Теоретические исследования пространственного распределения термических остаточных напряжений в телах сложной формы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.91

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМИЧЕСКИХ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТЕЛАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

© С.И. Ботвенко1, И.А. Огнёв2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлены результаты теоретических исследований объемного распределения остаточных напряжений в П -образном профиле после закалки. В качестве исходной эпюры принято распределение остаточных напряжений по параболической зависимости. Установлено положение нулевой плоскости для рассматриваемого профиля, относительно которой выполняется условие статического равновесия остаточных напряжений. Ил. 2. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: остаточные напряжения; заготовка; система координат; термическая обработка; профиль со сложным сечением.

THEORETICAL RESEARCHES OF SPATIAL DISTRIBUTION OF THERMAL RESIDUAL STRESSES IN ODD-SHAPED BODIES S.I. Botvenko, I.A. Ognev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article presents the results of theoretical researches of volumetric distribution of residual stresses in a U-channel after hardening. Parabolic distribution of residual stresses is accepted as an initial diagram. The position of the zero plane relative to which the condition of static equilibrium of residual stresses is fulfilled, is determined for the profile under examination. 2 figures. 4 sources.

Key words: residual stresses; workpiece; coordinate system; thermal treatment; odd-shaped profiles.

В современном машиностроении возросшие объемы использования материалов с особыми или улучшенными эксплуатационными свойствами, усложнение конфигурации обрабатываемых деталей с одновременным ужесточением требований по точности формы, размеров и качеству обрабатываемых поверхностей, требуют адекватных подходов к выбору размеров и формы заготовок. Развитие и широкое внедрение методов получения точных заготовок литьем, обработкой давлением, порошковой металлургией и т.д. позволяют не только значительно уменьшить объем лезвийной обработки деталей, но и выполнить регламентирующие требования по размерной точности, погрешностям форм, качеству обрабатываемых деталей. В [1, 2] представлены результаты теоретических исследований объемного распределения термических остаточных напряжений в телах (заготовках) канонической формы. Анализ литературных источников показал отсутствие подобных исследований, выполненных для тел со сложным поперечным сечением.

Пространственное распределение термических остаточных напряжений в цилиндре описывается параболоидом вращения, уравнение которого в системе координат, принятой на рис. 1, имеет вид

П / 6 9 6 6 9 6 \

<П = < (— y2--y + — х2--х + 1). (1)

nV D У D D D J

После упрощений

— (<П +2< ) = ( y -D )2+( х - D )2. (2)

6< V ^У nJ V 2J V 2J

П

Введем в уравнение (2) выражения обобщенных координат, что значительно упрощает дальнейшую работу:

1Ботвенко Сергей Иванович, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации машиностроения, тел.: 89025610151, e-mail: [email protected]

Botvenko Sergey, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automation of Mechanical Engineering, tel.: 89025610151, e-mail: [email protected]

2Огнёв Игорь Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики, тел.: 89149426951, e-mail: [email protected]

Ognev Igor, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, tel.: 89149426951, email: [email protected]

Рис. 1. Схема к расчету остаточных напряжений в П-образном профиле

где

Б1

во.

* * 2 * 2 -г = у 2 + х 2

г * =а°у + 2 ая

у*=у -

Б 2

Б

х* = х--.

2

(3)

Отсечем от цилиндра четыре попарно равных сегмента таким образом, чтобы получилась пластина с размерами поперечного сечения а х Ь. Из полученной пластины вырежем толстостенный П-образный профиль, у которого толщина ребра и толщина основания - величины одного порядка. Учитывая начальную симметрию профиля относительно оси У , в дальнейшем достаточно рассматривать только выделенную левую часть. Для исследуемого тела найдем положение нулевой плоскости, отстоящей на расстоянии

Их от начала координат, относительно которой будет выполняться условие статического равновесия:

V = V2 .

Выразим из соотношения (3) уравнение параболоида в обобщенных координатах:

(4)

*

7 =

ваП * 2 *2 —П (у + х ). Б2

Приравнивая координату г* к величине я

получим уравнение сечения параболоида нулевой плоскостью:

* ; г = я,

(5)

(в)

я =-

ва

П

Б2

(У + х ) .

Из равенства

* 2 * 2 2 (у + х ) = Г2

(7)

(8)

с учетом уравнения (7) значение величины Г может быть найдено как

V

Б2

6 а

Л .

