CC BY
8Здесь была использована замена и' = х^и. Если теперь константу, возникающую при интегрировании данного равенства, обозначить через то окончательно получится утверждение теоремы. При этом
указанная константа находится в зависимости от вида — подстановкой г = 0, г = 1 или г = -1, что допустимо, согласно замечанию 1. Теорема 4 доказана.
Следствие 4. Пусть z £ C, \z\ < 1,
l-z
< 1 и v — произвольный .моном из Y1. Тогда
=(-l)ilWLieiW(z).
Данный результат формулируется значительно сложнее, когда в записи монома v не используется переменная Ж1/2 (см. [6]).
Работа поддержана РФФИ, грант № 09-01-00743a.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zagier D. Values of zeta functions and their applications // First European Congress of Mathematics. Boston: Birkhauser, 1994. Vol. II. 497-512.
2. Chen K.-T. Iterated integrals and exponential homomorphisms // Proc. London Math. Soc. 1954. 4, N 3. 502-512.
3. Chen K.-T. Integration of paths, geometric invariants and a generalized Baker-Hausdorff formula // Ann. Math. 1957. 65, N 1. 163-178.
4. Hoffman M.E. The algebra of multiple harmonic series //J. Algebra. 1997. 194. 477-495.
5. Уланский Е.А. Стаффл-соотношения для кратных дзета-значений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 2. 52-55.
6. Уланский Е.А. Тождества для обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2003. 73, № 4. 613-624.
Поступила в редакцию 26.05.2010
— 2
УДК 512.552.4
СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ АЛГЕБР, ДОПУСКАЮЩИХ СТАНДАРТНЫЕ БАЗИСЫ ИДЕАЛОВ
В. Н. Латышев1
В предыдущих работах автора был введен широкий класс ассоциативных алгебр, допускающих стандартные базисы идеалов. Они называются алгебрами со строгой фильтрацией. Этот класс включает в себя все известные примеры ассоциативных алгебр, идеалы которых обладают стандартными базисами. В работе автора доказано, что класс алгебр со строгой фильтрацией замкнут относительно прямых сумм и тензорных произведений. В настоящей работе показано, что он замкнут относительно свободных произведений алгебр.
Ключевые слова: стандартные базисы, алгебры со строгой фильтрацией, свободные произведения алгебр.
A wide class of associative algebras admitting standard bases of ideals was introduced in previous papers of the author. They are called algebras with strong filtration. This class includes all known examples of associative algebras whose ideals possess standard bases. It was proved by the author that the class of algebras with strong filtration is closed with respect to direct sums and tensorial products. It is shown in this paper that it is closed with respect to free products of algebras.
Key words: standard bases, algebras with strong filtration, free products of algebras.
1. Алгебры со строгой фильтрацией. Воспроизведем определение алгебры со строгой фильтрацией из работы [1].
1 Латышев Виктор Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: vnlatyshev@yandex. ru.
Пусть Л — ассоциативная алгебра над некоторым полем к. Предполагается, что на алгебре Л кроме алгебраических операций определены следующие дополнительные структуры. Перечислим "ингредиенты" этих структур.
(1) Л — упорядоченная полугруппа, возможно моноид, удовлетворяющая условию минимальности.
Мы будем предполагать, что Ьа > а, аЬ > а, а,Ь € Л (Ь = 1, если Л — моноид). Отсюда вытекает, что если Л — моноид, то 1 — наименьший элемент в нем.
(и) В алгебре Л над полем к фиксирован выделенный базис Е = {еа | а € Л}, векторы которого снабжены индексами из Л и сравниваются между собой по этим индексам.
В ненулевом элементе а € Л алгебры Л можно выделить старший базисный вектор а € Е (в представлении этого элемента в виде линейной комбинации элементов из Е). Через 0а обозначается элемент алгебры Л, полученный из а делением на его старший коэффициент (коэффициент при а).
(ш) Выполняется условие "типа фильтрации": произведение базисных векторов еаер принадлежит линейной оболочке векторов е7 € Е при 7 < ав, а, € Л .
Произведение базисных векторов называется существенным, если еае/з = еа/з. В иной интерпретации это понятие можно найти в работе Е. С. Голода [2]. Произведение нескольких элементов алгебры Л называется существенным, если их старшие базисные векторы перемножаются существенно. Последнее означает хорошо известное правило: старший член произведения равен произведению их старших членов, т.е. аЬ = аЬ, а,Ь <Е А.
