CC BY
169
ТЕХНОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗНАНИЙ О МИРЕ В ДРЕВНИХ ЦИВИЛИЗАЦИЯХ (ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ, ВАВИЛОН, ПИФАГОРЕЙЦЫ)
Т.А. Новолодская
Любая наука как система знаний относительно определенных фрагментов реальности или их взаимоотношений имеет определенную внутреннюю структуру: предмет исследования, методы исследования, понятийный аппарат (или язык данной науки), законы и принципы. Изменения, происходящие в процессе развития и накопления знаний, затрагивают, так или иначе, преобразования всех этих структурных составляющих, что и фиксирует язык науки или ее понятийный аппарат. Основными понятиями математического знания являются такие понятия, как "число", "величина", "геометрическая фигура" и т.п. Такие абстрактные понятия могли образоваться в результате длительной умственной работы. Подобно тому, как понятия яблока, вишни, земляники появляются намного раньше общего понятия "плод", так и понятия двух рук и пяти пальцев возникают намного раньше общего понятия двух и пяти.
Первобытный охотник хорошо ориентировался в том, все ли собаки или олени на месте. Для этого ему надо было просто окинуть взором свору и увидеть, кого нет. Такой "чувственный опыт", доступный даже животным, существовал задолго до возникновения счета.
Первым шагом к возникновению счета было установление, как можно сказать сейчас, "взаимно однозначного соответствия" между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. При обмене первобытные племена использовали такие манипуляции: обмениваемые предметы раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось физически. Позднее появляются эталоны счета: либо естественные, как пять пальцев на руке, либо искусственные -специально приспособленные для этой цели палочки или камешки.
Появление такого эталона, обозначающего какое-нибудь конкретное число, привело к становлению понятия числа. Данные этнографии и лингвистики свидетельствуют о том, что первые множества-эталоны были естественными. Человек сравнивал предметы с общеизвестными фактами: луной (она одна), глазами (их два), пальцами на руке (их пять).
Этот эталон счета при помощи "конкретного числа" сменился следующим, когда из всего имеющегося многообразия эталонов был выбран один, как наиболее пригодный для счета. Такой совокупностью, в которую входили более или менее однородные предметы и являющейся удобной для счета, были пальцы рук, а затем, если их не хватало, то и пальцы ног. Здесь налицо ситуация, когда люди первоначально не отделяли количество вещей от самих вещей. И только значительно позже стали отделять понятие числа от его материального носителя (вещи).
Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на деревьях, костях или узелков на веревках. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на лучевой кости молодого волка длиной 18 см в виде 55 зарубок, расположенных по 5, причем после 25 зарубок идет длинная черта. Найдена эта кость была около деревни Вестонице, в Моравии, в 1937 г. и относится к ХХХ в. до н. э. Кость, видимо, служила для записи трофеев охотников [1].
Теперь рассмотрим принципы изображения чисел при помощи цифр. Это обозначение нам известно как нумерация (от латинского "numerus" - число). Сначала нумерация была основана на аддитивном (от лат. "additio" - сложение), субтрактивном ("sub-tractio" - вычитание) и мультипликативном (умножение) принципах.
Аддитивный принцип состоит в том, что вводится несколько основных знаков, например для 1, 10, 100, а остальные числа вида n, 10n, 100n изображаются соответст-
венным, повторенным п раз. Аддитивная нумерация непосредственно отражает инструментальный счет с палочками, ракушками или другими предметами.
Субтрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр тп, где т < п, означают разность п - т.
Мультипликативный принцип состоит в том, что сочетание цифр "тп" означает произведение т и п [2].
Классическим примером применения аддитивного и субтрактивного принципов является римская нумерация: римские цифры II, III, VI, VIII, XX, XXX и т.д. основаны на аддитивном принципе, а римские цифры IV, IX, XL - на субтрактивном. На мультипликативном принципе основаны названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в том числе русские названия 20, 30, 50-80 и 200-900.
