ии + 1°^3гк 4 ^2 к1 + log2 А, V =1,...,в.

Следовательно, точка х принадлежит области (24, 25) для целых чисел Уи = Щ] + 1, (V = 1,... ,в).

Каждое целое ^принимает не более в ^2(^А) + 2 различных значений. При фиксированных у1г .. у3-1 перемениая у3 принимает не более в + 1 различного целого значения, поэтом различных областей вида (24, 25) не более чем

(в + 1) (в 1о^(к1А) + 2)3 1 и каждая из них (лемма 9) содержит не более чем

23 ^ 1 + д-1 (V1 к7 ... 2Ь‘ к^ ^ 4 23 ^1 + д-12к^3

целых точек. Таким образом, число целых точек N(к,к1), принадлежащих области (22), удовлетворяет оценке

N(к,к1) 4 23 ^1 + д-12 к^ (в + 1) (в к^2(^А) + 2)3-1

и лемма полностью доказана. □

Пусть Е+ = {х^ ^ 0} и £ € {-1,1}3, тогда различных £ € {-1,1}3 ровно 23. Положим для а €

И*(Т,а,е) = {х | а„ 4 (^(дх1+Ш1) +...+^3^3 + т8)) 4 а„ +1(V = 1,... ,в)},

если Ьи = аи + (V = 1,..., в), то П*(Т, а, е) = П*(Т, Ь, 1). Обозначим через

Я*(Т, а, е) количество целых точек в П*(Т, а, е), а через 3(Т, а,е) — сумму

3(Т, а, е) =

У, ((*11^1 + Ш1) + ... + ^(дП + Ш8)) . . . (*31Ш1 + ... + ^Ш^))

га€П* (Т,а,£)

Лемма 11. Справедливы неравенства

(}'(Т,3,е) 4 (1 + дА(Т))

3(Т,а,е) 4 ( 1 + *) (а1 -^3) а. (26)

Доказательство. Выберем натуральное А го условий < А 4 1 + дА(-Т) ■

Заметим, что

п*(Т, Ь, 1)= и п* (т, ь + к, Ь + )

к1,...,кд=0 \ /

(т.,+а. ь +¥) =

где

и* | т, Ь + к, Ь + к+1 АА

Г х К + А 4 и 1(дх1 + Ш1) + ... + и.3(дх.3 + Ш3) 4 К + кА1 \

Iх (v =1,...,в) /

и каждая из областей в правой части равенства содержит не более одной целой точки согласно лемме 6 (см. стр. 67), то Я(Т, а,е) 4 А3 и первое утверждение леммы доказано.

Далее заметим, что для любой целой точки п € П(Т, а, е) выполняется соотношение

(*п(дп1 + Ш1) + ... + ^(дп + Ш3)... *31(дп1 + Ш1) + ... + ^(дп + Ш3)) 4

4 (от ...а;)-а ,

из которого, с учетом первого утверждения леммы, следует второе.

Покажем теперь, что при оценке гиперболической дзета-функции решетки в сумме (20) можно ограничиться лишь целыми числами пи, принадлежащими

а-в

в-мерному кубу ^х„ + ти| 4 К(а-1) (V = 1,..., в).

Лемма 12. Пусть матрица Т = Ц1ик||3Х3 иТ 1 = Ц1*к||3Х3 её обратная матрица. Тогда при А < А(Т)К, где

-1

-111-1

| = ЦТ-

\ 14*43 -' "

\ 1=1

в

И*(Т, А) = {х | ^1^1 + Ш1) + ... + Ьи3(дх3 + Ш3)| 4 А (V =1, 2,..., в)}

не содержит целых точек к = (к1,... ,к3) с \\дк + Ш\\1 ^ К, а в-мерный куб [-А, А]3 не содержит точек у сдвинутой решетки дЛ(Т)+Ш-Т с \у\1 ^ А(Т)К.

Доказательство. Нетрудно видеть, что линейное преобразование с матрицей Т переводит в-мерный параллелепипед П*(Т, А) в в-мерный куб [—А, А]3, а обратное преобразование с матрицей Т-1 = Ц11к ||3Х3 переводит в-мерный куб [-А, А]3 в в-мерный параллеле пипед П*(Т, А).

Отсюда следует, что если целая точка к = (к1,... ,к3) € П*(Т, А), то найдется точка у € [-А, А]3 и дк + Ш = Т-1у. Переходя к координатам, для каждого V с

1 4 V 4 в получим:

+ т„ |

ЕХ' Уз

3=1

3 3 -1 3

4 АЕ Кз| < ^*3|) •К • Е К| 4 К.

