CC BY
11ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6
9
Лемма 4. Если (оМра, огёда) = 1, то сравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимы соответствующие сравнения по модулям р и д. Рассмотрим чуть более сложный случай.
Теорема 4. Пусть р = 2г + 1, д = 2в + 1, где (г, в) = 1, г,в нечетные. Сравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда:
1) ах = Ь разрешимо по модулям р и д;
2) выполнено одно из следующих условий:
г) ordpa | г; ii) ordga | s; Hi) ordpa = 25\, ordga = 262, (^J^J = 1-
Доказательство. Если условие 1 не выполнено, то сравнение (10) неразрешимо. Предположим, что условие 1 выполнено. Тогда если справедливо условие i или ii, то по лемме 4 сравнение (10) разрешимо (поскольку (ordpa, ordga) = 1).
Теперь пусть условие 1 выполнено, а условия i и ii не выполнены. В этом случае (ordpa, ordga) =2 и a — квадратичный невычет по обоим модулям p и q. Необходимо доказать, что сравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда выполнено условие iii.
Обозначим через ci и С2 решения сравнений ax = b (mod p) и ax = b (mod q) соответственно. Они определены по модулям ordpa и ordga.
Сравнение ax = b (mod pq) разрешимо тогда и только тогда, когда ci = С2 (mod (ordpa, ordga) = 2).
Если ci и С2 четные, то b — квадратичный вычет по обоим модулям; если оба нечетные, то соответственно b — невычет. То есть условие совместности (ci = С2 (mod 2)) выполнено тогда и только тогда,
когда ^ = (?)' а именно = L □
Автор приносит благодарность М. А. Черепневу за помощь в работе над статьей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Василенко О.Н. О разрешимости задачи дискретного логарифмирования в кольцах вычетов // Фунд. и прикл. матем. 2002. 8, № 3. 647-653.
2. С'идельников В.М. Частные Ферма и логарифмирование в мультипликативной группе кольца вычетов по при-марному модулю // Математические вопросы кибернетики. 1999. 8. 55-62.
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.
4. Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.: МЦНМО, 2003.
Поступила в редакцию 30.03.2006
УДК 517.9
ХАРАКТЕРИСТИКА ЧЕБЫШЕВСКИХ КОНУСОВ КОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
И КОНЕЧНОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ
В.М. Федоров
1. Общие определения и результаты. Мы будем рассматривать банахово пространство Е, а также его сопряженное пространство Е* над полем F действительных или комплексных чисел. Однако для сокращения записи линейная независимость, линейная оболочка, линейное подпространство и размерность всюду, где точно не указано, рассматриваются над полем действительных чисел. Замкнутый единичный шар пространства Е и сопряженного пространства Е* обозначается соответственно через
5 = {х е Е | ||ж|| < 1} , 5* = {а е Е* | \\а\\ < 1} .
Определение. Множество М С Е называется коническим, если для всех х е М и для всех чисел а > 0 имеет место включение ах е М. Выпуклое коническое множество К С Е, не совпадающее с пространством Е, называется клином. Замкнутый клин будем называть конусом.
10
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6
Обозначим через spFM и cn M соответственно линейную оболочку над полем F и коническую оболочку множества M С E. Линейная оболочка клина K С E является линейным многообразием и совпадает с разностным множеством spRK = K — K в действительном случае F = R и с множеством spCK = (K — K) + i(K — K) в комплексном случае F = C. Действительная и мнимая части линейного функционала а Е E* обозначаются далее через Ша(х) и ^а(х).
Для каждого конического множества K С E определяется полярный* конус
K° = {а Е E* | Ш(х) < 0, х Е K} , а для каждого конического множества K С E* — полярный конус
K° = {х Е E I Ша(х) < 0, а Е K} .
Если M С E — действительное линейное многообразие в пространстве E, то полярный* конус M° является действительным подпространством в E* и совпадает с аннулятором*:
M° = M^ = {а Е E* I Ш(х) =0, х Е M} .
Если M С E* — действительное линейное многообразие в сопряженном пространстве E*, то полярный конус M° является действительным подпространством в E и совпадает с аннулятором:
M° = M± = {х Е E I Ша(х) =0, а Е M} .
Пусть J : E ^ E** обозначает естественное вложение пространства E во второе сопряженное пространство E**, т.е. для каждого х Е E функционал J(х) Е E**, определенный равенством J(х)а = а(х) при всех а Е E*, является функционалом Дирака J(х) = 5x.
Лемма 1. Для каждого клина K С E биполярный конус совпадает с замыканием (K°)° = [K] в пространстве E. Для каждого клина K С E* биполярный конус совпадает со слабым* замыканием (K°)° = [K]* в пространстве E*.
Доказательство. Если х Е K, то Ша(х) < 0 при всех а Е K°. Поэтому имеем K С (K°)°. В силу замкнутости (K°)° получим включение [K] С (K°)°. С другой стороны, если х Е [K], то по теореме отделимости выпуклых множеств [1, с. 452] найдется такой функционал а Е K°, что Ша(х) = 1. Следовательно, включение х Е (K°)° невозможно. Отсюда имеем (K°)° = [K].
Если а Е K, то Ша(х) < 0 при всех х Е K°. Поэтому имеем включение K С (K°)°. В силу слабой* замкнутости (K°)° слабое* замыкание [K]* С (K°)°. С другой стороны, если а Е [K]*, то по теореме отделимости выпуклых множеств существует такой функционал в Е K°°, непрерывный в слабой* топологии пространства E*, что Кв(а) = 1. По теореме Банаха [1, с. 456] найдется такой вектор х Е E, что в = J(х). Из условий в Е K°° и Кв (а) = 1 следует, что х Е K° и Ша(х) = 1, т.е. функционал а Е (K°)°. Таким образом, получаем (K°)° = [K]*. □
Норму функционала а Е E* и его субнорму на конусе K будем обозначать соответственно через
||а|| = sup 1а(х)1, \\а\\к = sup Ка(х). xes xeKns
Ясно, что субнорма удовлетворяет неравенству треугольника и является положительно однородным функционалом. В силу линейности функционала а E* имеют место равенства
1а(х)1 = e-iargа(х)а(х) = а(е— arga(x)х) = Ш(е—arga(x)х).
Поэтому норма функционала совпадает с его субнормой ||а|| = ||а||в, взятой по всему пространству Е. Так как действительная Ша(х) и мнимая ^а(х) части функционала а Е Е* связаны между собой равенством Ша(х) = ^а^х) при всех х Е Е, то действительное сопряженное пространство к комплексному нормированному пространству изометрично пространству №Е*.
Величина расстояния от вектора у Е Е до многообразия М С Е, определяемая по формуле
р{у,М) = т£ Уу - хУ ,
хЕМ
называется наилучшим приближением вектора у многообразием М. Вектор хо ЕМ, такой, что Цу — хо|| = р(у,М), есть элемент наилучшего приближения многообразием М в пространстве Е.
Определение. Говорят, что конус K С E обладает свойством существования в пространстве E, если для любого у Е E существует элемент xo Е K наилучшего приближения.
Конус K С E обладает свойством единственности в пространстве E, если для любого y Е E имеется не более одного элемента xo K наилучшего приближения конусом K.
Конус K С E, одновременно обладающий свойствами существования и единственности, называется чебышевским конусом в пространстве E.
Функционал а Е E* называется опорным, если он достигает своей нормы в некоторой точке шара x Е S, т.е. имеет место равенство а(х) = ||а||. Функционал а Е E* называется нормальным, если он достигает своей нормы в единственной точке шара S.
Теорема 1. Пусть конус На = {х Е E | Ша(х) < 0} является полупространством ненулевого функционала а Е E*. Тогда Ha обладает свойством существования тогда и только тогда, когда функционал а достигает своей нормы в некоторой точке шара S, и является чебышевским тогда и только тогда, когда функционал а достигает своей нормы в единственной точке шара S.
Доказательство. Если а(го) = ||а||, ||zo|| = 1, то для произвольного вектора y Е E, №а(у) > 0, полагая xo = у — 2о^а(у)/||а||, имеем Ка(хо) =0 и при всех х Е Ha выполняется неравенство
Цу — хо|| = Ка(у)/||а|| < Ка(у — х)/ЦаЦ < |а(у — х)|/||а|| < Цу — хЦ.
Поэтому величина наилучшего приближения равна р(у,На) = Цу — хо|| = Ка(у)/||а||. Если норма ||а|| достигается в двух точках, то мы получим два элемента наилучшего приближения.
С другой стороны, если у Е E и Ка(у) = 1, то норма функционала вычисляется по формуле
.. .. ^а^у + х) a 11
||а|| = sup —г-г— = sup — —
аеМ)К«(х)=0 \\аУ + х\\ аеШДа(х)=0 И + х\\ ^ЗД=о \\У — х\\ Р(У,На)'
Поэтому если полупространство На обладает свойством существования, т.е. существует элемент хо е На, такой, что Ша(хо) =0 и р(у, На) = \\у — хо\\, то в точке го = (у — х0)/р(у, На) достигается норма функционала, так как Ша(го) = Ша(у)/р(у, На) = ЦаЦ. Если элемент хо наилучшего приближения полупространством На единственный, то функционал а достигает своей нормы в единственной точке шара 5. □
Согласно теореме 1, функционал а е Е* является опорным в том и только в том случае, когда его полупространство На обладает свойством существования. Для того чтобы функционал был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы его полупространство На было чебышевским.
Определение. Множество В С А называется крайним множеством выпуклого множества А в линейном пространстве, если любой отрезок [х, у] = {г = (1— t)x+ty | 0 < Ь < 1} множества А, содержащий внутри себя точку множества В, целиком содержится в В.
