CC BY
87
ЭПИСТЕМОЛОГИЯ & ФИЛОСОФИЯ НАУКИ, Т. XIII, № 3
Щ к
ипурфилософия античности е зеркалах науки и культуры. Математика и логика1
И. А. ГЕРАСИМОВА
С ф
н с ее га В£ О с ф
а с
и и га с;
х
О.
ф
к и
П5
В опубликованной во втором номере журнала статье «Натурфилософия античности в зеркалах науки и культуры. Учения о первоначалах»2 вопросы о развитии творческого мышления студентов и связи образования с жизнью были рассмотрены на примере античной науки. Был выделен метод творческой аналогии, с помощью которого физики-теоретики и историки науки, отделяя зерна от плевел, умели находить плодотворные для современного научного поиска идеи. Здесь мы продолжим разговор на заданную тему, сосредоточив внимание на сюжетах о древней математике и логике.
«Благодаря усилиям греческих натурфилософов, математика из рецептурной, как в Вавилоне и Египте, становится доказательной». Это положение можно встретить во многих учебниках и популяризаторских философских трудах. Вывод представляет собой столь необходимую в преподавании упрощенную формули-
1 Автор выражает благодарность за совместную работу магистрантам РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, изучавшим курс по философии науки осенью 2006 г.
2 Герасимова И.А. Натурфилософия античности в зеркалах науки и культуры. Учения о первоначалах // Эпистемология & философия науки. 2007. Т. XII. № 2.
ровку. Он справедлив в целом, но без знания частностей будет ошибочным. Основатель отечественной школы истории математики М.Я. Выгодский (1898-1965) в процессе изучения древних текстов приходит к более точной формулировке, убедительно показывая, что догматическая форма изложения математического материала «обусловлена формой преподавания и всем строем общественной жизни в странах древнего Востока» и «отнюдь не является доказательством отсутствия теоретического исследования и потому не может служить аргументом в пользу примитивности математики древних египтян»3. Догматическая форма изложения не предполагала сообщения о доказательстве правильности решения, прояснения смысла отдельных шагов и анализа условия. Требование предъявить процедуру решения задачи становится востребованным в условиях демократизации всей культурной жизни, что предполагало и десакрализацию знания. Именно это и было сделано во времена античности.
Выгодский приходит к выводу о высоком уровне древневавилонской и древнеегипетской математики: «Примерно за 4 ООО лет до наших дней вавилоняне владели развитыми методами вычисления и большим запасом геометрических знаний (в том числе и "Пифагоровой" теоремой; они создали замечательную позиционную сис-
тему нумерации; они решили разнообразные конкретные задачи прямыми и косвенными методами; они поднялись до алгебраического рассмотрения отвлеченных задач; до конца справились с решением уравнений и систем уравнений второй степени и выработали довольно общие методы тождественных преобразований над известными и неизвестными величинами...»5. Разумеется, речь идет об особой группе людей, наделенных математическими способностями. Интересно, что талантливые греки-математики были не только геометрами, но и прекрасными вычислителями. Числовой интуицией Диофанта восхищались Ферма и Эйлер.
Одно важное обстоятельство обычно упускается в учебниках по истории науки. Под математикой современный человек имеет в виду дисциплину, изучающую числовые закономерности, которые «открываются-изобретаются» путем построения гипотез и моделей, но в дальнейшем ходе совместного развития наук эти модели могут получить физические интерпретации. В древних цивилизациях образ математики и ее роль в культуре были иными. Повсеместно математика была востребована для решения практических задач счета, земледелия, строительства жилищ и технических сооружений, но, кроме того, в мистических школах занятия математикой использовались в целях
и и
I 111
Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967. С. 231.
4 Интересно, что египтяне и греки позиционную систему нумерации не изобрели.
5 Выгодский М.Я. Цит. соч. С. 229.
С ф н № . И
го с£
0
с ф
с
и и ге с X
1
а
ф
н и
ГС
V
С Ф н т
аз
л Ч
0 с V
а
с
и и т с
X
1
а ф н и
АЗ
открытия внутри себя скрытой духовной природы. Число в этом случае имело двойственное значение - как рационально-конструктивное средство познания законов природы и как символ, соединяющий мир земной с миром небесным (физическое с духовным). Постановка вопроса о духовном назначении математики заставляет задуматься о немаловажном для современной жизни вопросе - о том, что на Земле могут быть формы культуры и формы мышления, отличные от тех, к которым мы привыкли. И это осознается далеко не каждым студентом. Один из слушателей был страшно возмущен, узнав, что в курсе по философии науки для того, чтобы понять того или иного мыслителя, придется знакомиться с культурными особенностями его времени («сколько лишней информации!»). Вопрос о духовном назначении математики представляет интерес и в глубинном измерении человека: изучая тайны математической интуиции, приоткрываешь завесы и над тайнами сущностной природы человека.
К размышлению над этими экзистенциальными вопросами студентов можно побудить в процессе изучения древнегреческой математики. Воспользуемся методом Сократа.
