CC BY
16
В выходном сечении диффузора выполняется условие для давления
t>0,x=l\+l0, р=ро- (7)
При этом проверяется выполнение ограничения на скорость: скорость течения газов в выходном сечении меньше или равна скорости звука Если это условие нарушается, то давление в выходном сечении диффузора определяется из условия, что скорость течения газов в выходном ссчснии равна скорости звука
Таким образом, параметры течения продуктов детонации и воздуха в детонационном двигателе определяются в результате решения краевой задачи для систем дифференциальных уравнений (1) и (2) для продуктов детонации и воздуха соответственно с начальными условиями (3) и граничными условиями (4) - (7).
3. Результаты расчёта Для решения краевой задачи с использованием ЭВМ составлена программа на языке PASCAL, в которой реализован метод Лакса-Вендроффа. Расчёты и проведенные эксперименты показывают, что наличие диффузора увеличивает суммарный импульс давления детонационного двигателя на 30%.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Сапунков ЯГ, Шиндяпин Г П., Поршнев НА, Федоре ц ОН. Математическая модель детонационного двигателя // Математика Механика Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып. 3. С. 178-181
УДК 232.5,232.135
М. И. Сафрончик
СВЕДЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ К СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассма1ривается течение вязкопластичной среды по наклонной плоскости под действием силы тяжести. При постановке задачи учитывается неодинаковое поведение материала при нагружении и разгрузке (реологическая модель содержит два предела текучести: статический тст и динамический та) Основной математической трудностью при решении задачи является наличие неизвестной, изменяющейся во времени границы области вязкопластичного течения
Ниже предлагается метод решения задачи, являющийся несколько измененным методом "мгновенных собственных функций", разработанным В.Г. Меламедом для решения задачи Стефана [1].
Пусть слой вязкопластичного материала толщины Н находится на плоскости, угол наклона которой к горизонту изменяется, сначала возрастая, а затем убывая При угле наклона а„ = агсБШ —— начнется течение
материала вдоль плоскости При достаточно больших размерах плоскости, течение можно считать плоскопараллельным. Направив ось ОХ вдоль плоскости, а ось ОУ перпендикулярно потоку, сформулируем для единственной отличной от нуля компоненты скорости Ух(у,() краевую задачу в
виде
дУ д2У
х = gsina(f) + v—f, 0 < у <h(t), i > 0; at ду
Vx(yfi) = Q, А(0) = 0;
К,(0,Г) = 0 - условие прилипания,
д1л
ду Jy=h(О
I
Н - h(t)
^^—— при нагружении, Л
0 при разфузке; gJ[//-A(f)]sinflr(£)d£--
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь v = — - аналог кинематической вязкости, h(t) - внешняя граница Р
зоны вязкопластичного течения, остальные обозначения стандартны Вводя новые переменные по формулам
Z = H 7ТТ> КСV,t) = V{z,tx), (6)
h(t)
получим краевую задачу в области с постоянными фаницами
(0 <z<H, t> 0)
u2
д2У _ hl(t) dz2 ~ vН2
ЗУ dz
ЗУ И'(1)дУ .
---z---gsma(0
dt h(t) dz
У( 0,/) = 0,
MO Tern "*«>
н
(7)
(8) (9)
(Ю)
>г=Н " П
У(Н,1) = и(1).
Решение строится следующим способом. Рассматривается функция У(г,1) в виде ряда Фурье
(2я - 1>с
2 Н
(П)
где время I входит в коэффициенты ряда в качестве параметра. Ряд сходится равномерно внутри интервала вместе со своими производными, а при подходе к границам терпит разрыв. Поэтому граничные условия понимаются как предельные при подходе к границам изнутри области. Коэффициенты ряда находятся обычным способом
, - (12) // £ 2 Н
Интегрируя (12) два раза по частям и потребовав, чтобы функция удовлетворяла уравнению и граничным условиям, получим для коэффициентов ряда бесконечную связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
2Л(0 /<(') л
(13)
я(2«-1) 2Л(0т„=Г (т-п)(т + п-1)
которую нужно решать ири начальных условиях Ап (0) = 0.
Укорачивая систему (13), можно построить решение с любой степенью точности. Доказано, что при увеличении числа членов укороченной системы приближенное решение стремится к точному [1]
Если в некоторый момент г = 7| угол наклона плоскости к горизонту начнет уменьшаться, то восстановления структуры материала сразу не произойдет. Будет иметь место некоторый переходный временной промежуток 7\ <1 < 7'2, когда размеры зоны течения не изменяются, а напряжение на границе "ядра" падает от тст до хд. Па этом этапе решается обычная краевая задача в области (0 <г < Н). Уравнение (7) упрощается
д2У _ Л,2
&2 V Н1
ЯК
- £ яш <*(/) |. (14)
Изменятся условия (9) и (10)
'дУЛ
(15)
(16)
т = ) + £ |зт а(£№--1 . ЛЛйЖ
г, РС-АОг,
За начальное распределение скоростей берется то, которое сложилось к концу первого этапа. Г раница области И(1) = Ь(7',) = Л, не будет изменяться до тех пор, пока напряжение на ней не упадет до значения ха Решение строится тем же методом, но для каждого коэффициента ряда Фурье полу-
чается независимое уравнение. Окончание этого этапа соответствует моменту / = 72, когда напряжение на границе "ядра" достигло значения хд.
Бели угол наклона плоскости будет продолжать уменьшаться, то начнется восстановление структуры материала. Область течения начнет уменьшаться. Решение на этом этапе (I > Тг) строится аналогично первому этапу, изменится лишь условие (9), вместо которого будет условие
и пределы интегрирования в условии (5).
Отметим, что аналогичная задача для обычной бингамовской жидко-сти решена другим методом в [2]. В этой работе допущены неточности при формулировке одного из граничных условий на неизвестной поверхности. В данной статье эта неточность исправлена.
В заключение отметим, что подобным методом решаются задачи в случаях, когда собственные числа можно задать в явном виде. При условиях третьего рода и в осесимметричных задачах этот метод не применим.
1 Меламед В Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений //Изв АН СССР Сер. Геофизика 1958 № 7. С 848 - 869.
2. Сафрончик А.И. Некоторые задачи неустановившегося течения вязкопластич-ной среды Дис канд физ -мат наук Ростов н/Д, 1962. 109 с
Построено околозвуковое поле течения за двумя криволинейными скачками (в результате пересечения косых скачков; причина их искривления - зона уплотнения или разрежения ниже по потоку).
Околозвуковое безвихревое течение идеального газа описывается уравнениями Фальковича-Кармана []) (и - число Маха)
(17)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
УДК 533.6.011:532.529
Г. Д. Севостьянов
РЕГУЛЯРНОЕ НЕСИММЕТРИЧНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ СКАЧКОВ
(1)
на скачке х = И(у) имеем два условия