В частности, крайнее подмножество множества А, состоящее из одной точки, называется крайней точкой этого множества. Крайние множества клина называются его гранями. Одномерные грани клина называются его крайними лучами.
Лемма 2. Пусть А — выпуклое и слабо*замкнутое подмножество границы шара 5*, имеющее размерность А > п. Тогда существует по крайней мере п +1 линейно независимых крайних точек множества А.
Если, кроме того, ё1шк А = п, то каждая точка множества А является выпуклой комбинацией п + 1 крайних точек множества А.
Доказательство. Так как А С 5* слабо*компактно, то, как известно, в множестве А существует хотя бы одна крайняя точка а1 е А [1, с. 476]. Далее для доказательства применяем индукцию. Предположим, что найдется к < п +1 линейно независимых крайних точек а1, ..., аи множества А. Рассмотрим линейную оболочку Ь = spR{аl, ..., аи} этих точек.
Так как пересечение многообразия Ь с множеством А имеет размерность ё1шк(А П Ь) = к — 1 < п, то существует такой функционал в е А, который не принадлежит линейной оболочке в / Ь. Поскольку Ь С Е* является слабо*замкнутым множеством, то по теореме отделимости любую точку в / Ь можно отделить от Ь некоторой слабо*замкнутой гиперплоскостью. По теореме Банаха [1, с. 456] эта гиперплоскость является регулярной, т.е. существует такой вектор х е Е, что ^в(х) > 0 и 7(х) = 0 при всех 7 е Ь.
В силу слабой* непрерывности функционала Дирака 5х(а) = а(х) и слабой* компактности множества А величина верхней грани supae^ Ша(х) достигается на слабо*замкнутом крайнем подмножестве В. Поскольку множество В также слабо*компактно, то оно содержит крайнюю точку а^+1 е В, которая одновременно будет крайней точкой множества А. Так как а^+1(х) > 0, то а^+1 е Ь. Таким образом, мы получили к + 1 линейно независимых крайних точек, т.е. индукционный шаг выполнен.
Доказательство второго утверждения следует из теоремы Крейна-Мильмана [2, с. 85 и 87], согласно которой компактное выпуклое конечномерное множество является выпуклой оболочкой своих крайних точек, и леммы Каратеодори [2, с. 88], согласно которой конечная выпуклая комбинация точек в п-мерном пространстве может быть преобразована в выпуклую комбинацию не более чем п + 1 точек. □
2. Применение экстремальных множеств. Экстремальные множества функционала а Е Е* и вектора х Е Е определяются соответственно следующими формулами:
А(а) = {х еБ | а(х) = ||а||}, А*(х) = {а Е Б* | а(х) = ||х||}.
По определению А(0) = Б и А*(0) = Б*. Если а = 0, то множество А(а) является выпуклым и слабозамкнутым подмножеством границы шара Б, а если х = 0, то множество А*(х) является выпуклым и слабо*замкнутым подмножеством границы шара Б*. Используя естественное вложение .] : Е ^ Е**, получим равенство А*(х) = А(,1 (х)). Нетрудно проверить, что экстремальные множества А(а) и А*(х) являются крайними множествами шаров Б и Б * соответственно.
Пусть р Е К, введем обозначения: VрК = сп (К — р) — опорный клин в точке р, т.е. коническая оболочка множества К — р; ПрК = VрК П (—^рК) — опорная плоскость в точке р, т.е. наибольшее действительное линейное подпространство, содержащееся в VpK; П^К — аннулятор опорной плоскости ПрК; = {а Е К° | Ка(р) = 0} — полярный конус опорного клина 'VpK; ГаК = кег Ка П К — грань
конуса К, соответствующая функционалу а Е К°.
Лемма 3. Конус К С Е обладает свойством единственности в том и только в том случае, когда для каждой точки р Е К и для всех ненулевых опорных функционалов а Е 'Vp°K пересечение множеств (А(а) — А(а)) П (ПрК) = 0 равно нулю.
Доказательство. Необходимость. Можно считать, что функционал а Е 'Vp°K имеет норму ||а|| = 1. Если множество А(а) состоит из одной точки, то А(а) — А(а) = 0. Предположим, что существуют две различные точки х,у Е А(а), такие, что г = х — у Е ПГ>К. В силу выпуклости множества А(а) имеет место включение х — Ьг Е А(а) при всех 0 < Ь < 1. Поэтому Цх — ЬгЦ = 1 при всех 0 < Ь < 1 и имеет место неравенство
Цх — у|| > Ка(х — у) = Ка(х) — Ка(у) > Ка(х) = а(х) = 1, V Е У1>К.
Отсюда получаем, что Цх—ЬгЦ = р(х, VpК) = 1 при всех 0 < Ь < 1 и, следовательно, справедливо равенство ||(х + р) — (р + Ьг)Ц = р(х + р, К) = 1 при всех 0 < Ь < 1. Осталось заметить, что элементы р + Ьг при достаточно малых Ь > 0 принадлежат конусу К и являются наилучшим приближением вектора х + р конусом К. Таким образом, конус К не обладает свойством единственности.
Достаточность. Предположим, что конус К не обладает свойством единственности. Тогда в силу выпуклости конуса К существуют элемент х Е Е, точка р Е К и ненулевой вектор г Е 'VpK, такие, что
Цх — р — ЬгЦ = р(х,К) = 1, р + Ьг Е К , —1 < Ь < 1.
Опорная плоскость ПГ>К является крайним множеством опорного клина 'VpK, т.е. совпадает с объединением всех отрезков [а, Ь] С 'VpK, которые внутри содержат нуль. Поэтому г Е ПГ>К.
Полагая у1 = х — р — Ьг, получим ||уо || = р(уо, 'VpK) = р(х,К) = 1. По теореме отделимости выпуклых множеств найдется такой функионал а Е 'Vp°K, что Ша(уо) = 1 и ||а|| = 1. В силу того что точка уо Е А(а) и А(а) есть крайнее множество шара Б, мы получим у1 Е А(а) при всех —1 < Ь < 1. Следовательно, уо,у1 Е А(а) и справедливо включение уо — у1 = г Е ПГ>К. Поэтому пересечение (А(а) — А(а)) П(Пг>К) = 0, что противоречит нашему предположению. □
Замечание. В формулировке леммы 3 имеется некоторая избыточность утверждения, поскольку опорные клинья 'VpK и соответствующие им опорные плоскости ПГ>К частично упорядочены по включению. Применяя лемму Цорна, мы можем доказать, что для каждого функционала а Е К° существуют максимальный опорный клин Vp°K и соответствующая максимальная опорная плоскость ПрК, такие, что а Е У°°К и а Е П^К.
Лемма 4. Если конус К С Е конечной размерности К = т не является чебышевским, то существуют точка р Е К, ненулевой вектор х Е П%)К и линейно независимая система а1, ..., ап крайних точек шара Б *, такие, что п < т и выполняются следующие условия:
(a) имеют место равенства а^(х) =0, г = 1, ..., п;
(b) найдутся такие числа а^ Е К, что а = ^П=1 аа Е 'Vp°K.
Доказательство. Так как конус не является чебышевским, то существуют элемент у Е, точка р Е К и ненулевой вектор х Е ПГ>К, такие, что Цу — р + ЬхЦ = р(у,К) = 1 при —1 < Ь < 1. Обозначим через М = 8рк{г, 'VpK} линейную оболочку вектора г = у — р и клина 'VpK.
Применяя теорему отделимости к единичному шару & (г) П М пространства М с центром в точке г и к клину VрК, построим такой функционал в £ М *, что в (г) = ||в|| =1 и в £ . Заметим, что функционал в принадлежит крайнему подмножеству А* (г) границы шара в М*. Так как А* (г) является выпуклой оболочкой своих крайних точек, то найдутся такие крайние точки в1, ■ ■ ■ , вп единичного шара в М*, что
пп
в(у) = ^ biвí (у) при всех V £ М , где ^ ^ = 1, ^ > 0 ■
г=1 í=1
Поскольку в(х) =0 и ||вi || = 1, г = 1, ■■■, п, то при всех —1 < Ь < 1 имеют место неравенства
пп
1 = в(г) = в (г + Ьх) = ^ ^ &в%(г + Ьх) < ^ ЬЦг + ЬхЦ = Цг + ЬхЦ = 1 ■
i=1 í=1
Таким образом, получаем вi(г + Ьх) = 1 при всех —1 < Ь < 1 и г = 1, ■ ■ ■ , п. Отсюда следует, что в^г) =1 и вi (х) = 0 при всех г = 1, ■■■, п. Поскольку аннулятор вектора х является не более чем т-мерным подпространством пространства М*, то мы можем считать, что функционалы в1, ■ ■ ■ , вп линейно независимы и п < т.
Обозначим через Bi совокупность всех продолжений функционала вi из подпространства М на все пространство Е с сохранением его нормы. Тогда Bi — выпуклые и слабо*замкнутые подмножества границы шара &*, и, следовательно, они имеют крайние точки ai £ Bi, г = 1, ■ ■ ■ , п. Так как вi £ М* является крайней точкой шара М* П &*, то Bi является крайним подмножеством границы шара &*. Поэтому функционалы а1, ■ ■ ■ , ап являются крайними точками шара &*. Кроме того, они линейно независимы и, значит, удовлетворяют всем условиям леммы. □
Определение. Будем говорить, что конус К С Е имеет конечную коразмерность в Е, если его полярный* конус К° имеет конечную размерность, при этом полагаем еоё1шкК = К° < ж.