(9)

При вычислении объема V, проецируем область V, на плоскость ХОУ (рис. 2). Следует отметить, что на рис. 1, 2 _уп обозначает абсциссу положения начала координат (точка 0) параболоида вращения, т.е. в данном исследовании мы рассматриваем общий случай П-образного профиля в поперечном сечении. Для удобства проведения вычислений разделим объем V на две части таким образом, чтобы выполнялось равенство

VI = V1 + VI2.

(10)

Геометрически рассматриваемые объемы V1 и V,2 можно описать следующими системами неравенств:

Ь , 1 [7^ 2

где р = -- д = — V 4г2 - с2

V1:

р < у < д

С < х <л/г 2 - у2 2 V

2 * < 2 < Я

V,2:

- г < у < р

0 < х <^г 2 - у2 г * < г < к,

Согласно [3, 4] объем V,1 может быть найден с помощью двойного интеграла вида

(11)

Г~ 2 2 д у}г -у

V,| (я, - а (у2+х2)>х.

р с Б

После решения внутреннего интеграла и ряда упрощений имеем

(12)

Чтобы избавиться от иррациональности при решении интеграла (13) используем тригонометрическую подстановку:

• , 2 2 2 2 v

y = r sin t, r - y = r cos t,

(14)

-Jr2 - y2 = r cos t, dy = r cos tdt,

■yjr2 -y2 dy = r2 cos2 tdt,

• q

y = q, t = arcsin —, r

• P

y = p, t = arcsin—.

r

Вычислим объем V/ по уравнению (13) с учетом тригонометрической подстановки (14). Рассмотрим два первых интегральных выражения в отдельности. Первый интеграл

arcsin -2 r

I--' r2 '

2 - y2 dy = J r2 cos2 tdt = — J (1 + cos 2t) dt,

(15)

или окончательно

Второй интеграл

JV7-7 dy = r±

■ q 1 • • q^ • P 1 • ^ • P-. arcsin — +— sin (2 arcsin —) - arcsin ----sin (2 arcsin —)

r 2 r r 2 r

. (16)

• q

arcsin—

r 4 .2,

4 I r y4 r

J(y Vr2 -y2) dy = J r4 sin21 cos2 tdt = — J sin22tdt, (17)

после преобразований окончательно запишем

q i- -4

J (y ) dy = ^

arcsin q -1 sin (4 arcsin q) - arcsin — + — sin(4 arcsin —)

л ■■ r 4

r 4

. (18)

Выражение (13) с учетом подстановки уравнений (16) и (18) примет вид

V1 = fo - < r 2)

1 V 1 D2 ' 2

• q 1 • г* ■ q\ p p arcsin — +—sin (2 arcsin —) - arcsin ----sin(arcsin —

r2

r

P 1 „ p ,

r2

4<n r8

D2 8

• q 1 • r, ■ q\ ■ p 1 • r, • p\

arcsin---sin(4 arcsin —) - arcsin —+—sin(4 arcsin —)

r 4 r r 4 r

/2<П с з cv ч 3<П q3 -p

+(^t (2)3 - h^)(q- p)+^fс

з „з

2

D2

3

(19)

В свою очередь, объем Уг2 с учетом выражения (11) может быть также определен с помощью двойного интеграла вида

p ^ 6<

V!2 = Jdy J (h, - < (y2+ х2))dx .

-r 0 D

(20)

q

r

r

q

arcsin—

r

r

+

После решения внутреннего интеграла и некоторых упрощений в выражении (20) имеем

V,2=(я - г 2) Рр 1 dy - а I (у ) ¿у.

Б2

Б

(21)

В выражении (21) решим каждый интеграл в отдельности с учетом подстановки (14). Первый интеграл

или окончательно

i--г г" г

IV Г2 - у2 йу = р г 2 соя2/й/ = у р (! + 0082/) Ж ,

(22)

рл/Г^^у2 йу=Г1

• р , ■ ■ р \ к

агсяш — + — яш(2 агсяш —) +— г 2 г 2

(23)

Второй интеграл

или окончательно

I--Г

Р (у 2\Г 2 - у2) йу = р Г 4 я1п2 / соя2 гйг

(24)

р (у ) ¿у-

■ р , ■ Г. ■ р\ К агсят ----Б1п (4 агсят —) + ■

г 4

г 2

(25)

Подставив в выражение (21) полученные результаты (23) и (25), получим

V,2 = (к, -аг2)

