Некоторые поворотно-симметричные свойства планетарной передачи с некруглыми солнечными колёсами и плавающими сателлитами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бродский И.Л., Милимуха И.Н. Некоторые поворотно-симметричные свойства.

Некоторые поворотно-симметричные свойства планетарной передачи с некруглыми солнечными колёсами и плавающими сателлитами

1 2 И.Л. Бродский , И.Н. Милимуха

1 Мурманский областной институт повышения квалификации работников образования, кафедра естественно-математического и профессионального образования

Судомеханический факультет МА МГТУ, кафедра судовых энергетических установок

Аннотация. В работе приведены доказательства некоторых геометрических свойств планетарной передачи c некруглыми солнечными колёсами и плавающими сателлитами. Дан алгоритм расчёта передачи с необходимым сочетанием выпуклостей на внешнем и внутреннем контуре. Приведён пример передачи с числом выпуклостей на внешнем и внутреннем контуре 5 х 3.

Abstract. In the work the proofs of some geometrical features of planetary transmissions with non-round solar wheels and floating satellites have been considered. The algorithm of calculation of the transmission with the necessary combination of cambers at interior and exterior contoures has been given. The example of transmission with a number of cambers at interior and exterior contoures 5 х 3 has been shown.

1. Введение к расчёту

Известно решение следующей задачи (Бродский, 1992): Пусть дана неподвижная центроида Ц3, задаваемая уравнением р3 = р3(©3), ролик радиуса г и центр О1 вращения внутренней (подвижной) центроиды Ц1 (рис. 1). Найти центроиду Ц1. Решение получено в полярных координатах в параметрическом виде:

(—р,

0V

pi = OiP(03> - рад,

01 = ф1 - 03,

(1)

ц3

02 Ц1

1

■От )

Рис. 1. Расчётная схема

где рь 01 - полярный радиус и полярный угол, описывающие

ць щ = {[радуодаж^му^з.

Обозначения показаны на рис. 1. Величины = О^ = ОД6>з), <Р1 = <Р1(&з) определяются в

зависимости от заданной функции р3 = рз(@3).

Прежде чем перейти к решению системы (1) и интеграла, обоснуем некоторые свойства рассматриваемых центроид.

Лемма 1. Пусть задан произвольный замкнутый гладкий контур. Тогда для любого полюса внутри него существует, по крайней мере, две точки на контуре, для которых полярный радиус лежит на нормали к контуру.

Пусть О - произвольно выбранный полюс (рис. 2). Проведем две окружности с центром О, касающиеся внутренним и внешним образом контура. Тогда в точках касания А1 и А2 можно провести общие касательные и нормали контура и окружности. По свойству перпендикулярности касательной и радиуса окружности общие нормали в точках касания А1 и А2 проходят через точку О. Лемма доказана.

Замечание 1. Полярные радиусы ОА1 и ОА2 являются экстремальными. Например, докажем, что р = ОА2 является максимальным. Пусть в окрестности точки А2 полярный радиус возрастает. Тогда найдутся точки контура, лежащие вне окружности, что противоречит построению.

Замечание 2. Из приведённых рассуждений, в частности, вытекает, что точек, обладающих таким свойством - совпадением нормали и полярного радиуса - столько, сколько раз функция р = р (©)

Рис. 2

на отрезке [0;2п] достигает экстремума. Ясно, что число таких точек - чётное. Исключение составляют участки контура, являющиеся дугами окружности с центром в полюсе.

Настоящая лемма была сформулирована и доказана ранее (Корегин и др., 1994). Здесь приведено более простое и наглядное доказательство.

Лемма 2. Пусть Ц1 и Ц3, соответственно, - внутренняя и наружная центроиды, сопряжённые с роликом Ц2, причём центроида Ц3 - гладкая. Тогда в точках на Ц3, соответствующих её экстремальным полярным радиусам, общая нормаль кривой Ц3 и ролика, проходящая через точку О, является также общей нормалью ролика и Ц1.

Пусть Р0 - точка, в которой полярный радиус р3 центроиды Ц3 достигает экстремума (рис. 3). Тогда точка К0 контакта центроид Ц2 и Ц3 лежит на отрезке ОР0 (Корегин и др., 1994). А так как Ц2 - окружность, то касательная т21 параллельна касательной т23. Значит, в данном положении трёх центроид нормали п2Ь п23 и луч ОР0 совпадают.