Замечание. Рассмотрим наибольшее подпространство П = КП(—К) и линейную оболочку Ь = 8ркК конуса К. Тогда аннулятор Ь^ С К° С П^ является наибольшим подпространством полярного конуса К°. Так как (К°= П, то по лемме 1 получим [вркК°]* = ПСледовательно, конус К имеет конечную коразмерность только тогда, когда его наибольшее подпространство П имеет конечную коразмерность.
Теорема 2. Если конус К С Е конечной коразмерности обладает свойством существования, то каждый ненулевой функционал а £ К° полярного* конуса является опорным.
Доказательство. Так как наибольшее подпространство П = К П (—К) конуса К совпадает с анну-лятором (К°)х и полярный* конус К° имеет конечную размерность, то по лемме 1 получим равенство 8ркК ° = ППоэтому наибольшее подпространство имеет конечную коразмерность еоё1шкП < ж, а факторпространство имеет конечную размерность ё1шк Е/П < ж.
Пусть а £ К° и ||а|| = 1. Поскольку Ша(П) = 0, то линейный функционал Е(х + П) = Ша(х) корректно определен на факторпространстве Е/П и в силу конечномерности достигает своей нормы в некоторой точке уо + П, принадлежащей единичному шару факторпространства Е/П, т.е. имеют место равенства Е(уо + П) = ЦЕ||, ||уо + П|| = р(уо,П) = 1 [2, с. 40].
Используя свойство существования конуса, выберем точку хо £ К так, что р(уо,К) = ||уо — хо||. Поскольку Ша(уо) = Е(уо + П) = ЦЕ|| = ||а||в = ||а|| = 1, то уо £ К, и мы получаем
1 = р(уо,П) > р(уо,К) = ||уо — хо| > |а(уо — хо)| > Ка(уо — хо) > Ка(уо) = 1-
Следовательно, в этих неравенствах имеют место знаки равенства. Отсюда Ка(хо) =0 и, значит, ||а|| = Ка(уо — хо) = а(уо — хо), при этом норма ||уо — хо|| = р(уо, П) = 1. □
Теорема 3. Конус К С Е конечной коразмерности обладает свойством единственности тогда и только тогда, когда при всех р £ К и ненулевых опорных функционалах а £ выполняется неравен-
ство ё1шк А(а) < пр и любая линейно независимая система крайних точек множества А(а) линейно не зависит от опорной плоскости ПрК, где пр = еоё1шкПрК.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что имеет место неравенство ё1шк А(а) > пр для некоторого ненулевого опорного функционала а £ Vр°К. Мы можем считать, что этот функционал удовлетворяет условию ||а|| = 1. Рассмотрим подпространство М С врк{А(а) — А(а)} размерности ё1шк М = пр. Так как размерность М равна коразмерности ПрК и оба они лежат в гиперплоскости кег Ка, то пересечение М П ПрК = 0 не равно нулю, что противоречит лемме 3. Таким образом, доказано неравенство ё1шк А(а) < пр.
Пусть А(а) = к. Рассмотрим линейно независимую систему крайних точек {егмножества А(а) и предположим, что она линейно зависит от ПрК. Поскольку имеют место равенства а(ег) = 1 и ПрК С кег Ка, то найдутся такие числа аг Е М, не все равные нулю, что
к+1 к+1 к+1 х = ^ агег Е ПРК, Ма(х) = ^ агМа(ег) = ^ аг = 0.
г=1 г=1 г=1
Разбивая эту сумму на две, соответствующие положительным и отрицательным числам аг, мы получим х =^2 агег + ^ агег = г (у — г), где Ь = ^ аг и у, г Е А(а).
«¿>0 а,1 <0 «¿>0
Отсюда следует включение х/Ь = у — г Е (А(а) — А(а)) П (ПрК), что невозможно по лемме 3. Таким образом, необходимость утверждения теоремы доказана.
Достаточность. Если конус К не обладает свойством единственности, то по лемме 3 получим (А(а) — А(а)) П (ПрК) = 0 для некоторых а Е и р Е К. Поэтому найдутся такие у, г Е А(а), что х = у — г Е ПрК и х = 0. Пусть А(а) = к, тогда вектор х является линейной комбинацией к + 1 линейно независимых крайних точек множества А(а). Следовательно, эти крайние точки линейно зависят от ПрК и мы получили противоречие. □
Замечание. Пусть {Мвг },= — базис аннулятора ПрК. Тогда линейная независимость системы векторов {е^}к=11 от ПрК равносильна тому, что ранг матрицы {Мвг(е^)}Пр=\1 равен к + 1 < пр.
3. Мажоранты ограниченных функционалов. Рассмотрим общую проблему единственности мажоранты для линейных функционалов в случае произвольного конуса К С Е. Требуется выяснить, при каких условиях каждый функционал а Е Е* имеет единственную мажоранту на конусе К. Как мы докажем здесь, эта проблема тесно связана с вопросами единственности наилучшего приближения в сопряженном пространстве Е*.
Определение. Функционал а Е Е* называется мажорантой функционала а Е Е* на конусе К С Е, если Ш.а(х) < Ша(х) при всех х Е К и ЦаЦ = ЦаЦк.
Будем говорить, что конус К С Е обладает свойством единственности*, если каждый функционал а Е Е* имеет не более одной мажоранты а на конусе К.
Будем говорить, что конус К С Е является чебышевским*, если каждый функционал а Е Е* имеет единственную мажоранту а на конусе К.
В случае, если конус К = М является линейным подпространством в Е над полем действительных или комплексных чисел, неравенство Ша(х) < Мв(х) равносильно равенству а(х) = в(х) на подпространстве М. Следовательно, по теореме Хана-Банаха для каждого функционала а Е Е* существует мажоранта а Е Е* на подпространстве М.
Теорема 4. Для каждого функционала а Е Е* существует мажоранта а Е Е* на конусе К С Е и имеют место равенства ЦаЦк = р(а,К°) = ЦаЦ.
Конус К С Е обладает свойством единственности* тогда и только тогда, когда его полярный* конус К° обладает свойством единственности в пространстве Е*.
Доказательство. Пусть й = р(а,К°) — наилучшее приближение функционала а конусом К°. Так как конус К° слабо*замкнут, то множества Мп = {в Е К° | ||а — в|| < й + 1/п} являются ограниченными и слабо*замкнутыми в Е*. Поэтому они слабо*компактны. Хорошо известно, что убывающая последовательность компактов М1 ^ М2 ^ М3 ^ ... имеет непустое пересечение: Р|Мп = 0. Следовательно, существует такой функционал в Е К°, что ||а — в|| ^ й +1/п при всех п > 1. Отсюда получаем равенство ||а — в|| = й, и, значит, функционал в является наилучшим приближением функционала а конусом К°.
Покажем, что функционал а = а — в является мажорантой функционала а и справедливо равенство ЦаЦк = р(а,К°) = ||а||. Так как в Е К°, то Ш.а(х) < Ш.а(х) — Ш.в(х) при всех х Е К и, значит,
ЦаЦк < Ца — вЦк < ЦМа — ЩЦ < Ца — вЦ = р(а, К°) = .
С другой стороны, пусть ие = а + (й — е)Б*, где 0 < е < й, обозначает шар радиуса й — е с центром в точке а, не пересекающийся с конусом К°. Поскольку шар ие слабо*компактен, а конус К° слабо*замкнут, то по теореме отделимости выпуклых множеств [1, с. 452] существует слабо*замкнутая гиперплоскость в Е*, разделяющая эти выпуклые множества. Так как каждая слабо*замкнутая гиперплоскость в пространстве Е* задается некоторым слабо*непрерывным функционалом, то по теореме Банаха [1, с. 456] найдется такой вектор х Е Е, ||х|| = 1, что ^7(х) < 0 при всех 7 Е К° и ^7(х) > 0 при всех 7 Е ие.
Из первого неравенства получается включение х £ (К°)° = К. Применяя теорему Хана-Банаха [1, с. 74], выберем линейный функционал £ £ &* так, чтобы £(х) = —1. Тогда ( = а + (! — е)£ £ ие и из второго неравенства вытекает Ша(х) > ! — е. Отсюда следует, что ЦаЦк ^ р(а,К°) = ||о||. Таким образом, существование мажоранты доказано.
В силу равенства ||о|| = ||а — вЦ = р(а,К°) единственность мажоранты следует из единственности наилучшего приближения и наоборот. Поэтому конус К обладает свойством единственности* тогда и только тогда, когда конус К° обладает свойством единственности в пространстве Е*. □
Следствие 1. Конус К С Е является чебышевским* в пространстве Е тогда и только тогда, когда его полярный* конус К° является чебышевским в пространстве Е*.
В том случае, когда конус является линейным подпространством, это следствие имеет следующую формулировку: каждый функционал f £ Ь*, определенный на линейном подпространстве Ь С Е, тогда и только тогда имеет единственное продолжение с сохранением нормы на пространство Е, когда его аннулятор* Ь± является чебышевским подпространством в Е*. Это утверждение доказано Фелпсом [3]. Отметим геометрическую интерпретацию условия единственности. Любой луч М+а с направляющим вектором а £ Е* является чебышевским в Е* тогда и только тогда, когда граница шара & * не содержит отрезков, т.е. тогда и только тогда, когда Е* строго нормировано. Следующее утверждение в случае линейных подпространств известно как теорема Тейлора-Фогеля [3].
Следствие 2. Для того чтобы каждый конус К С Е был чебышевским*, необходимо и достаточно, чтобы сопряженное пространство Е* было строго нормированным.
