Температурное поле консольной полимерной панели при вибрационном изгибе распределенным моментом Текст научной статьи по специальности «Математика»

я(г)=Иа(У). (11)

'P (ae + 1 )M, Тогда

i"c|

21 „2

£/ = -1 + Jl"-e + —.Y -—У +...; e = signe., 32 32 c

V = + F{X)=X-e + ~X2 +...,

X = H{Y)=SY + -Y2 + —У3 +... (12)

v У 8 64

Расчёт изобар аналогичен расчёту, проведённому в [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений / Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

2. Севастьянов Г. Д. Основы теории околозвуковых течений газа. Ч. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987.

3. Севастьянов Г. Д. Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 181 -184.

4. Китанин В. А., Севастьянов Г. Д. Расчёт регулярного отражения околозвукового скачка от плоской стенки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 187 - 190.

УДК 539.3

Н. М. Сироткина

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ КОНСОЛЬНОЙ ПОЛИМЕРНОЙ ПАНЕЛИ ПРИ ВИБРАЦИОННОМ ИЗГИБЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫМ МОМЕНТОМ

В данной статье исследуется температурное поле бесконечной консольной цилиндрической полимерной панели при заданном на незакрепленном крае р = а распределённом моменте M(t) = MQ coso»/. Задача решается численно с применением методов сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации. Для первых трёх значений критической частоты со« (к = 1,2,3) проведён анализ зависимости температуры саморазогрева панели от условий теплообмена с внешней средой и от значения стрелы подъёма /. Установившаяся температура панели удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводности. Предполагается, что края панели теплоизолированы, а на лицевых поверхностях задан один из следующих трёх вариантов условий теплообмена:

213

I) лицевые поверхности поддерживаются при нулевой температуре;

II) на одной из поверхностей поддерживается нулевая температура, а через другую происходит теплообмен про закону Ньютона;

III) через лицевые поверхности идёт теплообмен по закону Ньютона.

Задача нахождения характеристик НДС рассматриваемой панели

была решена численно в [1]. Для нахождения ее температурного поля также применяется численный метод, подробно изложенный в [2]. Идея этого метода состоит в том, что методом сплайн-коллокации с использованием В -сплайнов третьей степени краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая решается методом С.К. Годунова [3].

Численные расчёты проведены для полимерных панелей из ЭД-6 МА [4] с теми же геометрическими характеристиками, что и в работе [1].

В табл. 1 приведены значения Ю3Ттах для первых трёх значений критической частоты, трёх значений стрелы подъёма и трёх вариантов условий теплообмена 1 - III, перечисленных выше. Здесь /0 = f /а — безразмерная стрела подъёма, а — ширина плана, на которую опирается панель. По ширине панели максимальный разогрев получается в жёсткой заделке. Координаты точек, в которых достигается максимум температуры по толщине панели, также приведены в табл. 1. Эти координаты отнесены к толщине панели h .

Таблица 1

с-' /«=0.1 fo =0.25 /о =0.4

I II III I II III I II III

о1." 2.631 -0.1 12.97 -0.4 34.28 -0.1 2.059 -0.1 10.14 -0.4 27.01 -0.1 1.428 -0.1 7.040 -0.4 18.84 -0.1

ш<2) 4.934 0.1 23.73 -0.4 61.79 0.1 3.292 0.1 15.94 -0.4 42.25 0.1 1.910 0.0 9.356 -0.4 25.07 -0.1

со<3) 5.254 0.1 24.62 -0.4 63.98 0.1 4.765 0.1 22.37 -0.4 60.25 0.2 3.650 0.1 17.46 -0.4 47.70 0.1

Значения <а[к> (к = 1,2,3) даны в табл. 2.

Таблица 2

<ä[k\c' /о =0.1 /„=0.25 /о =0.4

ш'Лс"1 31.29 25.98 19.72

m'.2', с"1 181.18 115.98 69.94

ю(.3), с'1 527.48 376.44 238.85

Можно отметить, что во всех рассмотренных случаях с ростом номера частоты температура саморазогрева панели возрастает, а при увеличении стрелы подъёма - уменьшается.

На рис. 1 представлены графики изменения температуры Т = 103Ттах по ширине панели при условиях теплообмена I для двух значений стрелы подъёма. В круглых скобках указан номер соответствующей критической частоты

7,гРаД

-f0=0.1 (1) - - -f0=0.1 (2) -- --•f„ = 0.1 (3)

Д -fo=0.4(l)---- - f0 =0.4 (2) - ... 6 = 0.4(3)

Л ч

/ " -»-.^.ll _ _ N

0.1

0.2 0.3

0.4

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Рис. 1

Изменение Т по толщине панели для со!1', двух значений стрелы подъёма и трёх вариантов условий теплообмена I - III проиллюстрировано графиками, представленными на рис. 2.

Т,

35 30 25 20 15 10 5 О

град

-f0-0.1(1) ---f0=0.1(II) . - . .f0-0.1 (III)

-— f =0.4(1) .. -f0-0.4(ll) .. f0-0 4 (III)

—__

- -__

____ ... -----

"" | i ---1— —i---- —T l 1 1 i

<г

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

Рис. 2

В работе [5] приведены результаты решения аналогичной задачи для случая, когда на незакреплённом крае панели (3 = а задаётся-вибрационное угловое смещение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сироткина Н. М. Анализ напряжённо-деформированного состояния полимерной панели при некоторых видах вибрационного воздействия // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 186 - 189.

2. Недорезов П. Ф. Определение тепловог о поля при вибрационном изгибе пологой вязкоупругой оболочки с двумя шарнирно опёрты,ми сторонами // Тр. 7-й межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 28 - 30 мая 1997. Самара, 1997. 4.1. С. 93-96

3. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. 16, вып. 3. С. 171 -174.

4. Коваленко Л. Д., Карнаухов В. Г. Уравнения и решения некоторых задач теории вязкоупругих оболочек // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1967. Вып. 7. С. 11 - 24.

5. Сироткина Н. М. Вибрационный изгиб консольной полимерной панели при заданном угловом смещении // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2003. С. 128 - 132.

УДК 531+629

Ю. Н. Челноков

НОВАЯ КОНЦЕПЦИЯ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ТВЁРДОГО ТЕЛА, ОСНОВЫВАЮЩАЯСЯ НА ТЕОРЕМАХ ЭЙЛЕРА - ДАЛАМБЕРА

И ШАЛЯ*

В работе [1] рассмотрена в геометрической постановке (с помощью теории конечных перемещений твёрдого тела) устойчивость решений дифференциальных уравнений инерциальной навигации, имеющих форму кинематических уравнений углового движения твёрдого тела в углах Эйлера-Крылова, и кинематических уравнений движения свободного твёрдого тела. Результаты, полученные при этом А.Ю. Ишлинским, отличаются простотой, геометрической наглядностью и красотой. В статье эти идеи А.Ю. Ишлинского используются для новой постановки общей (динамической) задачи об устойчивости движения твёрдого тела, приводящей к формулировке новой концепции изучения устойчивости движения и построения стабилизирующего управления движением твёрдого тела. Эта концепция основывается на фундаментальных теоремах теоретической механики Эйлера - Даламбера и Шаля о конечных перемещениях твёрдого тела и новых дифференциальных уравнениях возмущенного движения тела, построенных с помощью теории конечных перемещений твёрдого тела.

'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 02-01-00988).

216