CC BY
135. Сорокин В.Н. О многочленах совместной ортогональности для дискретных мер Мейкснера // Матем. сб. 2010. 201,№ 10. 137-160.
6. Гончар A.A., Рахманов Е.А., Сорокин В.Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа // Матем. сб. 1997. 188, № 5. 33-58.
7. Рахманов Е.А. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов дискретной переменной // Матем. сб. 1996. 187, № 5. 109-124.
Поступила в редакцию 26.12.2012
УДК 517.5
СВЯЗЬ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ В МЕТРИКАХ Lp И С
М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2
В работе доказана справедливость двух неравенств между дробными модулями гладкости функции, рассматриваемой в пространствах Lp и С.
Ключевые слова: неравенство, пространство, дробный модуль гладкости.
Two inequalities are proved for fractional moduli of smoothness of a function considered in the spaces Lp and C.
Key words: inequalitiy, space, fractional modulus of smoothness. 1. Обозначения и формулировка основных результатов. Введем обозначения: Lp{ 1 ^ р < оо) —
/ 2тг \ |
пространство 27г-периодических измеримых функций f(x) с конечной нормой ||/||р = I f \f(x)\pdx ) ; Lqo — пространство 27г-периодических непрерывных функций с нормой ||/||оо = max |/(ж)|; — мно-
2тг
жество функций / € Lp, 1 ^ р ^ оо, таких, что f f(x)dx =
0; f^{x) — производная в смысле Вейля по-
о
п
рядка р (р > 0) функции f(x) (см. [1, т. 2, с. 201]); Тп(х) = ^ (av cos их + bv sin их) — тригонометрический
и=0
полином порядка не выше щ En(f)p = inf ||/(ж) —Тп(х)\\р — наилучшее приближение функции f(x) € Lp
т„ (х)
при помощи тригонометрических полиномов порядка не выше п в метрике Lp]Sn(f) — частичная сумма
ряда Фурье функции /(ж); Vo(/) = ¿>о(/), Vn(f) = (гг = 1,2,...) — сумма Валле-Пуссена
функции /(ж); u)a(f,t)p — модуль гладкости функции /(ж) € Lp порядка а(а > 0) в метрике Lp, т.е.
оо
UJa(f,t)p = SUp
Y^TOf{x + {a-u)h)
v=0
где (") = 1 для и = 0, (") = а для и = 1, (") = а("~1)—(а~гУ+1) дЛЯ v ^ 2.
Для неотрицательных функционалов F(f, ö) и G(f, ö) будем писать F(f, ö) <С G(f, ö), если существует положительная постоянная С, не зависящая от / и S, такая, что F(f,ö) ^ CG(f,ö). Если одновременно F(f, S) < G(f, S) и G(f, S) < F(f, S), то будем писать F(f, S) x G(f, S).
Известны следующие теоремы о взаимосвязи модулей гладкости в разных метриках. Из результата С.Б. Стечкина и A.A. Конюшкова (см., например, [2]) следует Теорема А. Пусть / € L®, 1 ^ р < q ^ оо, ö € (0,1). Тогда
s
j t-v+Ъшi(/,i)pj. о
1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapovQmail.ru.
2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград, гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002Qyandex.ru.
Этот результат для д ф оо был усилен П. Л. Ульяновым [3, 4], а именно справедлива Теорема Б. Пусть / € Ь®, 1 ^ р < д < оо, 6 € (0,1). Тогда
Теоремы А и Б были усилены В.И. Колядой [5].
Теорема В. Пусть / € Ь®, 1 < р < д ^ оо; д* = д, если д < оо; д* = 1, если д = оо, <5 € (0,1). Тогда
^Ц [ « ( /(гЫтШ),)^''
(1)
В работе [5] также показано, что в случае 1 = р < д < оо неравенство (1) не выполняется. В случае 1 < р < д < оо теорема Б была усилена, а теорема В была распространена на модули гладкости любых положительных порядков [6, 7].
