Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса в задачах прямого пьезоэффекта Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.3

ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ НА ФОРМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЗАДАЧАХ ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА

Д. А. Шляхин

Самарский государственный архитектурно-строительный университет,

443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mail: [email protected]

Рассматривается осесимметричная нестационарная задача электроупругости для сплошного пъезокерамического аксиально поляризованного цилиндра при действии кинематической нагрузки в виде известных механических перемещений его торцевых поверхностей, а также электрического потенциала. Новое замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор-функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Полученные расчётные соотношения позволяют проанализировать влияние характеристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого электрического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта.

Ключевые слова: нестационарная задача прямого пьезоэффекта, пьезокерамический цилиндр, электрические граничные условия.

Введение. В задачах прямого пьезоэффекта процесс деформирования пьезокерамического тела осуществляется механическим путем с помощью заданных напряжений или перемещений. В результате на его электродированных поверхностях появляются свободные заряды, которые, в свою очередь, оказывают влияние на исследуемый элемент за счет появления дополнительной электрической индукции. Таким образом, электроупругое состояние внутри образца и на его границе представляет собой суперпозицию волн, возникающих за счет механического напряжения (перемещений) и свободных зарядов [1]. Для упрощения при математическом моделировании данного процесса, в котором наблюдается многократное проявление прямого и обратного пьезоэффектов, как правило, при формулировке электрических граничных условий используется несколько предельных случаев.

В частности, подключение образца к измерительному устройству с большим входным электрическим сопротивлением (режим холостого хода) приводит к уменьшению количества свободных зарядов на электродированных поверхностях, и их влиянием на пьезокерамический элемент в дальнейшем пренебрегают [2]. В результате появляется возможность заменить точное интегральное условие, сформулированное для эквипотенциальных поверхностей, приближенным, означающим отсутствие нормальной составляющей вектора диэлектрической индукции электрического поля во всех точках электродного покрытия.

Подтверждение достоверности данного допущения, а также анализ влияния характеристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого электрического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта осу-

Дмитрий Аверкиевич Шляхин (к.т.н., доц.), доцент, каф. сопротивления материалов и строительной механики.

ществляется на основании построенного в настоящей работе замкнутого решения для сплошного пьезокерамического цилиндра.

1. Постановка задачи. Пусть сплошной цилиндр, занимающий в цилиндрической системе координат (г*, 0,2*) область О: {0 ^ г* ^ Ь, 0 ^ в ^ 27т, 0^-г* ^ Л-}, представляет пьезокерамическое аксиально-поляризованное тело. Рассматривается случай, когда торцевые электродированные плоскости исследуемого элемента подключены к измерительному прибору с электрической проводимостью У*, а цилиндрические неэлектродированные поверхности свободны от механических напряжений.

В результате кинематического воздействия в виде известных механических перемещений торцевых поверхностей гЬИ^*^*) на электродах (г* = 0,Н) цилиндра появляются свободные заряды, влияние которых на пьезокерамический элемент учитывается с помощью электрического потенциала </^(г*,£*).

Математическая формулировка рассматриваемой нестационарной осесимметричной задачи электроупругости в безразмерной форме включает систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия [1]:

уу2тт , Сьь&и , С\з + С55д2]¥ е31+е15 д2ф д2и

V \ У ~г —---^—I —-----——— г

Си дг2

С и дгдх

езз дгдг ді2

0,

Сзз д IV Сіз + С55 ди Є15

Си дг2

+

Си дг е33

д2ф д2М? дг2 ~

С*55 г)

Ьп

Єі5Т72т^ , , Єзі+е15т7ди СПЄПт72а С11Є33 д2ф _ п

—- 0;

(1)

"33

г = 0 ,Ь: Ж(г,0,і) = Жі(і), \¥(г, Ь, і) = -И'і(і), _ С55<9?7\ Є15 с# _

<Тг2: Си V <9г <9,г / Є33 <9г ’

ф(г,0, і) = фі(г, і), ф(г, Ь, і) = -01 (г, і);

(2)

г = 1, 0 : а г

= дЛ С12 Сіз (Ж езі дф =

г=і <9г Си Си <9,г Є33 <9,г ’

(7 г-

і),

г= 1

о

Г=1

сж

дг ^ дг)

Г= 1

о, ^

дг

г=1

0,

(3)

(4)

С/(0, -г, і) = 0, И^(0, г,і) < оо, ф(0,г,і)<оо;