3=1 V 4 4 3=1 / 3=1

Поэтому \\д к + Ш\1 < К и, значит, в-мерный параллеле пипед И *(Т,А) не содер-

жит целых точек к с \\дк + Ш\1 ^ К.

□

Лемма 13. Пусть сумма Б(Т,Я,К) задана равенством,

Б (Т,Я,К ) = = п Я(Ь„ (дп1 + Ш1) +... + ^ (дп3 + Ш3)н . (27)

||дга+т||1>К \^=1 /

Тогда при Я ^ 1 и К ^ 2 \\Т-1 \1 справедливо неравенство

Б™’К> 4 (а -ат-1 + АТ)У (1 + ™ Г

а I Г^аТ^ а—1 '

Доказательство. Прежде всего заметим, что при К ^ 2 \\Т-1\1 имеем:

А(Т)К - 1 ^ 2 ||Т-1Ц1 А(Т) - 1 = 2 - 1 = 1, А(Т)К - 1 ^ А(^)К.

Так как

к3 = и (0 и * (Т> Ц)

е€{-1,1}в \к1,...,к.в=0 /

и при \\к\\1 < А(Т)К - 1 справедливо вложение И * (т,к,^ С И *(Т,А) с А < А(Т)К

Б (Т,Я,К ) = = п Я(Ь„ (дп1 + Ш1) + ... + ^ (дп3 + Ш3)м 4

||дга+т|| 1>К \^=1 /

4 = = 3(Т,а,е) 4

ее{-1,1}в \\к\\1^\(т)к-1 ^1 ,...,кв ^0

4 2(1 + £ ВДк1 ...С1к3Га 4

\\к\\^\(Т )К-1 к1,...,кв ^0

/1 \ 3 __________________________________ ______

4 2 ( 1 + дА(Т) ) ^ в ^ ^ ^ (Як1... Як3)

' У ( >' к1^\(Т)К-1 к2,...,кв=0

(■ + дА1Т|)3 (' + =0?)" ^,.5 к-1 к-(■+дА^тт )3 (■+1?)

4

,-и+А^+^у-‘0

• ((А(Т)К - 1)а + (а - )(А(Т)К - 1)а-1) 4 ва23+а-1 ( 1 )3 ( £(а))3-1 1

- (1 + -Ч (1 + ^ V

-1 ^ + дА(Т)) \ + Г )

(а - 1)А(Т)а-1 \ дА(Т)/ \ ЯаК°

□

Теорема 2. Если 0^, (V = 1,..., в), действительные корни неприводимого многочлена

3- 1

Р3(х) = а^ х" + х3

и=0

с целыми коэффициентам,и, матрица Т = Т( а) и а — действительное число больше единицы, то для обобщенной гиперболической дзета-функции сдвинутой решетки (н (дЯЛ(Т) + ЯШ • Т|а) справедлива, оценка:

(н (дЯЛ(Т) + ЯШ • Т|а) 4

(

1+

4 (63. (в + !^- 0 + в ^2(А*(Т)) + 2

С(а)'

1

:)

+

а - 1

ва23+«-1

31

(а - 1)д3а/ (а - 1)А(Т)а-1 \ дА(Т)

(1+Ал) (1+1?) )

Я3

(28)

где А2(Т) = тах (1 + 0| + ... + 0 1|) > в.

^=1,...,3

Доказательство. Введем обозначения:

еи = (1,0^,..., 0;;,-1) (V =1,...,в),

ш(п, к) = <

/ 1, если 3 П (д п + Ш, е„) ^=1 = к,

0, к. если 3 П (д п + Ш, е„) ^=1 к,

Б * (Т,Я,К ) =

5' (п

+тЦ14К \^=1

Я(Ьи (дп1 + Ш1) +... + ^ (дп3 + Ш3))

Цдп+т II1

5' (п

ШЦ14К \^=1

Я(д п + Ш,ви)

)

)

Тогда

(н (дЯЛ(Т) + ЯШ • Т|а) = Б*(Т, Я, К) + Б(Т, Я, К).

Оценим сумму Б*(Т, д,Я)у положив К1 = [(КА2(Т))3] при К > д и применив преобразование Абеля.

