CC BY
35
Теоретические основы геометрического расчета планетарных передач с некруглыми центральными колёсами и плавающими сателлитами
1 2 И.Л. Бродский , И.Н. Милимуха
1 Мурманский областной институт повышения квалификации работников образования, кафедра естественно-математического и профессионального образования
Судомеханический факультет МГТУ, кафедра судовых энергетических установок
Аннотация. В работе представлен расчёт центроид планетарных передач с некруглыми солнечными колёсами и плавающими сателлитами, а именно, случай, когда внешний контур образован сопряжением окружностей. Это позволяет создать алгоритм расчёта передачи с целью дальнейшего изучения её свойств.
Abstract. In this paper the calculation of the centroids of planetary transmissions with not round solar wheels and natatorial satellites, namely in the case when the external cotour is formed with congruented circumferences, has been presented. It allows to construct the transmission calculation algorithm for the following investigation of the transmission properties.
1. Введение
Впервые планетарные передачи с некруглыми центральными зубчатыми колёсами и плавающими сателлитами были использованы в технике для синтеза гидравлического мотора типа SOK, названного изобретателями объёмным, или планетарно-кулачковым двигателем (Сенявски, 1971; Сенявски и др., 1985). Гидромоторы типа SOK получили широкое распространение в качестве гидроприводов тяговых лебёдок на судах проекта В-92 "Нефтегаз" польской постройки, закупленных в 80-е годы Советским Союзом и эксплуатируемых службами морской нефтегазовой разведки.
Опубликованные материалы, посвященные планетарным передачам рассматриваемого типа, не содержат каких-либо пояснений, касающихся геометрического, силового и прочностного расчетов указанных механизмов. Между тем, теория и расчет рассматриваемых передач представляют не только теоретический, но также и существенный практический интерес, в частности - для ремонта и замены деталей гидромоторов SOK на отечественных предприятиях, а также разработки новых усовершенствованных механизмов этого типа.
Внешний вид передачи показан на фотографии (рис. 1), кинематическая схема - на рис. 2. Двигатель работает под действием давления рабочей жидкости, нагнетаемой в камеры через каналы в боковой крышке. Давление жидкости вызывает поворот треугольного ротора 1 относительно квадратного корпуса 3 с одновременным перекатыванием между ними сателлитов 2, играющих роль золотников и совершающих планетарное движение.
Золотники периодически открывают и закрывают нагнетательные и сливные каналы, создавая условия для поддержания рабочего крутящего момента на валу ротора 1 и необходимых оборотов последнего.
Остановимся на геометрическом исследовании передачи. Теоретической основой анализа и синтеза таких передач является теория взаимодействия трёх центроид: подвижной (внутренний некруглый контур), неподвижной (внешний некруглый контур) и сателлита, имеющего круглый контур.
Рис. 1. Внешний вид передачи
Рис. 2. Кинематическая схема планетарной передачи
2. Постановка задачи
Решим следующую задачу. Пусть дана неподвижная центроида Ц3, ролик-сателлит и центр О1 подвижной центроиды Ць Найти центроиду Ц1 (рис. 2).
3. Решение
Уточним исходные данные. Будем считать, что кривая Ц3 задана в полярных координатах (рис. 3).
рз = рз(вз).
(1)
Здесь в качестве полюса принят центр вращения звена 1 (О1). Контур звена 2 - сателлита - задан его радиусом г. Р и 81 - полюсы зацепления - мгновенные центры скоростей (МЦС) в относительном движении звеньев. Принадлежность точки 81 отрезку 01Р вытекает из теоремы (Бродский, 1992): Если точки 01 и Р - центры вращения (в том числе и мгновенные) фигур 1 и 2, то МЦС в относительном движении, если он существует, лежит на оси 01Р. А так как контур сателлита есть геометрическое место МЦС в относительном движении, то 81 - МЦС относительного движения звеньев 1 и 2. р3, р1 - полярные радиусы контуров центроид 3 и 1, соответственно; 03, 01 - полярные углы звеньев 3 и 1; фь ф2 - углы поворота звеньев 1 и 2, соответствующие пройденному пути роликом 8.
Введём отрезок Ь = р3-р1. Тогда (Бродский, 1992) а^/ак = О181/Р81, откуда = р^Ь, откуда
йу2/йу1 = (р3 - Ь)/Ь,
Рис. 3
[Ь/(Р3- Ь)] .
