О соотношениях между модулями гладкости в разных метриках Текст научной статьи по специальности «Математика»

вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о

При этом мы получаем

Фт,к (x,s)

оо т=2

например: У1(х, з) = + ^А + + + ... >

4>21{х,8) = Е ^/рфе^-^М, фз1 (х,з) = Е ^р/д^^-^сИ, к=1 к 0 к=1 к 0

Мх,8) = Е -^г (е 1ЖЖфшк(х,з)), фтк(х,8) = ]сИ. к=1 т \к=1 к / 0 \0 / Остальные фтк(х,в) (при т,к = 1, 2, 3, 4) вычисляются аналогично. Из (10), учитывая формулы (5), будем иметь

y(n)(x,s) = Y^ Cky(n)(x,s), n = 1,2,3;

к=1

I

ik} s'

s) = (awks)neaWkSX + (aWfcS)ra £ ^Ц^, n = 1,2,3.

= + ^ + ^ + ^ + ^ + (И)

т=2

3. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3). Подставляя найденные асимптотики в граничные условия (3), приходим к выводу, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Собственные значения краевой задачи (1), (2) с условиями (3) удовлетворяют уравнению /(в) = 0, где

ш + ш + ш + т в2 в3 в4 в /о (в) = -2)(еа(ш1+ш2)8ж - -■Ю2)зп - еа(-т1 +т2)«п + ^(-тг-'Ш2)8П^ (12)

/2(в) = (в™1™ - е-атг ™ ){ф24 (п,в) - ф22 (п,в)+ф^ (п, в) - Ф^(п, в))-

-(еат2- е-ат2*п)(^1 (п,в) - ф^(п,в)+ф21 (п,в) - Ф23(п,в)), (13)

аналогично выписываются функции /з(в), /4(в), ....

Изучая индикаторную диаграмму функций /(в), /0(в) из (11)-(13), находим асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3) и получаем доказательство теоремы 1.

Поступила в редакцию 17.06.2008

УДК 517.5

О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ В РАЗНЫХ МЕТРИКАХ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2, С.Ю. Тихонов3

Доказаны два неравенства, уточняющие и обобщающие известное неравенство П. Л. Ульянова о соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках.

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: Дека-натXDT<[email protected]>.

3 Тихонов Сергей Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. ЦМО МГУ, e-mail: [email protected].

Ключевые слова: модуль гладкости, метрика пространства, периодическая функция, точность неравенства.

Two inequalities are proved in the paper. These inequalities extend and refine the well-known P. L. Yl'yanov's inequality concerning relations between moduli of continuity in various metrics.

Key words: modulus of smoothness, space metric, periodic function, accuracy of an inequality.

1. Пусть Ьр(1 ^ р < ж) — пространство 2-^-периодических измеримых функций / (х) с конечной

/2тг \ £

нормой \\/||р I /(х) Р сх) .

Пусть иа(/,Ь)Р — модуль гладкости функции /(х) € ЬР порядка а (а > 0) в метрике ЬР, т.е.

Ua(f,t) = sup

Ж , ч

Е("1)1 Jf (x + (а - *)h)

v=0 ^ '

где («) = 1 для г/ = 0, = а для г/ = 1, («) = »(»-ВЧ^+В для

Будем писать ¥(/,5,и) « С(/,5,и), если существует положительная постоянная С, не зависящая от /,5,и, такая, что ¥(/,5,и) ^ СС(/, 5,и). Будем также писать ¥(/,5,и) х С(/,5,и), если ¥(/,5,и) « С(/,5,и) и С(/,5,и) « ¥(/,5, и).

В работах [1, 2] П. Л. Ульянов нашел связь между модулями гладкости первого порядка в разных метриках. Он доказал следующее неравенство: если /(х) € ЬР, 1 ^ р < д < ж, то для любого 5 € (0; 1]

1

Это неравенство усилил В. И. Коляда [3]. Он получил следующее неравенство: если /(х) € ЬР, 1 < р < д < ж, то для любого 5 € (0; 1]

1 1 *.</,*). <i-i+i (/(¿-i-W,«).)'£)' « (/(r^W/.^yfY. (2)

Из приводимой ниже теоремы 1 следует, что неравенство (1) П. Л. Ульянова может быть усилено и по-другому: если /(х) € ЬР, 1 < р < д < ж, то для любого 5 € (0; 1]

«Л (/,*),< ^ « ^ ^ • (3)

Неравенства, аналогичные неравенствам (1)—(3), могут быть получены и для модулей гладкости порядка а > 0.

Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 1. Пусть /(х) € ЬР, 1 < р < д < ж, а > 0. Тогда для любого 5 € (0; 1]

p

д

Теорема 2. Пусть /(х) Е Ьр, р и д таковы, что или 1 < р < 2 < 1 + ^гу ^ д < сю, или 2 ^ р < д < оо, о: > ^ — Тогда для любого 8 Е (0; 1]

Далее будет показано также, что неравенства (4) и (5) точны, так как существует функция /о(х) Е Ьр, такая, что члены неравенств (4) и (5), рассматриваемые как функции 5, имеют разные порядки. Что касается взаимосвязи величин

i i

то далее будет показано, что существуют функции fi(x), f2(x) и /э(ж), такие, что (a) B(fi,S) « D(fi,5), (б) D(/2,5) « B(f2,¿), (в) B(f3,S) x D(fs,5).

Точность неравенств (а) и (б) следует из того, что величины B(fi,S), D(fi,5), B(f2,S), D(f2,S), рассматриваемые как функции §, имеют разные порядки.

2. Приведем определения и вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства основных результатов работы. Пусть

те те

f (x) ~ Е (av cos vx + bv sin vx) = E Av (x)

v=i v=i

п

ряд Фурье функции /(х); Бп(/,х) = ^ А„(х) — частичная сумма ряда Фурье функции /(х); /(х)

V =i

производная в смысле Вейля порядка р (р > 0) функции /(х), /р)(х) — интеграл в смысле Вейля порядка

n

р (р > 0) функции f (x) [4, c. 201]; Tn(x) = ^ (aV cos vx + bV sin vx) — тригонометрический полином

v=0

порядка не выше n; En(f)p = inf \\f(x) — Tn(x)\\p — наилучшее приближение функции f(x) E Lp при

Tn(x)

помощи тригонометрических полиномов порядка не выше n в метрике Lp.

Лемма 1 [4, с. 213]. Пусть функция ф(х) Е Lp, 1 < р < q < оо. Тогда ф^ ^(ж) G Lq и <С

Лемма 2 [5]. Пусть f (x) E Lp, 1 < p < oo,a > 0,m E N. Тогда

1\ ( . 1

Em(f)p x\\f(x) — Sm(f,x)\\p. Лемма 3 [2]. Пусть 1 ^ p < q < o,n E N. Тогда

i

те \ q

En(f)q«. nff(5"4(/)p+ E k"2ElU)

\ k=n+i

те

Лемма 4 [5]. Пусть 1 ^ p < o,n E N,an ^ 0,bn ^ 0^ ^ av = anjn. Тогда

V=n

kp

Eak E bj <E (bvYv)p av.

k=i \v=i / v=i

Лемма 5 [4, с. 153]. Пусть 2 ^ q < оо, ^ + ^ = Тогда

aqi

\\Sna)(f,x)\\q « Е (К I + \bvI)qi v0

V=i /

Лемма 6 [4, с. 165]. Пусть 1 < p ^ 2,a > 0,n e N. Тогда

/га \ j

( J2(IavI + \bvI)Pvap+p-2\ « \sna)(f,x)\p.

Лемма 7 [6, с. 125]. Пусть 1 < a ^ в < о, an ^ 0. Тогда

i

(OO \ /3 / OO \ Ci

ЕаП < £ aa .

n=1 ) \n=1 )

Лемма 8 [5]. Пусть f e Lp, 1 <p< o,t = max(2;p),s = min(2;p),n e N,a > 0. Тогда n-a ф^ЕШХ^ ' « Wa (/, ^ « П~а (ф^ЕШ^ S ■

oo

Лемма 9 [5]. Пусть f (x) e Lp, 1 < p < o, f (x) ~ E am cos2mx. Тогда

m=0

(oo\| / /га \l/oo \ §

, \2~na E«^2™ + E

m=0 / \ \m=1 / \m=n+1

3. Доказательство теоремы 1. Из леммы 2 следует, что

1 . „ ?(а)

Применяя лемму 3, имеем

'1 i\

E^(f)q« е 2mq[~p~~q)EUf)P • (6)

>q ^ I 2mw yp

m= n

(a+I-l) (a) Применяя лемму 1 и учитывая, что если ф(х) = S^n Р 4 (/,ж), то ф/г х\(ж) = S^ (/, ж), получим

р q

\\S&\f,x)\U<Z\\s£+*~*\f,x)\\p. (7)

\<? ^ \\2п V./' "V\\р

Таким образом, объединяя оценки (6), (7) и используя лемму 2, окончательно будем иметь

\ \т=га+1 / ]

\m=n+1

\т=га Р 1 у

Отсюда, используя свойства модуля гладкости дробного порядка, имеем

я (И

\0

Используя свойства модуля гладкости дробного порядка, получим также

00

Теорема 1 доказана полностью.