Б' (Т,Я,К )= £'

Цдп+т Ц14К

и=1

4Я-а3

Цди+т Ц14К К1

=Я-а^ к-а

ДЯ(д п + т,еи)

3

Д(д п + Ш,е1)

4

и=1

Е

к=1

Цди+тЦ14К, I п (дп+те) 1^=1

=к

1

—а

—а

К1

Б* (Т,Я,К) 4 Я-а3^ к-а ^ и(п,к) =

к=1 Цдп+гпЦ14К

(К1 -1 к

£ (к-а - (к + 1)-а) £ £ Цп,«)+

к=1 t=1 Цдп+тЦ14К

К1

+ К-а^ ^2 и(п,£)

t=1 Цдп+тЦ14К

По лемме 10 (см. стр. 70) для двойной суммы по £ и по п справедливо неравенство

к

^ ^ ш(Ш,г) = N(к,К) 4

t=1 Цдп+тЦ^К

4 23 ^1 + д-12 к(в + 1)(вlog2(KА2(T)) + 2)3-1 4

4 . 63 (в + 1) (в ^2(КА2(Т)) + 2)3 1 , при к 4 д3,

4 63 д-3к • (в + 1) (в log2(KА2(T)) + 2)3-1, при к > д3,

{

поэтому

Б*(Т, Я, К) 4 Я-а363 • (в + 1) (в log2(KА2(T)) + 2)3-1 •

( д3 К1-1 \

5] (к-а - (к + 1)-а) + д-3 X] (к-а - (к + 1)-^ к + К-ад-3К1

\к=1 к=д3+1 /

1 (1 + д-3 5 к-а) ( + (а - 1)д3а)

= Я-а363 • (в + 1)(вlog2(KА2(T)) + 2) [ 1 + д-3 ^ к-а 1 4

к=д3 + 1

4 Я_“363 • (в + 1) (вlog2(KА2(T)) + 2)3-1 ( 1 + 1

а(й —1)

Отсюда и из леммы 13, выбирая К = Я а—1 , находим

(н (дЯЛ(Т) + ЯШ • Т|а) = Б*(Т, Я, К) + Б(Т, Я, К) 4 4 Я-а363 • (в + 1) (вЬ^(КА2(т)) + 2)3 1 ^1 + (а - 1)д3^ +

+ вП 2....... (1 + V (1 + М V3-1 =

(а - 1)А(Т)а-1 V дА(Т)]\ да ) ЯаКа-1

_ |б*. (8 + 1) (а ^>10&2<3 + * 1о82(А2(Т)) + 2) (1 + (0-7)^) +

ва23+“-1 / 1 V / ((а)У'Л 1

+ (а - 1)А(Г)а-1 V + дХ(Т)) V + да ) )

и теорема доказана полностью. □

6 Класс функций Е0(С)

Пусть непрерывная функция / ( х) имеет период равный единице по каждой из переменных хи (V _ 1,..., з), и для V _ 1,..., * величины Ши определена равенствами

ш„ _ тах(1, \ш„|).

/( х)

классу Еа(С), если для любых целых чисел, ш1,... ,ш3 выполняется оценка

4 С ■ (ш1 ...Ш3)-а, (29)

а

Так как при а > 1 кратный числовой ряд

ГО

У (ш1 ...ш)-а _(1 + 2((а))3

Ш1,...,Шв = — ГО

абсолютно сходится, то ряд Фурье

ГО

/ ( х)_ 5] С (Ш)е2пг(гЛ’Х),

Ш1,...,Шв = — ГО

/( х)

грировать почленно.

Сформулируем теперь некоторое свойство функций из класса Е^(С).

Для непрерывной функции /( х), весовой функции р(х) и произвольных действительных а1,... , и3 обозначим через ц(/, а1}... , а3) интеграл

1 1

У р(х)/(х)е2пг(а1х1 + ... + asxs)dx.

-1 -1

Лемма 14. Если р(х) — весовая функция порядка г с константой В, функция /(х) принадлежит классу Е3а(С), (1 < а 4 г), то для любых действи-

тельных чисел, а1,... ,а3 выполняется оценка

\^(/,а1}... ,аз)\ 4 С ■ В ■ (2(1 + С(а)) + (1 + 2С (а))2°Т (а1 ...^в) а. (30)

Доказательство. Заменяя в интеграле /1(/,а1,... ,а3) функци ю / ( х) её рядом Фурье и учитывая определение 2 (см. стр. 54) весовой функции, получим

\^(/,а1,.. .^^ 4

ГО

4 £ |С(ШГИе2”(й'я,01 ,...,о,)| 4

Ш\ ,...,Шв = — ГО С©

4 X/ C (m)\B (mi + о\ ...ms + as) r 4

mi ,...,ms =—ro

4 C ■ B ^2 (mi ...ms )—a (mi + ai ...ms + as)—r

mi,...,ms=—ro

_ С ■ Вф(а{) ...ф(а3), (31)

где через ф(а) обозначена сумма:

ГО

ф(а) _ ^ Ш-1 (ш + а)- _ ф1Г(а), (7 _ а 4 г, г ^ 2).