(2)
Поскольку кривая (1) задана, каждому значению в3 можно сопоставить соответствующее значение угла поворота звена 2:
^2= ^2(^3). (3)
Также отрезок Р8 = Ь может быть получен в зависимости от 03:
Ь = Ь(03). (4)
С учётом (3) и (4), связь (2) примет вид:
ёъ = Ь(в3) й^/[р^въ) - Ь(6>3)] = (Ь(03) / Щв3) - Ь(0з)]>-(^^2/ Лвъ) йвъ,
откуда:
(5)
(Рх = 1{Ь(03) / ывз) - Ь(0з)]}-(й^2/ ёвъ) йв3. о
Формула (5) является центральной в теории трёх центроид. Она позволяет указать связь = ^1(03). Пусть полярная ось звена 1 в начальный момент совпадает с осью 01Ро3, тогда щ - угол поворота этой оси, соответствующий повороту ролика (сателлита) на угол р2(03). Если отрезок О181 рассматривать как полярный радиус Р1 кривой Ць то полярный угол найдётся как
*1 = 9г
(6)
Соединив в систему уравнения р1 = р3 - Ь(в3) и (6), получим параметрические уравнения в полярных координатах кривой Ць записанные в подвижной системе координат, связанной со звеном 1:
(7)
{ Р1 = Л(#з)
\ 01= 01(03).
Во многих случаях в качестве независимой переменной целесообразно принять не в3, а криволинейную координату & На рис. 3 показано положительное направление
Далее рассмотрим частные случаи расчёта центроиды Ц1, когда заданная неподвижная центроида Ц3 - окружность. При этом рассмотрим два принципиально различных случая: во-первых, когда окружность Ц3 обращена вогнутостью к центру вращения 01 звена 1 (рис. 4), во-вторых, когда Ц3 обращена выпуклостью к 01 (рис. 5).
На рис. 4 01 - центр вращения звена 1 - подвижного некруглого колеса. В начале движения точка Р02 совпадала с Р03, точка 802 с 801, а диаметр ролика 2 Р028 02 лежал на луче О1Р03. Жирным
3
выделены равные между собой дуги длиной S = РРоз = PP02 = S1 Soi = S^^. На рис. 4 указаны принятые задаваемые параметры R - радиус окружности Ц3 с центром в точке О, а также H = O1P03 - начальная длина полярного радиуса окружности Ц3.
В качестве независимого параметра будем использовать S, некоторое текущее значение которого указано на рис. 4. Найдём параметрические уравнения заданной центроиды Ц1 в полярной системе координат. Из AOOiP по теореме косинусов:
р32= (H - R)2 + R2+ 2R(H - R) cos ß. (8)
Из рис. 4: ß = S/R,
p3= [(H - R)2 + R2+ 2R(H - R) cos(S/R)]05. (9)
По теореме синусов:
в3 = arcsin (R sin(S/R)/p3). (10)
Так как (9) даёт связь между р3 и 03, уравнение (10) даёт зависимость в3 от S. Таким образом, параметрические уравнения окружности Ц3:
{ Р3= [(H - R)2 + R2+ 2R(H - R) cos(S/R)]05 { 03= arcsin (R/P3 sin(S/R)),
Рис. 4
(11)
где S - независимый параметр (переменная).
Иайдём отрезок b. Из AP02S, b = 2r cos а. Здесь a = ß - 03; ß = S/R. Используя в3 из (11), найдём после преобразований:
b = 2r [R + (H - R) cos(S/R)] / (12)
Полярный радиус p1 = O1S = p3- b, или
p1= p3 - 2r [R + (H - R) sin(S/R)] /p3. (13)
Из рис. 4 следует, что угол поворота ролика 2 составляет ^2 = ^ Р02Р02- ß = S/r - S/R;
р2 = S(R - r)/Rr.
(14)
Чтобы найти связь = ^(S), следует в формуле (5) перейти к переменной S, и, учитывая, что dy2/dS = (R - r)/Rr, получим:
S
<pi = i [b(S) /pi(S)]-[(R - r)/Rr] dS. (15)
0
Подставим в формулу (15) выражения для b, р1 и р3 - формулы (12), (13) и (9), соответственно. Обозначим [(H - R)2 + R2- 2Rr]/[2(R - r)(H - R)] = ц. После преобразования получим:
S
<Р1 = S/R + (1/R) [R(H - R) - dS /(м + cos(S/R)).