Б 2

р , ■ р \ к

I — + — ят (2 агсят —) +—

"" г 2

г 2

4 ап Г4

Б2 8

г 4

агсят ----я1п (4 агсят р) +

(4 а

(26)

С учетом полученных соотношений (19) и (26) выражение (10) примет вид

V = (к - а Г 2) г! , V , Б2 ' 2

• д , • г* ■ д\ р , • / р

агсяш — +—я1п (2 агсят —) - агсяш---я1п(агсят —

г 2

Г

-.„Г

р

4Оп Г8

• д , • (. ■ д\ ■ р , ■ ■ р\

агсяш---я1п(4 агсяш —) - агсяш —+—я1п(4 агсят —)

г 4 г г 4 г

Б2 8

'2ап ,с

Б2 2

г 2

р

(2оп с 3 сч 3аП д3 -р3

+(—П ^)3 - к-)(д - р)+—П с

Б 2

/, 2аП 2\ г р , ■ р\ к

(к,--п г )— агсят — + — ят (2 агсят —) +—

г 2

4 а г 4

Б2 8

агсят ----ят (4 агсят р) + К

г 4

(27)

После упрощения выражения (27) запишем

Г

г

агеят —

агеят—

г

4

Г

8

Г

2

+

+

+

V: = (^)3 "Л ?)(— " Р) + 6с — " Р3') + (Л ^ -3 6 г4)Т

6

Б2 2 1 2

)+—П с Б

г2 3

2 2 Б2

п г4)- +

+ -3г4)а1гап — + (к1 - 2^д г2)8ш(2а1гап —) +

2°М_ г 2 ) Г2 •

->2 ' 4

Б 2

г

<6/7 г . /. . +—П--8ш(4а1гап—).

Б2 8

(28)

В свою очередь, для удобства вычислений объем V разделим на три области таким образом, чтобы выполнялось условие

V = V1+г22+к23

(29)

Геометрически объемы , Г22, V3 можно описать системами неравенств

V1:

— < У < — 2

с а -< х < — 22

Л < г < г *

К2:<

- г < у < —

л/г 2 - у2 < х < — V 2

Л < г < г *

Определим объем ^ по известной зависимости [3, 4]:

V3:

--< у < - г

2

а

0 < х<-2

Л < г < г *

(30)

^ =} ¿У К-6 (У2+ х2) - «X .

— с 2

(31)

После решения внутреннего интеграла в уравнении (31) и некоторых преобразований, запишем

V!1 (а - с) У 2+6 ((—)3 - (§ )3) - — - $)) «У .

Б 2

2 2

(32)

ь

а

ь

Решение интегрального выражения (32) и проведенные преобразования позволяют окончательно получить

V: =

Б

Б2

6 ((Ь)2 + ь—+—2)+(6 ([—]2 + —$+( $ |) -

(а -с)(Ь - —) . (33)

Найдем объем К22 аналогичным образом, т.е.

4 2 ¿б V22 = | ¿У | (-^П (у 2+ X2) - Л)«х . (34)

-г ^ Б

Решив внутренний интеграл в выражении (34) и проведя преобразования, имеем

V22 = (^П (| ]2 - Л:) § 1 «У + а —У « - Ф г 2 - Л:) «У -

40п Б 2

д I-

р у 2у]г 2 - у 2 йу .

(35)

Избавимся от иррациональности при решении выражения (35) путем тригонометрической подстановки вида

у = Г я1п

2 2 2 2 , Г - у = Г соя

22 У Г - у = Г соя

ф" = г соя / й/.

д/г2 - у2 йу = Г2 соя2 / А

(36)

у = д,

у = -г,

/ = агсят — ;

г

к

/ = —. 2

С учетом подстановки (36) решим в уравнении (35) последние два интегральных выражения отдельно. Первое выражение

ч ,--Г Г2 Г

р^г2 - у2 йу = р Г2 соя2/й/ = — р(! + соя 2/) А ,

или окончательно

Второе выражение

д I--2 г 1

Г 1 2 2 7 Г д , . • д\ к

!\ г - у йу =— агсят — + — ят(2 агсят—) +— 2 г 2 г 2

■ д

агсят—

г4 1 Г

Ч I--Г у4 Г

р (у \ Г 2 - у 2)йу = р Г 4я1п2 / соя2 /Ж = — р я1п2 2/ й/,

или окончательно

д I-

р (у '^г2-? )йу =

8

д , ■ г. ■ д\ к

^ сч 4 а**'** ^ 1 I I

агсят ----я1п(4агсят —) + ■

г 4 г 2

После интегрирования уравнения (35) с учетом выражений (38), (40) и подстановки (36) запишем

