Свойства микрополоскового вибратора в многослойной среде из метаматериалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

СВОЙСТВА МИКРОПОЛОСКОВОГО ВИБРАТОРА В МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛОВ

Чебышев Вадим Васильевич,

д.т.н., профессор кафедры ТЭДиА МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]

Ключевые слова: микрополосковые антенны, слоистая среда, метаматериалы, интегральное уравнение первого рода, входное сопротивление антенны.

Ястребцова Ольга Игоревна,

студент МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]

В настоящее время активно исследуется использование метаматериалов в качестве слоистых подложек при создании малогабаритных низкопрофильных антенн систем мобильной связи. Наиболее перспективными в этом отношении представляются метаматериалы в виде сред с малыми диссипативными потерями и с отрицательными диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц, которые внедрены в волноводнопроводящую металлическую структуру. Такого рода материалы применяются при создании различного вида резонаторов, микрополосковых цепей и антенн резонаторного типа. Существуют отдельные работы по исследованию полей элементарных вибраторов электрического и магнитного типов в слоистых средах из метаматериалов. Показано, в частности, что в этом случае увеличивается излучаемая мощность, уменьшается реактивная часть входного сопротивления и добротность, что указывает на возможность увеличения эффективности излучения (коэффициента усиления) и изменения электрических размеров антенны. Однако, поскольку свойства метаматериалов имеют ярко выраженную частотную зависимость, предлагается один из способов борьбы с ней - использование слоистых подложек, состоящих как из слоев диэлектриков, так и из слоев метаматериалов.

Предлагается метод расчета полуволнового микрополоскового вибратора на многослойной подложке со слоями из метаматериалов и диэлектриков на металлическом проводящем экране. Метод основан на адекватной математической модели микрополоскового вибратора в многослойной среде, учитывающей топологию полоско-вых проводников и способ возбуждения вибратора.

Приводятся результаты численного исследования входного импеданса и диаграммы направленности вибратора в слоистой структуре в виде двух слоев диэлектриков, в виде подложки из метаматериала и укрытия из диэлектрика, а также в виде укрытия из метаматериала и подложки из диэлектрика. Приведены условия отсутствия волн высшего типа в полосковой структуре, вызывающие ее сильную частотную зависимость. Установлены размеры полосковой структуры с метаматериалом, при которой частотные изменения входного импеданса вибратора оказываются наименьшими, а диаграмма направленности - наиболее узкой по сравнению с вибратором в слоистой среде без слоя метаматериала.

Для цитирования:

Чебышев В.В., Ястребцова О.И. Свойства микрополоскового вибратора в многослойной среде из метаматериалов // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - Том 9. - №7. - С. 47-52.

For citation:

Chebychev V.V., Yastrebtsova O.I. Calculation of microstrip vibrator in multilayer substrate with metamaterials. T-Comm. 2015. Vol 9. No.7, рр. 47-52. (in Russian).

Введение

В настоящее время активно исследуется использование метаматериалов в качестве слоистых сред при создании малогабаритных низкопрофильных антенн систем мобильной связи. Наиболее перспективными в этом отношении представляются метаматериалы в виде сред с малыми диссипативными потерями и с отрицательными диэлектрической проницаемостью £ и магнитной проницаемостью р, соотношения по знаку могут быть различными. Такого рода материалы применяются при создании различного вида резонаторов, микропо-лосковых цепей и антенн резонаторного типа. Существуют отдельные работы по исследованию полей элементарных вибраторов электрического и магнитного типов в слоистых средах из метаматериалов. Показано [1], что в этом случае увеличивается излучаемая мощность, уменьшается реактивная часть входного сопротивления и добротность, что указывает на возможность увеличения эффективности излучений (усиления) и уменьшения электрических размеров антенны. Можно предположить, что эти свойства распространяются на микрополосковые антенны со слоистыми подложками, что требует строгого электродинамического анализа, отсутствующего в настоящее время.

Свойства метаматериалов могут быть реализованы на частотах в диапазоне 50-100 ГГц (модель плазмы) и для более высоких частот - 300-600 ГГц и выше (модель фотонных кристаллов). Следует отметить существенный недостаток излучателей в средах из метаматериалов, который предполагает их работ/ на отдельных резонансных частотах, то есть в условиях сильной частотной зависимости. Для уменьшения последней и получения практически реализуемых излучателей можно предложить использование многослойных структур со слоями из метаматериалов и диэлектриков с внедренной волноводопроводящей металлической структурой.

