Сверхзвуковое обтекание клина конечных размеров при сильном вдуве газа через его поверхность Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 19 7 5

№ б

УДК 533.06

СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КЛИНА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ СИЛЬНОМ ВДУВЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ ЕГО ПОВЕРХНОСТЬ

И. И. Липатов

Рассматривается обтекание клина конечных размеров сверхзвуковым потоком при сильном распределенном вдуве газа (1^,, = const) через его поверхность. Разработан метод численного интегрирования уравнений, описывающих течение в слое вдуваемого газа около поверхности клина. В результате численного решения получены данные о распределении давления, положении контактной поверхности и профилях скорости в слое вдуваемого газа, выраженные в переменных подобия. Рассмотрены режимы течений как с вдувом на всей поверхности клина, так и вдувом, прекращенным на конечном расстоянии от донного среза.

1. Одним из способов охлаждения поверхности летательного аппарата или изменения его аэродинамических характеристик является вдув газа через поверхность. В экспериментальных исследованиях [1—4] обтекания клиньев и конусов со вдувом было установлено, что при увеличении интенсивности вдува пограничный слой оттесняется от поверхности, и в течении около поверхности можно выделить область, занятую вдуваемым газом, и область смешения внешнего потока и вдуваемого газа. Было установлено также, что на конусе или клине конечной длины при достаточно большой интенсивности вдува существует •отрицательный градиент давления. Для описания течений такого типа был предложен ряд моделей. Так, например, в работе [5] рассматривалась модель „тонкого слоя“, в которой предполагалось, что нормальный компонент скорости вдува Re-1/2 их С Vw < им, где ит — скорость невозмущенного набегающего потока, Re — число Рейнольдса. Введение таких предположений дает возможность рассматривать возмущения, вносимые во внешний поток слоем вдуваемого газа, малыми, а течение в слое вдуваемого газа считать невязким. Влияние вязкости проявляется лишь в слое смешения между вдуваемым газом и внешним потоком.

В работе [6] для модели „тонкого слоя“ было показано, что при обтекании тел сверхзвуковым потоком при наличии сильного вдува возмущерия давления на заднем конце тела распространяются вплоть до передней кромки. Была сформулирована корректная постановка краевой задачи, построены асимптотические представления для характерных областей течения на клине со степенным {в частности, равномерным) распределением скорости вдува. Течение в слое вдуваемого газа описывается системой уравнений параболического типа, которая решается совместно с гиперболической системой, описывающей течение в сверхзвуковом внешнем потоке. В работе [6] было установлено, что решение такой задачи неединственно и позволяет удовлетворить краевому условию, поставленному, например, на задней кромке. Физически это соответствует передаче возмущений вверх по потоку в дозвуковом слое вдуваемого газа.

Целью настоящей статьи является расчетное исследование обтекания клина конечной длины сверхзвуковым потоком с равномерным распределением скорости вдува вдоль поверхности. Рассмотрение именно случая Vw — const вызвано тем, что равномерный вдув проще всего осуществить и практически он близок к оптимальному.

Рассмотрены случаи вдува, происходящего по всей поверхности клина, а также прекращенного вдува, когда на конечном участке около донного среза Vw = 0. Численный анализ проводился на основе полученных в [6] асимптотических представлений функций течения. '

2. Рассмотрим обтекание клина конечной длины сверхзвуковым потоком, через поверхность которого вдувается газ. Предположим, что все функции течения обезразмерены и отнесены к их значениям во внешнем потоке над слоем смешения, кроме давления, которое отнесено к удвоенному скоростному напору. Декартовы координаты х и у направлены вдоль поверхности клина и по нормали соответственно и отнесены к длине клина I. Вдув производится по нормали к поверхности, а продольный импульс в слое вдуваемого газа возникает либо за счет действия сил вязкости, либо градиента давления. Если толщина слоя вдуваемого газа имеет порядок т, то отношение вязкого члена уравнения Навье—

Стокса Re-1 к инерционному по порядку величины меньше, чем

ду2 р дх

(Ret3)-1. Предположим, что Re > т~з, тогда продольный импульс в слое вдуваемого газа появляется лишь за счет градиента давления. Так как р~1, то из уравнения для продольного импульса следует, что и ~ (Др)1/2. Из уравнения состояния видно, что Др—Др, и из уравнения неразрывности V — (Др)3^. Вследствие малости возмущений, вносимых в поток слоем вдуваемого газа, для определения возмущения давления можно использовать формулу Аккерета, откуда Д/)~т. Полученные, согласно [6], масштабы функций позволяют ввести для течения в слое вдуваемого газа следующие асимптотические представления:

х = хй у = 1уй 4< = 'г3/2ф1; а (х, у, т) ~ т1/2 И1 (х„ ух) +.. .; v (х, у, т) ~ x3,2vt (xlt уj) +. . . ;

1 -n-2_

здесь М — число М.