т=—го

Объединяя теперь оценку (12) (стр. 62), справедливую для любого действитель-а

I / )| 4 С ■ В ■ (2 (1 + С(а)) + (1 + 2С(а))2“)3 ( 4 ^ 2)

\^(/,а1,...,аз)\ 4 ---------------------------------------------------------------—-—-, (7 _ а 4 г,г ^ 2).

(а1... аз)а

□

7 Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций ESa (C)

Обозначим через ns(T), Ks и q, соответсвенно, параллелепипед ns(T )= j X \tviXi + ... + tvs Xs \ 4 1, V = 1,...,sj = j x ||x ■ T Tyi 4 ,

куб

Ks = {X \\xv \ 4 1, V = 1,...,s} q

Лемма 15. Параллелепипед П3(Т) содержит куб К3 тогда и только тогда, когда \\Т1^ 4

Если параллелепипед П3(Т) содержит куб К3, то | det Т| 4 Доказательство, см. [3] стр. 34, 35.□

Теорема 3. Пусть параллелепипед П3(Т) содержит куб К3 и г Е Е3. Тогда погрешность квадратурной формул,ы

1 1

[•••[ / (х)^ = (^(ЯЛ(Т )))_1 ^ Рх/ (х) - Ям'(д(Л(Т)),^[/] (32)

0 0 *ем'(я(Л(Т)),г)

на, классе функций Е3а(С- (1 < а 4 г) с весовой функцией р(х) порядка г с константой В удовлетворяет оценке

(д(Л(Т)),г) [Е3 (С)] = 8Ир (д(Л(Т)),г)[/]| 4

! еЕа(О)

4 С • В • (2(1 + ((а)) + (1 + 2( (а)) 2а)3 (н (дЛ(Т )|а). (33)

Доказательство. Построим функцию / (х), совпадающую с функцией

р(х)/(х), /(х) Е Е3(С), (1 < а)

на кубе К3, продолженную нулем вплоть до границы параллелепипеда П3(Т) и продолженную затем на все пространство периодически по параллелепипеду Пз(Т). Таким образом,

{р(х)/( х), при х € К3;

0, при X € П3Т) \ К3;

/ (у + Тт) при х = у + Тт, у Е П3(Т), т Е Ъ3.

/(х)

равным единице по каждой переменной хи и весовой функцпп р(х) выполняются равенства

1 1 0 1 1

J... J р(x)/(x)dx = /.../р(х + (£1,... ,£з))/(X)dx =

-1 -1 £1,...,£3 = -1 д д

1 1 0 1 1

=/.../( ^ р(х+(£1 ,...,£3)))/(х)^=!..^/(х)^,

О 0 \еЬ->ез=-1 / 0 0

то интегралы от функций /(х) ж /(х) связаны соотношением

11 11 J...!/(x)dx =!.. .ур(х)/(x)dx = !.. .у/(x)dx. (34)

П (Т) -1 -1 0 0

Заметим, что М'(д(Л(Т)),-) = М'(д(Л(Т)),д 16(д- ■ Тт) ■ (Т Действи-

ТбЛЬНО,

г- = д-1 (д- ■ Тт) ■ (Т-У = д- (р (д- ■ Тт) + 6 (д~- Тт)) ■ (Т~1)т =

= д-1 (р (д-■ Тт)) ■ (Т-1)т + д-1 (6 (дг ■ Тт)) ■ (Т-1)т,

р (дг ■ Тт) 6 V, д-1 (р (дг■ Тт)) ■ (Т-1)т € (д(Л(Т))' = 1л'(Т).

