CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI 1985 № I
УДК 532.527
асимптотическая структура невязкого ядра спирального контактного разрыва
А. М. Гайфуллин, В. А.'Маланичев
Получено точное решение задачи о структуре ядра спиральной контактной линии в случае плоского течения. Показано, что форма спиралей логарифмическая. во всем' диапазоне изменения показателя автомодельности п для контактного разрыва, разделяющего жидкости с разными плотностями, и в случае ге<0,5 для вихревых пелен.
Под воздействием локализованного неаналитического возмущения граница раздела двух несмешивающихся жидкостей сворачивается в спираль. Такая картина течения наблюдается, например, при истечении жидкости в другую жидкость через щель с острыми кромками, при погружении тела, находящегося на границе раздела двух жидкостей (рис. 1).
Считается, что в окрестности центра спиральной границы асимптотическое решение задачи автомодельно в масштабах, меньших по сравнению с характерным размером течения, но больших по сравнению с характерным размером области проявления неавтомодельных факторов (вязкость, поверхностное натяжение, гравитационные
эффекты).
В данной работе исследуется структура автомодельной спиральной границы двух жидкостей с разными плотностями.
Предельными формами такого вихреобразования являются свободная поверхность, форма которой логарифмическая при всех показателях автомодельности п, за исключением области значений п, близких к нулю [1], и двухспиральные вихревые пелены, частные случаи которых рассмотрены в работах [2, 3].
1. Рассмотрим плоское автомодельное течение. Центр спирали, в окрестности которого ищется решение, поместим в начало полярных координат Г\, 9- Потенциал течения и линейный размер для 0,5 представим в виде
Ф (/-], 9, <) = а\ г2"-1 <р (г, 0);
гг = а1Ьпг, 0<!£<оо,
а для п < 0,5
$(/•], 6, О = а2(— г;)2"-1 <р(г, 9);
Г1 = а\ (— О” г, — со < < .< 0,
где (— время, а4 — постоянная, определяющая кинематическую размерность задачи.
Представление (2) сводится к (1) с помощью формальной замены ?->•—1, ср->-—ср.
Поэтому ограничимся изучением представления (1) во всем диапазоне значений по-
казателя автомодельности п.
Безразмерный потенциал ф (г, 0) удовлетворяет уравнению Лапласа
Дер = 0, (3)
% 'V
Рис. 1
Граничные условия задаются на контактной линии, состоящей из двух спиралей
0 = 04(г) и 0 = 02(г)- Нормальная к контактной линии скорость жидкости с обеих ее сторон равна скорости перемещения этой линии, т. е.
г2 ~1г~ ^ПГ ~ ^ + Те= °' ^
Кроме того, на контактной линии непрерывно давление. Для записи этого условия воспользуемся интегралом Коши—Лагранжа
2 (2п - 1) [р<р] — 2пг [р<рг] + [р<р2] + [Р?в1 ^ с- (5>
где {/] означает разрыв функции } при переходе через контактную линию из жидкости с плотностью р! в жидкость с плотностью рг, с — константа, определяющая разность полных давлений, которую, не ограничивая общности, можно положить равной нулю.
Итак, необходимо найти асимптотическое решение (г-*-0, 0->-оо) уравнения (3) с граничными условиями (4) — (б).
2. Анализ уравнений (3)—(5) показывает, что при р^рг контактная линия представляет собой логарифмическую спираль
0! = — а\пг, 02= — а 1п г — 20о. (6)
Если вместо независимых переменных г, 0 ввести новые независимые переменные г, т) = 0 — 0, (г), то область, в которой ищется решение, будет прямоугольной г > 0, - 20о •») < 2 (х — 0О).
В этом случае потенциал <р (г, *)) = г3 <р0 (*1) является точным решением уравнения Лапласа
<Ро О)) = е~аЬп (с12 бш Ьт\ + А,,2 сое 6т]), (7)
где 6 = 2/(1 + а3), индекс 1 соответствует области 0-< -ц < 2 (я — 0О), в которой расположена жидкость с плотностью рь индекс 2 — области — 20о <! •*) <! О, в которой расположена жидкость с плотностью р2.
Постоянные с12 ч определяются из условия (4)
г -f - ап р___________________________ап — cos 26 (я - 0О)
С) 2 2 ’ 1 2 sin 2й (тс - 0О)
kn —
е-2аЫ>0 _ CQS 266()
sin 260,
о
(8)
Подставляя (6) — (8) в граничное условие (5), получим два алгебраических уравнения относительно а и 0О, определяющих форму контактной линии в зависимости от отношения плотностей р = pj/p2 и показателя автомодельности п
Р {Л (п-в„)- l}_{F*(-flo) - 1} =2t{p/7(* = 0o)-/7(-0o)};l Р {Р2 (80 — л) — П — {F2 (®о) — 1} = 2£ {pF(0o — я) — ^(в0)|1 J (91
где
р/г)—’ e2abx— cos2bx (2л — 1)а2— 1
sin 2bx ’ 2ап
Численное решение системы (9) показало, что при фиксированном р (0<р< 1) в области — оо</г<оо существует девять ветвей решений. Таким образом, происходит качественный скачок при переходе от течений, соответствующих р=0, для которых имеется четыре ветви решений, в область р>0. На рис. 2 и 3 приведены зависимости
а(п) и 0о (п) при р = 0,5. Цифрами установлено соответствие между кривыми. Неоднозначность решения объясняется топологическим различием поля траекторий жидких частиц [1]. Для выбора из всего многообразия конкретного решения необходимо рассматривать глобальную задачу.
3. Особого рассмотрения заслуживает изучение поведения двуспиральной структуры (вихревой пелены) в жидкостях с равными плотностями. В этом случае возможны как логарифмические, так и алгебраические вихревые пелены.
я
Решение ДЛЯ симметричной логарифмической структуры (00= -2") получено в
работе [2]. Исследование уравнений (6) — (9) при р=1 показало, что, кроме симметричного, существует еще четыре несимметричных решения (рис. 4 и 5). Ветви 3, 4 и 5 на рис. 4 ложатся на одну кривую, но решение 3 существует при 0<а< У3, реше-
1
ние 4 при 0<а<1, решение 5 при 0<а< ~т=- Важно заметить, что все эти решения
У 3
(включая и полученные в [2]) лежат в диапазоне п<0,5.
Исследование алгебраических спиралей проведено в работе [3]. Диапазон их существования 0,5<п<оо.
Авторы выражают благодарность Бетяеву С. К. за полезные обсуждения и постоянное внимание к данной работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бетяев С. К., Гайфуллин А. М. Крупномасштабная структура ядра спирального разрыва в жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ,
1982, № 5.
2. Alexander Я. С. Family of similarity flows with vortex sheets. —
'The Physics of Fluids, 1971, vol. 14, N 2.
3. M a n g 1 e r K. W., Weber J. The flow field near the centre of
a rolled — up vortex sheet. —J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, N 1.
Рукопись поступила 21/VI 1983 г.
