Свойство выпуклости взаимных мультифрактальных размерностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 17, 2010

УДК 511,514.8, 530.1

Н. Ю. Светова

свойство выпуклости взаимных

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

В работе установлено свойство выпуклости взаимной муль-тифрактальной упаковочной размерности подмножества пересечения носителей вероятностых борелевских мер ^ и V. Также показано, что взаимная мультифрактальная хаусдорфова размерность подмножества множества вирр ^Пвирр V является слабо выпуклой.

Пусть X - произвольное метрическое пространство с заданной на нем метрикой й. Обозначим через Р(X) семейство борелевских вероятностных мер, определенных на ст-алгебре всех борелевских подмножеств пространства X. Носителем вирр ^ меры ц называется множество всех точек, окрестности которых имеют положительную меру. Через Вг (х) обозначим открытый шар с центром в точке х и радиусом г. Для ц € К определим функцию : [0; то) ^ К + = [0, то] следующим образом:

Для ц, V € Р(X), Е С X, ц, £, в € К рассмотрим

(Е) = 1^1 £ ^(р(ВГг (х4))) • ^(ВГг (х4))) • (2г;Г |, Е = 0,

то, х = 0,

ж9, х > 0,

1,

0, х = 0,

х9, х > 0,

для ц < 0; для ц = 0; для ц > 0.

© Н. Ю. Светова, 2010

где точная нижняя грань берется по всем конечным или счетным покрытиям множества Е шарами с центрами из Е и диаметрами, не превосходящими заданного числа 6,

Функция Н9’^Я(Е) обладает всеми свойствами ст-субаддитивной внешней меры [6], и назовем такую меру взаимной хаусдорфовой мерой.

Пусть Т - семейство подмножеств множества X, содержащее пустое множество. Предположим, что существуют две функции П, Ф : Е ^ К+, которые удовлетворяют условиям:

А1. п(0) = 0 и "0(0) = 0; п(и) > 0 и 0(и) > 0 для всех непустых и Є Т;

А2. Для всякого 6 > 0 найдется такое є > 0, что п(и) < 6 для всех и Є Т таких, что 0(и) < є;

А3. Для всякого є > 0 найдется конечное или счетное подсемейство 0 С Т, покрывающее X, и такое, что

Пусть £ : Т ^ К+ - функция множества. Говорят, что семейство подмножеств Т и функции множеств £, п, Ф, удовлетворяющие условиям А1, А2 и А3, задают на множестве X структуру Каратеодори (или С -структуру т) и пишут т = (А, £, п, Ф) [1].

Внешняя мера, отвечающая семейству Т и функциям множества £, п, Ф, называется внешней мерой Каратеодори [1].

Пусть А - семейство конечных или счетных центрированных ^-покрытий множества Е, а функции

£ = ^9(м(Вп(х0)) • ¥г(»(ВГ4(х*))), п = Ф = й1ат(В^(х*)).

Легко проверить, что семейство А и функции £, п, Ф удовлетворяют условиям А1, А2, А3 и задают структуру Каратеодори (А, £, п, Ф), а функция Н9, Vя (Е) является мерой Каратеодори. Поэтому по предложению 1.2 [1] существует критическое значение ё1т9, V (Е):

Е СЕ

0(0) = 8ир(0(и) : и Є 0} < є.

для в < <ііш9’^, (Е),

для в > &ш^ (Е).

Назовем dim^’V взаимной мультифрактальной хаусдорфовой размерностью множества E.

Напомним, что счетное семейство {Bri(xj)}j дизъюнктных замкнутых шаров с центрами xi из E и диаметрами, не превосходящими заданного числа S для любого i, называется центрированной S-упаковкой множества E.

Для непустого множества E С X, q,t Є R, {Bri(xj)}j — центрированной S-упаковки множества E определим функции

p;’V:(E) =sup j^^9(MBn(xi))) • ^t(v(Bri(xi))) • (2ri):

где точная верхняя грань берется по всем конечным или счетным упаковкам множества E шарами с диаметрами, не превосходящими S,

p;;v: (0) = o,

p;;Vfo(E) = ino p;^ (E), p;;V’:(E) = inf £ p;;V’;:o(Ei).

EC у Ei i i

Для функции P9 V’:(E) также выполнены условия а-субаддитивной внешней меры [б], и назовем такую меру взаимной упаковочной мерой множества E, а P;’ V’ :o(E) - взаимной предупаковочной мерой.