Теорема Г. Пусть / € Ь®, 1 < р < д < оо, 6 € (0,1). Тогда 1) при а > 0
из С
(М
СМ),« / (г-^иза+1_м^руТ) ,
2) при а > \ - \
В случае, когда р = 1 или/и д = оо, известны следующие результаты [8, 9]. Теорема Д. Пусть / € Ь®, 1 ^ р < д ^ оо, а > 7 > 0; 6 € (0,1). Тогда 1) при р = 1, 1 < д < оо
I
р <г
0
2) при р = 1, 1 < <? < оо
3) при р = 1, д = оо
4) при 1 < р < оо, д = оо
í
о
_1 I 1 1 _ 1 (М
р ? г
о
В настоящей работе рассматриваются неравенства для модулей гладкости в случае 1 < р < оо, д = оо. Доказываются следующие аналоги теоремы Д, п. 1 и теоремы Г, п. 2. Теорема 1. Пусть / € Ьр, 1 < р < д = оо, а > 7 > 0, 5 € (0,1). Тогда
6
ыМ,Ъоо « I гЦ+1(/,*)ру. (2)
о
Теорема 2. Пусть / € Ьр, 1 < р < д = оо, а > 5 € (0,1). Тогда
/1 ч I г
1 ! I г л п <п \ Р
г-а--
О р
_а+1 ., . трсЙ \р [ _1 ... ЛЬ í -у I < / *
' о
Отметим, что при р > 1 и д = оо неравенство (2) при 7 = о; не справедливо [10], в отличие от случая р = 1 (см. теорему Д, п. 3). Теорема 1 при 7 + | > о; усиливает теорему А при д = оо и распространяет это усиление на модули гладкости любых положительных порядков. Теорема 2 при 1 < р < д = оо распространяет теорему В. И. Коляды на модули гладкости любых положительных порядков.
Отметим также, что в работе [8] показано, что неравенства пп. 1 и 2 теоремы Д несравнимы, а в работе [9] установлено, что в неравенстве п. 2 множитель (1п2/£)1/<? не может быть заменен функцией, являющейся о((1п2/£)1/<?); аналогично в неравенстве п. 3 множитель (1п2/£)1 р не может быть заменен
функцией, являющейся о((1п2/£) р).
2. Вспомогательные утверждения.
гО ПУр
Лемма 1 [11, 12]. (а) Пусть / € Ьр, 1 ^ р ^ оо, а > 0, п € N. Тогда,
V п / р
(б) Пусть / € 1 < р < оо, о; > 0, п € N. Тогда
п/
р
р-
Лемма 2. (а) Пусть / € 1 < р < оо, гг € N. Тогда ||/ - У„(/)||р < Еп(}%. (б) Яусшь / € 1 < р < оо,п € N. Тогда ||/ - ЗД)||Р < ВД)Р.
Доказательство. Пусть Тп(х) — тригонометрический полином наилучшего приближения функции /(ж) в метрике Тр, т.е. пусть Еп(/)р = ||/ — Тга||р.
(а) Так как Уп(Л = 2<Т2га-1(/) — Сга-1(/), где сгга(/) — сумма Фейера ряда Фурье функции /(ж), и так как \\ап(/)\\р < ||/||р (см. [13, с. 166, формула (60.4)]), то ||14(/)||р < ||/||р. Но тогда
II/ " Кг(/)||р < ||/ - Тга||р + ||ВД - Тп))\\р « ||/ - Тга||р = ад)
Р)
что и требовалось доказать.
(б) Так как ||5„(/)||р < ||/||р (1 < р < оо) (см. [13, с. 593; 1, т. 1, с. 423]), то тогда
II/ - ЗД)11р ^ II/ - тп\\р + над - тга))цр«II/ - тп\\р = ад)р,
что и требовалось доказать.
Лемма 3 [2]. Пусть / € 1 ^ р < д ^ оо, п € N. Тогда,
оо
Яга_1(/)9 < Еп-^рпр-я + ^Н^ВДу
и=п
Лемма 4 [14, с. 133; 15]. Пусть Тп(х) — тригонометрический полипом порядка, не выше п, а > 0; Тогда,
(а) \\Т^\\Р <па||Тга||р, (б) ||Гга||9<тгр-?||Гга||р.