Алгебру Л, удовлетворяющую условиям (1)—(ш), мы называем алгеброй со строгой фильтрацией.
К классу алгебр со строгой фильтрацией принадлежат полугрупповые алгебры упорядоченных полугрупп с условием минимальности, в частности свободная ассоциативная алгебра и алгебра полиномов, а также универсальные обертывающие алгебры Ли.
Система порождающих элементов С = {дг | г € N} идеала I < Л алгебры со строгой фильтрацией Л называется его стандартным базисом, если для всякого старшего базисного вектора еа = Н, Н € I, а € Л, найдется существенное произведение вида идгV, где дг € С, а и и V — элементы базиса Е или "пустые" элементы, такое, что еа = ид¿г/ = ид¿г/. Построение элемента ¡1\ = — °(ид¿г/) называется редукцией элемента Н с помощью стандартного базиса С. Благодаря тому что полугруппа Л удовлетворяет условию минимальности, каждый элемент идеала I редуцируется с помощью С к нулю за конечное число шагов. Содержательный смысл этого утверждения состоит в том, что в приложениях "упрощение" символьных выражений должно проводиться за конечное число шагов. Поэтому условие минимальности для индексирующей полугруппы Л является очень важным.
Наша основная цель — показать, что класс алгебр со строгой фильтрацией каноническим образом замкнут относительно операции свободного произведения алгебр. Но для этого нам необходимо определить порядок на свободном произведении Е * С упорядоченных полугрупп Е и С с условием минимальности, который наследует порядки при канонических вложениях Е и С в Е * С и удовлетворяет условию минимальности.
В наших построениях мы используем идеи из работы Ж. Бергмана [3] и работы А. В. Жожикашвили, В. И. Логинова [4].
2. Упорядочение свободного произведения упорядоченных полугрупп с условием минимальности. Сначала уточним, что мы понимаем под упорядоченной полугруппой. Полугруппа Е называется упорядоченной, если на множестве ее элементов задано отношение порядка " <", согласованное с умножением в том смысле, что справедливы импликации а < Ь ^ ас < Ьс и са < сЬ, У а, Ь,с € Е . Однако мы всегда будем рассматривать полугруппы со следующим дополнительным условием: аЬ > а, Ьа > а, а,Ь € Е (Ь = 1, если Е — моноид).
В этом случае мы будем говорить, что все элементы полугруппы Е "положительны" или что Е — "полугруппа с положительными элементами". В моноиде с положительными элементами единичный элемент всегда является наименьшим: Ь ■ 1= Ь > 1, Ь = 1 € Е .В теории стандартных базисов в качестве индексирующих полугрупп используются именно моноиды с положительными элементами.
В упорядоченной полугруппе справедливы импликации
а1 > Ь1, а2 ^ Ь2 ^ а1а2 > Ь1Ь2 и а2а1 > Ь2Ь1.
Действительно, имеем
а1 а2 > Ь1а2, Ь1а2 ^ Ь1Ь2 ^ а1а2 > Ь1а2 ^ Ь1Ь2. Это утверждение распространяется на любое число множителей т ^ 2 индукцией по т:
аг ^ Ьг, г = 1,...,т, 3] : а^ > Ь^ ^ аа ...ат > Ь1Ь2 ...Ьт.
Лемма. Пусть Е — упорядоченная полугруппа с положительными элементами и Н С Е — подмножество элементов, удовлетворяющее условию минимальности. Тогда подполугруппа Н С Е, порожденная множеством Н, также удовлетворяет условию минимальности.
Доказательство. На конечных словах, построенных на элементах Н, определим отношение частичного порядка " <а1у" "типа делимости" так, как это сделано в работе Хигмана [5]:
Нг- ... Нгг ^¿¡у Нп ... <—> ... = ... К]к1 ... Н]кг ... ,
где К < Н3к1 ,...,Нгг < .
Если написанные слова понимать как произведения элементов в полугруппе Е, то мы получим неравенство между элементами этой полугруппы Нг1 , ...,Нгг ^ Н^ ... в силу положительности элементов Е.
В [5] доказано, что множество слов Н* с отношением порядка "типа делимости" удовлетворяет следующему условию: в любой бесконечной последовательности слов —т,..., —г € Н* существует пара индексов г < ] с условием —г ^ . Отсюда следует, что множество слов Н* с упорядоченностью <а^, а вместе с ним и полугруппа Н удовлетворяют условию минимальности. □
Довольно сложное доказательство этого утверждения содержится в работе [4].
