CC BY
35
УДК 539.319:620.172.22
Связь между упругими постоянными цилиндрически анизотропного тела
Канд. техн. наук В.Н.ГЛУХИХ СПбГУНиПТ
A task for the determination of stresses of cylindrically anisotropic body is considered. The relationship between the elasticity constants of such a body has been established. By mathematical transformations the number of constants for their experimental determination according to standard procedures has reduced from 18 to 9. The presence of the minimum on the curve of the elasticity module over X axis is proved.
В опубликованной ранее работе [4| С.Г. Лехницким было получено дифференциальное уравнение в полярных координатах для цилиндрически анизотропного и ор-тотропноготела. Для решения задач, связанных с определением напряжений и перемещений в прямоугольных пластинах, у которых одна из осей анизотропии нормальна к срединной поверхности, потребуется аналогичное уравнение в декартовых координатах |2|, имеющее вид:
д4Г дх4 д4И
(х + 5х у + а у ) +
+—-(v4 +Вх2 v2 + а2х4) + ду '
+ -'- Г2Xі + 5( у2 - х2) - 2а2 у2 ] 2ху +
дудх L
н—v2 + В(х2 -у2)-2а2х2І2лу + дхду
+.... — Г6х2 у2 + 5(х4 -4х2 v2 + v4) + 6a2x2v2] +
дх2ду2 L • ’ ■ J
+ [2х' +• Вх(зу2 - х2)6а2XV2 J +
+yr[2yJ + By (Зх2 - V2) - 6а2х2 у] +
+ -^[2(x2+2aV) + 5(y2-3x2)-2aV]3y + дудх L ' ’ J '
+——тГ2 у2 (1 + 2 а2) + В(х2 - 3 у2) - 2а2х21 Зх + дхду
+ ——г[~2а2 - /Л (х2 - у2) + дх L J
d2F , , 9 d2F ,
+ —т (В - 2а2 )(х - V2) + —- (2а2 - В)Аху = 0.
dv
дхду
где а = — — показатель анизотропии;
Ег
й = ~—2К ( т..
(1)
где (гп — модуль сдвига;
Кг-;
Е„ Ег — модули упругости;
1\х,у) — функция напряжений, удовлетворяющая уравнению (1).
Для решения задачи можно принять функцию напряжений в виде суммы полиномов 131:
р(х,у) = ^А(у)хк.
(2)
(3)
(1а)
Представим функцию напряжений в таком виде:
Нх, у) = /0 (у) + х/; (у) + х2/2 (у) + х-уч (V) +
+х4/4 (V)+х5/5 (V) + х6/6 Су)+х7? су)+...
Подставляя соответствующие производные функции напряжений Г(х,у) из (3) в дифференциальное уравнение (1) и приравнивая к нулю полученные множители при соответствующих степенях х, получи м систему дифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять выбранная Г(х,у)\
24а2//, + 25у4/2"+ 6 (В - 2а2 )у3/2'+ 2(В-2и2)у2/2 +
+//«Г Ы + (2 - В)//;'- (в - 2(Х2 )у2/" = 0;
120а2у4 / + 65//"+ 30(В - 2а1)уч//+
+2*(В-2а7)у2Г, + у4/" + 3(2-5)у70"4-
+2(3 + 1а2 - 55)у2/ - 4(5- 2а2 )у/'= 0;
360а2//6 +125//"+ ЩВ-2а2 )///+
+(1085 -168а2 )у2/, + 5(2 - В)у/;\
+(24-275 + 38а2 )//2 +(12 + 40а2-26 В)у/2 + (6)
+2(5 - 2а2 У2 + 5//0/к + 3(5 - 2«-)у/0"'+ (В- 2а2 )/0 = 0;
840а2//, + 20 Ву4/"+180(5 - 2а2)//'+
+(3205 - 400а2) у2/ (у) + у4//1' +
+7(2 - 5)у‘/"4- (54-525 + 74а2) у2/, +
2 2 (7)
+(60 + 96а2 - 785)у/,(у) +12(1 + а2 - 5) / +
+5у2/^ + 5(5 - 2а2)у/"4 4(5 - 2а2 )/"= 0;
Здесь
/о = /оOJ; / =./, W;............/7 = Л ґ;
г-&.. г_ df\(y). f- dfi(y).
dy’ • ' с /у ........ Л dy ’
Таблица 1
Значения корней уравнения (20) при различных а2
ОС' 0,2 0,4 0,6 0.8 I 1,5 2 2.5 3
В(1) -П» 5сх2)/3 0,667 1 1,33 1,67 2 2,83 3,77 4.5 5,33
в(г) = 3 - 2.8 2,6 2,4 2,2 2 1,5 1 0,5 0
г JV _ d fo(y) J о
у iv = d*fi(y)
е(у* ....... У Л'4
Входящие в функции напряжений Е(х,у) функции)\(у), удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (4) — (7), запишем в виде:
./о (у) — ^ 01 ^ 02.У"*"С?У +(^ 04 У 05У
+СобУ + С?/' + (\*У +С0!>/ +СмоУ9'’
Л{у)~СП +С12У + СпУ2 +^|4>’1 +
+С’|«>;5+С17>'6+(^18>/ +С\9У9 +СиоУ9’
Л (>’) = ( 21 + С22У + С.зС + СцУУ +
+^25^4 + Сб>' +^27 У6+С28У7;
/з (у) = Си + С,2У + С,3у2 + С4у' +
+С„/+С,У+С„/+Сму7;
/< (у) = С| + С«У + С3у2 + Си у3 + С15у4 + (\6У Л(у)=С I + С2у+ СзУ2 +сну3 + С5у4 +СбУ
Л (.V) = сб 2 + Сау + С6,у2 + С64у ■ ;
/7 (у) = С, + С72 у + С.7,у2 + С74у3, где С'01,С74 — постоянные интегрирования.