Необходимость этого утверждения следует из теоремы 4, поскольку любой луч М+а является чебышевским в Е* тогда и только тогда, когда каждое полупространство На является чебышевским* в Е. С другой стороны, если для некоторого конуса К и некоторого функционала а Е* найдутся такие две мажоранты, что Ца1 Ц = Цо2Ц = ЦаЦк = 1, то ||(1 — Ь)а1 + Ьа2Ц = 1, 0 < Ь < 1, и, значит, функционалы вида а = (1 — Ь)а1 + Ьа2 являются мажорантами а. Следовательно, весь отрезок [а1, 02] принадлежит границе шара & *, т.е. пространство Е* не является строго нормированным.
Следствие 3. Конус К С Е в рефлексивном пространстве Е является чебышевским тогда и только тогда, когда полярный* конус К° является чебышевским* в пространстве Е*.
В самом деле, по условию рефлексивности имеем Е** = 1(Е). Так как конус выпуклый и замкнутый, то он будет слабозамкнутым в Е [1, с. 457], а его образ 1(К) будет слабо*замкнутым в Е**. Поскольку имеет место равенство К° = 1(К)°, то по лемме 1 получим К°° = 1(К). Таким образом, из теоремы 4 вытекает, что конус К° является чебышевским* в пространстве Е* тогда и только тогда, когда его полярный* конус К°° = 1(К) является чебышевским во втором сопряженном пространстве Е**. В силу рефлексивности это равносильно тому, что конус К является чебышевским в пространстве Е.
Для того чтобы дать характеристику чебышевских конусов, обладающих свойствами существования и единственности, введем следующие определения. Функционал ф £ Е** называется регулярным, если он принадлежит 1(Е), т.е. существует такой элемент х £ Е, что ф(а) = а(х) при всех а £ Е*. Таким образом, регулярный функционал, соответствующий элементу х £ Е, является функционалом Дирака ф = 5Х. Частный случай следующей теоремы для подпространств был установлен Зингером [4] и Гаркави [5].
Теорема 5. Конус К С Е является чебышевским тогда и только тогда, когда каждый регулярный функционал ф £ Е** имеет единственную регулярную мажоранту ф на конусе К°. В частности, условия существования и единственности для конуса К эквивалентны соответственно условиям существования* и единственности* регулярной мажоранты для полярного* конуса К°.
Доказательство. Покажем, что р(х,К) = р(5Х,К°°). Пусть ! = р(х,К) > 0. Так как 1 (К) С К°°, то имеет место неравенство р(5Х,К°°) < с!. С другой стороны, по теореме отделимости, примененной к конусу К и шару радиуса с! с центром в точке х, найдется такой функционал а £ К°, что Ша(х) = !. Тогда его норма ||а|| = 1. Поэтому с! = К^Х(а) < К^Х(а) — Кф(а) < ||£Х — фЦ для любого ф £ К°°. Следовательно, имеет место равенство р(5Х ,К°°) = с!.
Необходимость. Пусть р(х,К) = Цх — уЦ, где у £ К. Тогда по доказанному р(5Х,К°°) = ||^Х-УЦ и, значит, функционал 5Х-у будет мажорантой для 5Х на конусе К°. При этом если существуют две различные регулярные мажоранты 5Х1 и ЬХ2 функционала 5Х на конусе К°, то р(5Х,К°°) = Ц5Х1Ц = Ц5Х2 Ц = Цг1 Ц = Цг2Ц = р(х, К) ■ Полагая у1 = х — г1 и у2 = х — г2, получим 5У1, 5У2 £ К°°. Так как конус К замкнут, то по лемме 1 у1,у2 £ К, и, значит, мы имеем два различных элемента наилучшего приближения для х.
Достаточность. Пусть Ьх есть регулярная мажоранта для 5Х на конусе К°. Тогда имеем 5у £ К°°, где у = х — г, и в силу замкнутости конуса получим у £ К. Следовательно, имеют место равенства р(5Х,К°°) = Ц5Х Ц = Цх — уЦ = р(х,К). Точно так же, как и выше, для доказательства единственности наилучшего приближения достаточно использовать единственность регулярной мажоранты. □
Лемма 5. Конус К С Е конечной размерности обладает свойством единственности* в том и
только в том случае, когда для всех функционалов а Е К° и для всех ненулевых векторов х Е ГаК пересечение множеств (А*(х) — А*(х)) П (ПаК°) равно нулю.
Доказательство. По теореме 5 конус К обладает свойством единственности* в пространстве Е тогда и только тогда, когда полярный конус К° обладает свойством единственности в сопряженном пространстве Е*. Поэтому в силу леммы 3 это равносильно тому, что для всех а Е К° и для всех ненулевых опорных функционалов ф Е ° пересечение множеств равно нулю: (А(ф) — А(ф)) П (ПаК°) = 0. Так как конус К является конечномерным, то К°° = 1(К) и, значит, имеет место равенство
Ч°°К ° = [фЕ К °° | Щ(а) =0} = [1 (х) | хЕК, Ш(х) = 0} = 1 (ГаК).
Поскольку шар Б * слабо*компактен, то любой функционал 1 (х) является опорным. Учитывая, кроме того, равенство А*(х) = А(1 (х)), заключаем, что конус К обладает свойством единственности* тогда и только тогда, когда для всех а Е К° и для всех ненулевых векторов х Е Га К пересечение множеств равно нулю: (А* (х) — А*(х)) П (ПаК°) = 0. □
Теорема 6. Конус К С Е конечной размерности обладает свойством единственности* в том и только в том случае, когда для всех а Е К° и ненулевых векторов х Е ГаК выполняется неравенство А*(х) < та и любая линейно независимая система крайних точек множества А* (х) линейно не зависит от опорной плоскости ПаК°, где та = соё1шкПаК
Доказательство. Необходимость. Предположим, что конус К обладает свойством единственности*, однако имеет место неравенство А*(х) > та для некоторого функционала а Е К° и ненулевого
вектора х Е ГаК. Можно считать, что норма вектора ||х|| = 1. Для доказательства первого утверждения теоремы достаточно показать, что при условии ё1шк А*(/) > та не выполняется утверждение леммы 5.
Рассмотрим действительное подпространство М С 8рк(А*(х) — А*(х)) размерности ё1шк М = та и заметим, что при всех £ = Ь(п — (), где п,( Е А*(х) и Ь ЕЙ, выполняется равенство
£(х) = 1(ф) — С (х))= Ь(1 — 1) = 0, £еМ.
Поэтому имеем включение М С кег К1 (х). С другой стороны, каждый функционал опорной плоскости 7 Е ПаК° представляется в виде 7 = Ь(@ — а), где в Е К° и Ь > 0, причем функционал также принадлежит ПаК°. Так как х Е ГаК, то а(х) = 0, и, следовательно, имеет место неравенство
К7(х) = Ж(в(х) — а(х)) = №0(х) < 0, ^Е ПаК° .
Поскольку ПаК° является действительным подпространством, то К7(х) = 0 при всех 7 Е ПаК°. Отсюда получаем включение ПаК° С кег (х). Так как размерность М совпадает с коразмерностью ПаК° и оба эти подпространства лежат в гиперплоскости кег (х), то их пересечение М П ПаК° = 0. Следовательно, по лемме 5 конус К не обладает свойством единственности*.
Пусть ётк А*(х) = к. Рассмотрим произвольную линейно независимую систему крайних точек [вгмножества А*(х) и предположим, что она линейно зависит от ПаК°. Поскольку вг(х) = 1 и ПаК° С кег (х), то найдутся такие числа аг Е Й, не все равные нулю, что
к+1 к+1 к+1 £ = ^ агвг Е ПаК° , £(х) = ^ агвг(х) = ^ ^ = 0 .
г=1 г=1 г=1
Разбивая эту сумму на две, соответствующие положительным и отрицательным числам аг, мы получим £ =^2 агвг а,= Ь(п — (), где Ь аг и п,(ЕА*(х).
«¿>0 а2 <0 «¿>0
Отсюда следует, что £/Ь = п — ( Е (А*(х) — А*(х)) П (ПаК°), и мы пришли к противоречию с леммой 5. Таким образом, необходимость утверждения теоремы доказана.
Достаточность. Предположим, что условие теоремы выполнено, однако конус К не обладает свойством единственности*. Тогда по лемме 5 существуют функционал а Е К° и ненулевой вектор х Е ГаК, такие, что пересечение (А*(х) — А*(х)) П (ПаК°) = 0. Поэтому найдутся такие две различные точки П, ( Е А*(х), что £ = п — ( Е ПаК°. Пусть ё1шк А*(х) = к, тогда £ является линейной комбинацией к + 1 линейно независимых крайних точек множества А*(х). Следовательно, они линейно зависят от ПаК° и мы получили противоречие с условием теоремы. □
Замечание. Пусть конус K является абсолютно замкнутым, т.е. все опорные клинья VpK и опорные плоскости ПрК замкнуты. Если p £ K является окруженной точкой грани ГаK, то опорная плоскость ПаК° полярного конуса совпадает с аннулятором П^-K опорной плоскости для каждого функционала а £ K° [6]. В этом случае коразмерность naK° равна размерности опорной плоскости npK, т.е. справедливо равенство codimRnaK° = dimR npK.