Что касается геометрических фигур, то знакомство с ними человек получил в процессе практической деятельности при изготовлении орудий труда, сосудов, при обработке полей и постройке зданий. Археологические находки демонстрируют нам скребки и ножи в форме дисков, треугольников, ромбов и сегментов; круглые сосуды, поля, имеющие форму прямоугольника, и здания в виде конуса, цилиндра и параллелепипеда.
Большинство общепринятых сегодня в геометрии названий фигур являются греческими. Они обозначают предметы той или иной формы, с которой люди сталкивались в своей практической деятельности. Слово "центр" обозначает палку с заостренным концом для погонщиков быков. Сначала это слово было названием ножки циркуля, ставящейся в центр описываемой им окружности. Слово "ромб" происходит от слова "волчок", "трапеция" - "столик", "призма" означает "опиленная", "точка" - от глагола "ткнуть" и т. д. Это говорит о том, что в геометрии сначала появились эталоны из окружающего мира, и только впоследствии они стали названиями абстрактных геометрических фигур. Формирование понятийного аппарата геометрии тесно связано с изображением различных плоских фигур на рисунках орнаментов и с изготовлением моделей различных предметов.
Наиболее древние письменные тексты сохранились в настоящее время от начала второго тысячелетия до н. э. К этому времени относится расцвет двух древних цивилизаций - Египта и Вавилона. Это были государства земледельческие, с ограниченной для земледелия площадью. Требовалась определенная культура для создания оросительных каналов, проведения осушения болот, установления границ между полями. Для этого необходима и определенная организация людей в общины и распределение обязанностей между ними. Идет организация централизованного государства, появляется централизованная религия. Вокруг дворцов правителей и храмов возникают города, которые становятся центрами ремесла и торговли.
Математические документы, сохранившиеся от этих цивилизаций, говорят о том, что становление математического знания определялось в этих государствах насущными проблемами. Проведение расчетов при строительстве каналов, плотин, зданий, военных укреплений, при межевании земель, распределении материалов и продуктов диктовало потребность в навыках решения математических задач. Математика становилась неотъемлемой частью культуры этих древних цивилизаций, но имела в каждой из них свою специфику, связанную с глубинными представлениями о мире, о действующих в этом мире силах и месте человека среди них.
Фундаментальная картина мира в Древнем Египте определялась противоположностью жизни и вечности. Наследие мегалита определяет эту вечность как магию камня, которая может дать человеку посмертное вечное существование. Обретение формы уподобляло живое природное содержание вечному, давало гарантию целостности. Живое существо в Египте не оторвано от магической первоосновы Вселенной, а потому оно, по сути, неприкосновенно, им нельзя свободно манипулировать.
В Месопотамии, наоборот, человек - раб и служитель богов. Он должен смириться со своей смертью. Надежд на загробный мир здесь нет. Человек обретает на земле великий дар - свободную волю. С вещей спадает магическая защита, к ним формируется "мантический", т.е. гадательный подход. Больший интерес вызывают не сами вещи, а их взаимоотношения, процессы в них и с ними происходящие. Эти процессы и явления истолковываются как знаковые схемы.
Различие культур проявилось и в письменности: в Египте - иероглифы, в Месопотамии (Вавилон) - клинопись. В Египте математические тексты писались на хрупком папирусе, вавилонские - клинописью на сырой глине, и до нас дошло большое число математических клинописных текстов. Различия в имеющихся текстах вынуждают нас рассматривать математику Египта и Вавилона отдельно.
Египетская математика современному исследователю доступна меньше: слишком хрупкий материал - папирус и кожа, и не все они еще увидели свет. Древние пирамиды умеют скрывать их от посторонних глаз.
Все без исключения греческие писатели сообщают, что учителями их древнейших собственных ученых были египтяне. Они рассказывали, как им открылась наука египетских жрецов. По их словам, геометрией египтян побудили заняться разливы Нила и необходимость после их окончания вернуть каждого в точности на свой участок. Это требовало умения точно измерять участки земли. Важность установленных египтянами в этой области правил видна из следующего факта: после того, как греки получили блестящие результаты в области геометрии, именно египетскими правилами пользовались римские землемеры, ибо они, видимо, плохо понимали правила, предложенные греками.