Лемма 5 [12, 15]. (а) Пусть / € 1 ^ р ^ оо, а > 0, п € N. Тогда
K-i(/)P « ujf, -) « п~а У2 ka~lEk_i(f)p. \ nJP ^
(б) Пусть / € Lp, 1 < р < оо, в = тах(2,р),т = min(2,р),а > 0, п € N. Тогда
п к 1 , п к
1—1 ' ^ \ I—1 /
Лемма 6 [11]. Пусть / € 1 ^ р ^ оо, о; > 0. Тогда если 0 < £ < 5 < 1, то
5а Р*
Лемма 7 [16, с. 308]. Пусть 1 < р < оо, последовательность чисел {атакова, что а^ ^ 0 при всех р. Тогда
(а) при а > — 1
ОО / ОО \ р оо
ЕЛЕА «Е
г/ г/^1 а
V / )
г/=1 х fj,=v ' г/=1
(б) при а < — 1
оо / ^ \ Р 00
Е^ ЕА «Е
г/=1 V=1 ' г/=1
оо оо
Лемма 8. Пусть функция /(ж) имеет, ряд Фурье Ak{x) = (afc cos /гж + bk sin kx). Тогда
k=i fc=l oo oo
(а) если Y, Ы + IM < oo, mo f e Loo (см. [16, с. 215 ) и ||/1|oo < Z Ы + \bk\]
k= 1 k= 1
/ oo \ —
(б) если функция /(ж) € 1 < p < 2, то [1, т. 2, с. 182] ( Е (Ы + Ы)Р^Р~2Г < 11/11^-
оо
Лемма 9 [14, с. 57]. Пусть функция / € Lp,l < р < оо, имеет ряд Фурье ж)- Пусть по-
k= i
2 m
следовательность чисел {Afc} такова, что |Afc| ^ M,k € N, ^ |Afc — Afc+i| ^ М, m € N. Тогда ряд
к=2т-!+1
оо
Е Afc Afc (ж) есть ряд Фурье некоторой функции <р(х) € причем \\tp\\p <С ||/||р-k=l
Лемма 10. Пусть / € 1^р<д = оо;а:>0;п = 0,1,... . Тогда
п оо
"«(/, ^ « £ 2т(а+^[2т-1](/)р + 2TE2m(f)p,
т=0
где [а] — целая часть числа а.
Доказательство. Обозначим 3 = ша1 /, ^ ) . Применяя лемму 1, (а), получим
J « 2"H|V¿Q:)(/)||co + II/ - V2»(/)||со = Ji + J2.
Из лемм 2, (а) и 3 имеем
■h < ^2"(/)оо < J] 2m±pE^(fV
оо
, 1
\а м
оо •
Так как Ро(/) = 0, то У"2п(/) = (Х2т(/) ~ ^2т-!](/))- Поэтому
т=0
га
« £ II(^(Л - У12т-1 ](/))с
т=0
Применяя леммы 4, (а), (б) и 2, (а), получим
га
Зг « 2-™« £ 2™«||У2т(/) - У[2т-1](/)||оо « 2_гаа £ 2т(а+^||У2т(/) - У[2т-Ц(/)\\Р «
т=0 т=0
«2—
т=0
оо
Итак, 7 <С 2~па ^ 2т(-а+р-)_Б[2т-1](/)р + ^ 2тр_Е2т (/)р, что и требовалось доказать.
т=0
3. Доказательство теоремы 1. Для любого £ € (0,1) существует целое неотрицательное число п, 1 я ^ Л.
2п+1 " ^ 2эт
1
такое, что ™тт ^ ^ < ^г- Тогда, воспользовавшись свойствами модуля гладкости, имеем
/ = ¿)оо < (/, —)
Из лемм 10 и 5 получаем для любого 7 > 0
га оо
7+р V' 2т/Р ^ V' 2т/Р
т=0 т=га+1
1
1 2Й+Т 1 й
о го
2п
Используя лемму 6 и учитывая, что 7 < а, находим
} 1 (И \ Л
^ = ¿4 = 64 г** 7+;+1 у «
г Р г í Р
«¿«—р — / г«+7 «¿-ро; 1(/)г) = Ь —.