Следствие. Пусть Е и О — упорядоченные полугруппы с положительными элементами, удовлетворяющие условию минимальности. Тогда если на свободном произведении Е * О этих полугрупп определен порядок, наследующий порядки полугрупп Е и О и превращающий Е *О в упорядоченную полугруппу с положительными элементами, то Е * О удовлетворяет условию минимальности.
Доказательство. Подмножество элементов Е и О С Е * О удовлетворяет условию минимальности и порождает полугруппу Е * О. □
Далее для решения нашей основной задачи нам потребуется серия канонических вложений алгебраических объектов. Зафиксируем две упорядоченные полугруппы Е и О с положительными элементами, удовлетворяющие условию минимальности.
1. Упорядоченная полугруппа с положительными элементами и с условием минимальности может быть канонически вложена в моноид с этими свойствами, при этом порядок полугруппы наследуется.
Для доказательства достаточно к полугруппе внешним образом присоединить единицу в качестве наименьшего элемента.
В дальнейшем без потери общности рассуждений мы будем предполагать, что Е и О — моноиды.
2. Моноиды Е и О можно канонически вложить в упорядоченный моноид и с положительными элементами и с условием минимальности. При этом порядки на моноидах Е и О и единичный элемент наследуются моноидом и.
Искомым моноидом является прямое произведение и = Е х О с лексикографическим порядком. Канонические инъекции:
Е ^ и, !» а 1), О ^ и, д ^ (д, 1), f € Е, д € О.
Теперь нам необходимо привлечь к рассмотрению упорядоченные кольца.
Ассоциативное кольцо Я с единицей 1 называется упорядоченным, если его аддитивная группа линейно упорядочена и положительные элементы образуют полугруппу относительно умножения.
3. Упорядоченный моноид и может быть вложен в мультипликативный моноид положительных элементов упорядоченного кольца с единицей при сохранении порядка и единичного элемента.
Действительно, пусть к — произвольное упорядоченное поле, например поле рациональных чисел Q, и Я = ки — полугрупповая алгебра полугруппы и над Я. При каноническом вложении и ^ Я элементы и образуют базис алгебры и над к. Кольцо Я можно упорядочить, считая элемент а € Я положительным, если старший коэффициент в его представлении через базис и положителен. Затем полагаем а > Ь ^ а — Ь > 0, а,Ь € Я. Таким образом, каноническое вложение и ^ Я является искомым.
Комбинируя результаты последних двух пунктов, мы получаем следствие.
4. Моноиды Е и О вложимы в мультипликативный моноид положительных элементов упорядоченного кольца с единицей Я при сохранении порядка и единичного элемента.
Положим, что Я — кольцо из последнего утверждения, Я[Ь] — кольцо многочленов над ним от одной переменной Ь и М2(Я[Ь]) — кольцо квадратных матриц второго порядка над Я.
Всякая матрица из М2(Я[Ь]) может быть записана в виде "матричного многочлена", т.е. в виде суммы степеней переменной Ь с коэффициентами из М2(Я). Поэтому можно говорить о младшем и старшем коэффициентах, в частности свободном члене элемента из М2(Я[Ь]).
5. Пусть К — упорядоченное кольцо и и Q М2(К[Ь]) — мультипликативная полугруппа элементов, свободные члены которых являются диагональными матрицами с положительными диагональными элементами. Тогда и допускает линейный порядок, согласованный с умножением.
Сначала упорядочим аддитивную группу кольца матриц М2(К). Матрицы можно записывать в виде строк ( а11 а12) = (ац,а12,а21, а22), аг^ € К. Ненулевую матрицу назовем положительной, если в ее а21 а22
строчной записи первый (слева) ненулевой элемент положителен. Затем положим Л > В ^ Л — В > 0, Л, В € М2(К). Теперь этот порядок распространим на аддитивную группу кольца матриц М2(К[Ь]). А именно матричный многочлен назовем положительным, если младший коэффициент является положительным элементом кольца М2(К). Как и прежде, положим Л(Ь) > В(Ь) ^ Л(Ь) — В(Ь) > 0, Л(Ь),В(Ь) € М2(К[Ь]). Ограничение этого порядка на и допустимым образом линейно упорядочивает полугруппу и. Дело в том, что введенный порядок согласован с умножением в и, поскольку произведение положительного элемента из М2(К[Ь]) на диагональную матрицу с положительными диагональными элементами является положительным элементом. Отметим, что введенный порядок на аддитивной группе кольца М2(К[Ь]) не удовлетворяет условию минимальности: Е > ЕЬ > ЕЬ2 > ... > ЕЬп > ..., где 10ч
E = \01
Всюду ниже мы по умолчанию отождествляем образы элементов при вложениях F ^ R и G ^ R с их прообразами.