4. Характеристика чебышевских конусов конечной размерности. Пусть далее множество X обозначает компактное хаусдорфово топологическое пространство. Рассмотрим пространство C(X) непрерывных функций f : X ^ F на компакте X с чебышевской нормой
\\f II = sup \f(x)\, f £ C(X).
xex
Для каждого функционала а £ C* (X) в силу теоремы Рисса-Маркова [1, с. 288] существует такая единственная регулярная борелевская мера v со значениями в поле F, для которой
a(f) = / f (x) dv, f£ C(X), \\а\\ = \v\(X) x
IX
где V| — вариация меры V. Пусть V = V — V2) + ¿(^з — ^4) — жорданово разложение меры V [1, с. 113], где VI — некоторые неотрицательные регулярные борелевские меры. Определим борелевскую меру т = V! + V2 + Vз + V4, тогда VI абсолютно непрерывна относительно меры т. По теореме Радона-Никодима [1, с. 194] существуют такие суммируемые функции р^ £ ¿1 (т), что имеет место равенство = р^т.
Рассмотрим борелевскую функцию р = |(р1 — р2)+&(рз — Р4)|. Она принадлежит пространству ^(т) и почти всюду положительна относительно меры т. Поэтому суммируемая функция ф = (р1 — р2)/р + ¿(рз — р4)/р имеет модуль, равный единице (|ф| = 1) почти всюду относительно меры т. Функция ф называется аргументом меры V, а неотрицательная регулярная борелевская мера = | = рс!т — модулем или вариацией меры V. Мера (IV = ф!ц называется представляющей мерой для функционала а £ С*(Х).
Лемма 6. Функционал а £ С*(Х) достигает своей нормы в пространстве С(X), т.е. а(/) = ||а||, где функция / £ С(X) и Ц/Ц = 1, в том и только в том случае, когда аргумент ф его представляющей меры (1ь> = (рйц совпадает почти всюду относительно меры ц с непрерывной функцией д = /.
Доказательство. Докажем, что норма ||а|| = ц(Х). Неравенство ||а|| < Ц-(Х) очевидно. С другой стороны, так как множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве ¿1(р) [1, с. 324], то для любого е > 0 найдется такая функция ф £ С(X), что Цф — фЦь1 < е2. Отсюда по неравенству Чебышева
/л[х £ X | |ф(х) — ф(х)| > е} < (1/е) |ф(х) — ф(х)| < е ■
]х
Положим Н(х) = ф(х), если |ф(х)| < 1, и Н(х) = ф(х)/|ф(х)|, если |ф(х)| > 1. Так как |ф(х)| = 1 почти всюду относительно меры ц, то тем более получим ¡л,{х £ X | |Л,(х) — ф(х)| > е} < е. Поэтому норма функционала оценивается снизу величиной
\a(h) | =
h(x)p(x) d
x
p(x)p(x) d
x
- \h(x) - p(x)\d¡1 > ¡(X) - 2e - e^(X). x
Таким образом, норма \\а\\ = ¡(X). Если аргумент представляющей меры совпадает почти всюду относительно меры ц с непрерывной функцией д(х) = <ф(х), то а(~д) = ц(Х) = ЦскЦ. Обратно, если последнее условие выполнено для некоторой функции g £ C (X), у которой модуль \g(x)\ < 1, то
а(д) = / g(x)ip(x) dfx = / \g(x)ip(x)\dfx = fx(X) = \\а\ xx
Так как |д(х)ф(х)| < 1 почти всюду относительно меры ц, то ^(д(х)ф(х)) = |д(х)ф(х)| = 1 почти всюду относительно меры ц, и, значит, д(х) = ф(х) почти всюду относительно меры ц. □
Замечание. Если аргумент ф представляющей меры функционала а £ С) непрерывен на носителе 8ирр(^), то, применяя теорему Брауэра-Урысона [1, с. 133] о продолжении непрерывных функций к действительной и мнимой части ф, получим функцию ф £ С(X). Затем, полагая д(х) = ф(х), если |ф(х)| < 1, и д(х) = ф(х)/|ф(х)|, если |ф(х)| > 1, продолжим ф до непрерывной функции д £ С(X) с
нормой ||g|| = 1. Таким образом, в этом случае функционал достигает своей нормы на функции / = ~д, т.е. функционал а является опорным.
Теорема 7. Конус К С C(X) конечной размерности является чебышевским* тогда и только тогда, когда для каждого функционала а Е K° и для каждой ненулевой функции f Е ГаК выполняются следующие два условия:
(a) экстремальное множество ext(f) = {x Е X \ \f (x)| = \\f ||} имеет не более чем та точек;
(b) система функционалов {sign /(ж) Sx | x E ext(/)} линейно не зависит от ПаК°, где та = codimRiTQ,i;i0 — коразмерность опорной плоскости и sign/(ж) = |/(ж)|//(ж).
Доказательство. Необходимость. Хорошо известно, что крайними точками единичного шара S* сопряженного пространства C* (X) с точностью до множителя, по модулю равного единице, являются функционалы Дирака 5x(f) = f (x) [1, с. 478]. Пусть а Е К° и ненулевая функция f Е ГаК имеет норму
= 1. Для каждой экстремальной точки ж G ext(/) функционал (Зх = sign/(ж) 5Х является крайней точкой множества A*(f). Если xi, ..., Xk Е ext(f) — различные точки, то функционалы (3Х1, ..., f3Xk линейно независимы. Поэтому в случае, если число экстремальных точек cardext(f) > та, размерность dimK A*(f) > та.
Пусть М С spR(A*(f) — A*(f)) — действительное подпространство размерности dimR М = та. Заметим, что поскольку при всех £ = t(n — Z), где п, Z Е A* (f) и t > 0, выполняется равенство
Ш) = t(n(f) — Z(f)) = t(l —1) = 0, £еМ,
то имеет место включение М С ker (f). С другой стороны, каждый функционал Y Е ПаК° может быть представлен в виде j = t(P — а), где в Е К° и t > 0, причем функционал —J также принадлежит ПаК°. Так как f Е ГаК, то Ша(/) = 0. Следовательно, при всех t > 0 имеет место неравенство
ад) = t(w(f) — ад)) = жр (f) < 0, ye ПаК °.
Отсюда №j(f) = 0 при всех y Е ПаК°, и мы получаем включение ПаК° С ker (f). Поскольку размерность М совпадает с коразмерностью ПаК° и оба они лежат в гиперплоскости ker (f), то их пересечение М П ПаК° = 0. Таким образом, в силу леммы 5 конус К не обладает свойством единственности*.
Предположим теперь, что система функционалов {0Х \ x Е ext(f)} линейно зависит от ПаК°. Так как имеют место равенства 0Х(f) = 1 при всех x Е ext(f), а также справедливо включение ПаК° С ker (f), то найдутся такие числа аХ Е R, не все равные нулю, что
£ = ах0х ЕПаК° , £(/)= £ ахвг(I)= ах = 0.
х£ехЬ(/) х£ехЬ(/) х£ехЬ(/)
Разбивая эту сумму на две, соответствующие положительным и отрицательным числам ах, мы получим £ = ахвх =^2 ахвх ахвх = Ь(п — С), где Ь ах и ц,(еА*(1 ).
х£ехЬ(/) ах>0 ах<0 ах >0
Следовательно, ненулевой функционал £/Ь = п — ( Е (А*(1) — А*(1)) П ПаК°, и в силу леммы 5 конус К не обладает свойством единственности*.
Достаточность. По теореме 4 конус К° обладает свойством существования в пространстве С*(Х). Если конус не обладает свойством единственности, то по лемме 5 существуют два таких функционала П, ( Е А*(1), что £ = п — ( Е (А*(1) — А* (I)) П ПаК°. Так как функционалы п и ( являются выпуклой комбинацией крайних точек 0х множества А*(1), то система функционалов [0х | х Е ех1(1)} линейно зависит от опорной плоскости ПаК°, что противоречит второму условию (Ь) теоремы. □
Определение. Пусть заданы конус К С С(X) конечной размерности и некоторая точка р Е К. Будем говорить, что ненулевая функция д Е ПрК имеет полярные нули д(хг) = 0, г = 1, ..., п, на компакте X, если найдется такая ненулевая линейная комбинация функционалов Дирака а = ^П=1 сг$х1, сг Е F, которая принадлежит полярному* конусу а Е Vр°К.
Рассмотрим определение в случае, когда конус является подпространством Ь С С(X) размерности ёт^ Ь = п. Тогда опорные клинья и опорные плоскости к подпространству Ь совпадают с Ь, а все полярные* конусы совпадают с аннулятором Докажем, что функционалы Дирака 5х1, ..., 5хп, где х1, ..., хп — различные точки компакта X, линейно зависят от подпространства Ь^ над полем F тогда и только тогда, когда найдется ненулевая функция д Е Ь, имеющая п нулей д(хг) =0, г = 1, ..., п.
Обозначим через М = 8рг{$х1, ..., 5хп} линейную оболочку функционалов Дирака в сопряженном пространстве С * (X). Функционалы Дирака линейно зависят от подпространства Ь^ в том и только в том случае, когда найдется ненулевая линейная комбинация а = ^П=1 аг5х1, аг Е F, которая аннулирует Ь, т.е. справедливо неравенство М П Ь^ = 0. Так как М имеет размерность п и Ь имеет размерность п, то это равносильно тому, что Ь П М± = 0 [6, с. 27]. Для того чтобы выполнялось последнее условие, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая ненулевая функция д Е Ь, для которой 5х1 (д) = д(хг) = 0, г = 1, ..., п.
Таким образом, некоторая ненулевая функция из подпространства Ь размерности ёт^ Ь = п имеет полярные нули в том и только в том случае, когда соответствующая система функционалов Дирака линейно зависит от аннулятора Ь^ над полем Р, ив том и только в том случае, когда существует ненулевая функция из Ь, имеющая не менее чем п нулей.