у * 7 р
г
Опять применяя лемму 6 и учитывая, что 7 > 0, получаем
^ +1(/, ¿)р /• ¿)р л /• 1 л
л « -^Г" /"т « /* /«"'^^Т
0 о о ь о
Следовательно,
г
оо < J
о
т.е. справедлива теорема 1.
4. Доказательство теоремы 2. Для каждого £ € (0,1) существует натуральное число п, такое, что -4т ^ £ < -. Поэтому
га+1 ^ га
Сначала рассмотрим случай р ^ 2. Возьмем такое 7, что а > 7 > а — Применяя теорему 1, имеем
га , оо 1 \р
(оо 1\Р га /га 1\Р
и=га+1 ^ 7 г/=1 ^ ^
~ ц=п-\-1 7 и=1 Ц
Так как р > 1 и а > то в силу леммы 7, (а) получим
га
г/=1
На основании леммы 5, (б) с учетом р ^ 2 заключаем, что
га , V \ Е
ъ>=1 1 7
п / ч
Применяя лемму 7, (б), получим <С п1_Сф ^ иар~1Е^_ 1(/)р. Согласно лемме 5, (б), <С /, ^ ) •
г/=1 ^ 7Р
Используя свойства модуля гладкости, получим
1 /2га \р / °° 1
^«•"ФДП Е ) «( £ ■*>('• ¡г)/"1) =Л-
Так как 7 + ^ > а, то, применяя свойства модуля гладкости, имеем <С Итак,
1
п + 1
____ и Р .] .]
ц=п-\-1
откуда и следует справедливость теоремы 2 при р ^ 2.
Теперь докажем теорему 2 при р € (1)2). Применяя последовательно неравенство (3), лемму 5, (а) и лемму 7, (б), имеем
1 <Г) 7/ ч />-к ч 1
(П /П / \
г 53 ка~1Ек-1а)00) г «
г/=1 ^ °°7 7 7
1 . „ .1
( /л \ — / га \ —
^т^-^^Шоо Г «п"^ 53(т + 1Г-2||/-ад)Г00 Г.
тп= 1 7 ^т=0 7
Так как / - ЗД) = (/ - ЗД)) + (ЗД) - ЗД)) = (/ - ВД)) + (ВД) - ЗД)) + (ЗД) - ЗД)), то
(га ч I , га ч I
53 (ш+1)»р-2 ц/ - ^(/) 1ыР + (53 (ш+1г-21| ум) - зд) |ыр+
т=0 7 ^ т=0 7
(га ч I
53 (ш + 1г-2нзд) - 5т(/)гос р«
п /
4 т=0
га ч 1 *'£< ....................
т=0
«и/ - ^(лиоо + нвд) - 5га(/)Иоо+( 53(ш + 1г-2ц5га(/) - бмщ
Из леммы 8, (а) получаем
2га-1
ЭД«Н/-ВД)||со+ 53(Ы + 1Ы)+
fc=ra+1
(га / га \ р\ 1 2га—1
^(ш + 1Г"2( ы + ы) V «ц/-вд)||оо+ 53 (ы + ын
m=0 ^ fc=m+l ' ' fc=ra+l
/ га ^ га \ р\ ~
m^"2 J] |afc| + Г = А + D2 + Д,.