0
В зависимости от значения ¡л2 последний интеграл может иметь три решения при ¡i> 1, р.2 < 1 и
2 2 0 5 0 5
fj. = 1. Введём обозначения: k = [R/(H - R) - fj] /(|м - 1|) ' ; h = [(м + 1)/|м - 1| ] ' . После преобразований уравнения подвижного контура Ц1 получат следующий вид:
Г Р1 = 2(R - г)/рз(И - r)(M + cos(S/R));
I Г 01 = S/R + 2k arctg [tg(S/2R)/h] - въ, если f< 1;
{ I 01 = S/R + kln [(tg(S/2R) + h)/(tg(S/2R) - h)] - £3, еслиц2> 1; (16)
I I 01 = S/R + [R(H - R) -1] tg(S/2R) - 0з, если ц = 1;
l L 01 = S/R + [H/(H- R)]ctg(S/2R) - 03, если ц = -1.
Теперь рассмотрим второй случай (рис. 5), когда выпуклость окружности Ц3 обращена к центру вращения звена 1. Задаваемые параметры: R, H и r. В начале отсчёта движения диаметр P02S02 лежит на отрезке 001. Отсчёт полярного угла 03 принят здесь по часовой стрелке. Соответственно назначен положительный отсчёт параметра S.
Полярный радиус р1 и отрезок b указаны на рис. 5. Выразим зависимости р3 и 03 от S. Из А001Р:
р3 = [(R+H)2 +R2 - 2R(R+H) cos(S/R)]05,
(17)
откуда
R/рз = sin03/sin(S/R), или sin6>3 = R sin(S/R)/ ръ, 0э= arcsin [R sin(S/R)].
Получили параметрические уравнения окружности 3: { 03= arcsin [(R/p3)sin(S/R)].
Рз = [R2 + (R+H)2 - 2R(R+H)cos(S/R)]05
(18)
(19)
Отрезок b = PS найдём, используя подобие треугольников Р01М и PS1T (см. рис. 5). PS1/PT=PM/PO1 о PS1=PTxPM/O1P о
b = 2г[(Я + R)cos(S/R) - R]/p3. Полярный радиус
Pi= Рз- b.
(20)
(21)
Подставим уравнение (17) и (20) в (21). После преобразований формула для определения р1 примет вид:
Р1 = [(Я+Н)2 + Я2 - 2(Я+г)(Я+Н)со8(&/Я) - 2гЯ]/Р3.
Теперь найдём зависимость = р2(&) угла поворота ролика 2 от параметра
^2= &(Я + г)/(гЯ),
Рис. 5
откуда
dy2/dS = (R + r)/(rR).
(22)
(23)
(24)
Заменим переменную 03 на переменную & в формуле (5) и подставим в неё формулы (17), (20) и (23). Введём обозначение:
ц = [(Я + Н)2 + Я2+ 2Яг)]/2(Я + Н)(Я + г). (25)
После соответствующих преобразований, получим:
&
9>1 = - &/Я -[м - Я/(Я + Н)]/Я I ё&/(со8(&/Я) -
0
Поскольку в нашем случае всегда,м > 1, интегрирование однозначно.
^ = - &/Я + 2[м - Я/(Я + Н)]/(м2- 1)05-агс1я{[(м + 1)/(м - 1)]051я(&/2Я)>.
После принятия обозначений к = [м - Я/(Н + Я)]/(м2 - 1)05; А = [(м - 1)/(м + 1)]0 5, получим уравнения искомого контура Ц1:
А = 2(H + R)(R + r)/pi-[ß - cos(S/R)] % = 2k arctg[tg(S/2R)/h] - S/R - въ.
(26)
4. Заключение
Приведённых результатов достаточно для анализа и проектирования геометрии планетарных передач с некруглыми центральными зубчатыми колёсами и плавающими сателлитами, в частности, используемых в гидромоторах типа SOK.
В получении представленных результатов также принимали участие А.Ю. Корегин, В.Н. Смирнов и P.A. Стоюнин.
Литература
Бродский И.Л. Центроиды. Несколько лекций по теории плоского движения. Мурманск, Изд-во
"Арктикморнефтегазразведка", 30 е., 1992. Сенявски Б. Объёмный роторный двигатель. Патент Польши №484710 с приоритетом от 01.12.71г. Сенявски Б., Потульски Е., Сенявски Д. Планетарно-кулачковый двигатель. Патент Польши №1403993 с приоритетом от 10.01.85 г.
{