Теорема 8. Конус К С С(X) конечной размерности является чебышевским в том и только в том случае, когда для любой точки р Е К каждая ненулевая функция из опорной плоскости д Е ПрК не имеет полярных нулей на компакте X.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что существуют точка р К и ненулевая функция д Е ПрК, которая имеет полярные нули д(хг) = 0, г = 1, ..., п. По определению существует такой ненулевой функционал вида а = ^П=1 сгSXi, где сг Е Р, который принадлежит а Е Vр°К и имеет норму 1|а|| =^П=1 1сгI = 1. При этом его действительная часть Ка аннулирует опорную плоскость ПрК.
Применяя теорему Брауэра-Урысона [7, с. 133], можно построить такую функцию Н Е С(X), которая имеет норму ||Н|| = 1 и удовлетворяет следующим условиям:
sign а , если Сг ф 0 ;
h(xi) = < ' ' где signer = |ci|/ci и i = l,...,n.
I 0, если Ci = 0,
Очевидно, что справедливо равенство а(К) = \\а\\ = 1. Определим функцию f Е C(X) по формуле /(ж) =p(x) + h(x)( 1 - \д(х)\), тогда f(x{) -р(х{) = signci; если а ф 0, и f(x{) -р(х{) = 0, если а = 0, при этом \\f — p\\ = 1. Так как при всех 0 < t < 1 и x Е X мы имеем неравенства
\f(x) — p(x) — tg(x)\ < \h(x)\(1 — \g(x)\) + \tg(x)\ < (1 — \g(x)\) + \g(x)\ = 1,
то \\f — p — tg\\ = 1. С другой стороны, для любой функции u Е VрК имеют место неравенства
\\f — p — u\\ > — p — u) > — p) = Ш&(1 — Ы)) = = 1.
Отсюда \\f — p — tg\\ = p(f — p, VРК) = 1 при всех 0 < t < 1. Таким образом, функция f — p имеет элементы наилучшего приближения вида tg, 0 < t < 1, опорным клином 'VpK. Следовательно, при достаточно малых t > 0 элементы p + tg Е К будут наилучшим приближением функции f.
Достаточность. Если конус К не является чебышевским в пространстве C(X), то в силу леммы 4 существуют точка p Е К, ненулевая функция g Е ПрК и линейно независимая система функционалов а1, ..., ап, которые являются крайними точками единичного шара в сопряженном пространстве C*(X), и выполняются следующие условия:
(a) имеют место равенства аi(g) =0, i = 1, ..., n;
(b) найдутся такие ai Е R, что а = Y^n=i а%аг Е Ур°К.
Как известно, каждая крайняя точка единичного шара C* (X) с точностью до множителя, по модулю равного единице, является функционалом Дирака. Следовательно, в силу условия (а) существуют такие точки xi Е X, что g(xi) =0, i = 1, ..., n. При этом в силу условия (b) некоторая ненулевая линейная комбинация функционалов Дирака а = ^n=i Ci§Xi Е 1Vp°K, где Ci Е F. Таким образом, мы имеем систему полярных нулей ненулевой функции g Е ПрК, что невозможно по условию. □
Эта теорема имеет достаточно общий характер. Например, применяя ее, легко можно вывести теоремы Хаара и Колмогорова [8]. В части условия единственности она распространяется также на конусы бесконечной размерности (см. ниже теорему 9). В случае, когда конус является бесконечномерным подпространством в C (X), теорему 9 в другой формулировке доказал Зингер [9], а затем обобщил Фелпс [10].
Пусть функционал а Е C*(X) и dv = ^dfx — соответствующая представляющая мера этого функционала а, заданная на борелевских множествах компакта X. Носителем supp (ц) меры ц является наименьшее замкнутое множество, вне которого мера равна нулю. Носители функционала а и меры ц совпадают: supp (а) = supp^). Далее через zero(f) будем обозначать множество нулей функции f, т.е. zero(f) = {x Е X \ f (x) =0}.
При этих обозначениях можно сказать, что ненулевая функция д £ ПрК имеет полярные нули на компакте X в том и только в том случае, когда существует ненулевой функционал а £ К, для которого вирр(а) С zero(g). Это определение, очевидно, согласуется с указанным ранее.
Теорема 9. Конус К С С(X) не обладает свойством единственности тогда и только тогда, когда существуют точка р £ К, ненулевой опорный функционал а £ и ненулевая функция д £ ПрК, для
которых имеет место включение вирр (а) С zero(g).
Доказательство. Необходимость. Если конус К не обладает свойством единственности, то по лемме 3 существуют точка р £ К и ненулевой опорный функционал а £ К, такие, что пересечение множеств (А(а) — А(а)) П (ПрК) = 0. Обозначим через ^ = ф!^ представляющую меру функционала а. Мы можем считать, что норма ||а|| = ¡л^) = 1.
По предположению найдутся две такие различные функции /1,// £ А(а), что выполняется включение д = (/1 — /2)/2 £ ПрК. В силу выпуклости множества А(а) мы получаем включение / = (/1+/2)/2 £ А(а). Поэтому Ц/Ц = Ц/ + дЦ = Ц/1Ц =1 и имеют место равенства
а(/) = / /(х) ф(х)!ц, = »(X) = 1, а(/ + д)= {/(х)+д(х)} ф(х)ф = ) = 1 ■ ■)х .)х
Применяя лемму 6, получим равенство /(х) = ф(х) = /(х) + д(х) почти всюду относительно меры ц. Отсюда д(х) = 0 почти всюду относительно меры ц. Так как функция д непрерывна, то д(х) = 0 при всех х £ вирр(а). Таким образом, мы имеем включение вирр(а) С zero(g).
Достаточность. Рассмотрим ненулевой опорный функционал а £ К и такую ненулевую функцию д £ ПрК, для которой вирр (а) С zero(g). Мы можем считать, что нормы ||а|| = ||д|| = 1. Пусть ^ = ф!^ — представляющая мера функционала а. Так как данный функционал а является опорным, то по лемме 6 аргумент ф(х) его представляющей меры совпадает почти всюду относительно меры ц с непрерывной функцией Н(х), у которой норма ||Л,|| = 1.
Определим непрерывную функцию /(х) = Н(х)(1 — |д(х)|). Тогда почти всюду относительно меры ^ выполняется равенство /(ж) = ¡ъ{х) = ф(х) и при всех х € X имеют место неравенства
/(х^ < 1 — |д(х)| < 1, /(х)+д(х)| < 1 — |д(х)| + |д(х)| = 1 ■
Отсюда ||/|| = ||/ +5*|| = 1. Так как а(/ + д) = ск(/) = а(К) = 1, то /, / + д е А(а). Следовательно, ненулевая функция д £ ПрК принадлежит пересечению множеств: д £ (А(а) — А(а)) П (ПрК). Таким образом, по лемме 3 конус К не обладает свойством единственности. □
Следствие 4. Пусть конус К С С(X) обладает свойством существования. Если для всех р £ К и для каждого ненулевого опорного функционала а £ К выполняется равенство вирр (а) = X, то конус К является чебышевским.
Это непосредственно вытекает из теоремы 9, так как не существует такой ненулевой функции д ПрК, у которой множество нулей zero(g) совпадает с компактом X.
Следствие 5. Пусть конус На = {/ £ С(X) | Ша(/) < 0} является полупространством ненулевого функционала а £ С * (X). Тогда конус На является чебышевским в том и только в том случае, когда функционал а является опорным и выполняется равенство вирр(а) = X.
Достаточность этого утверждения вытекает из следствия 4, а необходимость первого условия получается из теоремы 1. Докажем необходимость второго условия. Если существует ненулевой опорный функционал а £ С), такой, что множество X \ вирр(а) непусто, то, применяя теорему Брауэра-Урысона, можно построить такую ненулевую непрерывную функцию д £ С(X), что выполняется включение вирр(а) С zero(g). Тогда д £ ker Ка и, значит, в силу теоремы 9 конус К не является чебышевским.
5. Характеристика чебышевских конусов конечной коразмерности. Вначале рассмотрим свойства конусов К С С(X) конечной коразмерности, которые обладают свойством единственности, а затем выясним их свойства существования. Доказанные ниже теоремы 10 и 11 обобщают результаты Фелпса [10] и Гаркави [11], полученные ими для действительных подпространств в С(X) конечной коразмерности.
Для каждой точки р £ К обозначим через пр = ш^Шк^К коразмерность опорной плоскости ПрК. Далее будем обозначать через N число N = пр — 1 в действительном случае F = М и число N = [(пр — 1)/2] в комплексном случае F = С. Характеристическая функция множества А С X обозначается через ха.
Теорема 10. Конус К С С(X) конечной коразмерности обладает свойством единственности тогда и только тогда, когда для всех р £ К и для каждого ненулевого опорного функционала а £ ^К выполняются следующие условия:
(a) множество zero(а) = X \ вирр (а) содержит не более чем N точек;
(b) система функций {хх I х € zero(а)} линейно не зависит от ПрК над полем F. Доказательство. Пусть р € К — произвольная точка конуса и функционал а € К. В силу
теоремы 3 конус К обладает свойством единственности в том и только в том случае, когда выполняется неравенство А(а) < пр и система крайних точек множества А(а) линейно независит от ПрК. Так как для каждого ненулевого опорного функционала а € ^р^К с нормой ||а|| =1 и для всех функций / € А(а) имеют место соотношения
где г1и = <рг1ц — представляющая мера функционала а, то функция /(ж) совпадает с функцией Тр(х) почти всюду на компакте X относительно меры ¡л. Поэтому функцию Тр(х) можно считать непрерывной на носителе вирр (а) и равной нулю на множестве zero(а).