Поэтому (дЛ(Т))' + г = (дЛ(Т))' + д-16(дг ■ Тт) ■ (Т-1)т, что и доказывает равенство обобщенных модифицированных параллелепипедальных сеток. Для удобства положим 6 = 6(дг ■ Тт), 61 = д-16(дг ■ Тт) ■ (Т-1)т = д-16 ■ (Т-1 )т. Теперь докажем равенство Б (I) = Б1(?), где

Б(!) = ^ Р*1(х)’

хеИ' (д(Л(Т )),61)

д-1 д-1

2

1

БМ)= £ ... £ /(д-1 (к + 6) ■ (Т-1)т) . (35)

к1 = - — кв = - —

Преобразуем сначала левую часть, получим

Б(1) = ^ Р(х) = Р(Х)1(х) = 1(Х)- (36)

хеИ' (д(Л(Т)),б1) хеЫ1(д(Л(Т)),б1) хШ1(д(Л(Т)),б1)

Так как х € М1(дЛ(Т^6^ тогда и только тогда, когда

х = д-1 (к + 6) ■ (Т-1)т, к € Z^ х € [-1;1)в С Ка С П3(Т), и р(х) = о при х € (-1; 1)3) т°

Б(I)= £ /(с- ( к + 6) ■ (Т-1)т ) =

к, \\д-1(к+ё)-(Т-1)Т ||1<1

£ I(д~1{к + б) ■ (Т-1)т) . (37)

к, ||д-1(к+й)||

1< 2

Если || к\1 4 4-1) то д 1 ^ к + 6^ 4 1 и, значит, точка х € ПДТ) и все слагаемые в Б1(1), те входящие в Б(I), будут нулевыми. Если д-1 ^ к + 6^ < |,

то \| к\1 < д, но д — нечетное число, а к — целочисленный, следовательно

II к\1 4 ^-г- Тем самым равенство Б(I) = Б1(I) доказано.

Разложим функцию /( х) в ряд Фурье по параллелепипеду П3(Т):

ГО

1(х) = ^ С(т1, ■, т)е2пг(т’*-ТТ), (38)

Ш1,...,Шв =—го

С(т) = | ае1 Т| ... 1(х)в-2жг(т’*-ТТ)йх

П*(Т)

1 1

I ае1 ТI ... р(х)I(х)е-2т(т-ТХ)ё,х,

-1 -1

так как

(т, х ■ Тт) = ти^2х^ ти = (т ■ Т,х).

и=1 j=1 j=1 и=1

Учитывая оценку (30) леммы 14 (см. стр. 78), получим:

С (т)1 4 С ■В1 ае1 ТI ■ (2 (1 + С (а)) + (1 + 2С (а)) 2а) ■

т1 + ■■■ + те) ^ . (39)

Вычислим погрешность квадратурной формулы

д-1 д-1

±...± /(1 (к+6) ■ (т—1)т) - Ям [}

ПВ(Т) к1=-- к°=--

подставляя вместо функции /( х) её ряд Фурье, 2 | ае1 Т- — 1С (0,..., 0) =

оо 3 д-1

1 ^Т|—1 ^ П(^\ 2пгМ,!) ^ ^ 2жг?^^ о I

2^ С(т)е д Д е д - Ям I

д3 1 1

ш1,...,шв=—го V=1 к =— д-1

к = 2

Отсюда, после выделения слагаемого с (т1,...,т3) = (0,..., 0) и перемены порядка суммирования, следует равенство

Я

N

ГО

1

I = | ае1 Т-1 ^2 С(дт1,...,дтз)е2жг(т’6). (40)

3е

Ш1,...,Шв= — ГО

2Ряд Фурье сходится абсолютно (оценка (39) и лемма 8, стр. 67)

Учитывая равенство (34) и оценку (39) окончательно получим

і і

\Ям'(д(л(т)),ї)[Л\ = [ -[і- ^ р^(х)

0 0

х&Ы '(д(Л(Т )),г)

.. ./ !(Х)в1(Х) -

ПВ(Т)

\ ёе1 Т \ Я3

ч-1 4-1

— 1 2 2

2 2 /л

К\(к+6)

4-1 » 4-1

+ 6) ■ (Т-1)т

к1=-— кв=-—

К

N

і

4 \ гїеіТ\ 1 ^ \С(дт1,... ,ят3)\ 4

Ш1,...,Шз = -<Ж

4 С ■ В ■ (2(1 + ((а)) + (1 + 2((а)) 2а)3 ■ (н(дЛ(Т)\а) и теорема полностью доказана. □

8 Алгебраические сетки

Пусть а = (а0,а1,..., а3-1) — целочисленный вектор, такой что многочлен

3-1

Ра(х) = ^2 avху + х3 (41)

неприводим над полем рациональных чисел и все корни 0и (и = 1,..., в) многочлена (41) действительные.

Обозначим через Т(а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 0^ . ,03 — корней многочлена Ра(х):

т (а)

1 01

V 01-1

1

03

03-1 /

(42)

а через 0 = (01,..., 03) — вектор полного набора алгебраически сопряженных чисел — корней многочлена Ра(х).