Самым важным источником для ознакомления с египетской математикой и искусством вычисления является древний папирус по руководству к вычислениям писца Ах-меса. В нем отражаются знания, которыми обладали египтяне уже около 2000-1700 г. г. до н. э. Сегодня мы знаем, что египетская нумерация была чисто аддитивной: египтяне имели особые знаки только для 1, 10, 100, 1000, 10 и 100 тысяч, миллиона и 10 миллионов. Кроме обозначения целых чисел, они имели также специальные обозначения для дробей вида 1/п и дроби 2/3. Дроби 1/2, 1/3, 1/4, 2/3 обозначались специальными иероглифами, а основные дроби вида 1/п обозначались знаком числа п, над которым ставился знак "о" (рот=часть). При помощи особого исчисления, называвшегося "Хау", египтяне умели решать задачи, выражающиеся на современном математическом языке уравнениями первой степени с одним неизвестным:
ах + Ьх + сх +... = ё,
где а, Ь, с, ..., ё представляют целые числа или дроби, составленные из долей единицы. Кроме того, они занимались задачами, относящимися к правилам товарищества - как распределять справедливо продукты и материалы и т.п. Решение задач этого рода предполагало знание простых арифметических и геометрических прогрессий. При решении задач, которые в случае алгебраического выражения их зависели бы от уравнений вышеприведенного вида, мы впервые встречаем употребление правила ложного положения, суть которого в следующем: вместо х ставится пробное значение х1; если употребление этого значения дает ё1 вместо ё, то х = х1 • ё / ё1.
В геометрии для египтян одной из важнейших проблем, как уже было отмечено, являлось определение площадей. Египтяне, как и некоторые другие народы, пользовались обыкновенно для определения площади четырехугольника со сторонами а, Ь, с, ё неверной формулой: (а+с)/2- (Ь+ё)/2, а для определения площади равнобедренного треугольника со сторонами а; а; Ь формулой аЬ/2, являющейся пределом предыдущей [3]. Впрочем, эти формулы не дают плохого приближения, если углы четырехугольника или прилегающие к стороне Ь треугольника ненамного отклоняются от прямого угла. Выражение площади содержит в этих случаях ошибку, так сказать, второго порядка.
Употребляемые египтянами формулы показывают, что они, подобно нам, принимали за единицу площади квадрат со стороной, равной единице длины. Для построения прямых углов на плоскости они пользовались треугольником со сторонами, соответственно равными 3, 4 и 5; а при построении пирамид или при определении их размеров пользовались отношением между полудиагональю основания и ребром (т.е. тем, что сегодня называется косинусом угла, образуемого ребром с плоскостью основания) [4].
Таким образом, математика в древнем Египте представляла собой совокупность знаний, еще не расчленившуюся на арифметику, алгебру, геометрию и выступающую, прежде всего, как собрание правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач.
Проблемы, стоящие перед египетскими писцами, были практическими. Решения находились путем проб, ощупью, эмпирически. Основное внимание в египетских текстах сконцентрировано не на методах решения задач, а на самих вычислениях. Да и сами методы часто зависят от тех вычислительных трудностей, с которыми сталкиваются при решении задачи. Задачи в большинстве своем не абстрагированы и не обобщены. Систематизация материала (классификация задач) производится не по методам (задачи на пропорции, линейные уравнения и т. д.), а по темам. Задачи о емкости зернохранилищ и сосудов определены в один класс, задачи на припек - в другой. При этом фактически определялась математическая суть данной группы, а значит, единый метод решения, хотя он не был сформулирован общим образом. Каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений, в числах. Однако при решении вычислитель пользуется некоторыми общими законами. Все это предвещало ростки составных частей математической дедукции. Догматическая манера изложения и обучения не могла полностью сорвать первые ростки идеи математического доказательства. Наиболее отчетливо эти ростки проявились в математике древнего Вавилона.
