CC BY
31
УДК 621.83.06
М. Е. Лустенков, канд. техн. наук, доц., И. И. Маковецкий, канд. физ.-мат. наук, доц.
СФЕРИЧЕСКИЕ ПЛАНЕТАРНЫЕ ШАРИКОВЫЕ ПЕРЕДАЧИ С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ БЕГОВЫХ ДОРОЖЕК
В статье рассматриваются некоторые теоретические вопросы создания передач с промежуточными телами качения в зацеплении. Рабочие поверхности (беговые дорожки) основных звеньев исследуемых передач исполнены на сферических поверхностях. Получены уравнения взаимодействующих кривых нескольких типов, одна из которых описывает кольцевой паз на сфере.
Механические передачи с промежуточными телами качения в зацеплении разрабатываются в странах СНГ и дальнего зарубежья [1]. Они имеют ряд преимуществ, присущих планетарным и волновым зубчатым передачам, таких как компактность, многопоточность, высокий коэффициент перекрытия. Не конкурируя с традиционными зубчатыми зацеплениями по всему спектру редукторов общемашиностроительного назначения, передачи данного типа способны решать определенные задачи из специальных областей инженерной практики. Однако не отработанная в настоящее время технология изготовления основных деталей со сложными профильными поверхностями и несовершенный станочный парк многих производств не позволяют еще в полной мере реализовать потенциал этих передач.
Получили известность и применяются в различных отраслях промышленности передачи с радиальными и осевыми перемещениями тел качения в процессе работы. Сферические передачи менее исследованы. Однако с их использованием появляется возможность совершенствования таких механизмов, как ШРУСы, муфты, механизмы съема движения в эксцентриковых передачах с возможностью дополнительного редуцирования скорости вращения. Целью настоящей работы являлись разработка алгоритмов синтеза уравнений кривых, определяющих взаимодействие основных звеньев передачи, исследование
этих кривых, а также разработка конструкции передачи с повышением технологичности изготовления отдельных ее деталей.
Введем такие понятия, как цилиндрическая кривая, развертка цилиндрической кривой на плоскость, сферическая кривая.
Цилиндрическая кривая - это пространственная, замкнутая, периодическая кривая, расположенная на цилиндрической поверхности [2]. Периодическое изменение координаты г происходит относительно средней линии (окружности), расположенной в плоскости хОу с центром в точке О и с радиусом К, равным радиусу образующей цилиндрической поверхности. На средней линии расположено целое число периодов кривой 2. Разверткой цилиндрической кривой является плоская кривая, ордината которой определяется уравнением г = /(.х). Сферическая кривая - это пространственная, замкнутая, периодическая кривая, расположенная на сферической поверхности.
Переход от уравнений кривой на цилиндре к уравнениям на сфере осуществляется следующим образом. Пусть периодическая цилиндрическая кривая задана системой параметрических уравнений х = Ксо$(1/К), у = Еят^/Я), г = г^), где I - изменяемый от 0 до 2пК параметр, выполняющий функцию дуговой координаты, а амплитуда кривой А равна отрезку ПС или длине дуги П’С (рис. 1).
Рис. 1. Схема для прямого и обратного перехода от уравнений цилиндрической к уравнениям сферической кривой
Преобразования цилиндрической кривой в сферическую осуществляется посредством угла X (см. рис. 1) согласно выражению Х^) = г(^/Я.
Параметрические уравнения сферической кривой:
)Л
г/ () = Я б1п Л = Я э1 () = Я соэ
Я
(1)
х/
= Я соэ
V Я
/
соэ
соэ Л = )Л
Я
(2)
У/ ()= Я 81П
V
— IсоэЛ = Я)
t
(,
= Я э1п I — I соэ
V я )
(')
Л
V Я )
(3)
Для цилиндрической синусоиды с уравнением г = А $лп(2х / Я), которое является уравнением плоской развертки (на плоскость хОг), параметрические уравнения:
х = Я соэ
Я
К1'-/
г = А э1п
у = Я э1п
г ТЛ_Л
V Я) .
Г1 л
уЯу
(4)
Следовательно, параметрические уравнения сферической синусоиды примут следующий вид:
х/ () = Я
соэ!
Г t Л Г А • Г Zt
I — I соэ — эт|
V я ) Vя V Я
Г t Л Г А • Г Zt
I — I соэ — эт|
V я ) чЯ V Я
IА . Г zt
Я э1п эт| —
V Я V Я ))
; (5) ; (6) (7)
Схема механической передачи, реализующей уравнения (5)...(7), показана на рис. 2. Принцип работы основан на взаимодействии двух кривых (однопериодной и многопериодной), средние линии которых совпадают. По данным кривым формируются беговые дорожки или рабочие поверхности двух основных звеньев передачи, контактирующих с телами качения - шариками. Точки пересечения этих кривых (одна из двух существующих групп точек, образованных пересечением разноименных ветвей двух кривых: восходящими и нисходящими) являются точками расположения центров шариков. Для цилиндрических кривых [2] доказано постоянство углового шага между центрами двух любых шариков при вращении относительно оси Ог одной кривой относительно другой, что позволяет ввести в конструкцию передачи третье основное звено -вал с пазами, расположенными вдоль оси Ог. Нами подтверждено сохранение этого постоянства углового шага для
сферических поверхностей аналитически на основе гомеоморфизма цилиндрических и сферических поверхностей и посредством моделирования зацепления в различных САПР.
