Исследование течения вязкопластичной жидкости в плоской бесконечной щели с гидросмазкой одной стенки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.542:532.135

Н.Н. Арефьев

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ЩЕЛИ С ГИДРОСМАЗКОЙ ОДНОЙ СТЕНКИ

Приведено теоретическое исследование напорного течения вязкопластичной жидкости в плоской бесконечной щели с гидросмазкой на одной стенке. Разработаны математические модели скоростей течения транспортируемой и смазывающей жидкостей. Определены математические выражения для расчета расходов и напряжений сдвига транспортируемой и смазывающей жидкостей для различных режимов течения.

Ключевые слова: вязкопластичная жидкость, гидравлические машины, гидросмазка, течение смазывающей жидкости, напряжение сдвига.

Семинар № 14

N.N. Arefyev

THE STUDY ON THE FLOW OF VISCOPLASTIC FLUID IN THE FLAT ENDLESS GAPING WITH HYDRAULIC GREASING OF ONE SIDE

The theoretical study on enforced flow of viscoplastic fluid in the flat endless gaping with greasing of one side is described. Mathematic models of speed of transported and greasing fluid are developed. Mathematic formulae for calculation of flow and sharing stress of transported and greasing liquids for designed for different flow regimes.

Key words: viscoplastic fluid, hydraulic machines, greasing, greasing fluid flow, sharing stress.

щ приведено теоретическое иссле-Д дование напорного течения вязкопластичной жидкости в плоской бесконечной щели со слоем гидросмазки на одной стенке. Созданы математические модели скоростей течения, а также получены выражения для расчета расходов и напряжений сдвига транспортируемой и смазывающей жидкостей для ламинарного режима течения.

При создании гидравлических машин для перекачивания вязкопластичных жид-

костей (к которым относятся сапропели

[1], парафинистые нефти [2], донный ил и др., реологические свойства которых описываются уравнением Шведова-Бингама) используются конструкции [2, 3, 4], в которых между стенками каналов (некоторые из которых имеют форму плоской щели) и транспортируемыми жидкостями формируют слой смазывающей жидкости. Известны решения задач течения ньютоновских жидкостей в плоской бесконечной щели [5, 6]. Для вязкопластичных жидкостей также исследовано течение в плоской щели [7, 8, 9], но без гидросмазки. Исследуем течение вязкопластичной жидкости в плоской щели с гидросмазкой одной стенки.

1. Общие положения. Рассмотрим случай, когда в щели шириной 2к течет вязкопластичная транспортируемая жидкость с реологическими параметрами щ - пластическая вязкость, р01 -предельное напряжение сдвига; а вдоль одной из стенок щели - более текучая смазывающая жидкость с параметрами щ, р02. Предполагаем, что жидкости друг с другом не перемешиваются и компоненты их скоростей Уу и У2 равны

нулю. При этом предположении из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости [5] получим

—- = 0 (1)

дх

Откуда следует, что скорости течения вдоль оси х не изменяются. Тогда из системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях в декартовой системе координат [5] можно записать

дР дР дР.

■ = 0

(2)

5х 5у &

С учетом (1) и (2) составляющие тензора скоростей деформации в декартовой системе координат [5] имеют следующие значения:

сУ

Б = 2 —^ = 0; Б =

хх 5х ’ ху

5Уу+ сУх _ су 9х 9у 9у

5У сУ 5Уу

Ох, = —— +------------------- = 0Б = 2—^ = 0; (3)

сх уу су

Б,„ = -

сУЪ су

су 5ъ

сУ

= 0; Б = 2 —^ = 0

’ ЪЪ

сЪ

Согласно (3) интенсивность скоростей деформаций (его инвариант) в соответствии с [5, 10] имеет вид:

I =

■і(Б2 + Б2 + Б2) + Б2 + Б2 + Б2

^ V хх уу ъъ/ ху уъ г

су

5у

(4)

= (^ + ^)БХу = рс

су/ су су

|сУх/ су| П'ду

с- су аух

=Р08і§^^-х+^^т;