Платон в «Государстве» -строфы 524Ь-531е - устами Сократа рассуждает о пифагорейском понимании назначения математики, последовательно перечисляя науки, которые способны направить душу от становления к истинному бытию. Первая наука -арифметика или искусство счета. Сократ советует «установить за-
кон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счета, причем заниматься им они должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел» (525Ьс). Напрашивается вопрос: «Как с помощью мышления прийти к созерцанию природы чисел?». Заметим, не самих чисел, а природы чисел. Речь идет о чем-то глубинном, смысловом. Известно, что перед входом в платоновскую академию висела надпись «Негеометр не войдет».
Следующая наука, на которую указывает Сократ, - геометрия. Причем, наука, которую имел в виду Сократ, вовсе не практическая геометрия: «Кто хоть немного знает толк в геометрии, не будет оспаривать, что наука эта полностью противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею... "построим" четырехугольник, "проведем" линию, "произведем" наложение... Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет» (527аЬ). Сразу возникает вопрос: «О какого рода геометрии идет речь?».
Следующий предмет, перечисленный Сократом, - астрономия. Какое отношение астрономия имеет к числу? Пожалуй, на этот вопрос нетрудно будет ответить. Можно привести немало примеров, когда астрономические наблюдения подтверждают высказанные ранее математические гипотезы. Но у платоновского Сократа своя логика объяснения — после плоскостей (геометрия)
должны изучаться объемы, что составляет предмет изучения науки об измерении глубины, которая пока не имеет имени (528<1). В современном понимании это стереометрия, изучающая фигуры в пространстве. Она составляет часть элементарной геометрии. Сократ не дает этой науке названия, ибо «с ее изучением дело обстоит до смешного плохо». Таким образом, астрономия как наука об объемных телах в движении - четвертая из перечисленных дисциплина. Пятую дисциплину пифагорейцы называли родственной сестрой астрономии. Напрашивается вопрос: «Какую науку Сократ назвал родственной астрономии?». Кто сейчас может сказать, что это музыка? Сразу встает еще один вопрос: «Почему пифагорейцы считали музыку родственной астрономии?».
Ответов может быть много, и каждый раз ответ «взывает» к синтетическому неординарному обобщению или творческой аналогии. Сам Сократ приводит несколько аргументов. «Как наши глаза устремлены к астрономии, так уши -к движению стройных созвучий» (530(1). Следующий аргумент вполне законный - и астрономия, и музыка дают представление о гармонии, обучают чувству и знанию гармонии. Однако современный читатель может возразить: музыка прежде всего искусство, изучая музыковедение, вряд ли станешь исполнителем или композитором. Музыковедение может помочь в восприятии музыкального произведения, впрочем, может и навредить, задавая установки восприятия. Тем не менее для высоко профессионального музыкан-
та музыка действительно является и искусством - мастерством, и наукой - знанием. То же имеет в виду и Сократ, говоря не о тех людях, которые «уши ценят выше ума» и «не дают покоя струнам и подвергают их пытке, накручивая на колки» (531Ь), а о пифагорейцах. Для них в высшем проявлении искусство сопрягается с наукой: истинная музыка должна быть основана на математически познанных законах естественных пропорций: музыка изучает, «какие числа созвучны, а какие нет и почему» (531с). Пифагорейцы заложили начало математической теории музыки, скажет современный исследователь.
Есть еще один способ объединения перечисленных математических дисциплин. Эту задачу можно предложить студентам.
Если взять за основу понятия числа, пространства и времени, то, как можно было бы соединить науки, ведущие к истинному знанию, согласно пифагорейцам?
Итак, арифметика - это число само по себе, геометрия - число в пространстве, музыка - число во времени, а астрономия - число в пространстве и времени. Эта краткая формула легко запоминается, особенно если ее вывели сами.
Особое отношение к пониманию истинного знания у пифагорейцев выражено в простой формуле: «Все есть число».
Вопрос: «Как это разумно можно объяснить?».
Тезис «все есть число» очень плодотворен в тренировочных целях: он допускает множество интерпретаций, развивая многовариантное мышление. Причем, анализируя ту или иную интерпрета-
11 ®!
III
Ы|:!
£5 Ф
I-
<0
аа «?
Ч
0
с
ф
а
с
и и т с
X
1
ф
н и
е
/
ф:
11
С Ф н т ш ш с:
0
с
ф
а. с
и
U
т с
X
1
а ф н и го
и
цию, приходишь к выводу о многообразии мировоззренческих и методологических предпосылок, задающих вопросо-ответную ситуацию. В беседе со студентами на методологию стоит обратить специальное внимание. Приведу только некоторые интерпретации. Одна сразу бросается в глаза: «все науки, ведущие к истинному знанию, у пифагорейцев были связаны с числом, поэтому они и утверждали, что все есть число» (науковедческий аргумент). Эво-люционно-когнитивный аргумент о наивном реализме: «пифагорейцы проецировали числа на саму физическую реальность, считая, что числа существуют в самой реальности. Подобную стратегию можно назвать "магией числа". Она типична для архаического мышления». Познавательно-методологическую позицию выразил когда-то Галилей в краткой формуле «Книга природы написана языком математики». Человек открывает законы природы и может выразить их на языке математики - такова одна из установок классического естествознания и классической рациональности. Фундаментальный эстетический аргумент: «числовые пропорции в наиболее точном виде дают знание о гармонии как основе мироздания. Без гармонии не было бы ни порядка в движении звезд и планет, ни равновесия в душе человека». Для пифагорейцев был важен этический аспект: правильные занятия науками о числах способствуют очищению души. Например, «астрономия заставляет душу взирать ввысь и ведет ее туда, прочь ото всего здешнего» (529а). Можно гут призадуматься
над вопросом: «А что означает «очищение души», и какую роль оно играет в развитии человека?».
