Теорема Флетта о среднем значении и ее обобщения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 18.2013

УДК 517.2

ТЕОРЕМА ФЛЕТТА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И ЕЕ

ОБОБЩЕНИЯ

С. И. Калинин

Работа посвящается рассмотрению различных обобщений известной теоремы Флетта о среднем значений.

1. Введение.

В 1958 г. в работе [1] была установлена следующая теорема, дополняющая список хорошо известных классических («французских» [2]) теорем о среднем значении для дифференцируемых функций.

Теорема (The Flett Theorem). Пусть f : [a; b] ^ R — дифференцируемая на отрезке [a, b] числовой прямой функция, при этом f'(a) = f '(b). Тогда найдется хотя бы одна точка £ Е (a, b), такая, что

щ-т = f{0 (1)

£ - a

Приведенная формулировка теоремы осуществлена в авторской редакции. Детальный анализ ее доказательства позволяет заключить, что она может быть сформулирована и в отношении другого конца отрезка [a; b]: в условиях теоремы найдется хотя бы одна точка п П Е (a; b), такая, что будет справедливо соотношение

М-Ж = ш (2)

b — п

a

b

Обратимся к геометрической интерпретации соотношений (1) и (2). Из (1) следует, что продолжение хорды AC графика Г/ функции f, соединяющей точки A(a; f (a)) и C(£; f (£)), является касательной к этому

© Калинин С. И., 2013.

графику в точке С Аналогично интерпретируется (2): касательной к Гf в точке Б(п; /(п)) является продолжение хорды БВ, где В = В(Ь; /(Ь)).

Заметим также, что если в соотношениях (1) и (2) точки £ и п совпадают, то £ есть точка, доставляемая формулой Лагранжа функции /

В разное время нами были получены различные обобщения представленной теоремы Флетта. Так, ослабив условия^ связанные с диф-

/

лируем в терминах односторонних (левосторонней и правосторонней) производных функции. Позже, в статье [4] теорема Флетта была сформулирована в терминах только одной из односторонних производных функции (правосторонней). Далее, в работе [5] нам удалось обосновать так называемый многомерный аналог теоремы Флетта. Упоминаемые обобщения обсуждались в докладе международной конференции [6].

Наконец, оказалось возможным формулирование рассматриваемой тео-

/

Н&СТОЯТЦвИ работы является объединение упоминаемых результатов в рамках одной статьи и представление того метода, который позволяет обосновать эти результаты.

2. Теорема Флетта в терминах односторонних производных.

Ослабим условия^ связанные /

фигурирующей в формулировке теоремы Флетта. Условимся предпола-функция в точках рассматриваемого отрезка обладает лишь односторонними роизводными. Справедлива

Теорема 1. Пусть / : [а, Ь] ^ И. — функция, обладающая на отрезке [а; Ь] односторонними производными /±(х), х Е (а; Ь), /+ (а), /_(Ь), при этом /'+ (а) = /_ (Ь). Тогда в интервале (а; Ь) найдутся точки £ и п такие, что выполнятся условия: значение ^будет принадлежать отрезку с концами в точках /_ (£), /+ (£), а значение ^(ЬЬь__П будет содержаться в отрезке с концами в точках /_ (п), /+ (п)-

Установим сначала теорему в предположении, что

/+ (а) = /_ (Ь) = 0. (3)

В этих условиях введем в рассмотрение функцию д : [а; Ь] ^ И, полагая

,х Е (а; Ь],

и

д(х) , „ , ч

_ (а),х = а.

Очевидно, что д — непрерывная на отрезке [а; Ь] функция, которая в каждой внутренней точке х этого отрезка обладает обеими ОДНОСТОронними производными д-(х), д+(х):

/ ( ) /±(х)(х - а) - (/(х) - /(а)) /(х) - /(а) + /±(х)

д±(х) =--(—42-= —1—+ — 'х Е (а;Ь)■

(х - а)2 (х - а)2 х - а

Если окажется, что д(Ь) = 0, то функция д на отрезке [а; Ь] будет удовлетворять так называемому обобщенному свойству Ролля [7] (функция непрерывна на отрезке, внутри его обладает односторонними производными, на концах отрезка принимает равные значения), и тогда в силу этого свойства найдется хотя бы одна точка £ Е (а; Ь), такая, что значение у = 0 будет содержаться в отрезке с концами в точках д-(£), д+ (£)■ По-другому этот факт можно описать так: значение у = 0 будет принадлежать отрезку с концами в точках - ^-а)2> + - + —а >