Источниками для изучения математики Вавилона являются математические клинописные тексты. Известно 150 текстов с числовыми таблицами. Имеются хозяйственные записи, многие из которых еще не прочитаны. Расшифровка и анализ клинописных текстов открывали неведомый до той поры мир математики древнего Двуречья, жившего четыре тысячелетия назад.
Следует особо отметить значительные заслуги немецкого математика О. Нейге-бауера, работы которого, появившиеся в 30-е годы XX столетия, породили исследования в этой области. Математические клинописные тексты носят учебный характер, содержат расчетные задачи и хранятся в храмах. Вавилонская вычислительная техника была более совершенна, чем в Египте: среди задач выделяется обширный класс алгебраических задач, которые выражаются системами линейных уравнений и уравнений второй степени. И хотя в клинописных текстах нет доказательств, методы вычисления показывают, что их авторы знали и применяли законы алгебраических дробей и преобразований. В целом вавилонская математика имеет вид самой абстрактной из наук, ориентированной на разрешение своих внутренних потребностей.
В Вавилоне мы впервые встречаемся с последовательной позиционной нумерацией. Вавилонская система цифр основана на двух элементах: на простом "клине" П с числовым значением 1 и "угловатом крючке" Z с численным значением 10. Повторение этих знаков дает, с одной стороны, единицы с 1 до 9 и, с другой стороны, десятки - от 10 до 50. Эти числовые знаки читаются, как и клинопись вообще, слева направо. Помещение знаков рядом друг с другом означает сложение. Например, ZZZППП означает 33. Десятки стоят всегда слева от единиц [5]. Этим способом изображаются числа от 1 до 59, затем те же числовые знаки появляются еще раз, но их числовое значение в 60 раз больше, т.е. мы имеем нечто вроде позиционной системы с основанием 60. Характерной особенностью этой позиционной системы является то, что ей чужда позиция в абсолютном смысле: к каждому числовому знаку в принципе может быть придана в ка-
честве подразумеваемого множителя любая положительная или отрицательная степень 60, причем этот множитель не находит никакого внешнего выражения в написании числа. Тридцать ZZZ, можно читать и как 30 и как 30-60=1800 и т.д., но в то же время и как 30/60=1/2 или 30/602=1/120 и т.д.[6]. Равным образом и П есть не только 1, но и вообще 60_и. Два числа а и Ь, которые различаются только множителем, представляющим (положительную или отрицательную) степень 60, называются "конгруэнтными по множителю 60", применяя обозначение а=Ь (множитель 60). Только связь математического расчета дает нам возможность решить, какое позиционное значение следует приписать отдельным числовым знакам.
Позиционный характер вавилонской нумерации и довольно большое ее основание, естественно, наложили печать на всю технику вычислений. Сложение и вычитание производили так же, как это делается в десятичной позиционной системе целых и дробей. А при умножении затруднение, связанное с большим основанием системы нумерации, преодолевалось с помощью специальных таблиц. Набор таблиц был обширный. Операция деления в вавилонской математике сводилась к умножению. Даже термина " делить" у них не существовало. Они говорили так: возьми обратную от Ь, ты увидишь "не Ь"; умножишь а на "не Ь", ты увидишь с. Разумеется, вместо наших букв вавилоняне называли конкретные числа. Главное внимание, таким образом, было уделено составлению таблиц обратных величин. Широкое применение различных таблиц - характерная особенность математики древнего Вавилона. Что касается арифметики, то известно знакомство вавилонян с арифметической и геометрической прогрессией. Арифметические прогрессии успешно применялись в астрономии для описания видимых на небе периодически повторяющихся явлений.
Уже в эпоху Хаммурапи (1792-1750 гг. до н. э.) достигла высокого уровня алгебра линейных и квадратных уравнений, рассматривались также уравнения более высоких степеней. В задачах на квадратные и высшие уравнения корни всегда являются рациональными.
