CC BY
38
ТЕХНОЛОГИИ И СРЕДСТВА МЕХАНИЗАЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
УДК 534.111:63 Д.Н. Пирожков
СВЕДЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВИБРООЖИЖЕННОГО СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА К СИСТЕМЕ ЛОРЕНЦА
Введение
Многие исследователи в своих работах проводят аналогию между подогреваемым снизу слоем жидкости и виброожи-женным слоем сыпучего материала [1-7]. Кроме того, в исследованиях были сформулированы требования, предъявляемые к динамическим системам, которые могут демонстрировать сложное поведение [8]. Также было доказано, что если отнести указанные требования к виброожиженно-му слою сыпучего материала, то можно отметить, что данные требования полностью выполняются.
Используемые методы
Для упрощения уравнений Навье-Стокса, описывающих тепловую конвек-
V
&
дt
1 др р дх
1 др Р дУ
дх2
ду2
дх2 ду2
Уу-Уу
дх х ду у
дУу дУу у-У__У. у
дх
3С р
вг в
ду
цию в подогреваемом снизу слое вязкой жидкости, можно использовать некоторую методику, основанную на принципах синергетики и приводящую к системе более простых дифференциальных уравнений. Такая методика была предложена американским физиком-метеорологом Эдвардом Лоренцом и впоследствии была названа системой Лоренца [9].
Теоретические исследования
Представим полученные ранее уравнения Навье-Стокса для сыпучего материала, подверженного вертикальным колебаниям (рис. 1) в сосуде прямоугольного профиля [10]:
\Гч
<Рч
хsign {Уу - аа cos аt ехр (-гу)) +-----(0у ехр (-8у )т аt - Уу )[/0у ехр (-8у )т аt - Уу
4^чрч
V V
где х, у - горизонтальная и вертикальная компоненты скорости;
Р - плотность виброожиженного материала;
Р
ґ — давление;
У — эффективная кинематическая вязкость;
& —
dVx dVv
ускорение свободного падения;
Рв -
плотность воздуха;
коэффициент внутреннего трения;
Рч - плотность частиц, составляющих сыпучий материал;
к - коэффициент подвижности материала;
/ -
ч - диаметр частицы;
а, а - амплитуда и частота колебаний;
г - коэффициент затухания колебаний в материале;
с
в - коэффициент сопротивления частицы при обтекании воздухом;
^0 - скорость воздуха у виброднища;
$ - коэффициент затухания скорости воздушного потока.
Рис. 1. Расположение координатных осей при решении плоской задачи
Используем указанную выше методику для сведения уравнений (1) к системе Лоренца.
К системе уравнений (1) добавим уравнение неразрывности
dx dy
= 0
(2)
граничные условия
у = 0, Vy = aш cos&t
у = h, Vy = p=p0
x = ±R Vx = 0- Vy = 0 (3)
и уравнения, описывающие изменение скорости воздушного потока и давления по высоте слоя виброожиженного слоя сыпучего материала. Скорости воздушного потока, генерируемого вибрирующим
у = 0 у = h контейнером, в сечениях ^ и ^
считаем заданными, поэтому закономерности распределения этих скоростей внутри слоя материала записываем в форме уравнения переноса:
—+v(uv ) = y2u
dt , (4)
где у - некоторый коэффициент.
Примем, что скорость воздушного потока изменяется по высоте слоя по следующему закону:
U = U0 + AU-^у + e(x, у, t)
h , (5)
в( x, у, t)
где - отклонение скорости от
линейного профиля;
^U - изменение скорости воздушного потока по высоте слоя.
Предположим, что плотность материала зависит от скорости воздушного потока, проходящего через материал, и изменяется по зависимости
Р = Ро (1 -n(U - U0))
(6)
где п - коэффициент расширения материала от скорости воздушного потока (аналог коэффициента теплового расширения).
Положим, что давление в слое материала изменяется по следующей зависимости:
р = ро-Ро £ I1 -п(и - и0)) у + р (х, у,(7) р (х, у, 0
где - отклонение поля давлений
от гидростатического давления.