Замечание 3. Точке Р0 экстремального полярного радиуса р3 соответствует точка К0 также экстремального полярного радиуса р. Это значит, что если ролик Ц2 контактирует в точке Р0 с центроидой Ц3, то одновременно он контактирует с центроидой Ц1 в точке К0 также экстремального радиуса.

В самом деле, в точке К0 полярный радиус ОК перпендикулярен касательной т21 (рис. 3), значит в точке К0 / = п/2, где / - угол между полярным радиусом и касательной, направленной в сторону положительного отсчёта полярного угла 0(рис. 3). Из дифференциальной геометрии известно, что

Рис. 3

= (dp/dв)/p.

Отсюда в точке К0, где / = п/2 и р Ф 0, имеет место равенство = 0, что есть признак экстремума. Таким образом, участку кривой Р0Р1 неподвижного контура Ц3, ограниченному двумя точками экстремальных полярных радиусов, соответствует участок кривой К0К1 подвижной центроиды Ц3, также ограниченный точками экстремальных полярных радиусов (рис. 3).

Теорема 1. Заданы два участка сопряжённых контуров (центроид) Р0^ и К0К1 (рис. 4) между соседними экстремальными полярными радиусами. Длины этих участков - £23 и £21 равны между собой (доказательство данной теоремы принадлежит А. Корегину и др., см. Корегин и др., 1994).

Указанная теорема - полезное средство контроля правильности спроектированного механизма: если он верен, то должно выполняться равенство = £23 в пределах между соответствующими точками на подвижном и неподвижном контурах.

2. Исходные данные и алгоритм расчёта планетарных передач

Исходные данные для проектирования рассматриваемых передач определяются заданием числа выпуклостей внешнего и внутреннего контуров п3 и пь а также периметром Ь внешнего контура. Ограничиваемся рассмотрением внешнего контура, составленного из сопряжённых дуг окружностей. Внешний контур Ц3 распадается на 2п3 конгруэнтных участков, каждому из которых соответствует центральный угол &3 (рис. 4). Для геометрического проектирования передачи достаточно ограничиться заданием одного из конгруэнтных участков внешнего контура, отвечающего &3 = п/п3, и построить ролик и сопряжённый участок ведомого контура. Задаваемый участок внешнего контура реализуется с помощью шести параметров: I, а, Яг, Я2, В, Г, связанных между собой системой уравнений (2) (рис. 4).

Яг + Я2 = (а2 + I2 - 2а1со$6ъ)° Я\Г + Я2В = Ь/2п3 Я + Я2)/зт6>3 = а/БтГ

Эгз 3

№ 3 Р03

2 ) Й21

1 КЧ

\к1

\у

0-1

Рис. 4. Участки контуров между двумя ближайшими экстремальными полярными радиусами

Бродский И.Л., Милимуха И.Н. Некоторые поворотно-симметричные свойства... | В = в3 + Г.

Независимых параметров здесь только два, остальные получаются расчётно из (2). Пусть, например, заданы I и а. Тогда из (2) найдутся Я1, Я2, В и Г. Таким образом, при произвольном задании I и а имеем двухпараметрическое семейство внешних контуров при заданных Ь и п3.

Если длина участка Р0^ внешнего контура и радиус г сателлита (рис. 4) заданы, то сопряжённый участок контура I находится по алгоритму, разработанному ранее (Бродский, Милимуха, 2004).

В частности, расчёт ведётся для дуги Р03РГ и отдельно для дуги Р0^, где РГ - точка сопряжения

дуг.

На первом участке Р03РГ принимая в качестве независимой переменной параметр (рис. 4) и задаваясь им с некоторым шагом, используем параметрические уравнения контура Ц3.

рз = [I2 + Я12 - 2/Я1С08(5/Я1)]а5, (3)

вз = агсБШ^! ^п^Я )/рз]. (4)

Уравнения (1) при этом раскрываются так:

р1 = 21(Я1 + г)[Ь - с08(5/^!)]/р3, (5)

01 = 2к аг^^даЯО/А] - 5Я1 - въ. (6)

где Ь = (I2 + Я!2 + 2Я\г)/21(Я\ + г), к = [(Ь - 1)/(Ь2 + 1)]05, к = (Ь - Я1/1)/(Ь12 - 1)05. Заметим, что для реальных схем Ь > 1.