В древних и дошедших до нашего времени традиционных культурах очищение составляет фундамент всех последующих уровней практик. Очищению подвергалось тело, эмоции, ум, сознание и пр. Считалось, что очищение способствует раскрытию ду-ховно-разумного начала в человеке. В западной культуре сознание рассматривается как центр разумной жизни человека, оно проявляет себя в самосознании и управляет рефлексивным и творческим мышлением. В духовных традициях Востока (да и в мистических и религиозных традициях Запада) учат овладевать и управлять самим умом и самим сознанием. За этими представлениями стоит предпосылка об иерархическом строении сознания, существовании в недрах психики глубинных уровней сознания. Очищение ума и сознания на телесном уровне предполагало установление контроля за эмоциями и мыслями, тем самым и обретение свободы в мышлении, когда во внутренний мир не допускаются непрошенные гости - будоражащие ум человека мыслеобразы. Занятия математикой отвлекают от внешнего мира страстей, вырабатывают такие качества, как эмоциональная уравновешенность (без этого задачу не решишь), дисциплинированность ума, придающего потоку мыслеобразов четкие формы, концентрация на цели, эстетические переживания красоты идеальных форм и пр.
В культурном отношении стоит обратить внимание на то, что
были времена, когда воспитательной роли точных наук и естествознания отводили в системе образования значимую роль. Любопытный факт. К концу XIX в. исследование законов природы было интегрировано в российскую культуру, но в начале того же века науки почитались за иностранное новшество. Дворянские юноши должны были изучать математику и естественные науки из тех соображений, что подобное воспитание ума им пригодится на государственной службе. Исследователь творчества кн. Вл.Ф. Одоевского Д.А. Баюк делает вывод, что наука вживалась в российскую ментальность через искусство. Человек разностороннего ума и интересов, кн. Одоевский обратил внимание на различие интонационной и звуковысотной природы русского народного строя и модной в аристократических салонах западной музыки. По сути, идя путем пифагорейской традиции и внимательно изучая труды ее последователей в европейской науке, Одоевский открывает математически оправданные системы темперации. Так, занятия математическим аспектом музыки (как и во времена пифагорейцев) дали решающий импульс для серьезного изучения точных и естественных наук российскими интеллектуалами6.
Проблему «чистоты» можно рассмотреть и в естественнонаучном аспекте, например, задумавшись над вопросом о влиянии физиологических состояний (здоровья) на работу мысли, поведение, образ жизни, и наоборот.
Есть еще одно измерение рассмотрения тезиса «Все есть число». Оно касается людей, которые наделены природой особыми дарованиями и реально способны «созерцать природу числа». Как уже отмечалось, число имело двоякое значение - знака, обозначающего количество и порядок, и символа, связывающего внешние уровни сознания с его глубинными слоями, если придавать этому вопросу когнитивную интерпретацию. Есть немало свидетельств о существовании внутренней творческой реальности у отдельных людей, в которой переживаются, воспринимаются и созидательно перерабатываются психические образы-комплексы, сотворенные из звука, цвета, запаха, геометрической формы и пр. Эти полимодальные комплексы психология именует синестезиями7. Описывающие свой опыт йоги и некоторые художники утверждают, что они могут сознательно переживать соотносимые с физическим миром феномены в виде потоков геометрических образов во внутреннем
Баюк Д.А. Князь Вл.Ф. Одоевский в поисках природной музыкальной гармонии // Науки и искусство. М., 2005.
7 Вопрос о символах-переживаниях, синестезии с творчески-познавательной точки зрения подробней рассматривается в: Герасимова И.А. Музыкальное понимание // Эволюция, культура, познание. М., 1995. Герасимова И.А. Музыка и духовное творчество // Вопросы философии. 1995. № 6. Герасимова И.А. Природа живого и чувственный опыт // Вопросы философии. 1997. № 8. Проблема визуализации обсуждается в: Герасимова И.А. Визуализация, творчество и культурные практики // Визуальный образ (междисциплинарные исследования). М., 2007 (в печати).
III
•л
С Ф
ГО в го Ч О с ф
а
с
и и
го ц
а ф
»-
и го
й
взоре. Изучение синестезии ведет теоретиков к новому вопросу -что такое интуиция числа? Заслуживает серьезного внимания гипотеза о существовании разных видов непосредственного усмотрения или интуиции. Интуицию-озарение, когда идеи приходят на ум без видения и осознания глубинных процессов, при иерархически многоуровневом понимании сознания можно объяснить как выход на поверхностный уровень сознания (и его языки) смысловых кодов глубинных уровней. Интуиция-созерцание переживается как более длительное творческое состояние, возможно, на более глубинном уровне сознания. Похоже, именно способностью созерцания чисел (в виде геометрических структур) - ментальной визуализацией обладал Пифагор. В школе пифагорейцев практиковали духовные упражнения, почему бы среди них не оказаться ментальной визуализации?