Напомним, что

М а) = \\Т(«Ж = 0тах , \01\к + ... + \03\к

04к43—1

Ыа)= \\Т (а)У = та*(1 + \0 \ + ... + І0. \)= \\Т (0)111,

и=1,...,3

Тт Т

Тогда параллелепипед

П3(Тг) = j X \U1X1 + ... + tvsxs\ 4 1 (v = 1,..., s) J ,

задаваемый матрицей

Ti=Ti(s) = •T (a), (43)

содержит к уб Ks = {X \\xv \ 4 1, v = 1,... , s} = {X \ ||X|i 4 1}, где

||X||i = max \xv\, поскольку IT(a) • X!: 4 IT(a)|: • ||X|1, то есть

v=1,...,s

max |01 x: + ... + 0Sxsl 4 0! + ... + \0s\ , (k = 0,1,..., s — 1).

\xv | v = 1,...,s

Решётка Л(T(a)) называется алгебраической. Она имеет вид

m:,... ,ms £ Z

Л(T(a)) = |X = 0mv,..., ^ ©Vm^ m:,... ,ms £ z| .

Так как координаты любой ненулевой точки х £ Л(Т( а)) — алгебраически сопряженные целые алгебраические числа, то произведение х\... х3 — ненулевое целое рациональное число.

Как известно, для любой решетки Л взаимной решёткой называется решётка Л*, заданная равенством

Л* = {х | У у £ Л : (х,у) £ Z} .

Как видно из определения взаимной решетки, для любой решётки выполня-(Л*)* = Л

Непосредственно из определения следует равенство (дЛ)* = 1 Л*.

Кроме этого, если Т — произвольная невырожденная матрица и Т* = (Т-1 )т, то решетки Л(Т) и Л(Т*) — взаимные решетки: Л*(Т) = Л(Т*).

Для алгебраических решёток и сама решётка, и её взаимная решётка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат. Для обоснования этого достаточно показать, что координаты любой ненулевой точки взаимной решётки для алгебраической решетки образуют полный набор алгебраически сопряженных чисел из одного и того же алгебраического чисто вещественного поля степени в над полем рациональных чисел Q.

Обозначим через = ^(Ои) — алгебраическое расширение степени в поля

рациональных чисел Q (и = 1,... ,в). Так как все корни неприводимого многочлена Ра(х) — действительные числа, то мы имеем набор из в изоморфных

в

что каждая строка матрицы Т( а) состоит из полного набора алгебраически сопряженных чисел, а все элементы ^-ого столбца матрицы принадлежат одному и тому же алгебраическому полю (и = 1,...,з). Так как точки решетки Л(Т (а)) — целочисленные линейные комбинации с трок матрицы Т (а), то координаты каждой точки х Е Л(Т(а)) — полный набор алгебраически сопряженных чисел, а ^-ая координата для любой точки этой решетки принадлежат одному и тому же алгебраическому полю ¥<0'^ (и = 1,..., в).

Покажем, что этим свойством обладает и взаимная решётка. Как обычно,3 аз (0) = (—1)аэ-] — элементарные симметрические многочлены степени ] от корней многочлена Ра(х) (0 4 ] 4 в).

Лемма 16. Пусть Б^(0) = ^ 01, ] ^ 0 и симметрическая матрица Я(а)

задана равенством

и=1

Я( а) =

( Бо(0) Б\(0)

Бэ-г(0) \

Б3(0)

\Б3-1(0) ... Б2з-2(0)

тогда Я(а) — невырожденная, симметрическая, рациональная матрица и справедливо равенство Я(а) = Т( а) ■ Т( а)т.

Доказательство. См. [3] стр. 50.□

Обозначим через и^(0) элементы матрицы Я(а)-1. Ясно, что из симметричности функций Б) (0) вытекает симметричность функций ии^ (0).

Лемма 17. Справедливо равенство

Т *( а)

( Е и1 к(0)0\-1 к=1

Е и-гк(0)01-1

к=1

Е и1 к(0)0 к=1

к-1 \

в

Е и2к(0)0к-1) к=1

\

Е ивк(0)0к к=1

к-1

ив (0)0

=1

-1

в

□

Лемма 18. Произвольная точка х решетки Л(Т*( а)) имеет вид:

х =

(Ё (Е и,к(0)т,А вЧ-1,..., £ (£ и„к(ё)тЛ 0к'-1)

\к=1 \и=1 ; к=1 \^=1 / /

где т1,... ,тв — произвольные целые числа.

