CC BY
35
© Н.Н Арефьев, С.М. Штин, 2009
УДК 532.542
Н.Н. Арефьев, С.М. Штин
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ С ГИДРОСМАЗКОЙ В КАНАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ
Семинар № 14
я #ри добыче сапропеля шнековыми грунтонасосными установками транспор-
1 Л. тирование его часто осуществляется по лоткам, на дне которых формируется слой смазывающей жидкости с текучестью большей, чем текучесть сапропеля. Известно [1], что сапропель является вязкопластичной жидкостью, реологические свойства которой описываются уравнением Шведова - Бингама. Для проектирования таких установок необходимо решить задачу по определению основных характеристик течения вязкопластичной жидкости с гидросмазкой в канале при наличии свободной поверхности.
Рассмотрим течение вязкопластичной жидкости (ВПЖ) с гидросмазкой под действием силы тяжести на плоской поверхности бесконечной ширины при наличии одной плоской стенки и одной свободной границы. На рис. 1 и 2 показаны схемы течения ВПЖ под действием силы тяжести, где И1 - толщина слоя смазывающей жидкости (СЖ) с реологическими характеристиками: р02 - предельное напряжение сдвига, Пгт2 - структурная вязкость; (И — И) - толщина слоя транспортируемой жидкости (ТЖ) с реологическими характеристиками р01 и г/т1, а - угол наклона
стенки к горизонту. Предполагаем, что жидкости друг с другом не перемешиваются, а их плотности равны или близки. Известно [2], что давление на свободной поверхности постоянно, поэтому вдоль этой границы оно не будет зависеть от х, то есть
где g - ускорение свободного падения.
Компоненты скорости Уу и V принимаем равными нулю, т.е. траектории всех частиц прямолинейны и параллельны, режим движения ламинарный. Тогда из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости [3] получим дУх / дх = 0 . Откуда
следует, что скорость течения вдоль оси ох не изменяется. Тогда из системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях в декартовой системе координат первое уравнение [3]
др / дх = 0.
Проекция силы веса единицы массы на ось Ох равна Fx = gSina,
(2)
(1)
с учетом стационарности течения (дУх /ді = 0) можно записать
Рх +- (
1 ,дРхх дР дРх,
- + -
- + -
) = 0.
р дх ду дх
Составляющие тензора скоростей деформации в декартовой системе координат [3] имеют следующие значения:
В„ = 2
д¥х
дК дУ дУ
= 0; В„ =—^- + -
дх дх ду ду
; Лх: =
-+-
= 0;
дУ
В = 2
. уу ду
у = 0; В = —
; уі ду
дУ дУу дУ
’■ + —^ = 0; В = 2—^ = 0.
? 22
ді
ді
(4)
С учетом (4) интенсивность скоростей деформаций (инвариант тензора скоростей деформаций) в соответствии с [3, 4] имеет вид:
1( в'2 + в';, + в; )+В2у+в; + л:
1/2 дУх
ду
(5)
С учетом (4) и (5) составляющие определяющего уравнения (реологические уравнения) ВПЖ [3, 4] в декартовой системе координат можно записать в виде:
Рхх =— Р + (у + Ппт )Вхх = — р;
Рху = (-Т + Ппт )Вху = Р
дУх / ду дУх
пт/ ху
|дУх/ ду\
+ Пп
ду
дУх
= Р0 + п
ду
дУх;
ду
(6)
р = (™. + П )В = 0.
хх V ^ Чпт/ хх
С учетом (1) и (6) уравнение (3) перепишем в виде:
gSina + —-----— = 0 . (7)
Р дУ
После интегрирования (7) получим
рху =-РgУSina + Cl, (8)
где С1 - постоянная интегрирования.
На поверхности жидкости напряжение равно нулю: при у=Н Рху=0. Откуда из (8) найдем
С1 = рghSina . (9)
Тогда из (8) с учетом (9) получим
Ру = Р( - У )SІna, (10)
где i=1 - для ТЖ, i=2 - для СЖ.
С учетом второго уравнения системы (6) и знака производной дУх / ду ^ 0 из (10) имеем
^х, _ Р
(/ - у )Sina - -
(11)
Ф Пптг Пптг
Выражения (10) и (11) справедливы для ТЖ и СЖ.
При условии, что слой СЖ мал по сравнению со слоем ТЖ (// РР h - /), а ее текучесть выше, можно принять, что стержневой режим течения возможен только для ТЖ.
После интегрирования (11) получим
С ,,2 Л
V,. =
Р
п
hy - — Sina- ■Рр0-у + Съ,
пп, \
2
(12)
Пп.
где С2, — константа интегрирования.