т=1 к=т
Применяя неравенство Гёльдера и учитывая, что — + ^7 = 1, находим
2га—1 / 2га— 1 \ ~ / 2ra_1 \ Л
(|afc| + |6fc|)^+1-ffc—1+f «( 53 (\ak\ + \bk\Tk^~AP( 53 «
fc=ra+1 ^ fc=ra+l ' ^ fc=ra+l '
, 2га-1 ч I
53 (|afc| + \Ьк\)рк^а+1^р
^ fc=ra+l
Согласно лемме 7, (а), имеем
га+1 / га+1 ч р га+1
raj-i / raj-i \ р raj-i
53 m^"2f 53 |afc| + |bfc|J « 53 m(«+1>-2(|am| +
rn- 1 * /->-IW1 ' rn- 1
m=l 4 k=m m=l
Следовательно,
, 2ra— 1 ч I
ад«||/-ВД)||оо+п-а+И 53 (|afc| + |6fcm(«+1)P-2)P +
^ fc=ra+l '
/ га+1 ч I , 2ra— 1 ч I
( 53(|afc| + \bk\r) P « II/ - VnU) llco + n~a+1v ( 53 (|afc| + \bk\Y^a+l^-2 )p. ^fc=1 ' ^ k=1 '
Применяя лемму 8, (б), получаем
ОД « ^-^„(ЛЦоо +n"a+p||4ra-l(/)llp-
Используя леммы 1, (б), 2, (а), 3, а также свойства модуля гладкости, заключаем, что
1 00 1 D(ö) « II/ - ВД)||со + прШа(/, « K(/)Pni + 53 mv~lEm(f)p + npwa(/, -)
m=ra+1
В свою очередь, используя лемму 5, (а), а также свойства модуля гладкости, получаем
1 1 1 1 00 1 1
m=ra+1
2™l 1 °°l 1 °°l 1 Г 1 df
< УЗ —) + 53 m?~V*(/, —) < 53 ^"Wf/,-) < / t~PWa(f,t)p—.
^ л \ mJp ^ л \ mJp ^ л \ m/p J t
m=ra+l m=ra+l m=ra+l g
Тем самым теорема 2 полностью доказана.
Замечания. 1. Из леммы 10 при 1 ^ р < оо и любых а > 0 и ß > 0 следует справедливость неравенства
1 г
ua(f,5)oo + It-iua+ip(f,t)pj.
5 О
Если ß > а, то для функции /(ж) = sin ж правые и левые части этого неравенства имеют одинаковые порядки как функции S, а при ß ^ а мы имеем строгое неравенство, так как у правых и левых частей разные порядки. Поэтому обычно это неравенство рассматривается для 1^р<оои/5>а:>0.
2. Отметим, что для функции /(ж) = sin ж правые части неравенств пп. 1 и 2 теоремы Д, как и правые части неравенств п. 4 теоремы Д и неравенства (2) теоремы 1, имеют разные порядки как функции 5.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-014)043) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ+3682.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т. 1, 2.
2. Конюшков A.A. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Матем. сб. 1958. 44(86). 53-86.
3. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций H// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.
4. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123), № 1. 104-131.
5. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-136.
6. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. О соотношениях между модулями гладкости в разных метриках // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 17-25.
7. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Arch. Math. 2010. 94. 155-164.
8. Tikhonov S., Trebels W. UPyanov inequalities and generalized Liouville derivatives // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 2011. 141, N 1. 205-224.
9. Tikhonov S. Weak type inequalities for moduli of smoothness: the case of limit value parameters //J. Fourier Anal. Appl. 2010. 16, N 4. 590-608.
10. Simonov В., Tikhonov S. Sharp UPyanov-type inequalities using fractional smoothness //J. Approx. Theory. 2010. 162. 1654-1684.
11. Потапов M.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Модули гладкости положительных порядков функций из пространств Lp, l^p^oo// Современные проблемы математики и механики. T. VII. Математика. Механика. Вып. 1. (К 190-летию П.Л. Чебышёва). М.: Изд-во МГУ, 2011. 100-109.
12. Симонов Б.В. Некоторые вопросы теории приближений и теоремы вложения: Канд. дис. М., 1985.
13. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физ.-мат. лит., 1961.
14. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.
15. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. Prace Mat. 1976/77. 19, N 2. 389-400.
16. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Нолиа Г. Неравенства. M.: ИЛ, 1948.
Поступила в редакцию 04.02.2013
УДК 514.77+519.176+515.165.7
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ВЕСА МИНИМАЛЬНОГО ЗАПОЛНЕНИЯ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
Е. И. Степанова1
В работе показано, что вес минимального заполнения, а также отношение Штейнера-Громова и суботношение Штейнера, рассматриваемые как функции конечных подмножеств связного полного риманова многообразия, дифференцируемы по направлениям.
Ключевые слова: риманово многообразие, минимальное заполнение.
It is proved that the weight of the minimal filling, the Steiner-Gromov ratio, and the
1 Степанова Екатерина Ивановна, — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ekfilaQgmail .com.