Геометрические знания вавилонян относились большей частью к измерению простейших фигур, встречающихся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т. п. Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты. Но, как и в алгебре, вавилоняне значительно дальше продвинулись в разработке более общих и отвлеченных отделов геометрии. Об этом можно судить опять-таки по их задачам, так как тексты не содержат ничего, кроме задач, их решений и, в виде редкого исключения, формулировок общих правил, теорем или определений. Область рассматриваемых плоских и телесных объектов в главном совпадала с египетской, но была расширена: изучению были подвергнуты некоторые правильные многоугольник, сегмент круга, усеченный конус.
Наряду с точными правилами вавилоняне употребляли и приближенные. Так, площадь четырехугольника общего вида выражалась произведением полусумм противолежащих сторон, а вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием - через произведение полусуммы оснований на высоту. Точно так же находили объем усеченного конуса. Длину окружности определяли, утраивая диаметр. С таким же значением п=3 определяли площадь круга. Однако эта площадь £ выражается не непосредственно через диаметр, а через длину окружности С по правилу £=С2/12.
Лучшее открытие, сделанное в Вавилоне: в клинописных текстах впервые появляется, и притом для общего случая, теорема Пифагора. Открытие и доказательство этой теоремы, которую китайцы знали, быть может, несколькими столетиями ранее, греки связывали с именем Пифагора (VI в. до н. э.). В клинописных текстах она восходит еще к временам Хаммурапи. Как пришли вавилоняне к этой теореме, неизвестно. Быть мо-
жет, они сначала заметили, что некоторые треугольники с целочисленными сторонами а, Ь, с, удовлетворяющими равенству а2+Ь2=с2, прямоугольные, а потом распространили это свойство на все прямоугольные треугольники? Во всяком случае, еще в древневавилонскую эпоху знали множество троек "пифагоровых чисел". До нас дошла одна таблица, содержащая 15 строк чисел вида с 2/а2 - 1 = Ь2/с2, Ь и с [7]. Теорема Пифагора находила в Вавилоне разнообразные применения. С ее помощью, например, вычисляли диагональ квадрата и радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, по боковой стороне Ь и основанию 2а. В последней задаче теорему приходилось применять дважды.
Итак, если пользоваться текстами, математика в древнем Вавилоне достигла более высокого уровня, чем в древнем Египте, хотя и была далека до того идеала дедуктивной науки, который сформировался в Греции и классическим образцом которого стали " Начала" Евклида.
Несмотря на гораздо больший объем фактических знаний, более совершенные приемы вычислений, возникновение целых новых направлений и очевидный рост элементов логической дедукции, в древневавилонской математике внутренние логические связи между многочисленными правилами были еще слабыми, и отдельные цепочки выводов не объединялись в целостные системы. Догматический характер изложения -не педагогический прием: он отражал, как и в Египте, авторитарный склад мышления, господствовавший в строго иерархических и деспотических государствах древнего Востока. Математическому мышлению не было свойственно стремление к углубленному анализу применяемых идей, требующему, прежде всего, их четкого выделения, а ученым не требовалось убеждать ни других, ни самих себя в истинности правил и методов с помощью доводов разума. Мышление было обращено вовне, ему недоставало обращения на самого себя. Вероятно, поэтому древние математики Двуречья, блестяще решавшие задачу приближенного вычисления чисел, обратных неправильным, или значений встречавшихся им в геометрии квадратных корней из неквадратных чисел, прошли мимо открытия периодических шестидесятиричных дробей и иррациональных чисел.
Открытия, сделанные вавилонскими математиками, поражают своим размахом. Здесь впервые возникла система счисления, основанная на позиционном принципе и, позднее, на употреблении знака нуля. Греки, в эпоху расцвета мало интересовавшиеся техникой вычислений, обходились гораздо менее совершенной нумерацией. В Вавилоне впервые была разработана алгебра линейных и квадратных уравнений и даже рассмотрены простейшие уравнения более высоких степеней. Если к этому добавить открытие теоремы Пифагора и начала учения о правильных многоугольниках в области геометрии и в самой тесной связи с задачами геометрии - постановку и решение первых задач теории чисел, которые мы теперь относим к диофантову анализу, то значимость достижений древних вавилонян не может вызывать сомнений.