3 здесь пользуемся естественным соглашение, что а3 = 1.

□

Лемма 19. Пусть 1(0) — наименьший общий знаменатель для рациональных чисел, Бо(0),.. ■ ,Бв-1 (0), тогда точка, х решетки Л(Т*( а)) будет целочисленной, тогда и только тогда, когда, х имеет вид: х = 1(0) ■ (т,... ,т) т

Других точек х решётки Л(Т*( а)), у которых хотя бы одна координата, рациональная, не существует.

□

Определение 8. Пусть задана, последовательность натуральных чисел, Я1,Я2,... Яп, по которой определена, монотонно возрастающая, последовательность Я1 = я1} Я2 = д1д2, ..., Яп = я1я2 ...Яп. Будем говорить, что задан концентрический алгоритм, приближенного интегрирования порядка г ^ 2

< М(3), р(х), А > (3 = 1, 2,...) периодических функций из класса, Ег3 = и Ева

1<а4г

с алгебраическим,и сеткам,и М(3), если М(3) = М'(Я^(Л(Т))) (1 4 3 4 п) и р(х)

гА

стр. 56).

Теорема 4. Пусть 0„, (и = 1,... ,в), действительные корни неприводимого многочлена

в-1

Р’а(х) = ^2 аихи + хв

и=0

с целыми коэффициентам,и.

Пусть, матрица Т = Т( а) задана, соотношением (42), матрица Т1 — равенством, (43), и 1 < а 4 г.

А

ного интегрирования порядка г ^ 2 по квадратурным, формулам,

1 1

[■ ■■\ /(х)Лх = (^ (ЯзЛ(Т(а))))-1 £ рх!(х) - Им,($.Л(Т(а)))[/ ] (44)

0 0 геМ'(Я.А(Т(3)))

на, классе функций Ева (С), (1 < а 4 г) с весовой функцией р(Ох) порядка г с константой В справедлива, оценка

АМ'(Я.(Л(Т))) [Еа(С)]= вир \АМ'(Я.(Л(Т)))[/]| 4

! еЕ°(С)

4С*■ В2\ае1 Т\ ■ (2(1 + С(а)) + (1 + 2С(а))2а)2в

(••■<■+•>( "■*' -:-тя-+•ы’т и'"

1\ 2

( 1 \ ва2’+а-1 ( 1 V/ С (а)\ ‘-Л =

Л + (а - 1)ч?) + (а - 1)А(Т)а-1 \ + А(Т)) (, + ) ) =

= - <«>

Доказательство. Согласно определению (3) (см. стр. 56) для величины АМ'(д.(Л(Т)))[/] справедливо равенство

^N'^3 (Л(Т)))[! ]—-7 £ ] - (Л(Т)[! ]|2

(46)

где К(1з(Л(Т))*, (Qj-1(Л(T))*) — полный набор представителей по одному из каждого класса решетки (Qj(Л(Т))* то подрешетки (Qj-1(Л(T))* и поэтому

I = дв.

Повторяя рассуждения доказательства теоремы 3, из равенства (40) (см. стр. 81) получим

А

Е

г&К((Яі (Л(Т ))* ,(Яі-і(Л(Т ))*)

N >{Яі (Л(Т)))

[I ]

1

У с(Яз-гШг,. . . ,Яі-іШ3)є

2пі(ш,6)

ОС

УУ с (я і т3)

Согласно соглашению на стр. 80 вектор 8 — 8(Яі-1г■ ТТ) Так как £ Є К((Я3(Л(Т))*, (Я3-і(Л(Т))*) и

(Яі-і(Л(Т)У -(Я і (А(Т)У — І

{£і*Є *'}

пЄ Z■

Яі-і х( п)

Яі

(47)

х( п)

(Е (Е и** (Єк) вг1’---’Е (Е и** (Єк) ек-1) ■

Vк=і \и=\ ; к=і \^=і / /

2

то

к ((Яі (Л(т ))*, (Яі-і(л(т ))•) — {

х( п)

Яі

.