су су

Рхъ = (р0 + ^)БХЪ = 0; Руу =

= -р + (р1 + ^)Буу =-р (5)

Руъ = (^ + ^)Бу2 = 0; Ръъ =

= -р + (^ + ФБ^ =-р

где р =- 1(рхх + Руу + РЪЪ)

С учетом (4) и (5) уравнение (2) перепишем в виде:

■Зр.+^=0

5х 5у

(6)

Так как в (6) первый член уравнения зависит только от х, а второй - только от у, то оба должны быть постоянными. Интегрирование (6) по у дает

Р-=|у (7)

где г=1, 2 — для транспортируемой и смазывающей жидкостей соответственно.

Приравнивая правые части (7) и второго уравнения системы (5), получим

др дУ_ дУ„

Следуя (3) и (4), составляющие определяющего уравнения (реологические уравнения) вязкопластичной жидкости [5, 10] в декартовой систе-ме координат можно записать в виде:

Р-к =-Р + (у + щ)0- =-р; Р-у =

—уі = р0і &БП + ^' Л

сх су су

Из (8) и (1) имеем:

1 dp р0 , _ 5У„

(8)

(9)

=-~гу‘ау-—Л

) ах ) ду

На практике обычно в качестве смазывающей жидкости используется ньютоновская жидкость, как более текучая. Поэтому можем принять, что р02 =0, ?)2 ^ ц2 - коэффициент динамической вязкости смазывающей жидкости. Уравнение (1.9) для ньютоновской смазывающей жидкости имеет вид

1/2

Рис. 1. Схема течения смазывающей жидкости: 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела жидкостей; 4 -

Ус2 = £ (У 2)

Рис. 2. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда на границе их раздела Р < р01 и

у02 < И — Ц : 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела

жидкостей; 4 - У2 = £ (у) ; 5 -

V; 6 - V-! == £(уа); 7 -

Vx2 = Vo

Это возможно, если

Рху1 < Р01 при У, = (И + Ь1)/2. С учетом (.7) получим условие такого течения:

Р01 ^

йр И + И1

ах 2

(11)

^=2 ^-1аРУ=аУ (10)

& а=

2. Исследование течения жидкостей. Можно выделить несколько вариантов течения жидкостей:

а) Градиент давления йр/&с мал. Течет только смазывающая жидкость, ее движение характеризуется ламинарным режимом (рис. 1 ). Такое течение возможно при условии, что напряжение в транспортируемой жидкости меньше р01, и вся она ведет себя как квазитвердое тело, находящееся в соприкосновении с верхней стенкой щели и омываемое со стороны нижней стенки смазывающей жидкостью.

При условии (11) смазывающая жидкость течет как бы между двумя плоскостями: твердой стенкой и поверхностью квазитвердого тела транспортируемой жидкости. Поток симметричен относительно его средней плоскости. Скорость смазывающей жидкости можно определить, интегрируя (10)

!0ру!

& ах 2

Постоянную интегрирования С2 найдем из условия прилипания смазывающей жидкости к стенке щели: "Ух2 = 0 при у 2 = (И — Ц ) / 2. Путем подстановки этих значений в (12) определяется С2, откуда получим

Vx2 =-

■с,

(12)

ар 1(И—ь’)2 — 4У22 (13)

йх) 8&

Выражение (13) совпадает с исследованиями [6].