Греки были обязаны начальными математическими знаниями ученым Востока. Но они превзошли своих учителей и впервые начали развивать математику как точную науку в современном смысле. Преобразование математики из совокупности отдельных расчетных правил и приемов построений в совокупность стройных дедуктивных систем предложений, в которых эти правила и приемы получают свое строгое обоснование, явилось делом древних греков.
Первым греческим математиком был Фалес Милетский, предсказавший солнечное затмение 28 мая 585 г. до н.э. Для этого он, вероятно, воспользовался правилами, почерпнутыми непосредственно у египетских жрецов и подтвержденных долгими годами наблюдений. Но самое существенное то, что в лице Фалеса и основанной им философской школы (ионийской) греки не только начали систематизировать математические знания, которые они могли заимствовать у египтян, но и начали расширять математику
в разнообразных направлениях. Эта работа в VI в. до н. э. протекала сначала на мало-азийском побережье, а благодаря деятельным торговым отношениям вскоре перекинулась и в другие страны, в которых утвердились греки.
И вот, в V веке до н. э. главным очагом процветания математики становится Южная Италия. Греки пришли к этому времени к убеждению, что открытые и собранные мало-помалу математические истины нуждаются в прочной основе. Они занимались установлением этих основ, одновременно использовали доказанные истины как исходный пункт для дальнейших важных открытий.
Виднейшую роль в этом процессе традиция приписывает Пифагору Самосскому; поэтому относим его к V веку до н.э., хотя его деятельность происходила отчасти до 500 г. Именно в Южной Италии, в городе Кротоне, Пифагор основал союз, носивший его имя. Переселение Пифагора могло быть вызвано его связью с местными орфиками или же тиранией Поликрата. Пифагор был учителем жизни. Он основал тайный религиозный орден (школа Пифагора). Целью его адептов было достижение определенного типа жизни через познание общего блага, всеми принимаемого и взращиваемого. Спасение души посредством таинственного очищения и посвящения, очевидно, играло важную роль в ранних пифагорейских мистериях. Занятия математикой и философией объясняли мир и приводили к гармонии души.
Пифагор впервые обратил занятия геометрией в действительную науку и исследовал ее теории умозрительным путем. Пифагор отмечает тот важный факт, что наука имеет дело с идеальными объектами. Например, прямая линия - это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. Идеальные объекты (будь то числа или фигуры) встречаются только в математическом рассуждении, и здесь без них не обойтись. Поэтому математика является как бы "вторым зрением" человека: она открывает разуму идеальные объекты, тогда как обычные чувства дают знания о конкретных свойствах природных тел. Несовершенные тела - лишь жалкое подобие идеальных математических сущностей. Наблюдать последние можно на небе. Идеальные точки - звезды и планеты, идеальные шары - Луна и Солнце. Земля, видимо, тоже шар, но далекий от идеального. А все звезды расположены на поверхности прозрачной сферы, которая вращается вокруг Земли. Солнце, Луна и пять планет не прикреплены к звездной сфере, а лежат на особых сферах. Если бы еще удалось понять связи между восьмью небесными сферами и измерить их радиусы, или хотя бы отношения этих радиусов!
В пифагорейской модели мира числу доверено управлять всем: оно охватывает весь Космос и является регулятором его бытия. Бытие математизированно для того, чтобы зафиксировать его во всех проявлениях. А.Ф. Лосев отмечает, что так понимаемое число очерчивает границы в первоедином и как бы набрасывает сетку на его сплошную и неразличимую массу, смысловую сетку и соотносящиеся координаты [8]. Характерной чертой числа становится его актуальная бесконечность. Числа можно увеличивать или уменьшать, но при этом меняются только их количества. С самим числом, как существенным элементом мира, ничего не происходит - его смысловая структура не меняется. Пифагорейцы испугались нежданной бесконечности и не стали изучать ее свойства. Они сделали акцент на то, что для числа быть ограниченным - значит, само собой, быть проявлением себя как определенного смысла.