Уникальной ментальной визуализацией - эйдетическим воображением обладал гениальный ученый и изобретатель Никола Тесла. Эйдетическое воображение - это способность ментального порождения и переживания внутренних живых картин, которые воспринимаются столь же ярко и отчетливо, как и при внешнем восприятии. Свой метод сам ученый называл материализацией творческих концепций. Он включал в себя все стадии разработки любого проекта. После осознания импульса к творческой цели во внутренней творческой реально-
сти начинали появляться идеи в виде геометрических образов. Затем, приходит осознание принципа открытия, которое разворачивается в его физическую интерпретацию. Физика детализируется и уточняется в формализации (математической обработке). Теоретическая модель спускается на конкретный уровень, но в той же внутренней творческой реальности: идет выявление необходимых технических свойств материалов, необходимых для непрерывного действия сконструированной физической модели. Мысленный эксперимент реализуется со всей полнотой конкретики: перед внутренним взором изобретателя его устройства работают в различных испытательных условиях вплоть до износа оборудования, по ходу дела осуществляется коррекция . Тесла не был самоучкой, он учился в высшем техническом училище в Граце и в Пражском университете, но из математики использовал только ряды Фурье и простые выкладки Архимеда. В сложнейших вычислениях он не нуждался, пользуясь экономным, но сверхмощным языком созерцательных геометрических образов. Напрашивается аналогия с пифагорейцами, которые стремились раскрыть способность созерцать природу числа. Можно предположить, что в природе человека заложены простые и одновременно несравненно более мощные когнитивные средства числового понимания реальности, чем те, с которыми имеет дело современное математическое моделирование.
См. материалы о Тесле: Абрамович В. Метафизика и космология ученого Николы Теслы // Дельфис. 1999. № 1-4.
Ярым противником Теслы был Эйнштейн. Вероятно, не в последнюю очередь из-за пропасти в когнитивных стилях.
Возникает вопрос фундаментального характера, который можно адресовать и студентам. Можно ли (простыми) средствами геометрии описать физическую реальность?
Когда-то натурфилософы ответили на этот вопрос утвердительно. У Демокрита атомы не имели чувственных качеств и различались лишь геометрической конфигурацией. Согласно атомистам, из атомов как простых элементов, вечных и неизменных, то возникают вселенные, то все опять возвращается в первоначальное состояние. Пифагорейцы, как и многие другие в древности, признавали существование четырех состояний материальной субстанции - земли, воздуха, воды, огня и их квинтэссенции - эфира. С пятью элементами связывались геометрические фигуры, образующие тела элементов, - правильные (максимально симметричные) многогранники, состоящие из симметрично расположенных одинаковых, правильных многоугольных граней - многоугольников, которые, в свою очередь, определяются симметрично расположенными одинаковыми отрезками (сторонами). Согласно пифагорейцам, из куба возникла земля, из пирамиды - огонь, из октаэдра -воздух, из икосаэдра - вода, а из
додекаэдра - сфера вселенной (то есть эфир). Один из основателей квантовой механики Вернер Гей-зенберг сопоставляет взаимопревращения этих геометрических структур с элементарными частицами современной физики: подобно атомно-молекулярным структурам современной науки многогранники Платона могли перестраиваться друг в друга при неизменности своих структурных элементов, которые в изолированном виде не существуют9. В представлении физиков ключи к пониманию взаимодействий дает симметрия. Но не только. В середине XIX в. В. Клиффордом была высказана идея всеобщей геометризации материи, он предложил (рассматривать как изменения физического характера те действия, которые на самом деле обязаны своим происхождением изменениям кривизны пространства»1". Имеется несколько программ геометрического понимания физического мира, среди них геометро-динамика Дж. Уилера, базовым понятием которой является «четырехмерное искривленное пространство-время».
Греки почитали красоту созидающим принципом. Красота, осмысленная через число, приводит к пониманию устойчивости, взаимосвязанности и роли всеобщей гармонизации. Обычно я предлагаю на выбор два задания, которые раскрывали бы фунда-
О дальнейшем развитии идей фундаментальной геометрии мира математиками и отражении этих идей в современной физике и космологии см.: Идлис Г.М. Революции в астрономии, физике и космологии. М., 1985. С. 122-162.
10 Цит. по: Владимиров Ю. Метафизика. М., 2002. С. 304.
г-
В
с; ф
н
т
ю
«
ЕЕ о
с
ф
О, с
и
0 ш
Ц
£
1
а
ф
н и
/в
0
ментальную роль объективной эстетики мироздания.
Древние греки считали Красоту первоначалом, созидающим принципом: все, что красиво, то жизненно, а то, что безобразно, в конечном итоге превратится в «космический мусор». Поясните смысл этого утверждения. Попробуйте привести примеры современных научных понятий, которые имеют эстетический смысл.
Можно попросить дать комментарий на высказывание Иоганна Кеплера - ученого, сформулировавшего законы движения планет, пламенного последователя пифагорейско-платоновой философии: «Есть музыка и в красоте, и беззвучная музыка, которую играет Купидон, гораздо слаще, чем звук инструмента; потому что музыка имеется во всем, где есть гармония, порядок или пропорция; потому-то мы можем наслаждаться гармонией сфер»п.