откуда следует, что значение ^а будет содержаться в отрезке с концами в точках /-(£), /+(£)•

В этом случае теорема в отношении левого конца х = а отрезка [а; Ь] доказана. Если же д(Ь) = 0 то либо д(Ь) > 0 либо д(Ь) < 0. Рассмотрим случай: д(Ь) > 0. Тогда имеем:

/ Ь) /(Ь) - /(а) + /-(Ь) д(Ь) < 0 д-(Ь) = - (Ь-а)2 + Ь-а = -Ь-а<0

Следовательно.

найдется точка хь хх Е (а; Ь), такая, что будет

ВЫ ПОЛ-

д(х\)-д(Ь) гл

няться соотношение ~ ь < 0^ из которого вытекает неравенство д(х\) > д(Ь). Таким образом, имеем условие д(х\) > д(Ь) > д(а). Из него в силу непрерывности функции д найдется точка х2, х2 Е (а; х\), такая, что д(х2) = д(Ь). В рассматриваемом случае можно заключить, что на отрезке [х2; Ь] функция д будет

удовлетворять

обобщенному свойству

Ролля, которое и обеспечивает существование соответствующей точки £

д(Ь) < 0

д-(Ь) = -д^а > 0, в силу которого найдется точка х3, х3 Е (а; Ь), такая,

что выполнится неравенство д(х33-1> 0. Из этого неравенства следует, что д(х3) < д(Ь). Так как д(х3) < д(Ь) < д(а), то найдется точка х4, х4 Е (а; хз), такая, что д(х4) = д(Ь). Последнее влечет условие: на отрезке [а; Ь] д

снова

обеспечивает существование искомой точки £ Таким образом, в предположении (3) теорема для левого конца от-[а; Ь]

но рассмотреть функцию к(х) = /(х) - х/+(а). Легко проверить, что

для нее выполняется условие Ь!+(а) = Ь!_(Ь) = 0. Следовательно, по

£ £ Е (а; Ь)

ЦП _Ы(а) ^

но свойство: значение а будет принадлежать отрезку с концами в точках Н'_(£), Ь,'+(£). Но, заметим, значение _ равно разности ^_а/(а) — /+ (а), а значения Н'_(£), Ь,'+(£) совпадают соответственно с разностями /_(£) — /'+ (а), /'+ (£) — /[_(а). Отсюда следует, что значение

^^га^ будет заключаться в отрезке с концами в точках /_ (£), /'+ (£).

£

ностыо обосновано.

п

выглядят аналогично. В этом случае в качестве вспомогательной функ-д(х)

д(х)

^ х Е [а; Ь), ''_ (Ь),х = Ь.

Теорема 1 доказана.

/

является гладкой, то мы имеем теорему Флетта.

3. Теорема Флетта в терминах лишь одной из односторонних производных.

Условия, связанные с дифференцируемостью функции в теореме Флетта, попытаемся ослабить еще более. Будем предполагать, что данная функция обладает лишь одной из односторонних производных, скажем, правосторонней. Справедлива

Теорема 2. Пусть / : [а,Ь] ^ И — непрерывная функция, обладающая конечной правосторонней производной /'+ (х), х Е [а; Ь), а также конечной производной /_ (Ь), при этом /(а) = / _ (Ь). Тогда в интервале ( а; Ь) £ п

ж-ж > /_ < д (4)

£ — а п — а

Для доказательства теоремы 2 нам потребуется следующая вспомогательная теорема из [8], обобщающая теорему Ролля.

Теорема А [8, с. 57-58]. Е ели непрерывная функция / : [а,Ь] ^ И в каждой точке х интервал а (а; Ь) обладает конечной правосторонней производной /(х) и /(а) = /(Ь), то в интервале (а; Ь) найдутся точки £ и п такие, что будут выполняться неравенства /(£) > 0 /- (п) ^ 0.

Теорема А может быть переформулирована и в терминах левосторонней производной.