Античное число телесно и осязаемо: оно порождает порядок, установленный богами. Телесное число ищет связи с возникновением телесного человека. Поэтому возникает присвоение свойств числам. Единица (1) - понимается ими как первоматерия всех чисел, а, следовательно, и всех вещей. Пифагорейцы считали единицу источником всей жизни, символом материнского рода. 2 - символ мужского начала. Соединение первых двух чисел (1 и 2) есть сложение и умножение, а в более глубоком смысле - это соединение мужского и женского начала, т.е. зачатие. Отсюда становится понятной бо-
язнь античными учеными иррациональности. Иррациональность - это дробное, а дробное - разрушение телесного. Даже если на это посмотреть с геометрической точки зрения, то числа можно определить как соизмеримые отрезки, а что такое иррациональное число? Иррациональное число нельзя измерить, сопоставить, упорядочить, разделить. С проблемой иррациональности греки столкнулись при рассмотрении отношения стороны квадрата к его диагонали - оно равно 42. Здесь античность ощущает совершенно другое число, отражающее чуждое им мироощущение: число, как абсолютно чувственная граница и замкнутая величина. По сути дела, у античности разделены понятия числа и величины. Для понимания иррациональности необходимо синтезировать эти понятия. И античность испытывает страх перед иррациональностью. Существует даже легенда, что первый, кто нарушил тайну иррациональности, погиб при кораблекрушении, ибо несказанное и безобразное всегда должны пребывать сокрытыми. Почему же они так этого избегают? Потому что это ставит под сомнение существование не только античного числа, но и всего мира. Из дискретного ряда они должны будут перейти к непрерывному континууму. А это означает перейти к чему-то бесконечному, постоянно познаваемому. Число - это мера, нужная здесь и теперь. А в данном случае ускользает чувственная осязаемость чисел, в которых так нуждаются греки и без которой они не мыслят свое существование. Поэтому греки дали название числу, выражающему отношение стороны квадрата к его диагонали, - "неизреченное" и "непостижимое". Отсюда ясно, почему не возникает в античности понятия отрицательных чисел и нуля. Как может возникнуть то, чего нельзя изобразить? Графически нуль лишен всякого смысла, как и отрицательные числа. Понятие высших целочисленных степеней не было для них реальным. Были только линейные, плоские и телесные числа, выражавшиеся через первую, вторую и третью степень. Четвертая степень, казалось бы, легко приписываемая четырехмерному пространству, была бы для них уже бессмыслицей. Пифагор потрясен: и среди идеальных тел геометрии не господствует полная гармония.
Таким образом, пифагорейцы подошли вплотную к открытию иррациональных чисел, но не сумели сделать последний шаг. Не сумели они создать и стереометрию -геометрию фигур в пространстве, среди которых особенно выделяются правильные многогранники. Сколько их в природе? Куб, тетраэдр и октаэдр были давно известны. Пифагорейцы добавили додекаэдр, но икосаэдр не заметили. А без стереометрии не получается удобная астрономия. Создать это удалось лишь впоследствии ученым Афинской школы и Евклиду, работавшему в Александрии.
Евклид сумел навести порядок во всем мире идеальных математических объектов, как Пифагор наводил порядок в мире реальном с помощью идеальных понятий. Но это уже другая Вселенная и другое измерение античной математики.
Литература
1. История математики с древнейших времен до начала Нового времени. В 3-х т. Т.1. М., Наука, 1970. С.12.
2. Там же. С.13.
3. Г.Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. М-Л, 1938. С.22.
4. Там же. С.23.
5. О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук. Т.1. Догрече-ская математика. Л.,1937. С.20.
6. Там же. С.21
7. История математики с древнейших времен до начала Нового времени. Т.1. С.49.
8. Лосев А.Ф. Миф. Число. Сущность. М., Мысль. 1994.
