Теорема Помпейю и ее обобщения Текст научной статьи по специальности «Математика»

НА СТАВНИК- УЧЕНИК

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (22). 2017

УДК 517.2

ТЕОРЕМА ПОМПЕЙЮ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ С. И. Калинин, А. В. Дозморов

В работе рассматриваются два обобщения теоремы Помпейю о среднем значении.

Ключевые слова: теорема Помпейю, теорема Лагранжа, дифференцируемая функция.

В статье [1] воспроизводится следующая теорема о среднем значении для дифференцируемой на отрезке функции, именуемая теоремой Помпейю.

Теорема 1. (Б. Рошреш) Пусть f — дифференцируемая на отрезке [а; Ь] числовой прямой функция, при этом 0 ф [а; Ь]. Тогда для любых двух различных точек х1,х2 из [а; Ь] найдется лежащая между ними точка такая, что

(х2) — ^(Х1> = f (о - ет (1)

Х1 — х2

В цитируемой статье приводится доказательство данной теоремы (см. п. 2 статьи) и отмечается, что она впервые была установлена в работе [2].

Схемой упоминаемого доказательства мы воспользуемся ниже при доказательстве нашей теоремы 3, обобщающей теорему Помпейю, а пока скажем, что его анализ допускает возможность формулирования теоремы 1 в более слабых предположениях относительно функции f — достаточно считать, что функция f непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема внутри его.

С учетом отмеченного переформулируем теорему 1 в форме, присущей классической теореме Лагранжа.

© Калинин С. И., Дозморов А. В., 2017.

Теорема 2. Пусть функция / непрерывна на отрезке [а; Ь], не содержащем точки х = 0, и дифференцируема на интервале (а; Ь). Тогда найдется точка С, С £ (а; Ь), такая, что

а/(Ь) - Ь/(а)

аЬ

/(С) - С/'(С). (2)

Теорему 2 условимся называть так же, как и теорему 1, — теоремой Помпейю. Очевидно, теорема 2 влечет теорему 1.

Опираясь на [1], приведем геометрическую интерпретацию теоре-

2 Н а/(Ь) - Ь/(а)

мы 2. Нетрудно проверить, что значение - есть ордина-

а — Ь

та точки М пересечения прямой, соединяющей концы А и В графика функции / на отрезке [а; Ь], с осью ординат. Аналогично значение /(С) — С/'(С) есть ордината точки пересечения с данной осью касательной к этому графику в точке М0(С; /(С)). Таким образом, описанные прямая и касательная пересекают ось ординат в одной точке М.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация теоремы Помпейю

Установим теорему типа теоремы 2, формулируемую в терминах односторонних производных и обобщающую теорему 2.

Теорема 3. Пусть функция / определена и непрерывна на отрезке [а; Ь] (0 £ [а; Ь] ) числовой прямой и в каждой точке х интервала (а; Ь) обладает конечными односторонними производными /_ (х), /+ (х). Тогда найдется точка С, С £ (а; Ь), такая, что разностное отноше-

а/(Ь) - Ь/(а)

ние --- будет содержаться в отрезке с концами в точках

а - Ь

/(С) - С/_(С)/(С) - / (С).

Замечание 1. Легко видеть, что теорема Помпейю (в нашей редакции) есть следствие сформулированной теоремы 3.

Замечание 2. Учитывая геометрическую интерпретацию теоремы Помпейю, приведенную выше, аналогично можно интерпретировать теорему 3: точка пересечения прямой, соединяющей концы графика функции f на отрезке [а; Ь], с осью ординат принадлежит отрезку на этой оси, вырезаемому односторонними касательными к графику рассматриваемой функции в точке (£; f (£)). В случае дифференцируемо-сти функции f в точке £ упоминаемый отрезок, очевидно, выродится в точку.

Приведем иллюстрацию сформулированной теоремы на конкретном примере. Рассмотрим функцию f (х) = |х — 1|,х € ; 2]. Для нее раз-

af (Ь) — (а) 1 с ностное отношение---принимает значение 1, а роль точки £

а — Ь 3

выполняет точка 1, при этом величины f (£) — £/- (£), f (£) — £/+ (£) равны соответственно 1 и -1. Таким образом, имеем включение 1 € [—1; 1] (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация теоремы 3

Для доказательства теоремы 3 нам потребуется следующее обобщение теоремы Лагранжа.

Теорема (B. Finta, [3]). Если непрерывная функция f: [a; b] ^ R в каждой точке x интервала (a; b) обладает конечными односторонними производными f'_(x),f+ (x), то найдется хотя бы одна точка £,£ G (a; b), такая, что отрезок с концами в точках f'_(£), f'+ (£) будет,

д б f (a) - f (b)

содержать в себе значение---.

ab

Докажем сейчас теорему 3. Введем в рассмотрение функцию F(t) = tf ((-). Она является непрерывной на отрезке [(, a] и для каждого t из интервала )(, обладает односторонними производными F-(t) = f ()) - 1 f- ()) ,F\(t) = f ()) - )f+ ()). В силу теоремы Finta можем заключить: найдется точка ^ ((, (), такая, что значение F (!) - F (I) а

—-( будет содержаться в отрезке с концами в точках F-(n),

a b

F+(n). Но имеют место соотношения:

F (a) - F (() = af (a") - ( f (b) = bf (a) - af (b) = af (b) - bf (a), ( — ( ( — ( b — a a — b '

a b a b

™=- ^ - М ПУ

Полагая 1 = из данных соотношений получаем требуемое. Теорема доказана.

