CC BY
34
Практика использования свободного программного обеспечения в образовании
289
Литература
1. Информатика: учеб. / под редакцией Н.В. Макарова. М.: Финансы и статистика, 1997 г.
2. Рудаков, А.В. Технология разработки программных продуктов: учеб. пособие для студентов среднего профессионального образования / А.В. Рудаков. М.: Издательский центр «Академия», 2005.
Технология изучения темы «применение производной к задачам на экстремумы»
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ MAXIMA
Кормилицына Татьяна Владимировна ([email protected])
ГОУВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск
Аннотация
Приведены приемы использования системы свободного программного обеспечения
Maxima при изучении элементов математического анализа в школе.
Специализированные математические пакеты на уроках алгебры и начала анализа можно использовать не только как средство сопровождения изучения вопросов школьной программы. Пакеты позволяют удачно ввести сложное понятие курса, осуществить некоторые этапы работы с теоремой, задачей, могут стать способом, формирующим аналитическое мышление, развивающееся в процессе решения задач с использованием пакетов. Такие средства могут стать способом развития познавательных интересов у учащихся, фактором мотивации изучения математики, использоваться при организации самостоятельной и индивидуальной работы.
Исследуем возможности применения системы Maxima [2,3] при изучении темы «Применение производной к задачам на экстремумы».
Покажем алгоритм нахождения производной функции и вычисления ее значения в точке на примере той же функции.
Задаем функцию пользователя: ( %i1) g(x): = xA2;
Получим изображение процедуры дифференцирования: ( %i2) 'diff(g(x));
Найдем аналитический вид производной: ( %i3) diff(g(x),x);
Вычислим значение производной функции в точках х = 0 и х = 5: ( %i4) %o3, x = 0; ( %i5) %o3, x = 5;
При вычислении значений производной в точках указывали на номер команды вывода аналитического вида производной - это команда вывода %o3.
Напомним, что все команды ввода ( %i1, %i2, %i3, %i4, %i5) набираем в строке ввода в нижней части экрана.
Одним из важных приложений производной является использование ее при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. В процессе решения четко выступают три этапа построения и использования математической модели: формализация (составление функции, описанной в условии задачи);
решение формализованной задачи (решение получившейся математической задачи с помощью производной);
перевод решения на термины, в которых задана задача (перевод решения задачи с математического на естественный язык).
Приведем решение математической задачи. Задача.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = - xA2 на отрезке [-3, 1].
290
ИТО Марий Эл -2010
Решение.
Введем исходную функцию f(x) := -xA2.
Найдем производную функции diff (f(x), x).
Найдем точки экстремума - решим уравнение solve (f(x), x).
Вычислим значения функции в точках экстремума и на концах заданного отрезка f(0); f(-3); f(1).
Получили значения f(-3) = -9, f(0) = 0, f(1) = -1.
Сделаем вывод: наибольшее значение равно 0 при х = 0, наименьшее значение равно -9 при х = -3.
Итак, решение задачи в системе Maxima реализуется по следующему алгоритму:
1. Задание функции f(x).
2. Нахождения производной функции f(x).
3. Нахождение точек экстремума - нулей производной, решение уравнения ff (x) = 0. Выполнение команды solve для производной функции.
4. Вычисление значения функции в критических точках.
5. Анализ результатов.
Благодаря простому алгоритму система позволяет использовать на уроках для решения текстовых задач на наибольшее и наименьшее значение с учетом того, что основные алгоритмы нахождения наибольшего и наименьшего значения с помощью производной на отрезке, интервале и промежутке учениками уже усвоены. Приведем алгоритм решения текстовой задачи.
1. Выявить величину, о наибольшем (наименьшем) значении которой говорится в задаче. Выбрать аргумент (неизвестную величину). Указать интервал изменения аргумента.
2. Выразить величину из пункта 1 как функцию независимой переменной.
3. Найти искомое наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале или на отрезке.
Рассмотрим решение упражнения № 948 из учебника [1].
Задача [№ 948].
Из квадратного листа картона со стороной a нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какова должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим?
Решение.
Пусть х - искомая высота коробки, причем х <= a/2, иначе коробку нельзя будет сделать.
Составим формулу зависимость объема коробки от высоты как формулу объема параллелепипеда, основание которого квадрат со стороной а-2*х, и высотой х. То, что верхнего основания нет, не повлияет на формулу:
V(x) = (a - 2 * x)2 * x .
Введем формулу как функцию от х в окно ввода V(x) := ((a - 2*x)A2*x). Найдем производную функции V(x) diff(V(x), x).
Найдем нули производной как функции от х solve(diff(V(x), x), x).
— a a
Так как по условию задачи x < —, то решение x = —.
При решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций система MAXIMA позволяют существенно сократить время на уроке, затрачиваемое на длинные вычислительные процессы и уделить больше времени на сам алгоритм нахождения наибольших (наименьших) значений или другие важные вопросы.
Литература
1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Ко-лягин, Ю.В. Сидоров. М.: Просвещение, 2002.
2. Кормилицына, Т.В. Информационные технологии в математике: учеб. пособие / Т.В. Кормилицына. Саранск: Мордов. гос. пед. ин-т, 2009.
3. Чичкарёв, Е.А. Компьютерная математика с Maxima: Руководство для школьников и студентов / Е.А. Чичкарёв. М.: ALT Linux, 2009.