Доказательство теоремы 2 проведем по схеме обоснования теоремы 1, снова используя метод введения вспомогательной функции. Установим сначала теорему в предположении, что

/+(а) = /- (Ь) = 0■ (5)

В данных условиях введем в рассмотрение функцию д : [а, Ь] ^ И., полагая

Х-ОТ1 ,х Е (а; Ь],

(&х

и

д(х) . ,/ , ч

_ (а),х

д [а; Ь]

х

производной д+(х):

/ ( ) /+(х)(х - а) - (/(х) - /(а)) /(х) - /(а) + /+(х)

д+(х) = —--^-=---гг- + —-,х Е (а; Ь)■

(х - а)2 (х - а)2 х - а

д(Ь) = 0 д [а; Ь]

удовлетворять всем условиям теоремы А, и тогда в силу этой теоремы найдутся точки £ Ц', Е (а; Ь), такие, что будут выполняться нера-

В6НСТВс1

- /(£) - /(а) + №) < 0 - /(п) - /(а) + Ш > ^ (£ - а)2 £ - а ~ ' (п - а)2 п - а ~ '

откуда следует, что

/Щ-Щ)^ Р (С\ /(п) - /(а) ^ г/ ( \ (а\

-т-> /+(£),-< /+(п)■ 6

£- а п - а

В этом случае теорема 2 доказана.

д(Ь) = 0 д(Ь) > 0 д(Ь) < 0

Пусть д(Ь) > 0. При данном условии имеем:

(Ь - а)2 Ь - а Ь - а

Значит, найдется точка х\, х\ Е (а; Ь), такая, что будет выполняться соотношение < 0 из которого следует неравенство д(х\) > д(Ь).

Так как д(а) = /+(а), то справедливо двойное неравенство д(х\) > д(Ь) > д(а). Из него в силу непрерывности функции д следует:

найдется точка x2, x2 Е (a; x\), такая, что g(x2) = g(b). Тогда можно заключить, что на отрезке [x2; b] функция g будет удовлетворять всем условиям теоремы А, применение которой обеспечивает нахождение соответствующих точек £ и п из интервала (x2; b), для которых будут выполняться неравенства (6)-

Пусть теперь g(b) < 0. Тогда будет иметь место соотношение g_(b) =

— fza > 0 в силу которого найдется точка x3} x3 Е (a; b), такая, что

выполнится неравенство ~з~) ь^ ^ ^ 0* этого неравенства следует, что g(x3) < g(b). Так как g(x3) < g(b) < g(a), то найдется точка x4, x4 Е (a; x3), такая, что g(x4) = g(b). Последнее влечет условие: на отрезке [x4; b] функция g будет удовлетворять всем условиям теоремы А, что снова обеспечивает существование соответствующих точек £ и п из интервала (x4; b), для которых будут выполняться неравенства (6).

Таким образом, в предположении (5) теорема 2 полностью доказана.

Если же условие (5) не выполняется, то можно рассмотреть функцию h(x) = f (x) — xf'+ (a). Нетрудно проверить, что для нее выполняется условие h'+ (a) = h_ (b) = 0. Следовательно, по доказанному выше найдутся такие точки £, п £,П Е (a; b), для которых будут выполняться неравенства

h(£)— h(a) > h'+ £), h(n) — h(a) < h'+ (п). £ — a п — a

TT h(0 _ h(a) h(n) _ h(a)

Но, заметим, значения ^_ a , ^_a равны соответственно разностям a_ ^ — f'+ (a), aa(a) — f'+ (a), а значения h'+ (£), h'+ (п) совпадают с соответствующими разностями f(£) — f'+ (a), f'+ (п) — f(a). Отсюда имеем неравенства (6).

Теорема 2 полностью доказана.

Замечание 1. Техника доказательства установленной теоремы позволяет заключить, что ее можно переформулировать в отношении пра-[a; b]

Замечание 2. Теорему 2 можно сформулировать и в терминах левосторонней производной функции. В этом случае доказательство будет выглядеть так! ^жс.

4. Многомерный вариант теоремы Флетта.

Отмечаемый в данном пункте вариант теоремы Флетта доставляется следующим утверждением.