Наиболее общая теория сред из метаматериалов (Р^-структур), основанная на использовании системы уравнений Максвелла, приведена в работе [2]. Это указывает на возможность проведения строгого электродинамического анализа излучающих микрополосковых структур в многослойных средах с мета материалами. Для плоской слоистой среды с одной границей раздела сред электродинамическая задача о поле диполя была решена еще Зоммерфельдом. Появление дополнительных границ раздела сред (трех и более) вызывает существенное усложнение задачи и требует разработки специальных методов построения тензорной функции Грина, которая является способом представления поля как решения электродинамической задачи.

Предлагается метод расчета микрополоскового вибратора в многослойной среде с экраном, включая слои из метаматериалов. Метод основан на адекватной математической модели микрополоскового вибратора в многослойной среде, учитывающей топологию полос-ковых проводников, способ возбуждения вибратора и свойств слоистой среды. Используя интегральное представление поля вибратора на основе тензорной функ-

ции Грина слоистой среды, приводится обращение электродинамической задачи к интегральному уравнению первого рода для тока микрополоскового вибратора. Ядро интегрального уравнения содержит элементы тензорной функции и определяет его слабую особенность. Для полученного таким образом интегрального уравнения Фредгольма первого рода разработан алгоритм численного решения, использующий принцип саморегуляции [3]. Приведены примеры численного исследования математической модели микрополоскового вибратора в слоистой среде указанного вида и показано влияние слоев метаматериала на характеристики вибратора.

Постановка задачи и метод исследования

Рассматривается следующая задача электродинамики. Вибратор имеет вид тонкого ленточного проводника 3 с шириной 2(/ и длиной 2¿, размещенного в слоистой среде с параметрами 1,2 (рис. 1).

А

ц2> £2> Нг

X

Проводник

Рис. 1. Двухслойная среда на проводящем экране с полосковым вибратором

Ленточные проводники образуют плечи вибраторов с зазором 2Ь между ними. Предполагается, что выполняется условие Ы<^.\,кЬ^.\укЬ>\, где £ = Я -

Я

рабочая длина волны. В области зазора можно ввести понятия тока и напряжения и определить вход вибратора. Указанные предположения принимаются обычно и для вибраторных антенн из тонких проволочных проводников. Возбуждение вибратора обеспечивается разностью потенциалов и на его входе, при которой в области щели устанавливается первичное поле Е[). Структура этого поля зависит от условий конструктивного перехода фидерной линии к полосковому вибратору. Принимая во внимание размеры вибратора в области щели и предполагая его эффективное возбуждение, расчет поля £" можно провести в квазистатическом приближении:

= - . Ш, ,Ы<Ь\у\<с1 (!)

К } и

Под действием первичного поля на ленточном проводнике $ вибратора наводится поверхностный ток

Поле (Е,н) вибратора, создаваемое

Т-Сотт Том 9. #7-2015

этим током, будем характеризовать векторным потенциалом А. Тогда для слоистой среды имеем выражение

(2)

где С{М,МЛ - тензорная функция Грина. В матричной форме тензорная функция Грина имеет вид [4],

Ниже приведены основные выражения для элементов тензорной функции Грина, входящих в ядро уравнения (9) [2]. При этом выделяются члены элементов, имеющих дипольную особенность [5].

При 70 = 0,0<г<Н, имеем [3]

(10)

л п Чй

С*

О

где

(3)

дх ду ¿(га)

где - элементы тензорной функции Грина. Для

известного потенциала А векторы поля вычисляются

1 О- Р!1 рГ2П2Н2

Га И = < и и ~->пн +

■ ' 0 е 2 1 1

1+&'

1

как

Н =

1

го1А

Е = -¡а> А -

с/¡V А

(4)

Для тока j = x0Уr вибратора имеем:

_ „_____ (г?-1УН\

т

При численном интегрировании в (10) предполагается возможность ограничения верхнего предела в несобственных интегралах. Представляет интерес также элемент тензора . Указанный элемент удобно

представить при г = 0 в виде

ад, -№ & -"=0

где

Мы)=их(ч)в)^ (В) ^ 7«;« ;

