Частотные свойства микрополосковых вибраторов со слоистой подложкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Частотные свойства микрополосковых вибраторов со слоистой подложкой

Микрополосковые вибраторы (МПВ) имеют вид тонкихленточных проводников, расположенных в слоистой

среде, включая диэлектрическую подложку как обязательный конструктивный элемент. Существенной

особенностью МПВ является квазистатическая область возбуждения, определяющая вход вибратора. МПВ

пригодны для использования в различных диапазонах частот и отличаются, как правило, малыми

электрическими размерами. Частотные свойства МПВ определяются, в основном, топологией ленточных

проводников и свойствами слоистой среды. Строгий анализ МПВ, особенно, исследование их предельных

электродинамических характеристик, требует построения адекватных математических моделей и

построение эффективных алгоритмов численного исследования. Основой последних является редукция

граничных задач электродинамики к интегральным уравнениям. Ниже приводится пример исследования

вибраторного микрополоскового излучателя в многослойной среде, исследуется влияние среды на его Ключевые слова: микрополосковые „ . .. -

. частотные свойства и указываются пути изменения этих свойств. Численныи анализ микрополоскового

вибраторы, слоистая подложка, ,, ' л

вибратора в слоистой среде проводится на основе одномерного интегрального уравнения Фредгольма граничная задача, интегральное „ „

^ . первого рода для его полного тока. Приведены примеры расчета входного импеданса вибратора для

уравнение Фредгольма, входной

различных параметров слоистой среды, составляющих его подложку и укрытие, изменяющих частотные

импеданс.

свойства микрополоскового вибратора.

Чебышев В.В.,

д.т.н., профессор, зав. кафедры ТЭД и А, МТУСИ

Лисицына Ю.А.,

аспирантка кафедры ТЭД и А, МТУСИ

Основные соотношения. Рассматривается следующая задача электродинамики. В области с плоским слоистым заполнением (рис. 1) на одной из границ среды расположен ленточный проводник представляющий микроиолосковый вибратор с шириной и и длиной 2/..

o„ 0 0

G = 0 Go 0

% 5g 1 G,

dx dy e(z0)

z

'4/У7 fv •

"^\W sV Pi4 x

so H

И.Я. Ч X X X XXXI A X «фан

Е"(х,у) = -

г,|х| < 6,lv| < d

= \\](М0 )G(M, М, )8ам

(3)

известного потенциала А векторы поля вычисляются как I

Н =—rot А Щ

Ё = —i(oA-----!—grad (—-—

Wfi0 e(z0)

A)

(4)

Для тока вибратора j = xjx из (2) имеем А,(М) = \\jx(Mn)G„W,M„)daUi

AAM) = ^\\jSMa)

cg( M. A/„)

da,,

(5)

Рис. I. Области с плоским слоистым заполнением

Ленточные проводники образуют плечи вибратора с зазором (щелью) между ними размером 2Ь. Предполагается, что

выполняются условия kd «1 ,кЬ «I Д/,>1, где ^ = Л -

Л

рабочая длина волны. Среда (рис.1) характеризуется параметрами £(г),//.. Возбуждение вибратора обеспечивается разностью потенциалов и на его входе, при которой в области щели устанавливается первичное поле £°. Принимая во внимание размеры вибратора и предполагая его эффективное возбуждение, расчет поля Ё° можно провести в квазистатическом приближении [ 1 ]

:•<>,_ ,л_ М* (1)

где М - точка наблюдения, М0~ точка истока. Граничное условие на ленточном проводнике 5^ имеет вид

(£ + £“),= 0, на 5^, (6)

Подставим (3), (4), (5) в (6) и получим интегро-дифференциальное уравнение

(4т + *:> \1ММо )[С«( А/. М„) + ‘*1М^Мо)У<т„' =

(7)

dg(M,Ma)

dz

do.. -іюЕІ

л-^2 - у2^Ь2 -х2 Под действием первичного поля на ленточном проводнике 5 вибратора наводится поверхностный ток ](М0), М0 е 5и(( •