Предоставим слово магистрантам, изучающим курс по философии науки: «Известно, что многие фундаментальные уравнения (Планка, Эйнштейна), описывающие законы природы, просты. Простота и есть красота. Многие математические модели в современных прикладных науках выведены из природы: золотое сечение (построение яйца, раковины моллюсков, спирали Галактики, архитектурные сооружения), экспонента (реакции первого порядка, ядерный распад, работа ЭВМ). Фундаментальные принципы симметрии действуют от микроуровня до макроуровня, в природе и в
искусстве» (Дмитрий Ш.). «Я понимаю красоту как воплощение гармонии, противоположной хаосу. Любое созидание связано с приложением труда (физического и умственного), а с точки зрения физики - энергии. Любая система стремится к хаосу (например, если не убирать в квартире, то будет беспорядок). Гармония связана с геометрией, математикой, необходимой для созидания. Красивым мы считаем симметричные фигуры, подчиненные законам геометрии, а в музыке приятно слуху построенное на законах звуковой гармонии (темперация, тональность, метр)» (Радик И.).
Среди ответов были и метафо-рически-творческие решения. «Как и любой музыкальный шедевр, физические законы совершенны и самодостаточны, несут в себе гармонию и математический порядок. Если рассматривать отдельные законы, как ноты и их последовательности, то, складываясь вместе тем или иным образом, они образуют музыкальное произведение» (Александр М.). Прямо-таки напрашивается сказать - музыка ноосферы\ Нечто похожее: «По-моему, Кеплер понимал под музыкой все, что радовало его глаз, слух, восприятие. Гармония — это когда одно не противоречит целому. Все элементы системы или теории должны быть согласованы и дополнять друг друга. Есть "музыка языка", "музыка математики", "инструментальная музыка". Главное ее услышать, почувствовать. Гармония должна быть во всем» (Павел К.).
Цит. по: Купер Л. Физика для всех. Введение в сущность и структуру физики. Т. 1.М., 1973. С. 73.
«Под музыкой понимается нечто большее, чем мелодичный звук, некоторое прекрасное состояние, способное появиться внутри человека. Это состояние вызывается (может вызываться) явлениями, которые кажутся нам прекрасными. Кеплер считал, что понятие о сферах прекрасно» (Егор Я.) Для полноты музыкально-поэтическо-го образа науки дополним эти высказывания еще одним: «В моем понимании беззвучная мелодия, которую играет Купидон, это любовь, а любовь есть гармония с человеком, которого любишь. Гармония или любовь есть чувство божественное, ниспосланное свыше. А то, что божественно, этим стоит наслаждаться» (Дмитрий И.).
Когда задумываются над научными понятиями с эстетическим содержанием не стоит забывать о временном измерении и связанных с ним понятиях ритмов и циклов. Ритм (греч. гИуЛтоэ - такт, ровность в движении; стройность, соразмерность, пропорциональность; образ, вид, фигура) - закономерное чередование соизмеримых элементов, их повторность и мерность. Ритм организует и регулирует целостность системы (ее гомеостаз), участвует в формообразовании, в координации элементов, частей и целого системы, в кооперации коэволюционирую-щих систем, в синхронизации разных масштабов и уровней иерархических системных объектов. Ритмические соотношения обнаруживают себя в природных явлениях, в социокультурных процессах, в совместной деятельности людей, в искусстве. В зависимости от объекта исследования выделя-
ют астрономические, тектонические, биосферные, организмен-ные, радиологические и прочие ритмы и циклы. В масштабах сложного целого локальные циклы вкладываются в более глобальные, один цикл в своей очередности может накладываться на другой, менять свой темп. Проблемы ритмической синхронизации процессов с разной метрикой остаются мало изученными. В искусстве, особенно в музыке и стихосложении, ритм считается одним из самых основных формообразующих и выразительных средств. В живописи и архитектуре пространственный аспект ритма проявляется в создании композиций по законам симметрии, а временной - в процессах восприятия. С ритмом как эстетической категорией Платон связывал эвритмию - благородство в движениях и благозвучие в музыке. Согласно мыслителю, эвритмия служит показателем разумности человека.
Добавлю, что научное понятие аналогии в древнегреческой культуре также имело эстетическое содержание. Аналогия (лат. analogía, греч. analogon, ana-logos - в соответствии с пропорцией) - подобие, сходство предметов в каких-либо свойствах или отношениях, причем необязательно одинаковых в целом. Как прием рационального познания аналогия широко используется в выдвижении гипотез, сравнительном анализе, моделировании, прогнозировании. Роль аналогии в активизации интуиции трудно переоценить. В творчестве озарение часто приходит с расширением границ исследовательского поля: возникающие порой далекие от исход-
ш
не 11
с ф ь» к ш
«3 се О
с
ф
с
и и
т ц
ф н и
(О
LV
Ш hüii
! I
ной задачи образы способны перенаправить мышление в перспективное русло. Некоторые методологи науки считают, что появление задач, для которых не находится аналогий, свидетельствует об аномалии научной теории. Аналогия имеет онтологическое основание, проявляясь как универсальный принцип организации сложных систем. Подобие объектов, их структурная инвариантность и структурно-функциональная упорядоченность, обнаруживает себя в законах композиции систем любой природы, естественных и искусственных, живых и неживых. Пифагорейцы учили, что по закону аналогии образуется весь миропорядок: мир (Вселенная) осмыслялся ими как упорядоченное числом единство, в котором числовые пропорции составляют основу его связности -гармонии. Аналогия части и целого составляет суть фрактальной геометрии природных объектов (Б. Мандельброт), в которой исследуются нерегулярные, но самоподобные структуры. Интересная реализация принципа аналогии прослеживается в современных представлениях о вложенном блочно-ячеистом строении вещества Вселенной, начиная от микромира и кончая галактиками.