Отметим, что частный случай теоремы 1 содержится в работе [7], а ее обобщение — в работе [8]. 4. Доказательство теоремы 2. Первое из двух неравенств (5) очевидно. Докажем второе. Пусть

ТогДа

1. Пусть 1<р<2<1 + ^ д < оо. Применяя лемму 2, имеем

в- (/, 1) х „-»н+а £ < (/. х

\ / т=1 ^ ' 1

\т=1 т=1 /

= п-р(а-"+У (/1 + /2), 1\ А *_2 , Л 1

^^ \ т, Р

7 т=га 4 7 р

т= га

оо оо

X £ + £ т§"2||/(ж) - = /3 + /4.

т=га т=га

Оценим /1 и /2. Согласно лемме 5, имеем

р

п / т \ ?1

/1 « £ т?"2 + ,

т=1 \ь>=1

где - + — = 1.

^ 9 91

Так как ^ 1 и р < д, то, применяя лемму 4, получим

гага

£-2

/1 < + 2 = + \Ьи\)риарир~2.

и=1 и=1

На основании леммы 6 заключаем, что /1 ^ УЗ^(/,х)\\р.

22

вестн. миск. ун- та. сер. 1, млтемА! ила. мелАнилл. 2009. № о

Поскольку \\/(х) - Бт(/,х)\\д « \\/(х) - Бп(/,х)\\ д + \\Бп(/,х) — Бт(/,х)\\д, то в силу леммы 5

( п \ п

\\/(х) - Бт(/,х)\\д « \\/(х) - Бп(/,х)\\д + | + \ъ„\Н ,

V V=т

где | + ± = 1. Но тогда

Е.

"• / 1 л "• / 1 л / "• \ ?1

/2 « \\№ - $„(/,*)II? Е тК«"^)"1 + £ шН«-^)-1 + 16,1)

т=1 т=1 \и=т

Так как ^ 1 и р < д, то, применяя лемму 4, имеем

/2 « гЛ^р+Й ||/(Ж) - + ¿(Ы + (М^/Ы+Й"1 «

{ 1 А п

« ц/(ж) _ зд,+ Е(М + \К\Т^р-2.

V =1

Согласно лемме 6, получаем

/2 « прМ+Й ||/(Ж) - \\рд +

Так как по лемме 2 для д € (1; то) имеем \\/ — Бп\д х Еп(/)д, то в силу леммы 3

1

ОО \ д

3--2-

р

\к=п /

Поэтому

Е

оо

Е

___ _ _ ______ _ _ гч

п\ д

Ввиду того что для 1 < д < то имеем Ек(/)д х \\/ — Бп\д, справедливы неравенства « 141 «

Ср (/, •

Так как иа (/, < (/, то

« (е (/, ±))'« (£ (/, )' < с (/, ^).

Е , ч Р

д

\к=п 4 7 р/ \к=п 4 7 р

Итак, показано, что

я (7.-) «с(/Д

V п) \ п

Теорема 2 доказана в случае 1.

2. Пусть 2 ^ р < д < оо. Применяя первое неравенство теоремы 1, имеем

1,1/ / / -Р(«-1+1

(г

+0 р ч

( 1

р 1 /'

6

(1

/( —р^а-

J 6

«+- —-

Р 1

+

!

(Гг)-\ -

= /7 + /8.

Используя свойства модуля гладкости, получаем

6

(г

(г

/7<< | « (Г^"^/,*)^ т

Теперь оценим /8. Для 5 € (0; 1] найдется натуральное число п, такое, что

2га 2га-1

Поэтому

Тр /8

1

-р( а——+ -

Р 1

р

I \ ^

1«

„ + - )р [ р( «——+-<с 2 V р 1/ I г У р 1

1

2П

6

/ *

О

\|

\2п

| йг

)

г

<

р ' «г ^ ^ 2

т=1 \и=т

Учитывая, что р < д, и применяя лемму 7, получим

Р1

1 -I -I А га 1 г г А га

/£ < 2~п(а—^)р £ 2трГ"р + «) £ 2'

т=1

V=т 4 7 р

(8)

/ г л га

.—га а——+ - р \ ^

<2 V Р ч) /

V=1

Учитывая, что р ^ 2, и применяя лемму 8, затем лемму 4 и опять лемму 8, имеем

1

1/=\ р 9 V 2 /р

V=1 \М=1

2 ЕКЛ,

<

М=1 \ 2 /Р

1

Р

6

t

6

9

1

Р

Отсюда, используя неравенства (8), заключаем, что

/8<й г + «шаи,8)1

Так как иа (/, 5) <С иа (/, |), то имеем

(

18 «

\ ^

<и Т

«

)р

/

£

Объединяя оценки для /7 и /8, получаем ^ (/,5) « С (/,5).

