CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIV
19 8 3
№ 6
УДК 532.527
ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЦЕНТРА СПИРАЛЬНОЙ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ
С. К. Бетяев, А. М. Гайфуллин
Методами малых возмущений исследовано влияние капиллярногравитационных эффектов на структуру ядра автомодельной свободной границы, свернутой в спираль с бесконечным числом витков. Показано, что при наличии этих неавтомодельных эффектов число витков спирального разрыва будет конечным. Обсуждается механизм разрушения спиральной структуры ядра свободной поверхности.
Свободная граница сворачивается в спираль под воздействием локализованного неаналитического возмущения, примером которого может быть существенно нестационарное влияние острой кромки тела на сходящую с нее свободную поверхность. Такая ситуация наблюдается в задачах нестационарного глиссирования, погружения тел в воду, возмущения стационарного обтекания тел с развитой кавитационной зоной, нестационарного истечения жидкости в воздух через щель с острыми кромками и т. д.
Считается, что асимптотическое решение задачи в окрестности центра спиральной свободной границы автомодельно в масштабах, малых по сравнению с глобальным размером течения, но больших по сравнению с характерным размером области проявления неавтомодельных факторов.
Крупномасштабная (по сравнению с масштабом действия вязких сил) автомодельная структура ядра спиральной вихревой пелены—вихреобразования, учитывающего движение жидкости с обеих сторон разрыва, — исследована в работах [1—4], в которых показано, что в зависимости от параметра автомодельности п форма спирали может быть либо логарифмической (п <0,5), либо алгебраической (я>0,5). В отличие от этого случая форма спиральной свободной границы-вихреобразования, учитывающего движение жидкости только с одной стороны разрыва, является логарифмической при любых значениях параметра п.
1. Рассмотрим плоское нестационарное течение невязкой жидкости. Центр спирали, в окрестности которого ищется решение, поместим в начало полярных координат г°, 0. На расстояниях, больших по сравнению с действием капиллярногравитационных факторов, течение будем считать автомодельным с постоянной а, определяющей кинематическую размерность задачи, а следовательно, и параметр автомодельности п. Кроме безразмерных координат г = г0/аРг и 0 (рис. 1), оставим в качестве независимой переменной безразмерное время т = £/^0, где
і — время, 0<^<со, ¿о—характерное время проявления капиллярно-гравитационных факторов. Потенциал скорости <р° представим в безразмерном виде
Автомодельное течение при п <0,5 нереально, так как в начальный момент времени / = 0 потенциал 90 равен бесконечности. Поэтому, следуя идее Прандтля [1[, при п<0,5 будем рассматривать автомодельное течение с „отрицательным временем“ (—оо<^<0). Поскольку в нашей постановке задачи такие решения
<р° (і, г°, 0) = а? Р п~1 у (г, г, 0).
(1.1)
Рис. 1
получаются с помощью формальной замены t -» — t, «f —«f, представление (1.1) можно использовать во всем возможном диапазоне изменения параметра автомодельности п.
Безразмерный потенциал 9 удовлетворяет уравнению Лапласа
Д<р = 0. (1.2)
Граничные условия задаются на свободной границе, состоящей из двух спиралей 0 = в,(т, г) и 0 = 02(т, г). Нормальная к свободной границе скорость жидкости равна скорости перемещения этой границы:
г2 0J_ 2 [пг - срг (т, г, 0J_ 2)] + «fe (X, г, 0Ь 2) = т0К 2т, |
^®1.2 0 ^®1,2 I
612= ¿Г ’ ®Ь.2т— • )
Разность динамических давлений на свободной границе уравновешивается эффективным давлением, обусловленным поверхностным натяжением. Для записи этого условия достаточно в интеграле Бернулли пренебречь несущественной постоянной:
2(2я—1) «р (т, г, 0^ 2) + 2хсрх (г, г, 0^ 2)—2nryr(i, г, 0^ 2) +
+ £ (Ъ Г, 01. а) + 75- «Ре (*, /■, 01, 2) + 2^2_n А-sin ех 2 — 25/Ст2-з« = 0. (1.4)
Здесь 1/e =atl~njg — аналог числа Фруда, g— ускорение свободного падения> действующее в направлении, противоположном направлению оси у (см. рис. I), 3 = a¿g~3п/а3 — аналог числа Вебера, а — коэффициент поверхностного натяжения, К =кривизна свободной границы:
К = ± К, 2 + '2 0Ь2 + К 2) (1 + 2)_3/2 ■
Знак К выбирается из условия, что сила поверхностного натяжения направлена к центру кривизны каждой спирали.