Начала красоты в природе, в познании и в творчестве - благодатная тема для размышлений, объединяющих философию, науку, искусство и духовное развитие. В рассуждениях магистрантов прозвучало два определения кра-
соты, известных в античности. Понимание прекрасного как согласования частей между собой (Пифагор, Платон, стоики) и «вечное сияние Единого, просвечивающее в материальном явлении» (Плотин). Отсюда, например, красота простоты выше красоты сложного. Полезно ознакомиться с рассуждениями Вернера Гейзен-берга о значении двух определений красоты для точных наук: «как в точном естествознании, как и в искусстве, главный источник распространяемого света и ясности заключается в красоте»12.
Многие находят приведенное утверждение Кеплера спорным на том основании, что в природе мы не обнаруживаем идеальной симметрии, и «как раз наоборот, именно еле уловимая дисгармония может создать истинную красоту» (Николай К.). Действительно, затруднение, обнаруженное вдумчивыми магистрантами, порождает проблемы. Симметрия и связанные с ней общенаучные понятия характеризуют структурную организацию систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т.д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии при современном уровне знаний является теория групп и теория инвариантов. Другой аспект симметрии связывают с понятиями равновесия и гармонии. Если признаки сим-
12 О неизвестных философских рукописях знаменитого физика-теоретика см: Визгин В.П. Вернер Гейзенберг о соотношении искусства и науки // Наука и искусство. М., 2005. С. 108.
метрии отсутствуют, то говорят об асимметрии. Попытки связать оба понятия приводят к необходимости мыслить по принципу дополнительности, рассматривая симметрию и асимметрию как аспекты единой природы или процесса. Распространено пояснение через единство покоя и движения: если симметрия раскрывает момент покоя, равновесия в состояниях движения, то понятие асимметрии - момент движения, изменения в состояниях покоя, равновесия. На динамическую симметрию указывает Платон: «Если бы возникающие противоположности не уравновешивали постоянно одна другую, словно описывая круг, если бы возникновение шло по прямой линии, только в одном направлении и никогда не поворачивало вспять, в противоположную сторону, - ты сам понимаешь, что все в конце концов приняло бы один и тот же образ, приобрело одни и те же свойства, и возникновение прекратилось бы» (Фе-дон, 72Ь).
Интерпретация симметрии и асимметрии через единство покоя и движения охватывает лишь частичный круг явлений. Можно предложить использовать понятия грубого и тонкого рассмотрения (измерения), когда предмет в целом (вообще) симметричен, но при детальном (более мелком) рассмотрении находим признаки асимметрии. Здесь задействован прием, который известен в теории аргументации как различение того, что истинно только secundum quid («в определенном аспекте»), с
тем, что истинно simpliciter («без оговорки», «абсолютно», «в целом»). На ошибки неразличения этих познавательных позиций впервые обратил внимание Аристотель. При обсуждении вопроса о соотношении симметрии и асимметрии могут быть использованы и другие пары - идеальное и реальное, математическое и физическое.
Имея дело со сложными динамическими системами, синергетика предлагает новое оригинальное видение красоты: «Красота с синергетической точки зрения, -пишут E.H. Князева и С.П. Кур-дюмов, - может быть рассмотрена как некий промежуточный феномен между хаосом и порядком. Красота - это не полная симметрия, а некоторое нарушение симметрии (порядка). И именно это незначительное нарушение симметрии делает структуру жизненной и достойной восхшцения»ь.
Рассказ о детском изумлении простодушного грека, впервые осознавшего, что к истине можно подойти путем интеллектуального рассуждения, пользуется популярностью у преподавателей и оживляет изложение материала. Свободные граждане греческих полисов настойчиво и не без наслаждения тренировались в мышлении, охотно проводя время в спорах и философских беседах. Говорят, что традиция спора как интеллектуальной игры до сих пор жива, хотя современные греки -далеко не их предки и по крови, и по духу. Действительно, диалог как активное речевое взаимодей-
Князева E.H., Курдюмов С.П. Синергетика: Нелинейность времени и ландшафты коэволюции. М., 2007. С. 155.
13 Зак. I960
193
SS -
№ р Р !!
С ф
ь» «
ш
(О
с£
0
с
ф
а с
и и
ш ц
X
1
а ф н-
U
ф
►3
ствие развивает логическое мышление, требуя выдвижения аргументов в защиту своей точки зрения. Занятия аргументированием создавали благоприятную почву для становления философского мышления, впервые осознавшего важность вопроса о необходимости обоснования знания. И социальные практики, и занятия философией в те далекие времена приводят к осознанию свойства мышления «быть дисциплинированным». Правильность речи, ее связность, последовательность и доказательность впервые была осмыслена Демокритом как логичность.
Слово «логика» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреческое слово «logos», от которого оно происходит. Тем не менее, в духе традиции, с термином «логика» связывают обычно три основные идеи:
1) идею необходимой связи явлений объективного мира; в этом случае говорят о «логике вещей» (к примеру: «логика вещей сильнее логики человеческих намерений») или о «логике экономических событий», или «о логике политической борьбы» и пр.