V И* пН Г)/-/ I I , пН пА г> А

'72

где М - точка наблюдения, М{) ~ точка истока. Потребуем выполнения граничного условия на ленточном проводнике 5пр для касательных составляющих поля

Е в виде

(Е+Е°)=0 (б)

Подставим (3), (4), (5) в (б). Тогда можно получить интегро-дифференциальное уравнение

1 - Я(' е~1пг"2

1 -Д^е"2^

ч о

Лл (д/0}

/ /гу/

с!(тм -

(7)

Обращение уравнения (7) приводит к интегральному уравнению

-Ь

+С, вт Ь: 4- С^ соз Лх

(8)

где ядро уравнения имеет вид

Тогда имеем сходимость несобственного интеграла, что позволяет ограничить верхний предел при численном интегрировании.

Как следствие представлений элементов (10), (11) ядро уравнения (12) имеет слабую особенность, что определяет интегральное уравнение как интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

Используем представление для тока вибратора

, _ м

л

где /М - полный ток вибратора.

Тогда с учетом (1), (2) и приближенного представления фундаментальной функции С0(/?) [3] можно получить из (8) одномерное интегральное уравнение для полного тока /(х)'-

£

|7 (Л'п)С(Л*,Х0)СЙГ0 — /-^этп Лг + БШ Ьг + С, СОБ/ГЛ:

К(м,м0)=в0(м,м0)±-

где

&

СЕ

(9)

= - функция Бесселя, С(л-,л"0)

- ядро сложной структуры.

Для численного решения интегрального уравнения (12) наиболее приспособлен метод саморегуляции, который состоит в выделении особенности ядра в явном виде, локальной интерполяции искомого решения, дискретизации уравнения методом коллокаций и сведения уравнения к хорошо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений для значения тока в узлах дискретизации. При этом параметром регуляции является шаг дискретизации. Наиболее экономичный алгоритм численного решения интегрального уравнения (12) предполагает кусочно-квадратичную аппроксимацию тока вибратора /(х0) на шаге дискретизации и

позволяет проводить расчет довольно протяженных микрополосковых структур.

Проведем редукцию интегрального уравнения (12) к системе линейных алгебраических уравнений, используя равномерное разбиение отрезка интегрирования на N частей с шагом И = ИШ. В результате получим сетку переменных (х.^.) таких, что

х = {х/=(./-1)й-Х); /,/ = 1,2Д...(Л' + 1). В узлах сетки (х^ху),/,./ = 1,(N+1) имеем систему линейных алгеб-

раических уравнении:

ЛЧ1 »

где /, = /(*,),

АЛ = ~ТТ I(А'оЖ~хм)с(ХРХ0у = 2,4,...Ы,

1 *'

лг< I (*о -хм)с(х}>хоК +

х1~7

| х1+2

+ I(х0-*м)(*о Н*/'*!))^. У = 3,5,...(ЛГ+1),

А}, =-сое х,,/=1,1 = 1,2,3,. +1),

При этом коэффициенты С,,С2 в (12) определяются

из дополнительных условий, выражающих равенство нулю тока на концах вибратора.

Процедура вычисления диагональных элементов состоит в «вырезании» особенности ядра на промежутке дх0 <0,3 и интегрировании ее в явном виде. На остальных частях отрезка 2И интегрирование проводится по квадратурной формуле Гаусса с двумя узлами. Последняя используется также для вычисления других элементов системы линейных алгебраических уравнений. Допустимые значения шага при относительной

погрешности тока, не превышающей 5%, составляют

А<0,105Л.

Слоистая структура может поддерживать поверхностные волны как типа ТМ , так и типа ТЕ в направлении их распространения вдоль структуры [6]. Поле поверхностных волн, как следствие его локального распределения вблизи поддерживающей поверхности, можно рассматривать как реактивное поле полосковой антенны, а слоистую структуру - как накопитель реактивной энергии. Вследствие этого, используя понятие добротности антенны при существовании этих волн, можно говорить об ухудшении частотных свойств и сужении рабочей полосы. Поэтому при проектировании диапазонных свойств полосковой антенны необходимо принять меры, препятствующие возникновению поверхностных волн. Это относится к выбору толщины и диэлектрической проницаемости слоев слоистой среды и использованию дополнительных «сторонних» структур в виде нагруженных экранов, которые не поддерживают поверхностные волны.