Первый участок заканчивается в точке РГ для 5 = Я\Г. На участке Р^ расчёт ведётся при независимой переменной 5 > Я-уГ. При этом используется параметрическое уравнение контура Ц3 в виде:

рз = (а2 + Я22 + 2аЯ2С0$в)а5, (7)

03 = агс81п(Я281пв/р3), (8)

где в = (5 - Я1Г/Я2. (9)

Уравнения (1) после преобразований имеет вид:

Р1 = 2а(Я2 - г)(Ь2 + сов/рз, (10)

при Ь22 > 1 01 = в + 2к агс1я[1я(в/2)/к] - в3,

при Ь22 < 1 01 = в + к 1п[(^(0/2) + к]/[1я(в/2) - к)] - вз,

где Ь2 = (а2 + Я22 - 2аЯ2г)/2а(Я2 - г), к = (Я2/а - Ь2)/(|Ь22 - 1|)0 5, к = [Ь + 1)/|Ь2- 1|]0 5.

3. Алгоритм подбора ролика

В исходных данных величины Р0^ и г, вообще говоря, не приводят к нужному значению в! = в3п3/п\ = л/пь Последнее требование (вытекающее из теоремы 1) приводит к задаче о подборе ролика г, обеспечивающего длину участка внутреннего контура, равную Ь/2п3. Задача решается путём численного подбора радиуса ролика г. Для этого, задаваясь различными значениями г, находим соответствующие значения €\, строим график (таблицу) @\ = @\ (г) и определяем в окрестности г величины г{~ и гД дающие &х с избытком и недостатком. Задаёмся г^гГ;^] и, например, методом деления пополам, находим подходящее значение так, чтобы выполнялось условие |в2 - л/п^ < е, где е задаётся наперёд.

Поскольку речь идёт о зубчатых передачах, то необходимо обеспечить существование целого числа зубьев. Целое число зубьев на внутреннем контуре гарантируется существованием общей меры контуров = п3/п]), вытекающей из теоремы 1 при условии, что решение этой задачи находится

варьированием одного из свободных параметров I или а. В частности, если фиксирован параметр, то ищем при прочих равных условиях такое а, при котором ролик имел бы целое число зубьев 22. Для этого, используя алгоритм нахождения 01 при заданном г, многократно решаем эту задачу при различных а. В результате получаем график г = г(а). Интересно отметить, что на активной части графика возможно несколько точек, отвечающих различным целым числам зубьев, и требуемый вариант выбирается из конструктивных соображений, связанных с назначением проектируемой передачи. Выбрав значение г, отвечающие нужному числу зубьев 12, методом последовательных приближений, находим соответствующий параметр а. На этом расчёт всех базовых геометрических параметров завершается.

Полностью контур Ц1 получится при совмещении 2щ участков, это вытекает из условия, принятого при составлении алгоритма расчёта. Однако общее число роликов остаётся неизвестно.

Решим следующую задачу: пусть, например, п3 = 5 - число впадин центроиды Ц3, а п1 = 3 -число впадин центроиды Ц1 (рис. 5). В табл. 1 приведены соответствующие десяти экстремальным

радиусам центроиды Ц3 точки - вершины выпуклостей Ц3, соответствующие им точки К - вершины на центроиде Ць значения соответствующих полярных углов поворота р, центроиды Ць Необходимо определить число одновременно находящихся в зацеплении сателлитов.

Таблица 1. Расчётные значения

р, К 03, 01, Ри

Р0 К0 0 0 0

Р1 К 36 60 96

Р2 К2 72 120 192

Рэ К 108 180 288

Р 4 К4 144 240 384

Р 5 К5 180 300 480

Рв К=к6 216 360 576

Р7 К 252 420 672

Р8 К2 288 480 768

Р9 К 324 540 864

Р10 = Р0 К10 360 600 960

Рис. 5. Расчётная схема для п3 = 5, а п1 = 3

Например, когда ролик коснётся Ц3 в точке Р1 (после исходной точки касания Р0), то углы 0 и ©3 по теореме 1 из соображений симметрии составят, соответственно, 60° и 36°, а угол поворота звена 1 (Ц1) р = 60° + 36° = 96°.