Подставляя функции (8) - (15) и их соответствующие производные в (4) — (7), после преобразований получим соотношения между постоянными интегрирования, которые останутся неизменными независимо от числа принятых функций в ряду после /4(>’) и /(>’)•
Из уравнений (4) и (5) соответственно
с -_(■ Ч' »'“"■)
22 04 2{В-2а1) ’
1В- \ 1а2 -3
(8)
(9)
(10)
(И)
(12)
(13)
(14)
(15)
С,‘ С'3 6(«-2а2) '
Аналогично из уравнений (6) и (7):
б(в -2а2) .
(16)
(17)
С,7 = -С
3 + 1 \а--ТВ
2ІВ -2а: С,,=С,Ї3 (В-а2-
(18)
(19)
Приравнивая левые и правые части уравнений (16) и (18) или (17) и (19), получим после преобразований алгебраическое уравнение
2 10 +2а- 5 4 14 7
В------------В — а + — а +1=0,
3 3 3
корни которого
I +5 а2 3
В
in
(20)
(21)
Из последнего с учетом (1а) можно вычислить значения модуля сдвига для цилиндрически анизотропного тела:
3 Е.
при в < 2 Gr, =
при в>2
=
1 + 5ог +6|і(л
Е,
(22)
(23)
3-ос +2ц;г
Обе формулы (22), (23) для случая изотропного тела (ос2=1) приобретают одинаковый вид:
Е
G -
(24)
2(1 + (I)
В табл. 1 приведены значения корней уравнения (20) в зависимости от показателя анизотропии а2. Точка пересечения прямых на рисунке соответствует параметрам изотропного тела.
Для вычисления постоянных упругости при повороте координатных осей вокруг оси Z известные формулы 11,4)
приобретут, например, при Вп) — 3-OL1 такой вид:
sin4 0
1 cos 0 3-а 2 л ■ 2 ■
— =----------1--------cos Osin Он--------------
К К К, К,
1 sin4 0 .3^-а2 7. . 7„ cos4 0
— =--------+---------cos'Osur 0+--------------
Е„ Е. Е Е
1 8(а2 -1) , , 1
----=------------sin 0cos" 0 + — ;
G„ Е.
-Е.
2(«: - 1) ■ 2 а 2 м И,
-------------sin 0 cos 0-------------
Е, Е,
cos2 0 sin2 0 cos2 0
sin 0 cos 0 —
(25)
(26)
(27)
(28) (29)
Е, Е, а„ ) Ег
При круговой перестановке индексов можно получить аналогичные зависимости при повороте системы координат вокруг осей X и У.
Связь параметра В с показателем анизотропии а2
Таблица 2
Значения упругих характеристик древесины некоторых пород
ІІорода древесины К МПа Е,, МПа Е/Е, М* С 1ц, МПа [1| с;*п. МПа (расчет)
Дуб 2185 985 0,4508 0,30 0,64 403 312,8
Бук 2285 1160 0,5076 0,36 0,75 467 361,1
Клен 1550 890 0,5742 0,40 0,82 287 275,9
Береза 1126 629 0,5586 0,38 0,78 192 196,5
Ясень 1537 818 0,5322 0,36 0.71 284 256,6
Пихта 940 490 0,5213 0,35 0,60 150 154,1
Исследуя зависимость (25) на экстремум, можно доказать наличие кроме двух главных значений (ЕГи Е,) третьего экстремального значения при 0 = 60°:
£*. = »£,/<?-о2). (30)
Результаты вычисления модуля сдвига по формулам (22), (23), например, для такого известного материала с цилиндрической анизотропией, как древесина, можно сравнить
с имеющимися экспериментальными значениями |1| (табл. 2).
Выводы.
V Установлена взаимосвязь между постоянными упругости цилиндрически анизотропного тела.
V Число постоянных для экспериментального определения по стандартным методикам сократилось с 18 до 9.
V Доказано наличие минимума на кривой модуля упругости по направлению оси X.
Список литературы
1. Ашкенази Е.К., Ганов Э.Н. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. — М.: Машиностроение, 1980.
2. Глухих И.Н. Плоская задача теории упругости дтя цилиндрически анизотропного тела вдекартовых координатах //Известия Санкт- Петербургской лееотехничее -кой академии. — СПб. 1998. Вып. 6(164).
3. Курдюмов А.А. О решении в полиномах плоской задачи теории упругости для прямоугольной анизотропной полосы // Прикладная математика и механика. Т IX.
4. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. — М., 1957.
