Свойства многогранника специальных функций множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.865

СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВА

© 2012 г А.Б. Зинченко

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8, г. Ростов-на-Дону, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8, Rostov-on-Don, 344090

Исследуется многогранник, заданный в пространстве функций, определенных на булевой решетке, — многогранник монотонных (0-1)-нормализованных игр большого босса. Получена неприводимая система его задания. Доказано, что для игр 4 и меньшего числа лиц многогранник имеет только целочисленные вершины. Для игр большей размерности предложена классификация вершин, учитывающая структуру их ядер. Дано явное описание классов эквивалентности и их представителей для подмножества целочисленных вершин. Начато исследование нецелочисленных вершин многогранника.

Ключевые слова: многогранник, вершина, неприводимая система, классы эквивалентности, игра большого босса.

It is studied the polytope given in space of functions, determined on boolean lattice, — polytope of monotonic (0-1)-normalized big boss games. The system of non redundant conditions defining the polytope is obtained. It is proved that for four and smaller persons games the polytope has only integer extreme points. For games of greater dimensionality is offered the classification of extreme points, taking into account .structure their cores. The explicit description of equivalence classes and their representatives for subset integer extreme points are given. It is partly studied the subset of non integer extreme points.

Keywords: polytope, extreme point, non redundant conditions, equivalence classes, big boss game.

Одно из направлений комбинаторной теории многогранников - изучение свойств полиэдральных множеств, использующихся в задачах принятия решений [1]. Цель статьи - исследование многогранника, определяющего подкласс кооперативных игр с трансфера-бельной полезностью.

Пусть N = {1,...п} - фиксированное множество, .лт

где &" = {£ е ф n,\е 5}, ш1 (V) = у(Л)\ ') , г е N, определяют многогранник в РГ(Л) , который

п п

обозначим через М ^ . Многогранник М состоит из

(0-1)-нормализованных игр большого босса с игроком 1 в качестве босса [2]. Описание приложений

п > 3; у:2 ^ Я - функция, определенная на семей- можно найти, например, в [3-5]. Многогранник М

N '

стве подмножеств 2 множества N (функция множества) и РГ(^ - векторное пространство всех таких функций операциями сложения и умножения на скаляр: (ау)( 5) = ау(5), (и + у){ 5) = и(5) + у(5), ае Я , 5 с N, и, vеW (N). Мощность множества 5 будем обозначать через 5 или 5. Для одноэлементных подмножеств {'} с N будем иногда использовать сокращения г := {'}, v(/) := v({/'}) и т.д.

Условия

N п

KS) = 0, S е ((2 \ ©n )\N) , v(N) = 1, (1)

v(H) >v(T), T с H с N, (2)

v(N)-v(S) >ZieN\sm(v), S е ©П , (3)

есть подмножество полиэдрального конуса игр большого босса, впервые введенного в [2]. Насколько из-

п

вестно автору, вершины многогранника М еще не описаны.

При п = 3 условия (3), соответствующие двухэле-

3

ментным множествам 5е© = {{1}, {1,2}, {1,3}}, выполняются как тождества. Исключив их, получаем

систему для М 3: у(1,2,3) = 1, 0 <К1,2), К1,3) < 1,

1

К1) = К2) = К3) = К2,3) = о , У(\, 2) + У(\, 3) > 1, в которой условия неотрицательности К1,2) и К1,3) являются следствиями остальных ограничений. Много-

3

гранник М имеет 3 вершины, полностью опреде-

ленные значениями нефиксированных переменных: (у(1,2),у(1,3)) е {(1,0),(0,1),(1,1)}.

Таким образом, интерес представляет описание

п

вершин многогранника М^ для п > 4. Как было показано выше, при п = 3 система (1)-(3) содержит 4 зависимых условия. С увеличением п количество избыточных неравенств экспоненциально возрастает, поэтому прежде всего выделим из (1)-(3) неприводимую подсистему.

Лемма 1. Пусть п > 4. Для того чтобы уе МЦ , достаточно выполнение (1) и неравенств

п

у(Н) >у(Т), Т е ©^ , Т с Н с N, п-1 ф к = г + 1; (4) -у(Б) + Еу^ \ г) >г(Ю(п - 5 -1),

iеN \ Б

п

Б е© , 5 < п - 2. (5)

1

Доказательство. Покажем, что все неравенства из (2), (3), не содержащиеся в (4), (5), являются следствиями условий (1)-(5). Условия (5) получены из (3) исключением неравенств, соответствующих (п -1) -элементным множествам Б = N \ к, где к е N \ 1. Но для таких множеств условия (3) выполняются как тождества.

Неравенства из (2), не содержащиеся в (4), разобьем на 3 группы в зависимости от условий для Т и Н :

T е© , T с H с N, n-1 = h = t +1, 1

n

T g© , T с H с N; 1

T е ©П, T с H с N, h > t +1.