Из табл. 1 видно, что ролик вернётся в исходное положение после того, как звено 1 повернётся на 960° или 8/3 оборота. За это время "нужные" точки К, окажутся против точки Р0 восемь раз: каждая треть оборота звена 1 соответствует прохождению ролика через точку Р0, итого 3+3+2 = 8 раз.

В общем случае, если п3 - число "пиков" звена 3 и п1 - число "пиков" звена 1, то получим: для полного периода движения ролика

03полн = 360°, @!полн = 360°-П3/П! (например, для п3 = 5, п1 = 3, <0полн = 360°-5/3 = 600). Полный угол поворота звена 1:

рполн = 0полн + 03полн = 360° + 360°-п3/ пь Число "запущенных" в точке Р0 роликов:

рполн •п1/360° = [360°-(п3 + п1)/п1]-п1/360° = п3 + п1.

Так обосновывается утверждение польских изобретателей о том, что число плавающих сателлитов не превышает п3 + п1 штук (Сенявски, 1971; Сенявски и др., 1985).

4. Пример

В качестве примера рассчитана передача со следующими исходными данными: п1 = 3; п3 = 5; число зубьев на внешнем контуре 23 = 110; модуль т = 3.25 мм. Периметр внешнего контура: Ь = п т 2Ъ = 1123.2 мм. 03 = п/5 рад = 36°, ©1 = п/3 рад = 60°. Задаёмся параметром I = 235 мм. Зависимость г = г(а) приведена в табл. 2 и построен график (рис. 6).

Таблица 2. Значения параметров г и а

а, мм 137.6 129.79 120.82 110.05 96.15 75.48 56.6 48 36 0

г, мм 26 27.63 29.25 30.88 32.5 34.13 35 35.25 35.5 35.75

Принимаем г = тХ2/2 = 34.125 мм.

Методом последовательных приближений определяем а: а = 92.55 мм.

Результаты расчёта по формулам (5): Я1 = 78.57 мм, Я2 = 90.60 мм, Г = 0.3274 рад, В = 0.956 рад. Окончательный расчёт центроиды Ц1 произведён по формулам (3-10). Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3. Результаты расчёта геометрии ротора

Бродский И.Л., Милимуха И.Н. Некоторые поворотно-симметричные свойства...

мм 0 9.4026 18.805 25.723 47.013 58.77 70.52 94.03 112.31

Р.Ь мм 88.24 90.18 95.855 102.21 107.62 110 111.9 114.33 114.9

01, рад 0 0.243 0.465 0.609 0.716 0.775 0.835 0.954 1.047

01, град 0 13.92 26.64 34.89 41.02 44.4 47.84 54.67 60

Рис. 6. График зависимости г от а

Рис. 7. Модель гидромотора

По данным табл. 3 вычерчена и сконструирована действующая модель механизма, показанная на фотографии (рис. 7).

5. Выводы

Приведённые в работе теоремы и алгоритм расчёта планетарных передач дают возможность проектировать такие передачи с любым сочетанием выпуклостей на внешнем и внутреннем контуре и наиболее приемлемым числом зубьев.

Литература

Бродский И.Л. Центроиды. Несколько лекций по теории плоского движения. Учебно-методическое

пособие. Мурманск, НТФ "Комплексные системы", 30 с., 1992. Бродский И.Л., Милимуха И.Н. Теоретические основы геометрического расчёта планетарных передач с некруглыми центральными колёсами и плавающими сателлитами. Мурманск, Вестник МГТУ, т.7, № 3, с.437, 2004.

Корегин А.Ю., Смирнов В.Н., Стоюнин Р.А. Исследование начальных линий некруглых зубчатых колёс

гидравлического двигателя 80К польской постройки. Мурманск, Отчёт ОНИР, АМНГР, 1994. Сенявски Б. Объёмный роторный двигатель. Патент Польши № 484710 с приоритетом от 01.12.71 г. Сенявски Б., Потульски Е., Сенявски Д. Планетарно-кулачковый двигатель. Патент Польши № 1403993 с приоритетом от 10.01.85 г.