Передача (см. рис. 2) содержит ведущий вал 1 со сферическим внутренним кулачком с замкнутой беговой дорожкой, коаксильно внутреннему кулачку располагаются наружный торцовый кулачок 3 с волнообразной торцовой поверхностью и выходной вал 2 с пазами
на внутренней сферической поверхности. Данные пазы расположены в плоскостях, проходящих через ось передачи с равномерным угловым шагом. При вращении входного вала тела качения 4 перемещаются по беговой дорожке внутреннего кулачка на входном валу, по рабочим поверхностям наружного кулачка и вдоль пазов выходного вала, вынуждая последний вращаться с редукцией.
Рис. 2. Сферическая планетарная шариковая передача
Наружный кулачок 3 закреплен в корпусе (который на рис. 2 не показан), а входной и выходной валы размещены в корпусе на подшипниковых опорах с консольным расположением сферических поверхностей.
Передачи данного типа могут рассматриваться как кулачковые механизмы (сочетание прямых и обратных кулачковых механизмов) и как волновые передачи (внутренний кулачок - генератор, а цепочка тел качения - деформируемое звено). Отнесение их к типу планетарных оправдано тем, что их кинематика полностью подчинена формуле Виллиса, в которой функцию чисел зубьев выполняют числа периодов [3]. Размеры тел качения (сателлитов) не влияют на кинематические параметры передачи.
88
Рассмотрим обратную задачу. Предположим, существует сферическая кривая, образованная как след плоскости, проходящей через начало координат О, через одну из осей (Ох или Оу), и образующей с другой осью угол в (рис. 3). Данный след будет представлять собой окружность, образованную поворотом средней (лежащей в плоскости хОу) окружности-прообраза с уравнениями
{ х = Я соб(ґ / Я), у = Я / Я), г = 0}.
Если наклон плоскости осуществлен по отношению к оси Оу, то в результате поворота происходит следующее преобразование уравнений кривой: поскольку осуществляется поворот относительно оси Ох, преобразования координаты х не происходит, т. е. х' = Я соб( / Я); в плоскости уОг проекция отрезка ОМ (М -
произвольная точка) на ось Оу поворачи- y'M = yM cos0 = Rsin(t/R)cos0;
вается на угол в. Пусть точка M на окружности-прообразе имеет координаты z'м = yM sin 0 = R sin(t / R) sin 0.
(хм, yM), тогда после поворота ее координаты примут вид:
Рис. 3. К определению уравнений следа плоскости на сфере: 1 - поверхность сферы; 2 - след плоскости
Таким образом, параметрические уравнения кривой, образованной как след плоскости на сферической поверхности, определятся по уравнениям:
xsf = R cos(t / R); ysf = R sin(t / R) cos 0;
zsf = R sin(t / R)sin 0. (8)
Угол 0, в отличие от угла у, зависящего от параметра t (см. рис. 1), имеет фиксированное значение и равен A / R.
Уравнения (8) не в полной мере сопоставимы с уравнениями (1)...(3). Наличие множителя-коэффициента cos в во втором уравнении системы (8) приводит к определению при заданном значении параметра t координаты точки М (см. рис. 3), проекция которой на плоскость xOy не лежит на луче, исходящем из центра О под углом t/R к оси Ox. Однако очевидно, что проекция окружности, описываемой уравнениями (8), на плоскость xOy будет представлять собой эллипс, уравнение которого
x
f y2f
sf S sf 1
—— +-----------------= 1
R2 R2 cos20
(9)
При этом ysf = xsf • tg преобразований
V R J
и после
R cos0 • cos
xsf =■
t
cos 0 •cos2
V
t \ ■ — I + sin
R J
. (10)
R
Выразив у/ из уравнения (9), подставив в него значение х/ из выражения (10) и произведя необходимые преобразования, получим
R cos0 • sin
ysf =-
t
cos 0 •cos2
— I + sin
R J
t
. (11)
Подставив выражения (10) и (11) в
2 2 2
V + ysf + Zsf
разим значение координаты zsf :
уравнение сферы x2 + y2 + z2 = R2, вы-
t
2
t
Я я1п в • я1п
Я
г/ =
У
соя в•соя2
t
— 1 + Б1п
V Я )
Я
(12)
г/ =■
_ А Л .Г Zt Я ящ — I • ящ —
.Я) V Я
/соз2! А1-соэ2Г-] + 81п2Г-
Я
Я
Я
(15)
Таким образом, параметрические уравнения рассматриваемой сферической кривой, помимо уравнений (8), также можно представить в виде выражений (10).(12). Если рассматривать эту кривую как однопериодную, преобразовав вышеуказанные уравнения, можно получить уравнения, описывающие семейство многопериодных кривых данного типа:
х/ =-
Я I АI Г t
ЯсоЗ — I • соя —
.Я) V Я
У/
2 I А I 2 Г Zt (соя I — I • соя | — I + Я1п
я ) V я
Я Га'1 • Г t'
Я соя — |• яш —
\я) 1я,
;(13)
2 Г А I 2 Г Zt I . 2 Г Zt '
соя I — |• соя I — ! + Я1п I —
;(14)
Я
Я
Я
Схема взаимодействия двух сферических кривых показана на рис. 4.