Обозначим через ка количество точек множества zero(a). Крайними точками множества А(а) являются функции Тр + ^жегего(а) €хХх> гДе = 1, а само множество А(а) совпадает с выпуклой оболочкой этих функций. Его размерность равна числу ка в действительном случае и числу 2ка в комплексном случае. Отсюда количество точек ка < Л?р. Так как функция Тр удовлетворяет условию а(Тр) = 1 и Ко; € П^К, то независимость системы крайних точек множества А(а) от ПрК равносильна тому, что система функций {хх I х € zero(a)} не зависит от ПрК над полем F. Таким образом, утверждение теоремы 10 вытекает из теоремы 3. □
Следствие 6. Пусть конус К С С(X) имеет конечную коразмерность и компакт X не содержит изолированных точек. Тогда конус К обладает свойством единственности в том и только в том случае, когда вирр (а) = X для каждого ненулевого опорного функционала а € ^р^К.
Достаточность легко вытекает из теоремы 9. Для доказательства необходимости предположим, что конус К обладает свойством единственности и найдется такой функционал а € ^К, что множество X\вирр (а) = 0. В силу теоремы 10 это множество состоит из конечного числа точек и является открытым на компакте X. Поэтому все точки множества X \ вирр (а) являются изолированными на компакте X, что противоречит условию.
Определение. Пусть заданы функционалы а1 ,а2 € С) и с1и\ = (¡1, = ф2 (¡2 суть представляющие их меры. Будем говорить, что функционал а2 абсолютно непрерывен относительно функционала а1, если мера ¡2 абсолютно непрерывна относительно ¡1 на множестве вирр(11). Если, кроме того, функционал а1 абсолютно непрерывен относительно функционала а2, то будем говорить, что функционалы а1 и а2 взаимно абсолютно непрерывны.
Замечание. Линейная оболочка любой системы взаимно абсолютно непрерывных функционалов пространства С) состоит из взаимно абсолютно непрерывных функционалов.
В самом деле, пусть функционал аз = а1 + а2 является суммой взаимно абсолютно непрерывных функционалов а1 и а2. По теореме Радона-Никодима имеем
Следовательно, носитель этой меры вирр (¡3) = вирр (р311) и вирр (р312). Пусть функционал а4 абсолютно непрерывен относительно а1 и а2. Если множество Е С вирр(^з) и Цз(Е) = 0, то мы получаем ¡1(Е) = ¡2(Е) =0 и, значит, ^(Е) = 0. Таким образом, функционал а4 абсолютно непрерывен относительно аз. С другой стороны, пусть функционалы а1 и а2 абсолютно непрерывны относительно а4. Если множество Е С вирр(^4) и ¡4(Е) = 0, то ¡1(Е) = ¡2(Е) =0 и, значит, ¡3(Е) = 0. Поэтому функционал а3 абсолютно непрерывен относительно а4.
Теорема 11. Для того чтобы конус К С С(X) конечной коразмерности был чебышевским, необходимо и достаточно, чтобы для всех точек р € К и ненулевых функционалов а € ^К выполнялись следующие условия:
(a) функционал а является опорным в пространстве С(X);
(b) любой функционал из К абсолютно непрерывен относительно а;
йь*3 = + (1^2 = (¡1 + ф2 (¡2
^ ((¡1 + ¡12) = ^3 (¡3 ,
где мера ¡3 и аргумент ф-3 функционала а3 представляются в следующем виде:
(с) множество нулей ъею(а) = X \ вирр (а) содержит не более чем N точек; (ё) система функций {хх | х Е zero(а)} линейно не зависит от ПрК над полем F. Доказательство. Необходимость. По теореме 2 условие (а) необходимо для того, чтобы конус К обладал свойством существования, а в силу теоремы 10 условия (с) и (ё) необходимы для того, чтобы конус К обладал свойством единственности. Докажем, что выполнено условие (Ь).
Предположим, что существуют два таких функционала а\, а2 Е К, что функционал а2 не является абсолютно непрерывным относительно функционала а\. В силу замечания, сделанного перед теоремой, без ограничения общности мы можем предполагать, что функционал а1 является окруженной точкой конуса У°К. По теореме 5 если конус К обладает свойством существования в пространстве С(X), то каждый регулярный функционал из С**(Х) имеет регулярную мажоранту в С** (X) на полярнном* конусе К°. Следовательно, для доказательства условия (Ь) необходимо построить такой регулярный функционал Ф Е С** (X), который не имеет регулярной мажоранты на полярном* конусе К°.
Пусть = и ^2 = ф2 — представляющие меры функционалов а1 и а2. По лемме 6 и усло-
вию (а) мы можем считать, что аргументы и ф2 непрерывны соответственно на множествах вирр(^1) и вирр (ц,2). По предположению существует такое борелевское множество Е С 8ирр(а1) П вирр(а2), что Ц1(Е) =0 и Ц2(Е) > 0. Так как одно из множеств
{х Е Е | Щ1{х)ф2{х) > 0} либо {х Е Е | Щ1(х)ф2(х) < 0}
имеет положительную меру ^2, то для определенности мы можем считать, что величина действительной части 2(х)} > 0 при всех х Е Е. Кроме того, будем предполагать далее, что Цс^Ц = 1~1\{Х) = 1
и ||а2|| = ^2(X) = 1. Определим функционал Ф, имеющий носитель в множестве 8ирр(а1) и вирр (а2) и заданный на линейной оболочке 8ркК°, по формуле
(+ф1(х), х Е8Щ)р(а1)\Е] Ф(а) = а(/) = / /(х)<р(х) йу , где /(ж) = < -^(ж), хеЕ;
^2(х), х Е эирр (скг) \ йирр (0:1),
и с!и = — представляющая мера функционала а Е вркК°. Поскольку пространство 8ркК° имеет
конечную размерность, то этот функционал Ф является регулярным и, значит, имеет регулярное продолжение на все С*(^). При этом ||Ф||к° = Ф(а1) = Ц^l(X) = 1. Предположим, что Ф имеет регулярную мажоранту Ф на полярном* конусе К°. Тогда существует такая непрерывная функция д Е С(X), что выполняются равенства
Ф(а) = а(д) = \ д(х)ф) й», ||Ф|| = ||д|| = 1.
По определению мажоранты получаем КФ(а) < !ЙФ(а) < 1 при всех а Е К° с нормой ||а|| = 1. Отсюда следует, что #(0:1) = ^#(0:1) = /х №{д(х)(р 1(ж)} cfy.ii = Ц\{Х) = 1. Поэтому функция д(х) совпадает с Тр^х) почти всюду относительно меры ^1. Поскольку мера является борелевской, то в силу непрерывности этих функций получаем равенство д(х) = ф\(х) при всех х Е 8ирр(о;1). Так как функционал а\ Е V°К
является окруженной точкой конуса У°К (см. замечание выше), то выполняется равенство КФ(а) = !ЙФ(а) при всех а Е Ур°К. Однако в точке а2 Е К мы имеем неравенство
Ш(а2) = / / / №{д<р2} >
./вирр (а 1 )\Е ■)Е ./вирр (а2)\вирр(а1)
> / Щф1(р2}с11А,2 - 1^2(Е) - 1А,2{8ирр(а2)\8ирр(а1)} = ^Ф(а2) ■
./вирр (а1)\Е
Таким образом, мы пришли к противоречию и необходимость теоремы доказана.
Достаточность. В силу теоремы 5 достаточно показать, что каждый регулярный функционал Ф Е С** (X) имеет единственную регулярную мажоранту на полярном* конусе К°. По теореме 4 мажоранта Ф функционала Ф на конусе К° всегда существует, а по теореме 10 в силу условий (с) и (ё) она будет единственной. Поэтому требуется доказать ее регулярность. Мы можем считать, что = ||Ф||к° = 1.
Выберем базис линейной оболочки 8ркК°, состоящий из функционалов в Е К°, г = 1, ..., п, и обозначим через йщ = представляющие меры этих функционалов. Рассмотрим пространство ¿1 (X)
суммируемых функций на компакте X относительно меры m = ^*=i Hi- В силу теоремы Радона-Никодима его можно отождествить с подпространством в пространстве M(X) = C*(X) конечных и регулярных борелевских мер, состоящим из всех абсолютно непрерывных мер на компакте X относительно меры m. В частности, полярный* конус K° является изометричным некоторому конусу в пространстве Li(X).
Так как сопряженное пространство к пространству суммируемых функций Li (X) изометрично пространству существенно ограниченных функций L^(X), то мажоранта Ф в пространстве Li(X) определяется некоторой борелевской функцией f £ L^(X) по формуле
Ф(а) =<*(/)=/ f{x)dv= [ f(x)i^-)dm, \\Ф\\ = ||/|| = 1,
./supp (a) ./supp (a) \dm/
где dv = фс1р — представляющая мера функционала а, абсолютно непрерывная относительно меры m. По условию (с) дополнение к носителю X \ supp (а) каждого функционала а £ spRK° состоит из конечного числа точек, которые являются изолированными точками компакта X.
Поскольку конус K° имеет конечную размерность, то существует такой функционал ар £ Vp°K, на котором достигается субнорма функционала Ф на конусе K°, т.е. ||Ф||к° = КФ(ар) = ||ар|| = 1. Обозначим далее через dvp = фр dpp представляющую меру этого функционала ар. В силу того что имеют место равенства КФ(ар) = ||Ф||к° = = 1, мы получим
т(ар) = т(ар) = К i f (x) dvp = i K(f (x) <fip(x)) d^p = f || = 1.