Из определений взаимной упаковочной и предупаковочной мер следует, что существуют такие критические значения Dim; V (E) и д;і(E)что

s < Dim;i(E), s > Dim;i(E), s < д;і (e ), s > д;і (e ).

p;;V’:(e ) =

p;;V’:o(e )

то, для

О, для

то, для

О, для

Конечная борелевская мера ц называется диаметрально регулярной [6], если существуют такие константы 70 > 1 и Со > 0, что для

всех точек х и всех г > 0 верно неравенство

М(ВТог (х)) — С0М(Вг (х))*

Если 70 = 2, то говорят, что мера ц удовлетворяет свойству удвоения, и называют такую меру удваивающей [2]. Известно, что если ц является вероятностной борелевской и диаметрально регулярной мерой для любого х, принадлежащего носителю меры, и некоторого 70 > 1, то эта мера является и диаметрально регулярной для всех 7 > 1 [7, 5, 2].

Из определений взаимных упаковочной и предупаковочной мер вытекает, что для непустого множества Е справедливо

Если меры у«, V являются диаметрально регулярными, то из леммы Витали о покрытиях [6] следует неравенство Н9’^Я(Е) — РД’£,’8 (Е).

Для множества Е С вирр ц П вирр V из определений взаимной хау-сдорфовой и взаимной упаковочной мер вытекает

Поэтому функции ё1ш^’ V(Е) и Б1ш^’ V (Е) являются невозрастающими по переменным ц и £.

При доказательстве следующих утверждений используется техника доказательств Л. Олсена [7, 8], К. Фальконера [6], Я. Б. Песина

Лемма. Для произвольного множества Е С X, вещественных чисел 91,92,^1^2,а, 6,в1,в2, 0 — в1,в2 — 1 и в! + в2 = 1 справедливо неравенство

Доказательство. Пусть для 3 > 0 семейство (х*)} является

центрированной 3-упаковкой множества Е. Рассмотрим сумму

[1].

(Р£$’6 (Е))

^3 ?1+52?2 (МВГ^ (хг))‘^в1(1+3 2£2 (х*))(2г)

51а + в2 6+£ ^

Х ^«2 (МВг* (х*))^42 <ГВгг (х*))(2г)

< (ст* <е)Г(сГ* (е))’2'

Тогда для произвольного 6 > 0 получим

р’1«1+’2«2 5 ’1:1+’2:2 , ’1 а + ’:Ь+£(Е ) < р ’1 «1+’2«2 5 ’1:1+’2 :2 , ’1а + ’2Ь+£(Е) <

<5(сг+* (< • (с:2 5Ь< <

Следовательно,

р;1«,1о+’2«25’1:1+’2:2’’1а+’2Ь+е(Е) < (р^:0,а+*(е ^(р^о5^* (е ))’2,

откуда и получим доказываемое неравенство.

Теорема 1. Функция Бш^(Е) является выпуклой на множестве Е С яирр ^ П яирр V.

Доказательство. Действительно, в силу неравенства Йенсена достаточно показать, что для д1, 92,^1,^2 € К, ®1, «2 € [0,1] и в! + в2 = 1 справедливо неравенство

Бт;1;^’2*2’’1^^2(е) < в1 б™;1^1 (е) + в2 Бт;^2(е).

Положим а = Бт^1 (Е), Ь = Бт^2(Е). Поскольку для произвольных положительных чисел е' и е''

Р^1’^ (вирр ^ П яирр V) = 0, р;ь:1’ь+е (вирр ^ П яирр V) = 0,

то можно найти такие конечные или счетные покрытия {А*}* и {В*}* множества Е, для каждого элемента которых выполнено

Е 01,:1,а+ ^ е

Р;,^,0 1 (А^ < 1, где = е

Е «2,:2,Ь+ ^ 1 е //

рм,^,о 2 №) < 1, где =е .