В слоистой структуре (рис. 1) могут существовать направляемые волны высших типов, которые определяются полюсами как особенностями ядра уравнения (9). Другим подходом является определение этих волн как собственных волн направляющей слоистой структуры.

Можно показать, что в структуре (рис. 1) всегда существует волна типа ТМ0- Сшивая касательные составляющие поля на границе г-Я,, можно получить

характеристическое уравнение для постоянной распространения этой волны. Для определения последней можно использовать также метод поперечного резонанса [7], который предполагает известным поверхностный импеданс слоистой структуры. Этот подход представляется особенно удобным, так как при построении тензора Грина слоистой среды используется именно это понятие. Тогда имеем равенство 2Е = -2Е при г-Н2,

где 2е - поверхностный импеданс слоистой среды для Е -волн в положительном направлении по координате г, 2е - поверхностный импеданс в отрицательном направлении по координате г. Тогда условие, гарантирующее отсутствие поверхностных волн высших порядков в слоистой среде при условии щ = о имеет вид

£\ V №.2£2

где д.,£•,,/=1,2 - относительные диэлектрические и

магнитные проницаемости слоя.

Из этого соотношения следуют ограничения на выбор величин слоев и их толщины # и Н2-

Результаты численного исследования

При численном исследовании задана двухслойная среда на проводящем экране с диэлектрическими про-

Т-Сотт Том 9. #7-2015

И

ницаемостями $2 и высотами Н1, Н^ с полосковым

вибратором с шириной полоска 2с/= 0.05Л, расположенным на границе раздела слоев (рис. 1).

На рис. 2 представлена зависимость входного сопротивления полоскового вибратора от его длины (Ц для двухслойной среды из диэлектриков с величинами ^ = 2, £\ = 4, которые обычно представляют собой накопители реактивных полей высших типов волн в слоистой среде.

-Re(Z) ■ ImCZ)

-R«Z)

.....Im(Z)

-Ri(Z)

.....Im{Z)

Рис. 4. Входное сопротивление полоскового вибратора в двухслойной среде с ^ = 2, £-, = -2

Рис. 2, Входное сопротивление полоскового вибратора в двухслойной среде с ех = 2, е2 = 4

На рис. 3 представлена зависимость входного сопротивления полоскового вибратора от его длины (1_) при задании нижнего слоя в виде метаматериала с и слоя укрытия с е = 4. Следует отметить отсутствие полей высших типов в среде и отсутствие эффекта укорочения длины вибратора.

- Слоистая средя ш ддопляраков

--Д ■ АК.1 ]: t Mi 1,1.1; I'I'111:;:

- Уьригггет ' irj.lv> itpn.ri.i

Рис. 3. Входное сопротивление полоскового вибратора в двухслойной среде с щ = -2, £2 = 4

На рис. 4 представлена зависимость входного сопротивления полоскового вибратора от его длины (1_) при задании верхнего слоя в виде метаматериала с е2--2, ¡л2-1 и с диэлектриком подложки ех=2*

Характер изменения импеданса на рис. 4 тот же, как и для случая рис. 3, но с меньшими резонансными значениями импеданса, что указывает на меньшую частотную зависимость вибратора, то есть на улучшение диапазонных свойств.

Рис. 5. Диаграммы направленности для трех приведенных случаев

Рассмотрение диаграмм направленности (рис. 5} также приводит к выводу, что наиболее узкой и при отсутствии явления возникновения поверхностных волн и, следовательно, с большим коэффициентом усиления оказывается диаграмма направленности в том случае, когда укрытием является метаматериал.

Заключение

Показана применимость методики расчета [3] для микрополосковых излучателей в многослойных средах с применением метаматериалов. Показана предпочтительная реализация в части улучшения диапазонных свойств и улучшения направленности микрополосково-го вибратора для слоистой структуры, использующая метаматериалы в сравнении с применяемыми обычно слоистыми структурами из обычных диэлектриков по технологии интегральных схем. Наиболее предпочтительным является случай слоистой среды с мета материалом в виде укрытия в части изменения входного импеданса вибратора и сужения его диаграммы направленности. Последнее указывает на возможность уменьшения размеров вибратора.