Подстановка асимптотических разложений в систему уравнений Навье— Стокса и предельный переход т 0, Не -ч> со приведет к следующей системе уравнений:

Р (х, у, т) ~ — Ме * + xPl (xj) +. ?(х, у, т)~ Pl +. . .,

дщ . диг . 1 др,, Л др\ „ дих , дух „

“1 ШГ + 1,1 дУ1 + Р1 дх! ~0’ ду ~ 0; дх, + дУ1

ИЛИ

“»= 1,1 = ~ > М1 (•*!• °) = °; ^(*!’во) =

4*1(■*,. 0) = — хй (м2-1),/2л = ^.

Таким образом, течение в слое вдуваемого газа является несжимаемым и описывается системой уравнений пограничного слоя без вязких членов. Следует отметить, что система уравнений (1) инвариантна относительно группы преобразований: _ _ _ _

х^>\х\ у —> Ху; и -> и; V -> V, р -> р; р-ър-

Перейдем к новым переменным в системе (1)

V) = у\\ (хУ, ■ я*. У) = - Ф (х, у)/х; 80 = [р (М2е - 1)1/2 ]1/35

и преобразуем систему (1) к виду:

I (2)

/(х, 0) = 1; /' (х, 0) = 0; /(х, 1) = 0 ‘

(точками отмечено дифференцирование по х, штрихами — по к), индекс у функций опущен).

3. Разгон газа в слое вдуваемого газа создается перепадом давления Д^~т, которое индуцируется в результате взаимодействия внешнего течения со вдуваемым слоем. Если ря — ре ~ 0 (т) (здесь рл — донное давление, ре — давление

во внешнем потоке), то решение первого уравнения системы (1) является равномерно точным за исключением области х н> 0 и окрестности слоя смешения вплоть до угловой точки. Рассмотрим течение с конечным перепадом давления Др = = Ре— Рд~°(1)-

В работе [6] была рассмотрена область в окрестности угловой точки, где Д/>~0(1); х — у — т3/2; и — V —0(1). Течение в этой области описывается полными уравнениями Эйлера для сжимаемого газа. Для сращивания решений в областях с Др—0 (т) и Д/>~0(1) необходимо построить промежуточное решение, которое слева переходит в решение для области с Ар — 0(т), а справа — в решение для области с Др — 0(1). Практически оно представляет асимптотику решения краевой задачи [первое уравнение системы (1)]

(:1-х)

1/3

при х 1.

В окрестности передней кромки решение [см. первое уравнение системы (1)] можно представить в следующем виде:

/(■К.

fofZ + K* = 0; /o(0) = 1; fo(0) = 0; /o(l) = 0;

1 1 1 1 = X / (ln f~2rV2 dfo; Co = K2IS) К = j (ln/-2)-1/2 df0 и о

при x -» 0; В (x) н> 0; p (x) -» oo.

После введения переменной I, x = exp [—(3 £3)->] система (2) преобразуется к следующему виду:

ff" - А(Ъ) Г» - В® = /ГУ

d Г S

^(9 = РА-^(Т

в (£) = «§

при

8 =с0ехр [— (3 $з)-1] —

0; В(?) = с3; Л(6)-0; Д-1.

(3)

4. Полученная система интегрировалась численно с помощью модифирован-ной программы, основанной на разностной схеме интегрирования уравнений параболического типа с заданным распределением давления, представленной в работе [7]. По этой схеме производные по I заменяются конечными разностями, и на каждой характеристической полосе 5 = const уравнения решаются методом прогонки.

Распределение давления не известно заранее, а определяется в процессе пристрелки для удовлетворения граничному условию /"(£, 0) = В(£). При tj -*• 1, f -*■ ао физически это соответствует тому, что на внешней границе скорость стремится к 0(1). Для устранения этой особенности внешнее краевое условие /(J) = 0 было заменено на /(1) = ге. Интегрирование при различных малых ее показало, что при ее -> 0 решения/(т)) отличаются на сколь угодно малую величину всюду, решение /' (к]) является равномерно точным всюду, кроме области вблизи СЛОЯ смешения 7)-i- 1. Особое поведение решения при р-*■—оо дает возможность численно интегрировать систему уравнений до определенных конечных значений х<С, 1.

Нелинейная система уравнений (3) линеаризуется на каждой характеристической полосе £ = const и организуется итерационный процесс, в котором решение из предыдущей итерации определяет коэффициенты уравнения для решения на следующей итерации. При р ->■ — то этот итерационный процесс переставал сходиться. В последней точке счета ?0 или х0 Ф 1 решение склеивалось с приведенным выше асимптотическим решением (приравнивались значения давления и толщины слоя). При этом решение р ->■—оо при х -*■ 1 можно получить, используя группу преобразований х Хх\ у -*■ 1у, и -у и; v -> v, р -»■ р. Построенное таким образом распределение давления не описывает течение в окрестности

донного среза, где необходимо решать полные уравнения Эйлера. Решение в основной части вдуваемого слоя х ~ 0(1), у ~ г не зависит от донного перепада давлений, если только Ар =ре — рА > т.