Учитывая условие прилипания СЖ к стенке (Ух2=0 при у=0), из (12) получим С22=0. Тогда
С ,,2 Л
Гх 2 =
Рg
Пп
hy -
2
Sina--Рo
Пп.
-у.
(13)
Рассмотрим два режима течения:
а) Если (р^2 ) < р01, то ТЖ движется как квазитвердое тело по всему сече-
'у-/
нию без сдвига слоев (рис. 1). Условие такого режима течения можно записать с учетом (10) в виде
Р(-h)Sina< р0\. (14)
Скорость течения У1 СЖ на границе раздела двух сред определим по выражению (13) при у=^:
V =
Р
(
Ппт 2
hh\ - — Sina--Р^2-/1.
2
2
(15)
Скорость У1 является скоростью движения квазитвердого тела ТЖ.
Объемный расход ТЖ через единицу ширины наклонной поверхности найдем по выражению:
01 = V (- /0.(16)
С учетом (15) из (16) получим
Пп
Р 1 / - * \Sina- р02
Пп.
(17)
Объемный расход СЖ через единицу ширины наклонной поверхности найдем по выражению:
02 = { Ух2^-
(18)
2
После подстановки (13) в (18) и ин-тегрирования получим
02 =
2Пп
02
(19)
б) Если (Р2 ) ^ р01, то ТЖ течет со сдвигом слоев (рис. 2). При этом стержне-
\ ЛУ 'у=/
вой режим течения возможен на расстоянии у > У0 от стенки, где ТЖ течет со скоростью У0 как квазитвердое тело. Из уравнения (10) найдем У0 из условия, что
Рху=р01 при у=/о.
01
р slna
(20)
Для рассматриваемого режима течения напишем следующие граничные условия:
при у=/1 Уx2=Уl; при у=/ Уx1 = Уn
при у=/0 Уx1 = Уo.
Подставляя граничные условия в (12) и преобразуя, получим:
Уx1 =
V =
р
Ппт1
Рё_ '
Ппт1
(
(
о2
У -—— УУ1+ — Sina-~^01 (у-/)+^- У/- —
2 2 Ппт1 Ппт2 2
V
У2 У
УУ0 - У°- - УК +
0 2 1 2
Sina -
р 02
/
Пп.
Sina-01 (К0 - /1)+------------------У\- —
/
Ппт1
п
пт 2
V
2
у
Sina --р02- /1.
Пт 2
(21)
(22)
Объемный расход ТЖ через единицу ширины наклонной поверхности найдем по выражению:
0 = Уo( - У0)+{ Уx\dУ.
(23)
После подстановки в (23) выражения (21) и интегрирования получим
Рис. 2
0 = У0 (У - У0 )+-РgSina
ПптЛ
УУ2 + УУ2 - У3 - У3 - У/У + у У,Л
2
2 6 3
2
- (У0- у)2 +^Р^Sina^У - У к- у )/1 -^ (У0- у )У1
Ппл1 Ппт2 V 2 ^ Ппл2
(24)
Объемный расход СЖ и скорость определяются по (19) и (13).
Если течет ТЖ без смазки (У1 =0), то из (21), (22) и (24) получим:
Уx\ =
Р
2п
у(2У - у--------------^у ; (25)
пт1
Ппт1
V=
Pg
0 2n 0
^ЧплІ
Q = v„ (h - h )-
h0 (2h - h0 )Sina - h0; (2б)
плІ
Pg
2
Пп
hh h,
З
2б
Sina- p01 h02.
2n
(27)
Если течет ньютоновская ТЖ (р01=0) с коэффициентом динамической вязкости /л1 (вместо Ппт1) без гидросмазки, то из (25), (24) и (27) с учетом (20) имеем:
Vx1 =^у( - у)ina;
2 Мі
Q1 = -Pgh3Sina; зМ
Vmax = -^h2Sina .
2Мі
(2В)
(29)
(30)
Выражения (28) - (ЗО) согласуются с результатами исследований [2]. ------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лопотко М.З., Лецко А.П., Дубинин С.К. Рекомендации по технологии промышленной добычи сапропелей из открытых водоемов.-Минск: Наука и техника, 1981. - 77 с.
2. Стезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Госиздат, 1955. - 519
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Издание 5-е. - М.: Наука, 1978.- 736 с.
4. Прагер В. Конечные пластические деформации. // В кн. Реология: Теория и приложения. Под редакцией Ф. Эйриха. - М.: Изд-во ИЛ, 1962, с. 86- 126. 1233
с
— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------------
Арефьев Н.Н. - кандидат технических наук, ООО «Октябрьский ССРЗ»,
Штин С.М. - кандидат технических наук, Московский государственный горный университет.
Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 14 симпозиума «Неделя горняка-2008». Рецензент д-р техн. наук, проф. B.C. Коваленко