Из определения вектора х(п) имеем равенства х(п) — п ■ Т*, Т* — (Т 1 )Т поэтому х(п) ■ ТТ — п. Отсюда следует, что 8 — 8(Яі—1£ ■ ТТ) — п и

Яі

А—А

N (Я і (Л(Т)))

[I ]

1

Я і -1

Е

Пі,...,Пв=0

Е С(Яі-т)

2пі

(т ,п)

Є чі —

Е' с(ЯіА)

(48)

Раскрывая квадрат модуля, получим

А

Я і — 1

Е

иі,...,Пв=0

1

Е С(Яі-іА)

ті,...,тз =—(ж

Яі— 1 , /

Е Е (

П _ -0 -» Ґ-Г77С '

2пі

(т ,п)

Є чі —

Е' сят)

ті ,...,тз =—(ж

2пі

(т,п)

С (Яі—1т)є Чі — С (Яі т)

(

пі,...,па=о т,,к&жв (к,п) ---------------—\ і

)

С (Яі—1 к)є 2т і — С (Яі к)

УУ (с (Яі—і т)С (Яі—і т + я і к)

т,к&в

С (Яі т)С (Яі к))

1

Я і — 1

Т\ ^ ^2 С(Яі—іт + Яіп)С(Яі—іт + яік) — \ \ ті,...,т*=0п,к&в

1

Я і — 1

Е'

ті ,...,тв=0

пєі3

Подставляя оценку (39) коэффициентов Фурье (см. стр. 81), получим А 4 С2^ В2\аеі Т \ ■ (2 (1 + С (а)) + (1 + 2( (а)) 2а)28 ■

Яі — 1( ( 8

Е Е П

ті,...,та=0 \пё£в \^=1

Ііи (ЯІ—1т,1 + ЯІ п1) ■ ■ ■ + (Я і — і'т8 + Яі п8)

и\^І

1

С2 ■ В 2\аеі Т \ ■(2(1 + С (а)) + (1 + 2С (а)) 2а)

Я і — 1

■ £ Сн (ЯІ—1т^Т + ЯіЛ(Т)\а) .

ті,...,т8=0

Тї

2в

2

2

1

2

Воспользуемся оценкой теоремы 2 (см. стр. 74) для обобщенной гиперболической дзета-функции сдвинутой решетки при д = ^ и 1 = Qj-1, получим

А 4 С2^ В2\ае1 Т \ ■ (2 (1 + С (а)) + (1 + 2С (а)) 2а)2

п ■ (• + Г>( ва(в -1^2 О- + • Н2(А2(Т)) + 2)

2

5— 1

( 1 \ ва25+а-1 / 1 V/ _ С(а)\

Л + (а - 1)дг) + (а - 1)А(Т)а-‘{ + <ьА(Т)) ) )

(д51п2(-) Qj-l )

= Ч ) (50)

и теорема полностью доказана. □

В заключение выражаю благодарность научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3-18.

[2] Гельфанд И. М., Фейнберг С. М.,Фролов А. С., Ченцов Н. Н. Применение метода случайных испытаний (метода Монте-Карло) для решения кинетического уравнения, Тр. II Международной конференции по мирному использованию атомной энергии (Женева, 1958, Доклад 2141), Атомиз-дат, 1959, Т. 2, С. 628-633

[3] Герцог, А. С. О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул / А. С. Герцог, Е. Д. Ребров, Е. В. Триколич // Чебышевский сб. — Т. X. Вып. 2(30). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2009.

- С. 10-54.

[4] Герцог, А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле 0^л/2 + \/3) / А. С. Герцог // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во Тул ГУ, 2011. — С. 22-30.

[5] Герцог, А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле / А. С. Герцог // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №23(188). — Вып. 5. — Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. — С. 41-53.

[6] Герцог, А. С. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные формулы / А. С. Герцог // Материалы международной научно-практической конференции " Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии" посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2011. — С. 242-247.

[7] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебы-шевский сборник 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.

[8] Добровольский, Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипе-дальных сеток / Н. М. Добровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — №6089-84.

[9] Добровольский, Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток / Н. М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6090-84.

[10] Добровольский, Н. М. О квадратурных формулах на классах Еа(с) и Н^(с) / Н. М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6091-84.

[11] Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дне. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Добровольский. — Тула, 1984.

[12] Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Ав-тореф. дне. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Добровольский. — Москва, 1985.

[13] Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения / Н. М. Добровольский // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесо-юз. конф. — Тбилиси, 1985. — С. 67-70.

[14] Добровольский, Н. М. Многомерные теоретико - числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.

[15] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. №6. С. 1062-1065.

[16] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, №6. С. 1207-1210.

[17] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. №4. С. 19-25.

[18] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

[19] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

[20] Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.

[21] Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. №4. С. 818-821.

[22] Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций// Ж. вычисл. матем. и матем. физики №2, №3 1963 С. 370-376.

Московский педагогический государственный университет Поступило 17.08.2012