£ = 0: и(г,х,0) = и0(г,х), и(г,х,0) = и0(г,х),

\¥(г,г, 0) = И^о^г), (г, -г,0) = ^0(7,-г),

где {[/(г, ,г, і), И^г, ,г, і)} = {С/*(г, 2,£), И^*(г, 2,£)}/Ь; II*, }¥* — компоненты вектора перемещений; ф(г,г,Ь) = ф*(г,г,Ь) -езз/(ЬСц); 0* —потенциал электрического поля; (тгг, агг, Ог—компоненты тензора механических напряжений и вектора индукции электрического поля; {г, г,Ь} = {г*, г*, /г}/6; і = = а^^С^; і*-время; {С70, £>о, ИЪ, ВД = {Щ,\¥0*,\¥0*}/Ь; С70*,

И^о*, —известные в начальный момент времени перемещения, скорости

перемещений;

V?

д2

1

1

дг2 + г дг г2’ ^1 + „2

2 ’

^ ^ 1

я—^ аг г

2. Построение общего решения. Решение осуществляется методом интегральных преобразований, с последовательным использованием косинус- и синус-преобразований Фурье [3] с конечными пределами по переменной г и обобщенного конечного преобразование (КИП) [4] по радиальной координате г. При этом каждый раз предварительно необходимо выполнять процедуру стандартизации. На первом этапе для этой цели вводим новые функции ги(г,г,1), %(г, ,г,£), связанные с Ш(г, ,г,£), ф(г,г,1) следующими соотношениями:

\¥(г,г,г) = Нг(г,г,1)+и)(г,г,1), ф(г, г, *) = Я2(г, 2, *) + %(г, 2, *), (5)

где Н1(г,г,г) = (1 - 2г/Ь)\¥1{г)1 Н2(г,г,г) = (1 - 2г/Ь)ф1(г,Ь).

В результате подстановки (5) в (1)—(4) получаем новую начально-крае-вую задачу относительно функций II(г, 2, £), из(г, г, £, %(г, 2, £) с однородными граничными условиями по координате 2. При этом дифференциальные уравнения (1) и граничные условия (3) становятся неоднородными с правыми частями Вг, N1, г = 1,2,3, а в начальных условиях (4) вместо И^о, следует использовать то, й>о-

р е31 + е15<92Я2 е15уу^и I 92Я1 Р ^11^11^2 гг

£>1 —-----------я я , -02 —-----У2Щ+ я 2 , -03 — --2---V2^32,

е33 <9г<9,г е33 сП2 е\3

_Схз дНг _ езгсЭН, дЩ

С11 аг 633 аг от

гу0 = И^о - Я1|*=о, гй0 = Й'о - #1|*=о-

Применяем к краевой задаче в стандартной форме относительно функций С/(г, -г, ^), ги(г,г,1), %(г, ,г,£) косинус- и синус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной 2. В пространстве изображений получаем следующую задачу:

п2 С55 .2 , С*13 + С*55 . дги3 е31 + в15 . дф3 д2ис

^ - ЙГ =

<315^2 -2 б31 +в15 . _ Сп^п 2- , Сц^ЗЗ-г- п

---------------------------ЬУИс--------2 у2фа + -------2-ЗпФ* = В3з]

езз е33 е^з е^з

1 п (®У'С I ^12 I ^13 • I 31 ■ 1 \

0 : + 7*~Пс + Т^Зп'Шз + —Згьфз

\ дг Си Си е33 У

/ды.

= тс,

г=1

Зп'У'С

= 0 ^

г=1 ’

= М3з,

г=1

V <9г

ис(0,п, £) = О, ы3(0,п,1) < оо, фя(0, п, £) < оо;

£ = 0 : ис(г,п, 0) = и0с(г,п), йс(г,п,0) = й0с(г,п),

Ц]3(г, п, 0) = ги08(г, п), гй8(г, п, 0) = го05(г, п),

где

{uc(r, n, t),u0c(r, п),й0с(г, n), Blc(r, n, t), Nlc(r, n,t)} =

= / {u(r,z,t),uo(r,z),v,o(r,z),B1(r,z,t),N1(r,z,t)}cosjnZdz,

Jo

{ws(t, n,t),<fis(r, n, t), Wos(r, n), Wos(г, n), Bks(r, n, t), (r, n, t)} =

= / {w(r, z, t),x(r, z, t),w0{r, z),w0{r, z),Bk{r, z, t), N3(r, z, t)} sin jnzdz,

Jo

jn = птг/L, n = 0,1, 2,... ; k = 2, 3.

Повторяем процедуру стандартизации по переменной г, используя следующие выражения:

С

ws(r, n, t) = —^Nis(l, n, t) + Ws(r, n, t),

^13 Jn (9)

4>s{r,n,t) = {r - l)N3s{l,n,t) + Xs(r,n,t).