Параметры е и 5 будем считать малыми: s < 1. SCI- В случае п < 2 влияние силы тяжести приводит к разрушению автомодельного режима при t я (á'/e)1<2—1п\ в случае 2, наоборот, влияние силы тяжести ослабевает с течением времени. При п = 2 параметр s не зависит от í0, его влияние локализовано в непосредственной окрестности ядра спиральной свободной границы.
Что касается влияния силы поверхностного напряжения, то в случае п <2/3 оно приводит к разрушению автомодельного режима при t = (а/а3)11<-2~ 3"\ a в случае я>2/3, наоборот, ослабевает с течением времени. При п = 2/3 параметр 5 не зависит от t0, его влияние локализовано в непосредственной окрестности ядра спиральной свободной границы.
Так как t0 не является заданной величиной, то при заданном п единственным безразмерным определяющим параметром задачи является
Q = а4 ап~2 gï~3n
Если действие силы тяжести и силы поверхностного натяжения существенны в одном и том же масштабе времени, т. е. при t > 1 (п <2/3) или при t < 1 (я > 2), то параметр Q характеризует отношение этих факторов; в предельных случаях (Q -v 0 или Q -> оо) одним из этих факторов можно пренебречь.
Итак, необходимо найти асимптотическое решение уравнения (1.2) с граничными условиями (1.3)—(1.4). Если вместо независимых переменных г, 0 ввести переменные Г и Г) = 0 — 0,, то область, в которой ищется решение, примет простой вид: г > О, 0 < к) < т}0 = 02 — 01- Особая точка г = 0, 0 = оо преобразуется в конечный отрезок особой прямой. Линии г =const соответствует переход от одного берега свободной границы к другому по окружности (см. пунктирная линия на рис. 1). В предположении, что функции 0j г) монотонно возрастают с уменьшением г, точка пересечения окружности с каждым берегом границы будет единственной.
Для решения задачи удобно ввести разные масштабы, оставив зависимость потенциала от неограниченной переменной 0 наряду с зависимостью от введенной ограниченной переменной ц:
<р (т, г, 0) = Ф (т, г, т), 0).
Тогда уравнение Лапласа будет иметь вид:
фгг + 7Гф99 + (та + е12) % +7ТФПЬ- ФГ7] + -у- Фг -
6i+-reiR=°- <]-5>
Граничные условия (1.3)—(1.4) выполняются при 0 = 015 т) = 0 и 0 = 02, т] = к)0:
г2 2 (иг - фг + о; ®ч) + ф0 + фп - т/-2 01т_ 2г=о, (1.6)
2 (2л — 1)Ф + 2тФ, — 2пг (ф, — ь[ Ф^-^Ф,—
-]- -^5- (Ф0 4- Ф7])2 + 2е/-х2—” 51п е, 2 — 25т2-з«/С = 0. (1.7)
2. Будем искать решение в виде ряда по степеням малых параметров е и В, ограничившись первым приближением:
Ф = Ф! + еФ„ 5Ф3 + е2ф4 ц- е2Ф5 + 52 Ф6 + 0 (е2, 52). (2.1)
Зависимость каждого члена разложения (2.1) от т определяется из условий
(1.6) —(1.7) в явном виде. Ф^ пропорциональны некоторой степени т. Так, Ф4 ~ Т2*2-"», Ф5 ~ Х4^~П\ Ф6 ~ т;2 (2—Зл).