[a; b] a =

(а1., ап) и Ь = (р1,..., Ьп) в пространстве И.п , т. е.

[а; Ь] = {х = (х\,..., хп) : хг = аг + Ь(Ьг — аг),Ь Е [0; 1], г = 1,... ,п} ,

и f : [а,Ь] ^ И — дифференцируемая функция, обладающая свойством gтadf (а) = (Ь). Тогда внутри отрезка [а; Ь] найдутся точки £ и п

такие, что будут иметь место соотношения

f (£) — f (а) = (£ — а, (£)), (7)

f (Ь) — f (п) = (Ь — п, (п)), (8)

где символ (•, ■) обозначает скалярное произведение векторов пространства И.п.

Ясно, что соотношения (7) и (8) являются аналогами равенств (1) и (2) соответственно.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию одной действительной переменной Б(Ь) = f (а1 + Ь(Ь1 — а1),... ,ап + Ь(Ьп — ап)), Ь Е [0; 1]. Покажем, что данная функция на отрезке [0; 1] удовлетворяет всем условиям теоремы Флетта.

Действительно, в силу дифференцируемости функции f на отрезке [а; Ь], функция Б на отрезке [0; 1] обладает производной

п

) = ^2 &i (аг + Ь(Ь\ — а{),...,ап + Ь(Ьп — ап))(Ьг — аг),

г=1

При ЭТОМ Г'(0) = £11 fLi (а1,.. . ,ап)(Ьг — аг), (1) = ТГг=1 1(ЬЪ . . . ,Ьп )(Ьг —

аг). Отсюда на основании условия gтadf (а) = gтadf (Ь) заключаем, что Б'(0) = Б'(1). Нужное установлено.

По теореме Флетта найдется точка Ь, Ь Е (0; 1), обладающая свойством Р^(0) = Б'(£), или Б(Ь) — Б(0) = Б'(Ь) ■ Ь . В более подробной записи последнее равенство выглядит так!

f (а1 + Ь(Ь1 — а1),...,ап + Ь(Ьп — ап)) — f (аъ ...,ап) =

п

= Ь & (а1 + Ь(Ь1 — а1), ...,ап + Ь(Ьп — а,п))(Ьг — аг).

г=1

Полагая £г = аг + Ь (Ьг — аг), г = 1,... ,щ £ = (£1,. . . , £п), отсюда имеем

п £ —

f (£) — f (а) = £ Цi (£1,... ,£п)(Ьг — аг) ,

■ Ьг аг

г=1

что равносильно (7).

Свойство, связанное с соотношением (8), устанавливается аналогично. Теорема 3 доказана.

5. Теорема Флетта в терминах верхней и нижней производных.

Напомним сначала определения понятий верхней и нижней произВ од н ых функции в точке. Верхней производной //(хо) функции / в точке х0 называется следующий верхний предел разностного отношения:

/(х) - /(хо)

f'(Хо) = lim

x^x0 X — x0

Аналогично определяется нижняя производная f' (x0) функц и и f в точке x0'

f '(xo )=Ш М—Ш.

— x^x0 x — x0

Справедлива следующая теорема, обобщающая классическую теорему Флетта.

Теорема 4. Пусть f : [a,b] ^ R — функция, обладающая конечными верхней f'(x) и нижней f' (x) производными в точках x интервала (a; b), а также односторонними производными f+(a) и f'_(b), при этом f+(a) = f-(b) . Тогда на интервале (a; b) найдутся точки £ n такие, что будут иметь место включения

f (£) — f (a) £ — a

f (b) — f (n)

e f (£); f'(£)] , (9)

e f (n); f'(n)], (10)

Ь - п

Доказательству сформулированной теоремы предпошлем вспомогательную лемму о вычислении верхней и нижней производных произве-Д6НИЯ функций.

Лемма. Пусть функции м^ определены на одном и том же множестве Б числовой прямой Ох, х0 — его предельная точка. Пусть, далее, функция и в данной точке обладает конечными верхней и_(х0) и нижней и_(х0) производными, а функция V — дифференцируема в ней. Тогда произведение ^ также обладает конечными верхней и нижней производными, при этом справедливы соотношения

(ш)_(х0) = и_ (х0^(х0) + u(x0)v/(х0),

(^)_(х0) = u_(x0)v(x0) + и(х0)^ (х0), (11)

если v(x0) > 0;

(ш) (х0) = и (х0^(х0) + u(x0)v/(х0),

(^У(х0) = и (х0^(х0) + и(х0)^ (х0), (12)

если v(x0) < 0.