Теорема 1. Пусть F и G — моноиды с положительными элементами, удовлетворяющие условию минимальности. Тогда на их свободном произведении F*G можно ввести порядок, наследующий порядки при канонических вложениях F и G в F * G и удовлетворяющий условию минимальности. При этом F * G оказывается моноидом с положительными элементами.
Доказательство. Согласно предыдущему, осуществим вложение моноидов F и G в качестве подполугрупп в полугруппу положительных элементов упорядоченного кольца R с единицей при сохранении порядков и единичного элемента. Затем осуществим вложения моноидов F ^ M2(R[t]) и G ^ M2(R[t])
в мультипликативную полугруппу кольца M2(R[t]),/ ^ (ül) и 9 ^ ' / Е F' 9 Е G. После этого
рассмотрим вложения F и G в мультипликативную полугруппу, "сопряженные" с этими вложениями с
^ /1А , /10\
помощью матриц T =11 и T = I ^ 1 соответственно:
/ ~ (0?) T = ('/ 1)) , / Е F,
9 » ^(0?) = 1)0) • 9 Е G-
Обозначим через U подмоноид, порожденный в мультипликативном моноиде кольца M2(R[t]) образом последнего вложения. Свободные члены матричных элементов из U являются диагональными матрицами из M2(R) с положительными элементами. Согласно процедуре, описанной перед формулировкой теоремы, на U определяется линейный порядок, согласованный с умножением и наследующий порядки с подмоно-идов F и G .
Сформулируем важнейшие свойства моноида U.
Во-первых, U = F * G . Доказательство можно найти в работе Ж. Бергмана [3].
Во-вторых, U — моноид с положительными элементами, что очевидно.
В-третьих, порядок на U удовлетворяет условию минимальности по следствию.
3. Свободное произведение алгебр со строгой фильтрацией. Целью этого пункта является доказательство следующей основной теоремы.
Теорема 2. Класс алгебр со строгой фильтрацией замкнут относительно операций свободного произведения алгебр.
Пусть A и B — алгебры со строгой фильтрацией и с выделенными базисами E = {ea\а Е Л} и H = {he\в Е M} соответственно, Л,М — индексирующие полугруппы. В свободном произведении алгебр C = A* B выделим базис L — {l ...*а*@*... — • •• * ea * he * ...I • ••* а * в * ••• Е Л * М,а Е Л,в Е М}. Порядок на Л * М определен теоремой 1. Проверим, что алгебра C с выделенным базисом L является алгеброй со строгой фильтрацией. Для этого достаточно проверить, что выполняется условие типа фильтрации (iii). Рассмотрим два принципиально различных случая перемножения базисных векторов:
a) l..M l@*... = (••• * ea )(h@ * ...) = ... * ea * he * ... = l...*a*p*..., где a £ Л,в £ M и ... * a * в * ••• = (... * a) * (в * •••);
b) l...*ei*alj*e2*... = (••• * h^i * ea)(e7 * h@2 * ...)=£] As ••• * hpi * es * h@2 * ... = ^ Asl...*ei*s*e2*...,
где a,Y £ Л,в1,в2 £ M, а As £ k, причем ...в1 * 5 * в2 * ••• ^ • ..в1 * (aY) * в2 * •••, поскольку алгебра удовлетворяет условию типа фильтрации и порядок на группе согласован с умножением.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Латышев В.Н. Общая версия стандартного базиса в ассоциативных алгебрах и производные конструкции // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, № 3. 183-203.
2. Golod E.S. Standard bases and homology // Lect. Notes. 1988. 1352. 85-88.
3. Bergman G. Ordering coproducts of groups and semigroups //J. Algebra. 1990. 133, N 2. 313-339.
4. Жожикашвили А.В., Логинов В.И. О вполне упорядоченных множествах в линейно упорядоченных полугруппах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1975. № 3. 57-61.
5. Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras // Pros. London Math. Soc. 1952. 2. 326-336.
Поступила в редакцию 04.10.2010