Jsupp (ap) Jsupp(^p)
Так как ||ар|| = рр(Х) = 1, то отсюда следует, что равенство / (х) = фр(х) выполняется почти всюду на компакте X относительно меры ¡лр. По лемме 6 и условию (а) аргумент фр(х) совпадает почти всюду относительно меры цр с непрерывной функцией, поэтому указанное выше равенство сохранится, если изменить функцию / на множестве ^р-меры нуль так, чтобы она была непрерывной на носителе вирр (рР). Так как по условию (Ь) система функционалов 8ркК° взаимно абсолютно непрерывна, то функция /(х) однозначно определяется вне носителя 8ирр(^р), и, следовательно, для любого функционала а £ нркК° по-прежнему будет справедливо равенство
Ф(а) = a(f) = f (x) dv, а£ spRK° .
supp (a)
'Бирр (а)
Таким образом, мы построили непрерывную функцию / £ С(X), которая задает регулярную мажоранту Ф на конусе К°. □
В заключение приведем два примера. Первый из них указывает два таких банаховых пространства, в одном из которых не существует чебышевских конусов конечной коразмерности, а в другом не существует чебышевских* конусов конечной размерности. Во втором примере определен чебышевский конус экспоненциально выпуклых функций в пространстве непрерывных функций на конечном отрезке. Этот конус имеет бесконечную размерность и бесконечную коразмерность.
Пример 1. Рассмотрим подпространство -1(Х) С С*(Х), состоящее из всех функционалов вида
<х
а = 2^ aidxt, а i=i i=i
^aiSxi, ЦаЦ =^2 aI <
где {х— произвольная система точек компакта X и 5Х1 — функционалы Дирака: 5Х1 (/) = /(х^).
Его сопряженное пространство изометрично пространству ограниченных функций с чебышевской нормой: -1(Х) = В(Х) [12, с. 54]. Покажем, что если множество X несчетно, то пространство В(Х) не содержит чебышевских конусов конечной коразмерности. Отсюда, согласно теореме 4, если множество X несчетно, то пространство -1(Х) не содержит чебышевских* конусов конечной размерности.
Для каждого ненулевого функционала в £ В*(Х) рассмотрим функцию фв(х) на множестве X:
Фв(х) = ^в(ех), где ех(у) = < 1' если У . х '
I 0 , если у = х.
Покажем, что множество нулей zero(фв) функции фв несчетно. В самом деле, иначе существует такое £ > 0, что множество Ме = {х £ X | фв(х) > £} (либо множество М-е = {х £ X | фв(х) < — £}) является
несчетным и, следовательно, значения функционала в не ограничены на единичном шаре пространства B(X), так как
(и \ n
фв (xi) >пе (xi е М£ ,п ^ж), т.е. \\в II = то .
i=1 J i=1
В силу того что единичный шар в B(X) слабо*компактен, для каждого ненулевого функционала в е B*(X) экстремальное множество А(в) = 0. Пусть g е А(в), тогда все функции вида
% , % л , % л I -2g(z), если g(z) = 0; . .
f (x) = g(x) + \zez(x), где Az = ^ и z е zeroise),
I 1, если g(z) = 0 ,
также принадлежат экстремальному множеству А(в), поскольку ^e(f) = ^в(з) = \\в\\ и \\f\\ = \\g\\ = 1. Следовательно, размерность dimR А(в) = со бесконечна для всех ненулевых в е B*(X). Таким образом, по теореме 3 пространство B(X) не имеет конусов конечной коразмерности, обладающих свойством единственности, и поэтому не имеет чебышевских конусов конечной коразмерности.
Пример 2. Пусть C[a,b] — пространство непрерывных действительных функций на отрезке [a,b]. Рассмотрим в этом пространстве конус K экспоненциально выпуклых функций со спектром на отрезке [c,d], т.е. допускающих представление в виде интеграла Стилтьеса
С d
ф) = J ext dF(t), x е [a, b],
где F(t) — неубывающая функция на отрезке [c,d]. Спектром spec(F) неубывающей функции F будем называть множество точек роста, т.е. таких A е [c,d], что для любого е > 0 существуют A — е < ti < A или A < t2 < A + е, для которых F(ti) < F(A) или F(A) < F(t2). Аналогично определяется спектр любой действительной функции ограниченной вариации F е BV[c,d].
Докажем существование наилучшего приближения. Пусть f е C[a,b]. Выберем последовательность функций фи е K так, что limn^tt p(f,^n) = p(f,K). Обозначим через Fn(t) неубывающие функции, соответствующие функциям фn(x) и нормированные условием Fn(c) = 0. Так как
Fn(t) < Фп(0) < e-rpn(x) < e-r\\f \\ +e-rp(f,Vn), где r = min{xt | (x,t) е [a,b] x [c,d]} ,
то последовательность функций {Fn(t)} равномерно ограничена. Поэтому существует такая подпоследовательность {Fni(t)}, которая сходится в каждой точке t е [c,d] к некоторой неубывающей функции F(t) [13, с. 208]. Отсюда в силу теоремы Хелли экспоненциально выпуклые функции фni (x) сходятся в каждой точке отрезка [a,b] к экспоненциально выпуклой функции ф^), соответствующей функции F(t) [13, с. 219]. Поэтому при всех x е [a,b]
lf(x) — ф(x)l = lim lf(x) — фщ (x)l < lim Р(1',фщ )= P(f,K) .
Таким образом, p(f,^) = p(f,K), и, значит, функция ф е K является наилучшим приближением функции f.
Пусть p е K и P(t) — соответствующая неубывающая функция. Заметим, что слабое замыкание опорной плоскости [npK]* включает множество функций HpK следующего вида:
Г d
h(x) = J ext dH(t), где H е BV [c, d] и spec (H) С spec (P).
В самом деле, если функция F(t) = Fi(t)+ F2(t) является суммой двух неубывающих функций на отрезке [c,d], то соответствующие им экспоненциально выпуклые функции ф = ф1 + ф2 е npK в том и только в том случае, когда ф1, ф2 е npK. Поэтому подпространству npK принадлежит последовательность следующих функций:
d Г 0, c < t < An;
Ых) = J ext dFn(t), где Fn(t) = I > K<t< A;
C (l, A < t < d.
Если Л G spec (P) является точкой роста слева, то, переходя к пределу Лп — Л, получим, что eAx G [ПрК]*. Аналогичное утверждение справедливо для точек роста справа. Осталось заметить, что слабозамкнутая линейная оболочка функций еЛх, Л G spec (P), содержит HpK. Далее для доказательства единственности наилучшего приближения используем теорему 9.
Предположим, что ненулевой функционал a G Vp¡K удовлетворяет условию supp (а) С zero(g), где g G ПрК — некоторая ненулевая функция. Каждая ненулевая функция g G ПрК голоморфна в комплексной плоскости, и множество ее нулей на отрезке [a, b] состоит из конечного числа точек: zero(g) = {xi | i = 1, ..., n}. Поэтому функционал а представляется в виде суммы а = ^n=i aiSXi и имеет норму ||а|| = £П=1 lai|. Кроме того, так как функционал а аннулирует опорную плоскость ПрК, то для всех функций h G HpK имеет место равенство
fd n а(h) = / С(t) dH(t) = О , где С(t) =
Jc i=l
ai exit.
Следовательно, функция ((t) = 0 равна нулю при всех t G spec (P). Поскольку функция ( = 0 и имеет конечное число нулей, то спектр spec (P) = {Aj | j = 1, ..., m} имеет конечное число точек. При этом так как g G HpK, то g(x) = Xj=i bjeXjx. В силу того что {eAjx}m=1 является чебышевской системой функций, количество точек спектра spec (P) должно быть больше n, иначе функция g = 0. С другой стороны, функция Z(t) является линейной комбинацией чебышевской системы функций {ex*}П=1 и, значит, имеет не более чем n — 1 нулей. Поэтому спектр spec (P) состоит не более чем из n — 1 точки, что противоречит сказанному выше.
Таким образом, подпространства HpK обладают свойством единственности наилучшего приближения и, следовательно, конус K С C[a, b] экспоненциально выпуклых функций со спектром на отрезке [c, d] является чебышевским в пространстве C [a, b]. Аналогичным образом можно доказать, что конус экспоненциально выпуклых функций со спектром в некотором замкнутом и ограниченном множестве является чебышевским в пространстве непрерывных функций на любом компакте действительной оси. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 06-01-00268).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данфорд Н, Шварц Дж. Линейные операторы Т. 1. М.: ИЛ, 1962.
2. Рудин У. Функциональный анализ. М.: ИЛ, 1975.
3. Phelps R. Uniqueness of Hahn-Banach extention and uniue best approximation // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. 95, N 2. 238-256.
4. Singer I. Some remark on best approximation in normed liner space // Rev. math. pures et appl. 1961. 6, N 2. 357-362.
5. Гаркави А.Л. О наилучшем приближении элементами бесконечномерных подпространств одного класса // Ма-тем. сб. 1963. 62, № 1. 104-120.
6. Федоров В.М. О единственности мажорант линейных функционалов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 5. 25-33.
7. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: КомКнига, 2006.
8. Колмогоров А. Н. Замечание по поводу многочленов Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля // Успехи матем. наук. 1948. 3, № 1. 216-221.
9. Singer I. On best approximation of continuous functions // Math. Ann. 1960. 140, N 2. 165-168.
10. Phelps R. Cebysev subspace of finite codimension in C(X) // Pacif. J. Math. 1963. 13, N 2. 647-655.
11. Гаркави А.Л. Задача Хелли и наилучшее приближение в пространстве непрерывных функций // Изв. АН СССР. 1967. 31, № 3. 641-656.
12. Дей М. Нормированные линейные пространства. М.: ИЛ, 1961.
13. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
Поступила в редакцию 08.11.2006