Удельный расход смазывающей жидкости можно определить по выражению

2

02 = 2 | У^у

(14)

Ф

dx

(Ь + Ьі) > р01 > |Ь -Ьі -у0

Ф

dx

(15)

портируемой жидкости) определяется из

условия Рхуі = р01 при уі = Ь0 по (7)

Ь0 =г^Ч

|dp/dx|

Для транспортируемой жидкости скорость течения ¥Х] можно определить, интегрируя (1.9) в системе координат

ОіХіуі:

Ух, = -^4 - сУхі

+ Сі (16)

После подстановки (13) в (14) и интегрирования получим

(_ ар ^ (Ь - Ьі)3 02 I dx) П/и2 '

б) При увеличении градиента давления, когда условие (11) не выполняется, то есть напряжение в транспортируемой жидкости на верхней стенке щели больше р01, она начинает течь:

Руі > рої при уі = у0і (рис. 2). Если на границе раздела смазывающей и транспортируемой жидкостей напряжение сдвига не превышает р , то стержневой режим течения транспортируемой жидкости граничит с поверхностью смазывающей Рху2 < р0і при

у = -(Ь - Ь - у02) . Условие такого течения запишется в виде:

) йх 2 ) дУ 1

Постоянная интегрирования С1 определяется по (16) из условия: у = V при у = И0. Откуда с учетом того, что для ду / ду! < 0 имеем

Sign(дVxl / д^1) = —1, получим:

Ухі = Ус — (~)

і d^y^! - Ь° р,

+ —^ -Ь„)

Л

(17)

Учитывая условие прилипания транспортируемой жидкости к верхней стенке щели (УХ1=0 при у1 = У01), из (9) определим

V. =[—£1 — Р2.(уш — Ьо) (18)

V йх) 2)1 )

где у01 = И + И1 — И0

Скорость течения смазывающей жидкости определяется по (1 2), а постоянная интегрирования находится из условия, что Vx2 = У2 при У2=0, откуда

Ф'

У = У -

у V о у г\о

у2

где у01 - расстояние от верхней стен-ки щели до середины квазитвердого стержня транспортируемой жидкости; У02 -расстояние от нижней стенки щели до плоскости нулевых напря-жений смазывающей жидкости.

Исследуем течение при условии у02 < И — Ц . Значение к0 (половина ширины квазитвердого стержня транс-

(19)

2& V йх^ где У02 - максимальная скорость на плоскости нулевых напряжений смазывающей жидкости.

Учитывая условие прилипания смазывающей жидкости к нижней стенке щели (Ух2=0 при у2 = у02) и течение на границе с транспортируемой жидкостью со скоростью У0 (Ух2 = У0 приу2 = -(И-И1-у02)), из (19) соответственно найдем:

0

У =-

» т

ір

2^ ^ ах

(20)

у=у, - ^-ар. (21)

2^2

ах

После подстановки (20) в (21) и преобразования получим

у 02

Ь - Ь,

^2У0

(ь - Ьі)(- ар)

ах

(22)

Определим удельный расход транс-

Рис. 3. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда на границе их раздела Р < р01 и

у 02 ^ И — И : 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела жидкостей; 4 - = £ (у) ; 5 -

V; 6 - Vxl=f(Уl); 7 -

Vx2 = Vo

Подставляя (19) с учетом (20) в выражение (25) и интегрируя, получим

02 = & (—йр) (И — ^ ^

в) С дальнейшим ростом градиента давления изменяется режим течения смазывающей жидкости. Рассмотрим случай, когда плоскость нулевых напряжений располагается за ее пределами: у02 ^ И — И (рис. 3).

Скорость течения смазывающей жидкости определяется по (19) с учетом (20)

портируемой жидкости

у0і

0і = 24^ +1 Ухіауі

(23)

Ух2 =■

і

ір

2^ ^ ах

(у02- у2)

(26)

После подстановки (17) в (23) и интегрирования имеем

Оі = у0(у0і + Ь0) -

(у0і -Ь0)2

6Лі

- *.(у. + 2Ь„) -

ах) 2л

(24)

При отсутствии проскальзывания на границе транспортируемой и смазывающей жидкостей (Ух2 = У0 при у2 = у02 -Ъ + Ъ1,) из (26) найдем у02, которое описывается выражением (22). Удельный расход транспортируемой жидкости определяется по (24), а смазывающей - по выражению:

Удельный расход смазывающей жидкости можно найти по выражению у02 0

02 = | Vx=dy= + | Vx=dy= (25)

(27)