(иь)(х)-(иь)(хо)

VI £>1.. А оопи^шис и! пишсппс

представим следующей суммой

Доказательство леммы. Разностное отношение

^^ х-хо

(ш)(х) - (ш)(х0) и(х) - и(х0) ^(х) - v(x0)

-=-v(xо) + и(х0)--+

х - х0 х - х0 х - х0

+ и(х) - и(х0 ^(х) - v(xо)),x Е Б. (13) х - х0

В силу дифференцируемости функции v(x) в точке х0, при х ^ х0 разностное отношение ^хх-х0,хо) %Дет стремиться к ^(х0), а разность v(x) - v(x0) —- к нулю. Кроме того, в силу конечности величин и!(х0) и и(х0), будет ограниченным разностное отношение ^х-иО*0 • Следовательно, для суммы второго и третьего слагаемых в (13) будет существо-вэ/ть предел

. ( М^-фи) , и(х) - и(х0), , Л , ^ ( \ /( \

1ш и(х0)--1--^(х) - v(x0)) = и(х0т (х0).

-хо ^ х - х0 х - х0 )

(14)

Так как

/и(х) - и(х0), Л Ги(х0^(х0)^(х0) > 0, V х - х0 ) (^и/

Иш -v(x0) =

х-хо \ х - х0 ) [и/(x0)v(x0),v(x0) < 0,

^ /и(х) - и(х0)Л = \и(х0^(х0)^(х0) > 0, о V х - х0 ) [и(х0^(х0)^(х0) < 0,

то отсюда и (13)—(14) получаем соотношения (11)—(12). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 4. Снова условимся следовать схеме установления теоремы 1, вводя подходящим образом вспомогательную функцию. Докажем сначала теорему 4 в предположении, что

Д (а) = Г_ (Ь) = 0. (15)

В данных условиях введем вспомогательную функцию

(^ЬЖ ,х Е (а; Ь]

(Их

Ь;

9(х) , ,', ,

' (а), х = а.

Нетрудно видеть, что д — непрерывная на отрезке [а; Ь] функция. В

х

конечными верхней и нижней производными д'(х) и д'(х):

д'(х) = ^(х) — f (а))' (х) ■ + и(х) — f (а)) ■ (— )

7 (х) f (х) — f (а)

х — а (х — а)2

д- (х) = (ш—щ)' (х) ■ ^ + а (х) — f (а)) ■ (—х—^) =

I (х) f (х) — f (а)

х — а (х — а)2

В силу (15) д(а) = 0. Если окажется, что д(Ь) = 0, то функция д на [а; Ь] удовлетворять обобщенной теореме Ролля [9, с. 57], и

тогда по цитируемой теореме найдется хотя бы одна точка ^ £ Е (а; Ь), такая, что д'(£) < 0 < д' (£), или

(£) f (£) — f (а) < 0 < т — f (£) — f а. (1б)

£ — а (£ — а)2 £ — а (£ — а)2

Но, заметим, (16) равносильно неравенству f'(£) < И- < ^(£)• В рассматриваемом случае включение (9) установлено. Если д(Ь) = 0 то либо д(Ь) > 0 либо д(Ь) < 0. Рассмотрим ситуацию, когда д(Ь) > 0. Тогда имеем:

д' (Ь) = Ш. — f (Ь) — f (а) = — Ш. < 0.

Ь — а (Ь — а)2 Ь — а

Отсюда следует, что найдется точка х\, х\ Е (а; Ь), такая, что будет выполняться условие 9(х11-^ < 0, из которого вытекает неравенство

д(х\) > д(Ь). Таким образом, справедливо условие д(х\) > д(Ь) > д(а),

д

ка х2, х2 Е (а; х\), такая, что д(х2) = д(Ь). Следовательно, на отрезке [х2; Ь] функцпя д будет удовлетворять условиям выше использованной обобщенной теоремы Ролля, которая и обеспечивает существование соответствующей точки £, £ Е (х2; Ь) С (а; Ь).