Литература

1, Engheta N., ZiolkowskiR.W. A positive future for doublenegative metamaterials // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. Apr. 2005, V, 53, №4, pp. 1535-1537.

2. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями к и р.// Успехи физических наук, 1967, т.92, №7. - С. 517-526

3. Чебышев В.В, Вычислительная электродинамика для полосковых структур в слоистых средах - М.: ПСТМ, 2013 . -126 с.

4. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. - М.: МАКС пресс, 2008. - 307 с.

5. Чебышев В.В. Построение и способ вычисления тензорной функции Грина для плоской ело исто-од но родной среды. - М.: Сб. Антенны, вып. 5 (52), 2001. - С. 11-17.

6. Paolo Baccarelli etc. Modal properties and radiative features of surface and leaky waves on metamateriai grounded slabs. Proceedings of the European Microwave Association vol. 2, June 2006, pp. 180-186.

7. Уолтер К. Антенны бегущей волны. - М.: Энергия, 1970. - 444 с.

CALCULATION OF MICROSTRIP VIBRATOR IN MULTILAYER SUBSTRATE

WITH METAMATERIALS

Chebychev Vadim Vasiljevich, professor, Cathedra of Technical Electrodynamics and Antennas, MTUCI, Moscow, Russia,

[email protected]

Yastrebtsova Olga Igorevna, student of MTUCI, Moscow, Russia, [email protected]

Abstract

The use of metamaterials as layered substrates while creating small low-profile antennas for mobile communication systems is actively studying now. The most promising in this respect are metamaterials in the form of materials with small dissipative losses and negative permittivity e and negative permeability ^ which are embedded in metal structure. Such materials are used in the constructing of various types of resonators, microstrip circuits and resonator antennas. There are some works studying fields of elementary electric and magnetic dipoles in layered substrates with metamaterials. It is shown in particular that in this case the radiated power increases, the reactive part of the input impedance and Q factor decrease, which indicates the possibility of increasing the radiation efficiency (gain) and changing the electrical size of the antenna. However, since the properties of metamaterials have a strong frequency dependence, one of the ways is offered to deal with it - the use of layered substrates consisting of layers of dielectrics as well as layers of metamaterials. The calculation method of the microstrip dipole on the multilayer substrate with layers of metamaterials and dielectrics on the metal conducting screen is proposed. The method is based on the adequate mathematical model of the microstrip vibrator in the multilayer substrate taking into account the topology of the strip conductors and the vibrator run process. The results of the numerical study of the input impedance and the radiation pattern of the layered structure of the half-wave vibrator in the form of: two layers of dielectrics, a metamaterial substrate and a dielectric cover, metamaterial cover and a dielectric substrate are given. The conditions of the absence of the higher type waves in the microstrip structure causing its strong frequency dependence are given. The thickness of the microstrip structure with metamaterial when the frequency changing of the input impedance of the vibrator is the smallest and the radiation pattern is the narrowest, compared with a vibrator in layered substrate without metamaterial layer, is determined.

Keywords: microstrip antennas, layered material, metamaterials, integral equation of the first kind, the input impedance of the antenna. References

1. Engheta N, Ziolkowski R.W. A positive future for double-negative metamaterials / IEEE Trans. Microw. Theory Tech. Apr. 2005, v. 53, No4, pp. 1535-1537.

2. Veselago V.G. Electrodynamics of materials with simultaneously negative values / Success of Physics, 1967, v. 92, No7, pp. 517-526.

3. Chebyshev V.V. Computational Electrodynamics for microstrip structures in layered substrates. Moscow: PSTM 2013, 126 p. [in Russian]

4. Dmitriev V.I., Zakharov E.V. The method of integral equations in computational electrodynamics. Moscow: MAX Press, 2008, 307 p. [in Russian]

5. Chebyshev V.V. The construction and calculating method of the tensor Green's function for plane layered-homogeneous substrate. Moscow: Proc. Antennas, v. 6 (52), 2001, pp. 11-17. [in Russian]

6. Paolo Baccarelli etc. Modal properties and radiative features of surface and leaky waves on metamaterial grounded slabs. Proceedings of the European Micro-wave Association v. 2, June 2006, pp. 180-186. [in Russian]

7. Walter K. Traveling-wave antennas. Moscow: Energy, 1970, 444 p. [in Russian]