Исследовать свойства пространственных кривых удобно с помощью уравнения развертки на плоскость. Чтобы получить уравнение плоской развертки исследуемой кривой, необходимо согласно уравнению (1) произвести следующие преобразования:
) = И
Л
агсят
*/
Я
= Я агся1п
(соя2; А !• соя2 Г—1 + ят2 Г—
Я
Я
Я
.(16)
Сравним три типа однопериодных и многопериодных кривых (рис. 5) с одинаковыми параметрами: А = 10 мм, Я = 20 мм, Ъ = 1 и Ъ = 4.
t
t
2
4 3
11
7,3
3,7
О
-3,7
-7,3
-11
/ 7- Л д / і І \\/ Г-у / # А
А уг //Уж і ч і * ід А Ф і \ н *А / * м С 9 Ц // \\
Ил у ^ /# ц
15,? V 31,4 \ 7 47,1 // V 78,} і і НО 1 \ууІ
\\ г \Ч к./ ‘иг ч ж
\//
Рис. 5. Плоские развертки различных кривых: 1, 2 - однопериодные синусоида и кривая по уравнению (16); 3, 4 - многопериодные синусоида и кривая по уравнению (16); 5, 6 - однопериодная и многопериодная кусочно-винтовые кривые
Кусочно-винтовые кривые на сфере описываются параметрическими уравнениями:
( г ^
X
&
(_)= Л
СОБ
Я
X СОБ
2 А пЯ
■ агсэт
(17)
X соэ
2 А
пЯ
-агсэт
тт I ; (18)
(.) = Я БІП
2А
пЯ
■агсБіп
— I . (19)
V V Я ] у ]
Уравнение плоской развертки кусочно-винтовой кривой:
2А
2 =------аГСБІП
п
БІПІ
7__
Л
(20)
Как видно из рис. 5, разница между синусоидой и кривой, описываемой уравнением (16), при данных геометрических параметрах минимальна, однако существует. Анализ показал, что изменение значения разницы между координатами г этих кривых от параметра _ носит перио-
дический характер. Производная &(_)/&. определяет тангенс угла подъема кривых и характеризует углы давления и КПД передачи по аналогии с кулачковыми и винтовыми механизмами.
Механическая передача, реализованная в редукторе с передаточным отношением, равным 15, созданная на основе взаимодействия кривых, описанных уравнениями (13)...(16), показана на рис. 6.
Отличие конструкции редуктора на рис. 6 от конструкции передачи, представленной на рис. 2, заключается в повышении технологичности изготовления отдельных деталей. В обоих случаях изготовление многопериодной кулачковой поверхности должно производиться на фрезерных станках с ЧПУ. Однако однопериодная синусоида на сфере не является окружностью, а значит, изготовление этой беговой дорожки также сопряжено с необходимостью изготовления ее на станках с ЧПУ, в отличие от передачи на рис. 6, где на внутреннем кулачке изготовлена беговая дорожка в виде кольцевого паза, которая может быть выполнена на универсальных станках токарной группы. Внутренний кулачок при этом располагается на валу с осью, наклоненной по отношению к оси 02 на угол в.
г
х
Рис. б. Планетарный сферический шариковый редуктор
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Становской, В. В. Передачи со свободными телами качения, обзор патентной литературы /В. В. Становской, Т. А. Ремнева, С. М. Казакявичус // Прогрессивные зубчатые передачи : сб. науч. тр. - Новоуральск, 2003. -С. 61-94.
2. Игнатищев, Р. М. Синусошариковые редукторы / Р. М. Игнатищев. - Минск : Выш. шк., 1983. -107 с.
3. Лустенков, М. Е. Определение основных геометрических параметров планетарных шариковых передач / М. Е. Лустенков // Сборка в машиностроении и приборостроении. - 2008. -№ 1. - С. 12-17.
Белорусско-Российский университет Материал поступил 11.02.2010
M. E. Lustenkov, I. I. Makovetsky Spherical planetary ball transmissions with racetracks of various types
In paper some theoretical problems of making of transmissions with the intermediate balls in gearing are observed. The effective areas (racetracks) of the basic links of the observable transmissions are situated on spherical surfaces. The equations of the interacting curves of several types are resulted.