Получаем начально-краевую задачу относительно функций uc(r,n,t), Ws(r,n,t), xs(r,n,t) с однородными граничными условиями вида (7). При этом правые части дифференциальных уравнений (6) следует заменить на В\, В2, В£, а в начальных условиях (8) вместо Wos, Wos использовать Wos, W0s:

д* D- e31 + е15 ,

= П

і с 1Jlc

бзз

jnN3s, B*2s = B2s + ^^Nls -

С із

e15 -1 -2/

—r -Jn(r- 1)

ЄЗЗ

D* D 1 Glljn [7 1

-°3s — -°3s + -tils +

L-13

СцЄц _i СцЄ33 ,2

"33

-r —

с 11

jn(r - 1)

"33

H:

\¥оз(г, п) = W0s(r, п) - ——-N1.^1, п, 0),

С1

\¥0з(г, п) = гЬ0з(г, п) - 11 А^(1,и,0).

^■13 Зп

Начально-краевую задачу относительно функций г/.с(г, гг, , И^(г, п, £), Хз(у, п,£) решаем методом КИП. Введём на сегменте [0,1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами К1(ХгП,г), К2(Хт,г), К3(\гП,г) вектор-функции ядра преобразования:

С(Х^,п,Ь) = / \ис{г,п,1)К1{\ы,г) + \У3{г,п,1)К2{\ы,г)\ гйг,

-2 1П И >

uc(r,n,t) = J2 G (A in ,n,t) К і (A in, r) 11

i= 1 00

Ws(r,n,t) = '^2G(Xin,n,t)K2(Xin,r)\\K,

i= 1 OO

Xs(r,n,t) = J_I G(Лin ,n,t) K3 (Лin, т) 11K,

i= 1

ll^mll2 = [ [Kf(Xin,r) + K2(Xin,r)]rdr. Jo

-2 m|| >

-2

m|| >

(10)

где ХгП — положительные параметры, образующие счётное множество, г = 1,2,... .

В результате использования структурного алгоритма метода КИП [4] получаем расчётные соотношения для трансформанты нагрузки С(ХгП,п,^, вектор-функции ядра преобразования К\(Хт, г), К2(Хт, г), К3(Хт, г) и трансцендентное уравнение для определения ХгП. Данные равенства приведены в работе [5].

Применяя к трансформанте С(Хт,п,1) последовательно формулы обращения (10), а затем формулы конечных преобразований Фурье, получаем с учётом (5), (9) следующие разложения для 17{г,г,1), \У(г,х,1), ф(г,г,1):

и {г, г,г) = Е Ога1 сое Е С( ХгП, П, £) К\ ( ХгП, т) \ \ К,

| —2

гп || 1

п=1 г=1

2

С{Хы,п,1)К2{Хы,г) \\KinW 2|, (11

сю

Си

СШп

п=1 1=1

{г, г, г) = (1-2г/Ь) <ММ) +

(г - 1)Л^ +

Ь ^

п= 1

сю

Е

г=1

С{ХгП, П, ^)К3{ХгП, Т) \\Кг':

1-2

I Ь, п = 0;

где Пп = <

уь/2, пф 0.

3. Определение разности потенциалов между электродированными поверхностями. Первоначально рассмотрим вариант подключения пьезокерамического образца к измерительному прибору с большим входным сопротивлением. Докажем, что при определении разности потенциалов между электродированными торцевыми поверхностями цилиндра V (£) вместо точного краевого условия [2]

о /* \

— Дг| тТ(1г = 0 (12)

сЯ]о К !

можно пользоваться приближёнными соотношениями

\г=Ь

Сц£33 дф ез1

воо дг е33

дг

0,

/*27Г /» 1

= 4тг2 / / ф\(г,Ь)г с1гсШ.

Уо Уо

(13)

(14)

Подстановка ф(г,г,Ь) из (11) в (12) при использовании соотношения ф\{г,Ь) = У(Ь)/2 и нулевых начальных условий, а также в равенства (13), (14) позволяет получить в обоих случаях одно и то же уравнение:

= 2 Г

дх

4зь

(в31

дг С не зз^езз

сМ\

дх

Г (1г,

г=Ь

что и является необходимым доказательством. Здесь

СЮ СЮ

2 ^ и сое (г - 1)Л^ + ^2с(\іп,п,і)К3(\іп,г)\\Кі,

дХ

дг

1-2

г=Ь

п= 1

і= 1

В случае подключения образца к измерительному прибору с электрической проводимостью У* потенциал на электродированной поверхности V (£)/2 определяется по формуле [1]

^ [ Д*| Г(ІГ = У^-. ді.}0 2

(15)

где ¥ = У*х/рСІТ/(4тге|з).