V! = (От ©2 - к,) а (д + Г) + аП а (д3 + Г3) -

а

Б2 2

- (

Б

2ап 2 \гГ . д , . . д\ к

—т г - к,)— агсят — + — я1п(2 агсят—) + — Б2 2 г 2 г 2

4Оп г4

Б2 8

• д , • г, ■ д\ к

агсят — — я1п (4 агсят —) + — г 4 г 2

Проведение преобразований равенства (41) позволяет получить

V! =

(2аП (а\2 , \а . ап /2 . 2ч (-т ( —) - к,)— + —п а (д - дг + г )

4 Б2 2 У2 Б2

(д+г) -

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

Г

• д

агсят—

• д

агсят—

г

д

агсят—

4

Г

г

- (О Г1 - к, ^) агсят д - (О1 Г 2 - к,) ^ ят (-агсят д) + (42) Б2 2 : 2 У г Б2 4 4 г

4 -з^т 2

^_п__ят(4агсят д) - а Г2 - к,)к. Б2 8 4 г Б2 2 2

'21 """

+ ап Г (ъап „- ^ к

Согласно описанию (30), объем V3 определим по аналогичной методике, т.е. с помощью двойного интегра-

ла вида

-г 2

V23 = 1 «У (У2 + х2) ¿х

ъ п Б

(43)

Решение внутреннего интеграла позволяет записать

7 | 36П ,2

VI = Т (■

ь V

—у +-

2тг

ъ V Б2 Б2 ч2

(—)3 - Л— I «У

(44)

После решения интегрального выражения (44) и проведенных преобразований, окончательно запишем

VI =

Та |(—)2 + —

Б2

Ъ\9 Ъ

2

+ — г + г | +

2Т

Б

п (р2 - * I —

(— - г) . 2

Подставив в уравнение (29) выражения (33), (42), (45), получим

V2 =

Т^Ф2+ъ—+—2)+(тК —12+ас+1 с Т> - у)

(а - с)( — - —)+

(ТП (—)2 - *) — + Ч а (—2 - —г + г 2)

Б 2

2 Б2

(— + г) -

(45)

а

2

2

+

-(ТПТ-* Т) агсБШ — -(Т г2 -*)£ .П^Ш —) +

Б 2 2 2 г Б2 4 г

Т г_

Б2 8

. . —\ /3ТП 2

sin (4 alcsin —) - (—П г

\г п

- Л)--+

и 2 2

Т § К—)2 + —

Б 2

2

Б2 Ь

+ — г + г 2 | +

2Тп Б 2

(^)2 - Л I —

(— - г) . 2 У

(46)

Таким образом, в равенстве (4) определены обе части. После подстановки выражений (28) и (46) равенство (4) примет вид

(Т (с)3 - Л с)(— - Р) + Тс — - Р3) + (* V - 3 Т г4)п +

Г

Б2

Б

3 г4) п 2 2 Б2 '2

,.2

- (л - 3 тП г 4) arcsin — + (* - Тт г2) V sin(2 arcsin —) +

2Тп г ^ г

•>2 ^4

2

Б2

Г '

ТП г . ( . д\ +--т--sin(4arcsin —) =

Б2 8

^(ф2+——+—2)+(Т^ 2 )2 + —с+(§ )2) -1)

Б

(ТП(—)2 -— + ТТ § (— 2 - —г + г2)

а Тт

Б2 2

2 Б2

(а - с)( — - —) +

(— + г) -

(3ТП г4 г2ч . Б2 2 2 г

— -(Т г2 -К) г- sin(2

Б

4

— \

arcsln —) +

ТП г .г ■ /3Т П 2

+ —П--sln (4arcsin —)-(—П г2

Б2 8

Т

Б2

П

г

ЬЛ7 Ь

— I

2

Б2

ч г П

- Л)--+

и2 2

(—)2 + — г + г2 | + |

ИТ (—)2 - *)

(— - г) , 2

или после преобразований

(47)

+

+

+

а

(О (С)3 - к, с)(д - р) + а с (д3 - р3) =

Б2 2 2 Б

аг

((-)-+Ьд+д')+(О-<( -) + +(-)) - к,)