г

Зафиксируем натуральное число п и пусть множество

П

Еп = и (Аг П В)

*5.7 = 1

для любого натурального п. Тогда, используя свойства взаимной упаковочной меры, получим

р>Я1д1+Я2д2,Я141+Я242,Я1а+Я2Ь+Е(Е ) _

( п \

_ р Я1д1+Я292,Я1 41+Я242,Я1а+Я2Ь+е Ш (А*п в)) <

\*,3 = 1 )

п

< Е р3191 + 3292,31 *1 + Я2*2,Я1а+Я2Ь+е(А п В •) <

*,5 = 1 п

< Е р3191+3292,31 *1+32*2,31а + 32Ь+Е(А. П В-) __ К

*,5 = 1

Применяя лемму и свойства предупаковочной меры, продолжим оценку упаковочной меры множества Еп

К < Ё (С!Г+ * (А* п В, ))31 • (р;5,Ь+ * (А* П В, ))32 <

*,.7 = 1

< (5: с;о,о+* (А* п в, ^ • (Ё р:5,ь+* (А* п в, ^ <

м,^,о ^А* п в,у I \ ' м,^,о

^*,^=1 ( \*,^=1

\ 31 ( п 4 32

-:й,а+271 (А*)) • (ёр:й,ь+272(в,) ^*,^=1 ) \*,,=1

32

< (пЁр:5,а+ * (Л)] • (пЁСО^* (В,)) < п31

Тогда для любого п € N

Отм1^32®,31^32*2 (Еп) < в1а + в26 + е. Поскольку Е С и Еп, то

п

Б1ш31д1+32 52,31*1+32*2 (Е) < О1т31^1+32?2,31*1+32*2 |

< вирБ1тМ1,51+3292,3:141+32*2(Еп) < в1а + в26 + е.

п

и Еп1 <

п

Так как эта оценка справедлива для любого положительного е, то выпуклость функции Вт^ (Е) установлена.

Итак, функция Вт^*, (Е) является выпуклой на любом подмножестве вирр ^иЯвирр V, более того она является собственной: ее надграфик непустой и не содержит вертикальных прямых.

Следующая теорема показывает, что функция ^т^ (Е) удовлетворяет условию слабой выпуклости.

Теорема 2. Пусть V € Р(X), множество Е С вирр^пвирр V, числа 91, 92,^1,^2 € К, «1, в2 € [0,1] и в! + в2 _ 1, то взаимная хаусдорфова размерность множества Е обладает свойством

ё1тМ^1+3292,31‘1+3242 (Е) < в1 Вт^1 (Е) + в2 ^т^2 (Е)

в следующих случаях:

а) если оба числа в191 + в292, в1^1 + в2^2 неположительные;

б) если в191 + в292 < 0, «1^1 + в2^2 > 0 и мера V является диаметрально регулярной;

в) если в191 + в292 > 0, в 1^1 + в2^2 < 0 и мера ^ является диаметрально регулярной;

г) если в191 + в292 > 0, «1^1 + в2^2 > 0 и меры ^, V диаметрально регулярные.

Доказательство. Пусть задано множество Е С вирр ^ п вирр V. Рассмотрим случай, когда в191 + в292 < 0, «1^1 + в2^2 > 0 и мера V является диаметрально регулярной. Для удобства введем следующие обозначения:

а _В1тМ^ (Е), Ь _ ё1т^2 (Е).

Пусть для произвольного положительного достаточно малого 3 задано центрированное покрытие {О*}* множества Е открытыми шарами диаметрами, не превосходящими 3. Для каждого элемента покрытия О* можно подобрать такую центрированную 3*-упаковку шара О*, чтобы выполнялось неравенство

-р91,*1,“+ § (о ) «рЗ1,*1,“+ 2 (о ) I 1

' м,^А (О*) < ' м,^,о (О*) + 2*.

Поскольку для любого е > 0 верно Вш^1 (Е) _ а < а + е, то из определения взаимной упаковочной размерности вытекает

Р^1,а+ 2 (Е) _0.

Для любого положительного числа е также очевидно, что ёш^2^2 (О* п Е) < Лт^2 (Е) _ Ь < Ь + е,

поэтому

н^2,ь+2 (О* п Е) _ 0.

Тогда какое бы мы ни взяли центрированное 7-покрытие множества О* п Е, получим

Н^27,Ь+2 (О* п Е) _ 0.