Потенциал Ф1 = л2Ф0(т]) является точным решением уравнения (1.5) для логарифмической формы свободной границы:
= — а0 1п г, В2 = — а01п г + 0О, т)0 = 0О. (2.2)
Зависимость а0 (п) определяется в результате решения краевой задачи (1.6)—(1.7).
__________1_____(2.3)
2а0 511 лй0 (/ + 1/2) + а0
где 1 = 0. 1, 2, 3 — собственные числа краевой задачи. Верхние знаки в соотношении (2.3) соответствуют значениям I — 0 и 2. нижние — значениям 1=1 и 3. Для определения Ф2 и Ф3 необходимо „возмутить“ свободную границу:
61, 2 = — Т“ + Е?1, 2 (т> г) + в11, 2 (т> г) + 0 (е> 5)- (2-4)
Поскольку параметры е и 8 независимы, потенциал Ф2 определяется отдельно ОТ Ф3:
Ф2 = П2~" [Al (r¡) sin 0 + А2 (•(]) cos 0],
Г1®1 2 = x2~" (al 2 s'u ® + 2 cos ®)'
(2.5)
Функции A¡ и удовлетворяют системе линейных уравнений, полученных из (1.5):
(1 + Яд) Aí 2а0 А{ — 2А2 — О,
(1 + ííq) ^2 “1“ ^2 2^4j = 0.
(2.6)
Четыре постоянные flj 2 и 6] 2. определяющие возмущение свободной границы, и четыре постоянные A¡ 2 (0) и определяющие решение системы
(2.6), находятся в результате линеаризации граничных условий (1.6)—(1.7) и снесении их на певозмущенную границу (2.2). Условия (1.6)—(1.7) ставятся на разных берегах свободной границы и отдельно для синусоидальной и косинусоидальной составляющих решения (2.5). Следовательно, восемь граничных условий определяют восемь неизвестных постоянных, значения которых не выписаны ввиду их громоздкости.
Переходим к определению Ф3 и 7, 2:
Ф3 = т2-з« В (y])¡r Ti, 2 = с1, 2 т2~8” г~3- (2-7)
Функция В (-r¡) удовлетворяет уравнению, которое является следствием (1.5):
(1 + До) в" — 2ао В' + В = °. (2.8)
Четыре постоянные си с2, 5(0) и В (r¡0) также определяются в результате линеаризации четырех граничных условий (1.6)—(1.7) и снесении их на невозмущенную границу (2.2).
3. Решения (2.5) и (2.7) имеют более высокую особенность при г -* 0, чем автомодельное невозмущенное решение В последующих членах'разложения
(2.1) эта особенность катастрофически увеличивается. Следовательно, внешнее разложение (2.1) непригодно при достаточно малых значениях г ~ q <Ц 1, где необходимо построить внутреннее разложение. Малый параметр q пока оставим неопределенным:
?(т, V)=q*F(x', R, 6), eij2 = ei,2(t; Я). (3.1)
Внутренняя переменная R = r¡q.
Потенциал F удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям,
которые являются следствием (1.3)—(1.4):
R* в), 2 (nR — F д) Fq — т/?2 = 0, (3.2)
2 (2л - 1) F + 2т F, - 2nRFR + F% + F¡ + 2 _i_ R-^n sin 0^ 2 -
-2Í/(,í!^ = 0, - (3.3)
q3
K\ == qK.
Условие на бесконечности обеспечивает сращивание внутреннего решения с решением (2.1):
F -> /?2 Ф0 (■>]) при R со. (3.4)
Представляет интерес построение асимптотического решения краевой за-
дачи (3.2)—(3.4) в непосредственной окрестности центра при R -> 0.