2) идею необходимой связи понятий, посредством которых познаются «сущность вещей и истина», и тогда говорят о «логике познания»;
3) наконец, идею доказательств и опровержений.
Последний пункт относится к предмету логики как науки в ее собственном (основном) значении, хотя понятия «доказательство» и
«опровержение» могут при этом пониматься по-разному в зависимости от предъявляемого к их рассмотрению уровня строгости и философско-методологических установок.
На логичность как связь понятий обращали внимание уже в школе пифагорейцев. Идея логичности как связи суждений в доказательстве привела Аристотеля к изобретению первой полуформальной логической теории - силлогистики. Не без влияния упрощенного изложения в учебных пособиях (а также школьного курса логики) аристотелевскую логику повсеместно отождествляют с традиционной логикой. Традиционная логика - это результат работы средневековых ученых, разрабатывавших логические проблемы исходя из исследований Стагири-та. Система классической логики с двумя выделенными значениями «истинно и ложно» была лишь одной из сфер интересов Аристотеля. Логическое учение Аристотеля охватывает модальную силлогистику, содержательные модели временной логики, логические основы аргументации. Теорию аргументации Аристотель называл диалектикой - учением о правдоподобных умозаключениях. Проведенный Аристотелем анализ фаталистических аргументов в девятой главе «Об истолковании», его предложения относительно оценки будущих случайных событий породили бурные дискуссии в XX в., стимулировавшие развитие таких направлений в современной науке, как многозначные, временные и модально-временные логики, а также осознание идеи о
натурфилософия античности в зеркалах науки и культуры. математика и логика
сложной структуризации значении истинности14.
Не все стратегии мышления, которые прослеживаются в древнегреческих текстах, были мыслителями рефлексивно осознаны и изучены теоретически. Например, логики оценок не было, однако разрабатывались их содержательные предпосылки. Диоген Лаэрт-ский приводит мнения стоиков и перипатетиков по дискуссионному вопросу о наличии среднего между добродетелью и пороком. Стоики показывают, что свойство интенсивности не применимо по отношению к этим оппозициям: «Между добродетелью и пороком, полагают они, нет ничего среднего (тогда как перипатетики, например, полагают, что между добродетелью и пороком лежит совершенствование). В самом деле, говорят они, как палка бывает прямая или кривая, так и поступок - справедлив или несправедлив, но никак не "более справедлив" или "менее справедлив", то же и в остальных случаях»'5. Однако в аспектном отношении правильно мыслить триадой, по стратегии стоиков: «Все сущее считают они или благом, или злом, или ни тем, ни другим. Блага - это добродетели: разумение, справедливость, мужество, здравомыслие и прочее. Зло - это противоположное: неразумие, несправедливость и прочее. Ни то, ни другое -это все, что не приносит ни пользы, ни вреда, например, жизнь и здоровье, наслаждение, красота,
сила, богатство, слава, знатность, равно как и их противоположности: смерть, болезнь, мучение, уродство, бессилие, бедность, бесславие, безродность и тому подобное. Так пишут Гекатон в VII книге "О конечных целях", Апол-лодор в "Этике" и Хризипп. В самом деле, все это не блага, а предметы безразличные, хоть по виду и предпочтительные»16.
Положение о том, что логичность и доказательность - новые качества мышления, которые отличают античную науку от пред-науки древних цивилизаций, входит в учебные программы по философии науки. Но какова сила логики и доказательности на деле? Каковы критерии логичности? Если учишься в вузе, то рассуждаешь ли логично и обоснованно? И, наконец, интересно было бы сравнить мышление современного человека с мышлением древнего грека, сопоставив их напрямую. От объяснений - какую роль играла в античной культуре логика -полезно напрямую, практически перейти к знакомству, а затем и освоению логической методологии.
Для философии математики вопрос о роли логики в математике не из простых. Он естественно встает при изучении натурфилософии, стоит только обратить на него внимание. Для пробуждения интереса к этой теме я предлагаю следующее творческое задание.
Некоторые исследователи считают, что рассуждение древ-
ii
ЙР ||
jlj
®
jpi
II
См.: Карпенко A.C. Фатализм и случайность будущего. М., 1990. 13 Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. М., 1979. С. 307. 16 Там же. С. 299-300.
с; Ф ь.
ш «
ге ЕС
0 с ф CL с
и
U <0 с; х
1
а ф
н и <0
Ш
1 щ®
I
с
41
ь «
и
«
ч о
с ф й с
и и
«3
с
ас
■
а ф н и гв
Й
негреческого философа Пармени-да о том, что «бытие есть, а небытия нет» способствовало развитию доказательности в математических рассуждениях. Каковы могут быть основания для такой оценки?
Ответ, скажем образно, на поверхности. Размышления над заданной темой должны вывести на понимание сути аналитического мышления. Если активизировать память, то всплывут в уме доказательства от противного, основанные на логическом противоречии и принципах классической логики. Можно напомнить процедуры доказательства, которыми пользовались в школе на уроках геометрии. Полезно обратить внимание на качественный скачок в эволюции мышления, когда потребность в определенности мысли привела к развитию стратегий работы с парой противоположных понятий, таких как «истина» и «ложь»17. Есть существенная черта, которая отличает эту пару оппозиций: два понятия независимы, изолированы, истина никогда не переходит в ложь, и наоборот. Именно свойство атомистичности этих понятий оказалось необходимым для математических доказательств. Отмечу, что изолированные оппозиции использовали в обыденном мышлении и до потребности в математических доказательствах, а именно в ситуациях решающего
выбора - «да или нет», «с нами 18
или против нас» .