В рамках модели „тонкого слоя* может быть рассмотрена задача о течении со вдувом, прекращенном на конечном расстоянии от донного среза. Можно

показать, что решение, соответствующее области прекращенного вдува, существует лишь при /><0. Действительно, М Лр йр так как 5*<0и^>0

(дозвуковая струя при уменьшении давления сужается), то /7<0 (здесь р — пе-

Фиг. 2

репад давлений). Таким образом, в точке, где кончается вдув, давление меньше, чем на клине при отсутствии вдува на всей поверхности. При известном про-

о

филе скоростей и (Ф) можно определить толщину вытеснения 8 = [ , тогда

J ри

‘Рщ;

Й8 <1р ^ — <1р (1х '

Перейдем к описанию результатов. На фиг. 1 представлено распределение безразмерного коэффициента давления, выраженного в переменных подобия. Величина ср соответствует приращению давления, индуцированному слоем вдуваемого газа на поверхности клина. Кривая 1 описывает распределение давления при равномерном вдуве газа на всей поверхности клина вплоть до угловой точки. Нужно отметить, что на конечной части поверхности клина давление меньше, чем давление на клине при отсутствии вдува. Это объясняется распространением разрежения от донного среза.

Особое поведение решения в окрестности угловой точки, как отмечалось выше, вызвано существованием конечного перепада давления около донного среза. Решение, представленное кривой Г, описывает также режимы малых донных перепадов давления рд — ре ~0(т). При заданном донном давлении на кривой 1 найдется точка, в которой р=ря(х 1). Используя группу преобразований х->х1х, р -*■ р, получим распределение давления на поверхности клина конечной длины с заданным донным давлением />(1)=рд. На этом же графике приведены кривые, соответствующие вдуву только на части поверхности клина от носка до некоторой точки. Точки прекращения вдува отмечены на графике пунктиром. На конечной части клина вблизи донного среза, включающей непроницаемый участок, а также часть поверхности с вдувом, давление также меньше, чем при отсутствии вдува. Размер области с отрицательным приращением давления растет с уменьшением длины области вдува, а абсолютная величина этого перепада уменьшается.

На фиг. 2 представлено распределение безразмерной толщины слоя вдуваемого газа, выраженной в переменных подобия, для режима вдува, распределен-

ного на всей поверхности клина. Можно видеть, что контактная поверхность не является прямой. Действительно, наклон контактной поверхности определяет величину возмущения давления в слое вдуваемого газа, причем продольный импульс в слое вдуваемого газа появляется лишь за счет градиента давления. Постоянному наклону контактной поверхности соответствовало бы постоянное

давление на поверхности клина и,следовательно, отсутствие продольного импульса в слое вдуваемого газа. Очевидно, что такое стационарное течение невязкого газа не может существовать. Наконец, на фиг. 3 приведена функция8, определяющая профили скорости, для значений х,

vw

соответствующих окрестности передней кромки и окрестности донного среза вне малых окрестностей особых точек. Разгон газа в слое приводит к тому, что профиль скорости становится более наполненным.

Количественное сравнение расчетных зависимостей с данными эксперимента оказалось невозможным из-за отсутствия экспериментальных работ по обтеканию клина со вдувом при таких условиях, когда справедлива теория тонкого слоя при умеренных сверхзвуковых скоростях набегающего потока.

В заключение автор благодарит В. Я. Нейланда за постановку задачи и стимулирующие дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hartunian R. A. and Spencer D. J. Experimental results for massive blowing studies, AIAA Journ., vol. 5, N 8, 1967.

2. BottJ. E. Massive blowing experiments, SSD-TR-67-108, 1967, Aerospace Corp., El Segundo, Calif.

3. Otis J. H. Surface pressure and flow measurements for a slender porous cone with boundary layer mass additia. Rept. AVMSD 0326-66-CR,

1966, Avco. Corp.

4. Харченко В. H. Экспериментальное исследование обтекания конусов гиперзвуковым потоком при наличии сильного вдува. Труды ЦАГИ, вып, 1374, 1972.

5. С о 1 е J. D., А г о е s t у J. The blowhard problem inviscld flow with surface injection. International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 11,

N 7, 1968.

6. Матвеева H. С., Нейл анд В. Я. Сильный вдув на теле конечной длины в сверхзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970.

7. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных интегральных уравнений и квадратурные формулы”. М., „Наука“, 1964.

Рукопись поступила lOjVII 1974 г.