В рассматриваемых масштабах влияние силы тяжести превалирует над влиянием поверхностного натяжения, если 31/3 < е ~ q. Полагая в этом случае q = s, 3 = 0, из условий (3,2)—(3,3) находим, что имеет место асимптотическое
7— «Ученые записки ЦАГИ» № 6 97
разложение для функций ґи В1 2 в виде регулярного ряда по целым степеням/?, свободная граница вращается относительно начала координат по некоторому произвольному закону в зависимости от времени.
Кроме такого разложения, в случае 5 = 0 имеется нерегулярное решение в виде ряда, первый член которого пропорционален /?3 2, а следующий член пропорционален /?*, где х— трансцендентное число:
6 + 0
Т1 -л/2 ^3/2 5ІП з---------+ рг (т) 8ІП х + 6“) + О (/?*),
Ч, 2
(3.5)
Знак „ + “ относится к 83, знак . — “ относится к 0). В начале координат свобод-
О
ная граница имеет излом с углом 02 — ві = —л—таким же, какой имеет гребень
3
волны Стокса. В первом приближении течение стационарно. В следующем приближении одна из функций І7!, йх или должна задаваться произвольным образом. Собственные числа х определяются в результате решения краевой задачи
(3.2)—(3.3):
2 4%
X 3 — 4x2 '
Имеется бесконечный дискретный спектр собственных значений, наименьшие из которых равны 2,70 и 4,31. Форма свободной границы, рассчитанная при х = хт[п в первом приближении (3.5), представлена на рис. 2 в условном масштабе Я0.
Вид решения и произвольных функций, входящих в разложения, находится с помощью численного решения полной задачи.
Влияние силы поверхностного натяжения превалирует над влиянием силы тяжести, если е < 51,3 ~ д. Полагая в этом случае = 81/3, е = О, из условия (3 3)
0,4 і с;і
1 ~ГГ~ -р?
/ / \ \
У' / -0,2 - \ \
/ Я1*а \
Рис. 2
находим, что главный член разложения потенциала Р при Я-> 0 пропорционален Я- Асимптотическое решение задачи представимо в виде регулярного ряда по степеням Я. Свободная граница гладкая (62 — 0Х — тг при Я 0) и вращается по произвольному закону.
Если силы тяжести и поверхностного натяжения сравнимы между собой (е ~ 51/3), то нерегулярного решения (3.5) не существует, так как при наличии излома свободной границы поверхностное натяжение бесконечно велико. Свободная поверхность будет гладкой.
Какое из двух решений (регулярное или нерегулярное) реализуется в действительности при £ > о1 3, можно определить либо с помощью численного расчета полной задачи, либо с помощью эксперимента. Однако на этом пути имеется существенная трудность — логарифмическая спираль, в отличие от алгебраической, является кривой, быстросходящейся к точке. В постоянном масштабе витки спирали незаметны, как, например, в известных опытах Ю. Л. Якимова [5]. Это же замечание относится и к численным расчетам течения в окрестности особой точки нестационарной свободной границы. Поэтому аналитическое изучение особенности имеет принципиальное значение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Prandtle L. Über die Entstehung von Wirbeln in der idealen Flüssigkeit, mit Anwendung auf die Tragflügeltheorie and andere Aufgaben. — Vortrage aus Hydro- und Aerodynamik, Berlin, 1924.
2. Alexander R. C. Family of similarity flows with vortex sheets. —The Physics of Fluids, 1971, vol. 14, N 2.
3. Mangler K. W., Weber J. The flow near the centre of a rolled-up vortex sheet. —J. Fluid Mech., 1967, 30.
4. Guiraud J. P., Zeytounian R. Kh. A double-scale investigation of the asymptotic structure of rolled-up vortex sheets. — J. Fluid Mech., 1977, vol. 79.
5. Якимов Ю. Л. Поступательные струйные автомодельные течения несжимаемой жидкости. ДАН СССР, 1981, т. 261, № 5.
Рукопись поступила 9)111 1982
«Ученые записки ЦАГИ» № 6