Следовательно, теорема 2 доказана в случае 2, т.е. теорема 2 доказана полностью. 5. Покажем теперь точность неравенств (4), (5), (а) и (б).

те в

Рассмотрим функцию /о (ж) ~ ^ ат со8 2тх, где ат = трш, (3 > — а > р — д- Применяя лемму 9

т=0

получим, что /о(х) € Ьр и /о(х) € Ьд, где 1 < р < д < то, и что, кроме того, справедливы соотношения

Ша (/0, 2 п)р

пР+2

2па

Ша(/0, 2-п)д

пР+2

2па

п

2па

Так как для любого 5 € (0; 1] найдется п € М, такое, что 2 п <5 ^ 2 п+1, то из справедливости этих соотношений следует справедливость соотношений

Ша(/о,5)р х 5а 1п

Ша(/0,5)д х 54 1п

5у , ,ч у ~5

Теперь легко проверить, что справедливы соотношения

/ 2

р ч \ о

в

_1+1 , „ . \Я (М t р сиа{/о,Ь)р) у

«_1+1 / 2^ о р ч 1п - 1

V

£ Р яи

а+

,«-1+1 О Р 1

,-«+1-1

£ р ч

у«-1 + 1 х р ч .

(9)

(10)

Из этих соотношений следует, что для функции /о(х) справедливы неравенства (4) и (5), при этом члены этих неравенств имеют разные порядки, что говорит о точности неравенств (4) и (5).

Рассмотрим еще функции /1(х), /2(х) и /з(х) , которые есть частные случаи функции /о(х) соответственно при /3 = — /3 = | и /3 = 0. Тогда из соотношений (9) и (10) следует, что

(а) В(/1,5) « 0(/1,5), (б) Б(/2,5) « В(/2,5), (в) В(/з,5) х Б(/з,5), причем члены неравенств (а) и (б) имеют разные порядки, что говорит о справедливости соотношений (а), (б), (в) и их точности.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-000302), программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-27-87-2008.1), МТМ 2008-05561-С02-02.

в

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 3. 649-686.

2. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Матем. сб. 1970. 81(123), № 1. 104-131.

3. Коляда В.И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. 181. 117-136.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.

5. Potapov M.K., Simonov B.V. On interrelation of the generalized Besov-Nikol'skii and Veyl-Nikol'skii classes of functions // Anal. math. 1996. 22. 299-316.

6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

7. Потапов М.К., Симонов Б.В., Тихонов С.Ю. Об одном неравенстве П. Л. Ульянова // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 33-36.

8. Simonov B., Tikhonov S. Weak inequalities for moduli of smoothness and K-functionals and embedding theorems. CRM Preprints, 2008. N 841.

Поступила в редакцию 21.11.2008

УДК 517.977.1+517.925.5

ОБ УПРАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯМИ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

И. Н. Сергеев1

Положительно решены проблемы глобальной достижимости и глобальной приводимости управляемой системы, эквивалентной линейному уравнению. Кроме того, доказано существование линейного уравнения, имеющего на данном отрезке заданную матрицу Коши, а слева и справа от него совпадающего с заданными уравнениями. Полученные результаты позволяют конструировать линейное уравнение с фундаментальной системой решений, обладающей наперед заданными свойствами.

Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, фундаментальная система решений, управляемая система, глобальная достижимость, глобальная приводимость.

Both global attainability and global reducibility problems for a control system equivalent to a linear differential equation are positively solved. Furthermore, the existence of a linear equation having a given Cauchy matrix on a given segment and coinciding with given equations on the left and right of that segment is proved. The results obtained allow one to construct a linear equation with the fundamental solutions system possessing preassigned properties.

Key words: linear differential equation, fundamental solutions system, control system, global attainability, global reducibility.

Для фиксированных n G N, к G No = N U {0, oo} и промежутка I С К рассмотрим множество 8(1) линейных однородных дифференциальных уравнений

y(n) = ai(t)y + a2(t)y + ■■■ + an(t)y(n-1), t e I, (1)

каждое из которых отождествляется со своей строкой a = (ai,...,an) ограниченных коэффициентов ai,...,an e Ck(I). Наделим множество E(I) структурой линейного нормированного пространства с равномерной на промежутке I нормой || ■ || и обозначим

Ea(I) = {a eE(I)\ ||a|| < a},

а кроме того, для нормированного пространства G квадратных матриц порядка n с положительными определителями обозначим

Ga = {H e G\ т&х{ЦИ ||, ЦИ-1||} < a}, Br (Ho) = {H eG\ ЦИ - ЩЦ < r}

(нормы в пространствах строк, столбцов и матриц определим как максимум модулей их элементов).

1 Сергеев Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].