(6) (7)

(8)

Теорема 1. При п > 4 (1), (4), (5) является неприводимой системой задания многогранника М .

Доказательство. Рассмотрим у е W(N), где

v(S) =

5 - 1

S е©n, 5 < n - 2, S g©n, 5 *n, S е©n u N, 5 > n -1,

Б с N . Очевидно, что у удовлетворяет (1), (4), и неравенства (4) выполняются как строгие. Условия (5)

1 — 5 п — 1

принимают вид--+ (п - 5)-> п - 5 -1 ^ 1 > 0,

пп

т.е. также выполняются как строгие неравенства. Таким образом, в системе (1), (4), (5) жесткими являются только ограничения (1). Очевидно, что ранг матрицы жестких ограничений равен их количеству, следовательно, среди ограничений (1) нет избыточных.

Неизбыточность неравенств (4), (5) докажем, указав для каждого из них вектор пространства W(^, который удовлетворяет всем условиям (1), (4), (5), кроме выбранного. В формулах, определяющих эти векторы, предполагается, что Б с N . Разобьем неравенства (4) на 2 группы в соответствии с ограничениями, накладываемыми на множества Т и Н ,

Если выполняется (6), то Н = N \ к, где к е N \ 1, и Т = N\{к,е} , где е еN\{1,к} .

Соответствующее неравенство системы (2) имеет вид у^ \ к) >у^ \{к,е}) . (9)

Из (5) получаем -у(Ы \{к, е)} + у(Ы \ к) + у(Ы \ е) > 1, а из (1) и (4) следует у^) = 1 >у^ \ е). Очевидно, что (9) - следствие 2 последних неравенств, т.е. из (1), (4), (5) вытекает справедливость условий (2), соответствующих Т и Н , удовлетворяющих (6).

Так как у(1) = 0, согласно (1), то из доказанного

для (6) утверждения и условий (4) получаем, что

п

у(Б) > 0 для всех Б е© . Из (1) имеем у(Щ = 1 и

п

у (Б) = 0 для Б ^ © . Следовательно, при выполнении

(1), (4), (5) у(Б) > 0 для всех Б с N. Согласно (1),

п

для любого Т ^ © имеем у(Т) = 0. Для Т и Н ,

удовлетворяющих (7), неравенство (2) имеет вид у(Н) > 0, Н с N, т.е. (как было показано выше) является следствием (1), (4), (5). Объединяя доказанное, получаем, что из (1), (4), (5) следует выполнение (2) для Т с Н с N, к = г + 1. Справедливость неравенств

(2), соответствующих Т и Н, удовлетворяющих (8), вытекает из транзитивности бинарного отношения «>».

Т е© , Т с Н с N, г + 1 = к < п-2,

1

п

Т е© , Т сН = N , г + 1 = к . 1

Зафиксируем Т и Н , удовлетворяющие (10). Тогда вектор уТН е Ш(№), где

(10) (11)

v TH (S) =

1, (T с S) А ( S * H) V (5 = n -1),

0, в остальных случаях, удовлетворяет (1), (4), (5), кроме соответствующего Т и Н условия (4). Если Т, Н - фиксированные множества, определенные (11), то для любого вещест-

ТН

венного числа у > 1 вектор у., е Ш, где

TH

Vt (S)=

1, S * T, 5 = n -1,

у, Б = Т,

0, в остальных случаях,

удовлетворяет (1), (4), (5), кроме условия (4), соответствующего Т и Н .

п |

Зафиксируем Ь е{Б е© | 2 < 5 < п - 2} и опреде-

лим v е W (N), где

v L (S) =

n -1

5 -1

n - Г

Вектор уЬ удовлетворяет (1) и (4), а условие (5)

1 - 5 п - 2 принимает вид--+ (п - 5)-> п - 5 -1 и выпол-

п -1 п -1

няется при Б ф Ь как равенство. Для Б = Ь получаем

S = L,

S g©n, S * N,

в остальных случаях.

n

0

5

n

5

0

—s n — 2 --h (n — s)-> n — s — 1 ^ 1 < 0 (противоречие).

n — 1 n — 1

P

Пусть P = {1}. Вектор v e W(N), где

v P (S ) =

1,

n - 3

n -1 0,

S e© n, 5 = n -1,

в остальных случаях,

удовлетворяет (1) и (4). При подстановке vP в (5)

п - 3

получаем (п - 5)-> п - s -1 ^ s > 2. Для

п - 2

п

S е © \ P это неравенство выполняется, а для S = P

имеет вид 1 > 2 (противоречие).

Следствие. При п > 4 размерность многогранника

М" равна d = 2п-1 - 2.