Возьмем теперь такое центрированное покрытие {Вг^ (ж*,)},е/ множества О* п Е открытыми шарами диаметрами, не превосходящими 7* _ тш | 7, 3* 1, чтобы

^ ^ ^92 (мВг^- (xij))^t2 (vBrij (xij))(2rij) +2 < . (1)

j

По лемме Витали о покрытиях [6] из семейства {Bri.(xj)}jej шаров, содержащихся в ограниченной области пространства Rd, можно выбрать конечное или счетное подсемейство (xj)}jej' непересе-

кающихся шаров таких, что

U Brij (xij) ^ U B4rij (xij).

jeJ jeJ'

Таким образом, в нашем распоряжении имеется центрированная 7*-упаковка {Brij (xj)}jej' множества Oj и соответствующее ему центрированное 47^-покрытие {B4rij (xjj)} множества Oj П E, при этом справедливо

р^;“+2 (ог) <рй;“+2 (ог) <p^0’“+2 (ог).

Используя условие диаметральной регулярности меры v, найдется некоторая константа Со, для которой vB4ri.(xj) < Co • vBri.(xj).

Тогда для 91, 92^1^2 € М, в1, в2 € [0,1], в1 + в2 _ 1, в191 + в292 < 0 и «1^1 + в2^2 > 0 оценим

н;:q:/32q2,3l^l+32^2,3la+32Ь+e(E) <ёё ^31,1+32З2 (мВ4ггз (х*, ))х х ^3141+32*2 (*у))(8г*,)31“+32Ь+< (4Со)31“+32Ь+£х

Х Ё Ё Ё Ё ^31,1+3292 (МВГ^3- (х*, )) ^31*1+32*2 ^ВГ1,' (х*, ))(2г*, ) 1 + 2 + <

* '

<(4Со)31“+32Ь+е 1ЁЁ ^ 1 (мВггз (х*,(х*,))(2г*,)а+ § ) х \ * ,е^' /

х ( Ё Ё Ё Ё ^,2 (мвг^3- (х*, ))^^2(vBr^j (х*, )) (2г*, )+ Ч < М.

\ * ,е^' /

Принимая во внимание условие (1) выбора покрытия множества О* пЕ и соответствующей центрированной 7*-упаковки {Вг^ },е/', получим

(ЁЁ^,2 (мВггз (х*,(х*,)) (2г*,)Ь+ ^ < ^Ё *) < 1.

Тогда

М < (4Со)31 “+32Ь+е (ЁЁ ^ 1 (мВг^3- (х*, ))^*1(г/Вг^3- (х*, ))(2г*, ) + 2 ) <

\ * ,е^' /

< (4Со)31“+32Ь+^ЁР^л1“+ 2(О*^ < (4Со)31 “+32Ь+£х

х (Ё (Р^“+ § (О*)+ 2*)) <(4Со)31“+32Ь+^ЁР^“+ 2 (О*) + ^ .

Переходя к точной верхней грани по всем 3 > 0 и по всем подмножествам множества Е, получим

( § V1

Н*! ,1+32,2,31*1+32 *2,31“ + 32Ь+£(Е) < (4С|] )31“ + 32Ь+Е ЁР^“+2 (О*)+1 .

Поскольку центрированное покрытие {Oj}j множества E выбрано произвольно, то

Hsl9l+s292,Sltl+S2t2,Sia + S2b+E(E) < (4С )Sl“ + S2b+^p^qiiVtl 2 (E) + 1^ 1 =

= (4C0)Sia+S2b+e < то.

Поэтому для любого положительного £ получим неравенство

dim^iqi+s292’sitl+s2t2(E) < ею + s2b + £,

из которого вытекает доказываемое неравенство.

Доказательство остальных случаев проводится аналогично.

Resume

It has received that the mutual packing dimension of subset E of set supp ^ Пsupp v for Borel probability measures ^ and v is convex, but the mutual Hausdorff dimension of E satisfies the condition of weak convexity.

Список литературы

Песин Я. Б. Теория размерностей и динамические системы: современный взгляд и приложения. М.; Ижевск: Изд-во института компьютерных исследований, 2002. 404 с.

Богачев В. И. Основы теории меры: В 2 т. Т. 1. М.; Ижевск: Изд-во НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2003. 544 с.

Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 471 с.

Светова Н. Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. Вып. 11. 2004. С. 4247.

Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. 760 с. Falconer K. J. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley & Sons, 1990. 337 p.

Olsen L. A multifractal formalism // Advances in mathematics. 1995. № 116. P. 82-195.

Olsen L. Multifractal geometry // Progress in probability. 2000. V. 46. P. 3-37.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]