Соотношение (15) с учётом (11) и равенства фі(г,і) = V(t)/2 приводится к следующему интегро-дифференциальному уравнению и начальному условию относительно функции У(і):

(IV [і) У^г/,

,Пі~ЇГ + ^2

\\Кг0\\2 .)

г=1

-Й1І0

гі2У(т

гіг2

+ ЗІІ2гоУ(г) сов Аіо(І - т)(£г = М, (16)

і = 0: У(0) = 0. Здесь

_ г-1 л V ез1 V а V \dGinwjs ц-2

М — Ь 7. I ( 2 Зп^Зіп -^4т ЗпЙЫп ) ,,

(Ж . V боо 633 / &т

п= 1 г=1 °°

6У{і)

г=1 ЇПі

dt

СцЄзз 2 Ье23

^ ^ ^1 (А^р) ДігО |||| сов АгО^,

*=0 г=1

^2 = е^/езз, Дм = [ (г2 - г3)^(\мг)(1г,

#2г0 = / Л(АгОг)г(1г, Е3т = / К3{\Ы, г)г(1г,

Уо 7о

Д4т = J (г-^ + 1^ К1(\м,г)(1г, Еып = ^ К2(\гп,г)г(1г.

В дальнейшем рассмотрим случай, когда частота вынужденных колебаний существенно ниже низшей частоты собственных колебаний (шю). Это допущение позволяет без большой погрешности для дальнейшего решения из бесконечной суммы ряда, входящей в левой части (16), оставить только первое слагаемое. Тогда, если дважды продифференцировать (16), умножить преобразованное выражение на А20 и сложить с исходным равенством (16), получатся следующее дифференциальное уравнение и начальные условия:

тп з

d3V(t) ЛЛd2V(t) дУІЇ) 2 тт/ \

+ + т4—^ + У\\0 У(і) = Мн,

(М2

(17)

£ = 0 : У( 0) = 0,

(IV {1)

(М

г=о

= т11М

й2у{г)

г=о

(М2

Р

г=о

г=о

где

ш3 = 2 М[{ = 2

Л(Аю) т\ + т2||т>, м2Дцо

-л2м

- ей2

Н*ю||!

+ Л20М

Ш4 = 2

Ш1А20 + 3 т2

ез1 Л(Аю) бзз 11^10 1И

-Д210

р

*=0

т

-1

(Ш

. сИ

¥

— т\—М *=о 2

*=о

Общий интеграл уравнения (17) имеет вид

У(£) = Шб [Б1 ехр(/?1£) + ехр(г?£)(Б2 эт^) — £>1 СОв^)) + Шд 11/1^)] . Здесь Б1 = Р|4=0 -2М\г=0г], В2 = Р\г=0(г] - (Зг) + М\г=0 - г]2 + гр2),

гт-

Vl{t) = [ ехр[/?1^ - т)]Мн(т)(17

- [ Мн(т) ехр[г?(£ - г)] {сов[^(£ - г)] - ^_1(»7 - А) - г)]} (1т,

Уо

т5 = [(А — ^?)2 + г/’2] \ Д — действительный корень, а г), -ф — соотвествен-но действительная и мнимая части комплексно-сопряженных корней /32, /?з следующего алгебраического уравнения:

ш3/?3 + Г/?2 + т4р + ГА?0 = 0.

4. Численный анализ результатов. Рассмотрим сплошной пьезокерамический цилиндр (Ь = 1) состава ЦТС-19 [1], у которого вертикальные перемещения торцевых поверхностей изменяются по гармоническому закону с частотой 9 и амплитудой IV.о:

И-Д (£) = И^о эт(0£).

Влияние электрической проводимости К на разность потенциалов V (£) при различной частоте вынужденных колебаний показано на рис. 1, 2. Расчёты проводились для случаев, когда 9 равна ОДАю, 0,4Аю- Цифрами 1-3 обозначены результаты для параметра У, равного соответственно 1; 0,5; 0, а штриховая линия определяет характер изменения по времени внешней нагрузки ИД(£).

В рассматриваемом диапазоне изменения вынужденных колебаний на первом этапе деформирования цилиндра уменьшение электрической проводимости У приводит к росту амплитудных значений разности потенциалов У(Ь). Причём данная закономерность выполняется и в дальнейшем, когда 9 = = ОДАю- В случае 9 = 0,4Аю вследствие наложения волн деформирования данная картина нарушается.