Установим еще одну теорему, обобщающую теорему Помпейю. Но прежде докажем вспомогательную лемму, нужную нам для доказательства упоминаемой теоремы.

Лемма. Пусть р: [а; Ь] ^ К — функция, удовлетворяющая всем условиям классической теоремы Ролля о среднем значении, т. е.:

1) р непрерывна на рассматриваемом отрезке;

2) дифференцируема внутри его;

3) р(а) = р(Ь).

Тогда на интервале (а; Ь) найдется хотя бы одна точка такая, что

Р(а) = р® - (3)

Доказательство. Если p(x) = const, то соотношение (3) выполняется с очевидностью.

Предположим, что условие p(x) = const не выполняется. Введем в рассмотрение прямоугольник П, ограниченный вертикальными прямыми x = a,x = b и горизонтальными прямыми y = m,y = M, где

m = inf p,M = sup p (см. рис. 3). В силу условия 1) значения m и M М [a;b]

функцией p в некоторых точках отрезка [a; b] принимаются. Очевидно, график rv функции p будет принадлежать П.

Пусть а — угол, под которым прямоугольник П виден из точки К(0; <^(а)). Отметим, что раствор данного угла меньше п. Обозначим через в угол, под которым из точки К виден график Г^. Очевидно, в С а, а сторонами данного угла являются невертикальные лучи, исходящие из точки К и опорные к кривой Г^. Заметим также, что хотя бы один из таких лучей не будет содержать хорду, стягивающую концы Г<^, поскольку в силу условия 3) одно из значений т и М достигается во внутренней точке отрезка [а; Ь]. Этот луч обозначим I.

В силу условия 2) леммы Г^ — гладкая кривая, следовательно, продолжение I является касательной к кривой Г^ в некоторой его точке Р(с; <^(с)), с £ (а; Ь). Запишем уравнение данной касательной:

У = ^(с) + </(с)(х - с)-

Полагая в нем х = 0, найдем значение ординаты ум0 точки М0:

Умо = ^(с) + ^/(с)(-с).

С другой стороны, ум0 = <^(а), потому можно заключить, что искомой точкой £ является точка с. Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть функции f и д определены и непрерывны на отрезке [а; Ь](0 £ [а; Ь]) числовой прямой и дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем д'(х) = 0, х € (а; Ь). Тогда найдется точка £, £ € (а; Ь),

такая, что

/(о)/(Ь) - /(Ь)/(а) =

д(а) - д(Ь)

= f <£» - /Ц/ д® - - ^ д'(е0. (4)

Доказательство. Отметим, во-первых, что в силу теоремы Ролля и условия д'(х) = 0,х £ (а; Ь), дроби, участвующие в записи соотношения (4), имеют смысл. Это говорит о корректности записи (4). Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

р(х) = f (х) - /(Ь) - ^д(х). д(Ь) - д(а)

Нетрудно проверить, что она удовлетворяет всем условиям установленной леммы, следовательно, для нее будет выполняться соотношение вида (3):

Р(а) = Р(£) - £Р'(£),£ £ (а; Ь),

или

,( ) f (Ь) - f (а) ( )

/(а) —ттч—гт д(а) =

д(Ь) - д(а)

г(СЛ /(Ь)-/(а) т ^ f (Ь) - f (а) ,/^Л м

=f (£) - ж-^)д(£) - £ lf (£) - Ж-Ж д «V '£ £ (а; Ь)

Отсюда имеем соотношение (4). Теорема доказана.

Замечание 3. Если в условиях теоремы 4 положить д(х) = х, то мы имеем утверждение теоремы 2. Таким образом, теорема 4 обобщает теорему Помпейю. По отношению к последней она играет такую же роль, как теорема Коши по отношению к теореме Лагранжа.

Список литературы

1. Dragomir S. S. An inequality of Ostrowski type via Pompeiu's mean value theorem // http://www.emis.de/journals/JIPAM/index-4.html: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 6(3) Art. 83, 2005. URL: http://www.emis.de/journals/JIPAM/article556. html?sid=556 (date of the application: 09.03.2017).

2. Pompeiu D. Sur une proposition analogue au théorème des accroissements finis, Mathematica, Cluj, Romania, 22, 1946, p. 143-146.

3. Finta B. A generalization of the Lagrange mean value theorem, Octogon, 4, № 2, 1996, p. 38-40.

ВятГУ Поступила 09.03.2017

Summary

The two generalizations of the Pompeiu theorem for mean are considered. Keywords: Pompeiu's theorem, Lagrange's theorem, differentiable function.

References

1. Dragomir S. S. An inequality of Ostrowski type via Pompeiu's mean value theorem // http://www.emis.de/journals/JIPAM/index-4.html: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 6(3) Art. 83, 2005. URL: http://www.emis.de/journals/JIPAM/article556. html?sid=556 (date of the application: 09.03.2017).

2. Pompeiu D. Sur une proposition analogue au théoreme des accroissements finis. Mathematica. Cluj, Romania, 22, 1946, pp. 143-146.

3. Finta B. A generalization of the Lagrange mean value theorem. Octogon. 4. № 2, 1996, pp. 38-40.

Для цитирования: Калинин C. И., Дозморов А. В. Теорема Пом-пейю и ее обобщения // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 1 (22). C. 72-78.

For citation: Kalinin S. I., Dozmorov A. V. Pompeiu theorem and its generalizations, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №1 (22), pp. 72-78.