'2 J х2 •' 2

У02 —И + ^

После подстановки (2.16) в (2.17) и интегрирования имеем

-(Ь-Ьі-у02)

2

Ь

X

X

0

Рис. 4. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда на границе их раздела Рху > рМ : 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела жидкостей; 4 -

Ч2 = £(У2); 5 Усп = £(У1);

Vxl2 = Vx2 = Vl;

Ч12 = £(У1)

6

02 = _±_ |_Ф) (И — н,)> + (28)

2 12& V йх) 2

г) При дальнейшем увеличении градиента давления, когда условие (2.5) не выполняется, квазитвердое тело транспортируемой жидкости не соприкасается со смазывающей (рис. 4). Условие такого течения: йр

йх

>:

р01

|—И + И1 + у0

V = V —

М *0

+ — (И + И1 — у01 — И0)

)1

Скорость течения смазывающей жидкости определяется по (26). Исходя из условия отсутствия проскальзывания смазывающей и транспортируемой жидкостей (Ух2=У1 при

(И + И1 — У01)2 — И1 ( йр

2)

йх

Скорость течения деформируемого потока транспортируемой жидкости Ух11 определяется по (17). Скорость Ух12 найдем по (16). Постоянная интегрирования С1 определяется по (16) с учетом граничных условий: у 2 = V при

У1 = —И0. Откуда для

У01 — И — И < у < —И с учетом, что Sign(дVx1 / ду1) = +1 при д^ / ду1 > 0, получим:

Vx,= = V, — ±(——^(у. + м

) йх 2 )

(29)

Так как скорость течения на границе со смазывающей жидкостью Ух12=У1 при

у1= -(Н+к1-у01), из (29) найдем

У2=У02-Ъ+Ъ1) из (26) найдем У1:

(30)

1

йр

V1 =—I — V" I (2У 02 — И + И1)(И — И1)

2& V йх )

(31)

Напряжение сдвига смазывающей жидкости на границе с транспортируемой находится из (7) при у2=у02-Ъ+Ъ1:

Рху2 = (У 02 — И +

(32)

ху2 "йх

Напряжение сдвига транспортируемой жидкости на границе раздела со смазывающей определяется по (7) при

У1= -(Ъ+Ъ1-У01):

РХУ1 = —(И + и, — Уol)■dР

(33)

Так как принято условие, что транспортируемая и смазывающая жидкости друг относительно друга не проскальзы-

7

8

вают, то можно утверждать, что предельные напряжения сдвига в плоскости контакта жидкостей равны по величине и противоположны по направлению, то есть Рху2= -Рхуі. Приравнивая (32) и (33) с учетом знака, найдем

у 02 + уМ = 2Ь (34)

То есть оси О1х1 и О2х2 совпадают.

К такому же выводу придем в результате следующих вычислений. Запишем условие динамического равновесия жидкостей:

2Ь — = Р

•^-АА _ А ЛЛ

йх

где Р и Р - напряжения сдвига соответственно на верхней и нижней стенках щели.

Из (7) найдем:

Р = ^Еу Р = ^у

J-W1 ! У 0і , 1W2 ! .У 02

ах ах

(36)

получим значение уоі:

Ь 3Ь - Ь1

Ь + Ь,

ум =■

(37)

ь+ь ар р^,

где а = ^[——К- —)--------] ,

2Лі ах Л

Ь = (-ар)(Ь - Ьі) ах

Определим удельный расход транспортируемой жидкости

.У0і 110

0і = 2^4 + | + | УхАі

-(Ь+Ьі -у0і)

(38)

После подстановки в (38) значения Ух11 из (17) и Ух12 из (29) и интегрирования, найдем

Оі = у0(Ь + Ьі) -±- Г-ір 6 л V ах „

(ую - Ь0)0(У01 + 2Ь0) + (Ь + Ьі - ую - Ь0)2 : х(Ь + Ь1 - ум + 2Ь0)

(35) _Р0і_

рта

2Л

(Ь + Ь1 - ую - Ь0)(Ь + Ь1 - у 01 + 3Ь0) --(у 01 - Ь0)2

Подставляя (36) в (35), получим (34), т.е. оси О1х1 и О2х2 совпадают.