На семинарах (особенно по специальностям, связанным с математическим моделированием) можно предложить порешать логические задачи, чтобы осознать на деле силу логики. В том случае, если времени не так много, можно ввести студентов в теорию силлогистики, прояснив смысл простого категорического силлогизма. В этих целях достаточно дать необходимую информацию о трех терминах (Б - субъект, о чем говорится, Р - предикат или сказуемое, и М - средний термин), логической связке «есть» и ее отрицании «не есть», посылках и четырех фигурах силлогизма. Лучше нарисовать фигуры силлогизма на доске, через простой наглядный образ сразу видны формы умозаключений. Советую обратить внимание слушателей на то, что силлогистика изучает отношение между классами (для математика это сразу проясняет ситуацию), истинность посылок гарантирует истинность заключения, а сам логический переход от посылок к заключению должен делаться по форме при правильном решении по одной из фигур силлогизма (в этом смысл логического следования). Сначала решаем интуитивно, а потом проверяем полученный результат по одному из трех наглядных способов - кругам Эйлера, диаграммам Вена или диаграммам Кэрролла. (Конечно, преподаватель должен знать силлогистику в полном объеме правил.)
О революции в математическом мышлении можно рекомендовать прочесть статью Веденовой Е.Г. Противоречие и становление теоретического знания // Мысль и искусство аргументации. М., 2003.
18 См.: Герасимова И.А. Принцип двойственности и когнитивные практики // Вопросы философии. 2006. № 3.
Советую обратить внимание на силлогистику Льюиса Кэрролла - в этой системе можно проверить полноту умозаключений. Может оказаться, что из данных посылок будет следовать не одно, а два заключения14. Приведем примеры задач Кэрролла.
Проверить, являются ли следующие тройки суждений (правильными) силлогизмами.
Некоторые эпикурейцы не отличаются щедростью. Все мои дядюшки щедры. Мои дядюшки не эпикурейцы.
Все, кто всерьез хочет учиться, должны упорно работать. Некоторые из этих мальчиков работают упорно. Некоторые из этих мальчиков всерьез хотят учиться.
Все разумные люди ходят ногами. Все неразумные люди ходят на голове.
Ни один человек не ходит на голове и ногах.
Для воспитания бдительности полезно дать софизмы, например: Муха - животное. Большая муха - большое животное (пример Ю.В. Ивлева)20. Или:
Чем больше учишь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Значит, чем больше учишь, тем меньше знаешь.
Практика показывает, что при решении задач возникают трудно-
сти. Не так просто усмотреть форму умозаключения, студенты начинают думать о содержании (хотя это небезынтересно). Не могут определить четко, по каким причинам заключение неправильно, или же почему данная последовательность суждений вообще не является силлогизмом. Вызывает удивление требование традиционной силлогистики о том, что из данных посылок следует только одно заключение. Предлагают ввести понятие «вероятности следования» заключения из посылок, однако это уже другая логическая теория, не являющаяся классической силлогистикой. В модальных системах силлогистики, если посылки носят возможный характер, то и заключение имеет возможный статус, но сам акт следования принудителен. В софизмах обращают внимание на содержание, а не на методологию, которая объясняет языковые уловки (многозначность), нарушение силлогистической формы, учетверение терминов, иллюзорность значений слов, выражающих следование («значит», «следует»).
Рассуждение как последовательное выведение одних высказываний из других, требования определенности и ясности вводимых понятий, обоснованности суждений - неотъемлемые характеристики классической греческой философской мысли. Однако оказывается не так просто, без подготовки, «схватить сходу» и понять
1 Кэрролл Л. Символическая логика // Он же. История с узелками. М., 2000.
20 Профессиональное исследование, связанное с этим примером, см. в статье: Анисов A.M. Вычислительная метамодель реальности и проблема истины // Логические исследования. Вып. 13. М., 2006.
с Ф s-П т го ЕС
0
1 i а с
и и го
ц
2£
I
а
ф
н
и
го
0
яр III
смысл формально-логических структур и дедуктивных методологий.
Суммируем обсуждавшиеся в статьях этого и предыдущего номеров идеи и положения натурфилософов, которые находят отклик в современной науке:
- единство и целостность мироздания, человека и мира;
- творческое начало целого;
- одухотворенность космоса, предрасположенность эволюции к появлению разума в множественности форм;
- красота (гармония, симметрия, ритм) как созидающий принцип мироздания;
- простые первоначала в основе множественности материальных форм;
- геометрически-структурные основы физического мира;
- множественность миров, цикличность их возникновения и уничтожения;
- творческая сила математики в познании мира;
- логика (связь понятий и рассуждений) как одна из основ научного метода;
- мировоззренческая и воспитательная роль точных и естественных наук.
Данная связь между античностью и современностью применительно к науке позволяет убедить студентов в зависимости науки от своей истории и даже шире - от культуры в целом. И это показывает, что философское осмысление такой культурной преемственности полезно даже для спе-циалистов-нефилософов.