Поле (£,//), создаваемое этим током будем характеризовать

векторным потенциалом А. Тогда для слоистой среды имеем выражение [ 1 ],

№о ГГ7/д^ ч ч (2)

где 6'(А/, М(1) - тензорная функция Грина. В матричной форме тензорная функция Грина имеет вид,

При М е Г, Г - ось вибратора, имеем неоднородное диф-

Я2

ференциальное уравнение ( | к') А = решение кото-

дх2

рого определяется по формуле обращения

Ач = \F(q')G(q,q')dq'+Cl'Vl(q)+C2'V2(q)’ ГДе С^чУ ФУНК1«,Я г

Грина обращения. Если выбрать систему линейно независимых функций V, = sin kq, ЧЛ = cos kq, то функция Грина обращения имеет вид G(q.q') = s*n^~^l. Таким образом, об-

2 к

ращение уравнения (7) приводит у интегральному уравнению

2_ />

[{jx(Ma)K(MyMa)d(Tu =—/— |/T,t'(u)sin^:|;/ -,v| + С, sinfa+C, сскЪг i, ° W ->■

(8)

где ядро уравнения К(Л/,Л/„) = С0(М,Л/„)

Ъ(М,М0)

&

— ГвіпЛІи—дс1

7к ) 1 1

^(Мц,Ма)

с/и

(9)

Примеры представления элементов тензорной функции Грина для многослойной среды. Рассмотрим случай среды рис. I с дипольным источником, расположенным на общей границе в точке го = 0- Случаи горизонтального и вертикального диполей позволяют определить все элементы тензорной функции Грина для данной слоистой среды. Ниже приведены основные выражения для элементов тензорной функции Грина, входящих в ядро уравнения (8).

При = 0,0 < г < Н2 имеем

М 0°)

і Пі

С0(р) = -

/?

где

Я = уір1 +г:,р = ^(х-х0)2 + (у - у0)2 ,г}2 = ^Л2 -к;,к; =

1+д:

I и"0--Ч1н1 Г ( 1\- в" I_________(. О11 р -П1Ч'. .

ЛД) 0 1 \-я1Хегч^

При численном интегрировании в (10) предполагается возможность ограничения верхнего предела в несобственных интегралах. Действительно, для подинтегральной функции /(Д)имеем асимптотику 0(1/Я2),Л —»да, что обеспечивает

сходимость несобственного интеграла. Представляет интерес

так же элемент тензора _£. Указанный элемент удобно пред-

с:

ставить при г = 0 в виде

д8(Я)

дг

g: -є,

Б\

ас}

с„(р)+ [гк(ЫМр)М

(П)

Для численного решения уравнения (14) наиболее приспособлен метод саморегуляризации. Метод состоит в выделении особенного ядра в явном виде, локальной интерполяции искомого решения, дискретизации уравнения методом коллокаций и сведении уравнения к хорошо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений для значений тока в узлах дискретизации. При этом параметром регуляризации является шаг дискретизации.

Можно предложить наиболее экономичный алгоритм численного решения интегрального уравнения (14), который предполагает кусочно-квадратурную аппроксимацию тока вибратора Цх„) на шаге дискретизации. Такой алгоритм позволяет проводить расчет довольно протяженных микрополосковых структур.

Проведем редукцию интегрального уравнения (14) к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), используя равномерное разбиение отрезка интегрирова-

? /

ния на N частей с шагом /, = _ В результате получим

N ’

сетку переменных (х,,ДГу ) таких что х0 = {.г, =(/-1 )/>-/.} х =\xJ=U-\)h-L\iJ = ia,...N + \.

В узлах сетки {*.,х } /, / = 1,/V +1 имеем СЛАУ

X V- = ^гЛ<*>НФ=1 АЗ...Ы+1 /, = /( Дс(),У = 2,3,...А^

А„ = -уу {(л:0-.г,_,)(х„ -дг,.1)С(дг(,дг0)(/.г0,у = 2,4,...^

Х|_ |

А а = — _ >2 — "*1+1 ~ Х1+2№(Х],хи)с]х„ +

где

/.(*)=-

є2-є, и/С + С'О + С)?