После подстановки в (30) выражения (2.8) для определения У0, а в уравнение (31) выражения (34) для определения у 02 и приравнивая их, после преобразований

Удельный расход смазывающей жидкости определяется по (28).

Заключение

При течении вязкопластичной жидкости в плоской бесконечной щели с гидросмазкой одной стенки можно выделить четыре режима течения в зависимости от градиента давления, ширины щели, толщины слоя смазки и предельного напряжения сдвига транспортируемой жидкости.

Если напряжение сдвига на поверхности раздела транспортируемой и смазывающей жидкостей не больше предельного напряжения сдвига транспортируемой жидкости, то весь ее объем движется как квазитвердое тело.

Если напряжение сдвига на поверхности раздела транспортируемой и смазывающей жидкостей превышает предельное напряжение сдвига транспортируемой жидкости, то часть ее объема течет со сдвигом слоев, а часть движется как квазитвердое тело.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Лопотко М.З., Евдокимов Г.А. Сапропели и продукты на их основе. Минск: Наука и техника, 1986. 191 с.

2. Корнилов В.Г., Галямов М.Н. Движение по трубопроводам высоковязких пластичных жидкостей с пристенным слоем из маловязкой

Ь

жидкости. // Транспорт и хранение нефти и нефтепродуктов. М.: ВНИИОЭНГ, РНТС, № 6, 1972. С. 18 - 32.

3. Арефьев Н.Н. Способ транспортирования вязких коллоидных растворов. // А.с. СССР на изобретение №1710468. Опубл. в Б.И. № 5. 1992.

4. Арефьев Н.Н. Свободное круговое течение вязкопластичной жидкости со слоем гидросмазки в зазоре между коаксиальными цилиндрами. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, № 1, 2008. С. 88 - 97.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

6. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. 520 с.

7. Воларович М.П., Гуткин А.М. Течение пластично-вязкого тела между двумя парал-

лельными плоскими стенками и в кольцевом пространстве между коаксиальными трубками. // Журнал техн. физики, 1946, т. 16, №3, М. -Л.:АН СССР. С. 321 - 328.

8. Бостанджиян С.А., Столин А.И. Некоторые случаи течения вязкопластичной жидкости в плоском зазоре и между двумя коаксиальными цилиндрами. // Изв. АН СССР, Механика, 1965, №4. С. 160 - 164.

9. Воларович М.П., Гуткин А.М. Условия течения двух соприкасающихся дисперсных масс, обладающих свойствами вязкопластичного тела. // Коллоидный журнал, 1948, т. 10, №5. С. 329 - 333.

10. Прагер В. Конечные пластические деформации. // Реология. Теория и приложения. / Под ред. Ф. Эйриха. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. С. 86- 126. ЕШ

— Коротко об авторе

Арефьев Н.Н. - кандидат технических наук, ООО «Октябрьский ССРЗ», [email protected]

----------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ им. Г.В. ПЛЕХАНОВА (ТЕХНИЧЕСКИИ УНИВЕРСИТЕТ)

ВИНОГРАДОВА Екатерина Юрьевна Оценка сейсмического воздействия взрывных работ на действующие тоннели при их реконструкции 2З.00.20 к.т.н.

НИКОЛАЕВА Надежда Валерьевна Интенсификация процесса самоизмель-чения алмазосодержащих руд (на примере трубки «Комсомольская») 2З.00.1З к.т.н.

ПАНКРАТЬЕВ Сергей Александрович Оценка ресурса прочности трубопроводных систем, подверженных вынужденным колебаниям на резонансной частоте 05.26.03 к.т.н.

КОРЕЛЬСКИИ Селективная рекультивация ацидифи-цированных почв в зонах воздействия 25.00.36 к.т.н.

Денис Кольской ГМК

Сергеевич