Осциллограммы изменения нормальных механических напряжений 02.2(0,0, £) во времени в результате действия кинематической нагрузки И^(£) при 9 = ОДАю приведены на рис. 3. Сплошной линией обозначен вариант подключения пьезообразца к измерительному прибору с большим входным электрическим сопротивлением У = 0, а пунктирной — когда У = 1.

V(t)/W0

Рис. 1. Влияние электрической проводимости измерительного прибора на разность потенциалов У(£) во времени при в = ОДАю: 1 - У = 1, 2 - У = 0,5, 3 - У = 0

V(t)/W0

Рис. 2. Влияние электрической проводимости измерительного прибора на разность потенциалов У(£) во времени при в = 0,4Аю: 1 - У = 1, 2 - У = 0,5, 3 - У = 0

<M0,0,t)/Wo

Рис. 3. Изменение механических напряжений очг(0,0, t) во времени при в = ОДАю: сплошная линия — У = 0, пунктирная — У = 1

Расчёты показывают, что свободные электрические заряды, генерируемые на торцевых поверхностях пьезокерамического цилиндра, влияние которых учитывается в случае Y = 1, приводят к «ужесточению» материала. В результате для создания одинаковых амплитудных перемещений Wo при Y = 1 необходимо приложить нагрузку, на 15-20 % большую, чем когда Y = 0.

В заключение следует отметить, что построенное в настоящей работе решение можно использовать и при исследовании нестационарных осесимметричных задач обратного пьезоэффекта. Для этого в расчётных соотношениях (11) необходимо принять W\(t) = 0, ф\(г,t) =V(t)/2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитпко, Н. А. Шулъга, Механика связанных полей в элементах конструкций / Электроупругость. Т. 5. Киев: Наукова Думка, 1989. 279 с. [V. Т. Grinchenko, A. F. Ulitko, N. A. Sh.ulga, Mechanics of Coupled Fields in Structural

Elements / Electroelasticity. Vol. 5. Kiev: Naukova Dumka, 1989. 279 pp.]

2. H. А. Шулъга, А. М. Болкисев, Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова Думка, 1990. 228 с. [N. A. Shulga, А. М. Bolkisev, Fluctuations of Piezoelectric Bodies. Kiev: Naukova Dumka, 1990. 228 pp.]

3. I. N. Sneddon, Fourier transforms: McGraw-Hill, 1951. xii+542 pp.; русск. пер.: И. H. Снед-дон, Преобразования Фурье. М.: Иностр. лит., 1955. 668 с.

4. Ю. Э. Сеницкий, “Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики” // Изв. вузов. Матем., 1991. №4. С. 57-63; англ. пер.: Yu. Е. Senitskii, “A multicomponent generalized finite integral transformation and its application to nonstationary problems in mechanics” // Soviet Math. (Iz. VUZ), 1991. Vol. 35, no. 4. Pp. 55-61.

5. Ю. Э. Сеницкий, Д. А. Шляхин, “Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для толстой круглой анизотропной пьезокерамической пластины” // Изв. Акад. наук. МТТ, 1999. №1. С. 78-87; англ. пер.: Yu. Е. Senitskii, D. A. Shlyakhin, “The Nonstationary Axisymmetric Problem of Electroelasticity for a Thick Circular Anisotropic Piezoceramic Plate” // Mech. Solids, 1999. Vol. 34, no. 1. Pp. 66-74.

Поступила в редакцию 22/X/2012; в окончательном варианте — 25/1/2013.

MSC: 44A55; 44A15, 35A22

THE INFLUENCE OF THE CHARACTERISTICS OF THE EXTERNAL CIRCUIT ON THE FORM OF THE ELECTRIC PULSE IN THE TASKS OF DIRECT PIEZOEFFECT

D. A. Shljakhin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering,

194, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443001, Russia.

E-mail: [email protected]

The axisymmetric non-stationary problem of electroelasticity for a solid piezoceramic axially polarised cylinder is considered under the kinematic load in the form of well-known mechanical displacements of its face surfaces, as well as the electric potential. The new closed solution is constructed by vector eigenfunction decomposition method in the form of structural algorithm of finite transformations. The obtained, calculation relationships allow analyzing the influence of the external circuit characteristics on the form, and, sizes of the induced electric pulse in nonstationary problems of direct piezoeffect.

Key words: non-stationary problem of direct piezoeffect, piezoceramic cylinder, electric boundary condition.

Original article submitted 22/X/2012; revision submitted 25/1/2013.

Dmitry A. Shljakhin (Ph. D. (Techn.)), Associate Professor, Dept, of Resistance of Materials & Construction Mechanics.