Б2 2'

ь

(а -с)( ь - д)+

(О (а )2 - к,) а+п а (д2 - дг+г 2)

Б2 2 2 Б

(д+г) +

О а |(Ь)- + Ь

Б 2

Ь \ о Ь

+ — г + г 1 +

Г 2

О (а)- - к, I а

Б2 V , 1 2

(Ь - г) 2

(48)

где р =— й; 2

=А^ДГ-^ с2

Дальнейшие преобразования уравнения (48) позволяют записать

2а,

б 2

(с)3(д - р) - ((а)3 - (с)3(Ь - д) - (а)2 а (д+Г) - (а)2 а (Ь - г)

к,

Ь Ь

(а - с)(ь - д) + а (д + г) + а ^ - г) - с (д - р)

ап

Б

((Ь )3 - д3 ] (а - с) + а (д3 + г 3) + а( (Ь )3 - г 3 ]-с (д3 - р3)

(49)

Для упрощения проведения исследований введем следующие обозначения:

А, =

(с)3(д - р) - ((а)3 - (с)3(Ь - д) - (а)2 а (д+Г) - (а)2 а (Ь - г)

(50)

После упрощений выражения (50) имеем

а,=|--Р I (-)3 - Ь (|)

а\ 3

(51)

Подставив в выражение (51) значение величины р из уравнения (48), окончательно получим

А, = й (с)3 - Ь (а)3.

(52)

+

+

+

2

Второе слагаемое в уравнении (49) обозначим как

А- =

(а - с)(Ь - д) + а (д + г) + а (Ь - г) - с (д - р)

(53)

После преобразований равенства (53), с учетом подстановки вместо величины р значения из уравнения (48) окончательно запишем

А2 = аЬ -сй .

(54)

Третье слагаемое в выражении (49) обозначим как

А3 =

((Ь )3 - д3 ] (а - с) + а (д3 + г 3) + а( (Ь )3 - г 3 ]-с (д3 - р 3)

(55)

После преобразований выражение (55) примет вид

или окончательно

А = 2 о (—)3 - с (—)3 + ср3 , (56)

А3 = (2о -с)(—)3 + ср3 . (57)

Используя полученные выражения (52), (54), (57), запишем уравнение (49) в виде

2-П 1« (с)3 - ъ(—)3 ) + — (аЬ - с«) = — | (2а - с)(—)3 + ср 3 I. (58)

Б2 V 27 ) 2 Б2 V* ' ч2'

Проведя преобразования уравнения (58), запишем

^(а— - с«) = — |(2— - с)(—)3 + ср3 - 2(— - р)(с)3 + 2Ь(—)31, (59)

или окончательно

Л -1-(аЬБ2 - с« (3(Ь - «)2 + « 2 + с 2) . (60)

2Б (аЬ - с«)

Таким образом, определено положение нулевой плоскости, относительно которой соблюдается условие статического равновесия объемов в области растягивающих и сжимающих остаточных напряжений для рассматриваемого П-образного профиля.

Следует отметить, что при проведении построений, представленных на рис. 1, на внутренней поверхности дна и части внутренних поверхностей ребер П-образного профиля в результате закалки, что соответствует начальным условиям, наводятся растягивающие остаточные напряжения. Этот факт противоречит теории закалки, согласно которой на поверхности закаливаемых деталей (заготовок) всегда наводятся только сжимающие остаточные напряжения.

Представленная в рамках данной статьи работа проводится при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Минобрнауки России) по комплексному проекту 2012-218-03-120 «Автоматизация и повышение эффективности процессов изготовления и подготовки производства изделий авиатехники нового поколения» на базе Научно-производственной корпорации «Иркут» с научным сопровождением Иркутского государственного технического университета по Постановлению Правительства РФ № 218 от 09.04.2010 г.

Библиографический список

1. Ботвенко С.И., Огнёв И.А. Теоретическое исследование пространственного распределения термических остаточных напряжений в цилиндре // Вестник ИрГТУ. 2012. №7. С.29-36.

2. Ботвенко С.И., Огнёв И.А. Теоретические исследования пространствен ного распределения термических остаточных напряжений в телах приз матической формы // Вестник ИрГТУ. 2012. №12 (71). С.177—187.

3. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инже неров и учащихся вузов. М.: Наука, Гл. ред. физ -мат. лит., 1986. 544 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. М.: Высшая школа, 1988. Т.1. 712 с.