Є-, +Є.

<//), 2,,,н:

/г,',")-д,|,,,(| + /г,,,,,,)е ’ і - л,1"1*:

Ъ (12)

п2 К1) + 2п:Ні

Л 1-КГ’К<>’е2*И‘

Тогда имеем асимптотику функции /х(Л) = 0(1/Л ),А->х и сходимость несобственного интеграла, что позволяет ограничить верхний предел при численном интегрировании.

Алгоритм численного решения интегрального уравнения и результаты численного исследования. Как следствие представлений элементов (10),( 11), ядро уравнения (8) имеет слабую особенность, что определяет интегральное уравнение как интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Используем представление для тока вибратора,

. Их)

Л =—7=5-------------Г (13)

~У

где 1(х)- полный ток вибратора. Тогда окончательно, с учетом (1) можно получить из (8) одномерное интегральное уравнение для тока / [1], а 2-

|/(л>,)С(л\.г0)сЛг„ = -1—Шп(кЬ)5\п£|л-| + С, 8ш£х + С2 совАд- * *4)

где

= = оЛ' ФУНК11ИЯ Бесселя, С(.г,дг0)- ядро

сложной структуры.

+ тут }(*„ - X,.,)(х„ - дг,+2)О(х/,х0)(1х0,] = 3,5,..Л' -1

Х!

Ау = -cosxJ,i = 1,У = 1,2,3...# +1 А= -sinxJ,i = N + \,j = 1,2,З...Л^ +1 При этом коэффициенты С, и С, в (14) определяются из дополнительных условий, выражающих равенство нулю тока на концах вибратора.

Процедура вычисления диагональных элементов состоит в «вырезании» особенности ядра на промежутке Дх0 <0.3 и интегрировании ее в явном виде. На остальных

частях отрезка 21> интегрирование проводится по квадратурной формуле Гаусса с двумя узлами. Последняя используется также для вычисления других элементов СЛАУ. Допустимые значения шага при относительной погрешности тока, не превышающей 5% составляют /;<0.105Я.

Ниже приведены примеры численной реализации алгоритма для значений входного импеданса 2=/?+уА'[Ом] в зависимости от длины плеча вибратора /,/Л при различных параметрах слоистой среды (рис. 1)

На рис. 2-5 приведены значения Я и X входного импеданса вибратора со слоистой подложкой с е, = е2 = 3,8 (стекло) и £, =е2 =9.6 (поликор), показывающие влияние укрытия и подложки на укорочение электрической длины вибратора, а также влияние поглощающего экрана с 2^ =900.» (графит). Если оценивать диапазонные свойства вибратора по характеру изменения X, то можно указать

THE FREQUENCY PROPERTIES MICROSTRIP DIPOLES WITH LAYER SUBSTRATE Chebyshev V.V., the head of department, TEDIA MTUCI; Lisitsyna Y.A., the postgraduate, TEDIA MTUCI

Abshad: Microstrip dipoles (MSD) look like the thin strip conductors which are located in the stratified medium, including a dielectric substrate as an required structural component. The significant feature of MSD is the quasistatic area of excitation defining the input of the dipole. MSD are suitable for using in various range of frequencies and as a rule they have small electric sizes. Frequency properties of MSD are basically defined with the topology of strip conductors and properties of the stratified medium. A detailed analysis of MSD, especially, the research of limiting electrodynamic characteristics, requires the adequate mathematical models and construction of effective algorithms. The basis of the algorithms is the reduction of boundary-value problems of electrodynamics to the integrated equations. The example of the research of a dipole microstrip radiator in the stratified medium is presented below, including the investigation of the influence of medium on its frequency properties and the ways of changing these properties. The computation investigation of the microstrip dipole in the stratified medium is presented on the basis of the Fredholm integrated equation of the first kind for a current. The examples of the calculation of an input impedance of the dipole for the various parameters of the stratified medium making its substrate and shelter, and changing frequency properties of the microstrip dipole are presented.

Keywords :microstrip dipoles, the layer substrate, the boundary-value problem, the Fredholm integrated equation, the input impedance.