Доказательство. Размерность любого многогран-

п

ника в W (N) равна dim(W (N)) - r = 2 - r, где r -ранг матрицы жестких ограничений [1]. Из неприводимости системы (1), (4), (5) получаем, что

((2N \ ©П )\ N)

и-1

+ 2 = 2 + 2, поэтому размер-

v(H) > v(T), T, H e© , T с H , 3 < t + 1 = h < n - 2 :

(13)

-v(S ) + Sv(N \ i) > n - 5-1, S e© , 5 < n - 2, (14)

N \ i) > n - 2 ,

ieN\1

(15)

где © = © \1. Система (12)-(15) получена исключением из (4), (5) фиксированных, согласно (1), переменных, разделением (4) на три подсистемы (для явного указания верхних и нижних границ) и выделением из (5) неравенства, соответствующего 5 = {1}.

~ п п

Многогранник М есть проекция М в пространство р¥(Щ меньшей размерности. По теореме 1 система (1), (4), (5) неприводима, значит, неприводима

также система (12)-(15). Так как

©

= d , т.е. размер-

ность M равна d.

n

Обозначим через V множество всех вершин мно-

n

гогранника M , т.е. V = vert(Mjn ), и представим

Vin в виде Vn = (Vn ) z u (Vn )r, где (V ) z , V )r -подмножества целочисленных и нецелочисленных вершин.

4

Лемма 2. Многогранник M^ целочисленный, т.е.

4

(V ) =0. 1 R

4

Доказательство. Если T е © , то t = 1,2,3 . В сис-

4

теме, определяющей M , неравенства (4) принимают

вид v(1, i) >v(1) = 0 , v(N) > v(N \ i) i е N \ 1. Таким

образом, ve является характеристической функцией (0-1)-нормализованной клановой игры [6] 4 лиц с кланом, состоящим из первого игрока. Целочислен-

4

ность всех вершин многогранника M следует из [6, теорема 4.1].

~ n

Введем вспомогательный многогранник M , заданный условиями

~ n

v(S) > 0, 5 = 2, v(S) < 1, 5 = n-1, S e©n , (12)

ность M равна размерности пространства, в котором он задан, то (12)-(15) является единственной неприводимой системой его задания. Многогранники

n ~ n

M и M^ комбинаторно эквивалентны, так как ус-

n ~ n

ловие (1) определяет биекцию у : M ^ M , сохраняющую смежность граней. Если ~ е = vert (Mf ),

то v = у-1 (V) e V1 поручается добавлением фиксированных, согласно (1), компонент.

Известно [2], что С -ядро C(v) игры ve M" полностью определяется маргинальными вкладами mi (v), i e N \ 1, поэтому представляет практический интерес описание возможных значений вектора

m(v) = (mi (v))^^ для veV". На множестве V "

1 2

определим бинарное отношение v =v ^ 1 2

C(v ) = C(v ). Нетрудно проверить, что оно является отношением эквивалентности. Следующая теорема решает проблему описания классов эквивалентности

n

для (V ) , представителей этих классов и их С -ядер.

Теорема 2. Пусть n > 5, тогда:

а) множество целочисленных вершин многогран-

n

ника M состоит из n классов эквивалентности 1

(Vn )z = UieN«i , где « = {v e (V" ) Z |mi (v) = 0, i e N \ 1} ,

« = {v e (Vn ) z \m/ (v) = 1, mi (v) = 0, i e N \ {1, l}}, l e N\1 ;

a) C(v) = {(1,0,...,0)}

для

ve»

ieN \ S

С^) = {x е Я+|х1, XI < 1, х1+х1 = 1} для vей;, I е N\1. Доказательство. Покажем, что ЭТ ф0 для всех

I е N . Рассмотрим векторы ~к е W~(N) и V1 е ]¥(Ы), где к е{2,...п-1}, I еN\1,

к 5 е ©П, 5 >к, ~ (5) = ^ Г

[ 0, в остальных случаях,

5 = n

Г =

I 1, Бе© , 5 = п-1, БфN\I, ~ (Б) = -! 1'

[ 0, в остальных случаях. Подставляя ук и у1 в (12)-(15), получаем, что ~к, еЛ~1И. Из (12), (13) следует, что многогранник

~ п

Мвложен в ё -мерный единичный куб, поэтому любая его целочисленная точка является вершиной. Следовательно, ~к, ~ е (V")2 и

ук = у-1(ук) е (Vй)2 , у1 = у-1(~1) е (V")2 . Используя формулы для тг (у), г е N \ 1, и соотношения

тг (у) = тг (у-1 (V)), имеем ук е ЭТ1 для всех

к е{2,...п-1} и у1 еЭТ; , 1е N\1.