д(Ь) < 0

' (Ь) = —Ь) — f (Ь) — f (а) = — Ж > 0}

Ь — а (Ь — а)2 Ь — а '

следовательно, найдется точка х3, х3 Е (а; Ь), такая, что выполнится условие 9(х31— °Ь(Ь) > 0 Последнее влечет неравенство д(х3) < д(Ь). В рассматриваемом случае имеем соотношение д(х3) < д(Ь) < д(а), из которого в силу непрерывности д следует: найдется точка х4, х4 Е (а; х3), такая, что д(х4) = д(Ь). Отсюда имеем условие: функция д удовлетворяет обобщенной теореме Ролля на отрезке [х4; Ь]. Данная теорема и обеспечивает существование соответствующей точки £, £ Е (х4; Ь) С (а; Ь).

Таким образом, в предположении (15) теорема 4 в отношении включения (9) установлена. В данном предположении рассуждения при доказательстве включения (10) выглядят аналогично —- в качестве вспомогательной функции д(х) следует, только, использовать функцию

{ Кх lf;

д(Х)={ ^ х Е а Ч

' ^ " (Ь),х = Ь.

Если же условие (15) не выполняется, то рассмотрим функцию к + (х) = f (х) — х7'+ (а). Очевидно, данная функция обладает конечны-

[а; Ь]

для нее выполняется условие к'+ (а) = к!_(Ь) = 0. Следовательно, по уже

£ £ Е (а; Ь)

условие:

Ш£) < < I

£ — а

Но, заметим,

к(£) — к(а) = f (£) — £f(а) — f (а) + аД (а) = f (£) — f (а) , )

-Ъ- = -А- = -7---1+ (а)>

£ — а £ — а £ — а

) = //(О - Г+(а), ЬЬ(£) = //(£) - /+(а), следовательно, для функции / имеем соотношение //(£) < а< // (£)• Включение (9) полностью обосновано.

Рассуждения в доказательстве включения (10) выглядят аналогично. Теорема 4 полностью доказана.

6. Заключение.

Мы рассмотрели четыре варианта обобщения теоремы Флетта. Адресуем вниманию читателя вопрос: сформулировать утверждение Флет-та в терминах двусторонней и полной производных^ введенных В. А. Поповым в [101.

Литература

1. Flett Т. М. A mean value theorem // Mathematical Gazette. 1958. Vol. 42, № 339. p. 38 39.

2. Праздникова E. В. Моделирование вещественного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел // Вестник Сыктывкарского университета. 2007. Сер. 1. Вып. 1. С. 4-1 66.

3. Калинин С. И., Шихова А. В. Теорема Флетта в терминах односторонних производных // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: Период, межвуз. сб. науч.-метод, работ. Выпуск 11. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2009. С. 67-70.

4. Калинин С. И. Теорема Флетта в терминах правосторонней производ-ной // Математика в образовании: Сб. статей. Вып. 8 / Под ред. И. С. Емельяновой. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2012. С. 275 278.

5. Калинин С. И., Шихова А. В. Многомерный вариант теоремы Флетта // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: Период, межвуз. сб. науч.-метод, работ. Выпуск 12. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. С. 82-84.

6. Калинин С. И. Теорема Флетта и ее обобщения // VI Уфимская международная конф., поев. 70-летию чл.-корр. Г АН В. В. Напалкова: «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения»: сборник тезисов. Уфа: ИМВЦ, 2011. С. 86-87.

7. Finta В. A generalization of the Lagrange mean value theorem // Octogon. 1996. 4, № 2. p. 38 40.

8. Калинин С. И. Теорема Ролля в контексте этапа обобщения работы с теоремой // Математика в школе. 2009. Жв3. С. 53-58.

9. Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.

10. Попов В. А. Новые ОСНОВЫ дифференциального исчисления. Учеб. пособие для спецкурсов. Сыктывкар : «ПОЛИГРАФ-СЕРВИС», 2002. 64 с.

Summary

Kalinin S.I. Flett's theorem about the mean value and its generalizations

The paper is devoted to the consideration of various generalizations of Flett's theorem about mean values.

Вятский государственный гуманитарный университет Поступи-

ла, 21.11.2013