По определению

ЭТ ^ЭТ =0, i j

i * j

представления C(v) = {x e R+

jeN

~°(S) =

n - 2

и-1 1

n-1 '

S e© ', 5 = n -1,

в остальных случаях.

(16)

©

Доказательство. Система (12)-(15) содержит 2 переменных. В условиях (13) содер-

= d = 2"

жится только I 1 + 1 1 + ...+ 1 1 = 2 -п-1 =

11 И 2) и - ^

= ё - п + 1 из них. Матрица этих условий есть матрица инциденций дуг связного орграфа, вершины которого

соответствуют Б е ©п , 2 < 5 < п - 2 . Ранг такой матрицы равен ё - п . Выделим подсистему системы (13)-(15), состоящую из условий (14) для двухэлементных

множеств Б е© , неравенства (15) и ё - п линейно

независимых условий (13) (подмножество соответствующих этим неравенствам пар Т и Н обозначим через ЬN). Рассмотрим систему уравнений:

у(Н) = у(Т), Т, Н е ЬЫ,

(V ) з Ц^ ЭТ . Докажем обратное включение.

1 2 г

Пусть ~ е (V")2 . Рассмотрим 2 случая.

1. Условие (15) выполняется для ~ как строгое неравенство. Это возможно только тогда, когда

\ г) = 1 для всех г е N \ 1.

2. Условие (15) выполняется для ~ как равенство. Это возможно только тогда, когда существует такое I еN\1, что \I) = 0, \г) = 1, г е N\{1,1}.

Таким образом, любая целочисленная вершина уе (V" )2 принадлежит одному из множеств ЭТ ,

I е N, т.е. (V ) с Ц^ЭТ . Получаем разбиение

1 2 г

п

(V ) на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Каждое подмножество состоит из эквивалентных вершин, т.е. является классом эквивалентности.

Указанный в теореме вид ядра для каждого множества ЭТ , I е N, следует из известного [2] для игр у е мп

- v(S) + SieN\S КN \ i) = " - 3, S e © , 5 = 2, SieN\V( N \ i) = n - 2,

(17)

содержащую ё переменных и столько же ограничений. Исключив ё - п переменных из 1 -й группы уравнений и подставив их в остальные, получаем подсистему, которая после перестановки строк имеет вид Ау = Ь, где Ь = (п-3,...п-3, п-2) - «-мерный век-

тор; A =

( e / ^

n-1 n-i

г

0 e

n-1

- квадратная булева матрица;

xt < жг- (v), i e N \ 1, S = 1} и фоРмУл Для

тг (у), г е N \1.

Следствие. Множество всех вершин многогранника

4 4

М^ состоит из 4 классов эквивалентности V = Ц-елг ЭТ .

Доказательство. Согласно лемме 2, все вершины многогранника М14 целочисленны, следовательно, справедливо приведенное выше разбиение.

Теорема 3. Пусть п > 5. Тогда у0 е (V") к, где у0 =у-1(~0),

e (eT ) - (п -1) -мерный вектор-столбец (вектор-

n-1 n-i

строка); I - матрица, дополнительная к единичной

n-1

матрице порядка (n -1). Ранг матрицы А равен п. Система (17) имеет единственное решение, определенное формулой (16). Непосредственной подстанов-

~0

кой проверяем, что v удовлетворяет остальным ус-

~0 ~ п

ловиям (12)-(15). Получаем, что v е М и обращает в равенства d линейно независимых неравенств из (12)-(15). Компоненты ~0 не целые. Следовательно, ~0 е (~1n)R и у-1(~°) е (V1)R.

Доказанные теоремы позволяют генерировать практически неограниченное количество различных игр большого босса, что имеет приложение при создании тестирующих программ, оценке средней сложности алгоритмов, проверке гипотез. Используя описание вершин многогранника М , можно получить

явные формулы для таких решений, как цена Шепли и консенсус-значение [7].

Литература

1. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогран-

ники, графы, оптимизация. М., 1981. 344 с.

2. On big boss games / S. Muto [et al.] // The Economic Stud-

ies Quarterly. 1988. № 39. P. 303-321.

и

3. Tijs S., Meca A., LopezM.A. Benefit sharing in holding situ-

ations // European J. of Operational Research. 2005. № 162. P. 251-269.

4. Two classes of cooperative games related to one-object auc-

tion situations / R. Branzei [et al.] // CentER Discussion paper. 2006. № 25, P. 1-11.

5. Branzei R., Tijs S., Timmer J. Collecting information to

improve decision-making // CentER Discussion paper. 2000. № 26. P. 1-16.

6. Clan games / J. Potters [et al.] // Games and Economic Be-

havior. 1989. № 1. P. 275-293.

7. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution

concept for cooperative games // Social Choice and Welfare. 2006. Vol. 28. № 4. P. 85-703.

Поступила в редакцию_23 мая 2011 г.