Сведем все представленные уравнения в одну систему, которая и будет оценивать динамику виброожиженного слоя:
— + (УУ)У = -—Ур + уЧ2У + g р + р-1
ді
Р
\Рч Рч )
^Рч
4<Рч
+ Ч(ТГГ ) = ^12и ^ = 0
и = и0 +ли-Л^у + 0(х, у, г) п
Р = Ро (1 -п( - и0 ))
^ Р = Ро-Ро 8 X-п(и - и0 ))у + р (х у,г)
Представим первый член правой части первого уравнения системы (8) в виде:
1 у = у(р0-(11 -п(х - и0 ))у + Р (х,у,г)) = -р8 + Р8пХ> - и0) + У/Р Р Р р0 (1 -п( - и0 )) р0 (1 -п( - и0 ))
* -а+8п(и - и0))+—^р■
Р0
(8)
(9)
При получении выражения (9) было использовано приближение Буссинеска, как это делается в гидродинамике. Это приближение состоит в том, что жидкость (в нашем случае виброожиженный зернистый материал) предполагается слабосжимаемой, и зависимость плотности от температуры (в нашем случае — от скорости воздушного потока) учитывается только в одном месте правой части уравнения для скорости (4), то есть выражение
(1 -п(и - и0)
\ V и'/ в уравнении (9) принимается равным единице.
Перепишем векторные уравнения системы (8) в координатной форме с учетом (9):
1
р дх
■ + у
V ді
----- =-----------— + У
ді р ду
(д 2Гх д % } дх2 + ду2
%
дх
д% ду у
1
2т/ Л
дх2 ду2
ЗК дК
—-Кх —у К +g
дхх^у
ду
Рч А
ч
ч )
+ 6к(И -, ) +
+ Ъ-Ср(и-V)2 -^е
4<Рч
дКх дКу
дх
де
ді
ду
= О
( я2
= 7
д2Є д2е
екх еКу Аи
дх2 ду2) дх ду
и %
Продифференцируем первое уравнение по у, а второе по х:
(10)
1 д2 р р дхду
1 д2 р дідх р дхду
д V
ді ду
д 2V„
+ у
+ у
дх ду ду ) дхду
д 2К д%
и - хV
(д3У д3У )
дх3 дхду2
д V
дх2
-V. -
ду2 у
д V
----- V +7] g
дхду у
де
дх
дУ дVy
дх
де
ді
ду
= О
= 7
д2Є д2е
еvx еVy Аи
дх2 ду2) дх ду
(її)
Для исключения поля давлений вычтем из первого уравнения системы (11) второе уравнение:
^ дV 1 д2р 1 д2р ( д3^ д3^ ) (д3К, д3Г„ V
■ +-----— + у
д 2Ух
dtdy dtdx р дхду р дхду
d2V д2У д2Уу д 2Уу
у у +-у.у +
дхду х ду2 у дх2 х дхду
д3Ух д3Ух
- + -
дх2 ду ду3
-V
дх3 дхс)у2
уУу -ng^ .
дв
дх
После приведения подобных уравнение (12) примет вид:
(12)
д2Ух д2Уу
(
дtдy дtдx
= V
д3Ух д3Ух
+ -
д3Уу д3У„ )
дх2 ду ду3 дх3 дхду2
д2У д2У
х У _ х У + дхду х ду2 у
д У
' дх2
-Ух +-
д 2У
дхду
у У дв
Уу -ng—■
дх
(13)
Далее будем работать с двумя уравнениями, уравнением (13) и последним уравнением системы (11):
V д2К ( д3у дУ дV, д3К ^ дIV д2
х х
д 2Ух
дtдy дtдx
■ = V
д 2Уу
дх2
-Ух +
д 2У„
дх 2ду ду3
дв
дх дхду
д2У д У
х У _ х У дхду х ду2 у
—~У -ng—
дхду у дх
дв
дt
= Y
f д2 в д в
вУх вУу AU
дх ду I дх ду
Представим искомые поля в виде разложения в ряды по базису тригонометрических функций вида:
sin max sin n^y sin max cos n^y
cos max sin n^y cos max cos n^y (^
где
'=h .
і
= n = nc a~ R ~ ~h
m и n — целые;
с — отношение высоты ячейки к ее ширине (рис. 2).
У
h
(14)
На этом этапе необходимо четко представлять себе конфигурацию течения, что позволяет конкретизировать структуру разложения. Примем как известный из эксперимента факт наличие при определенных режимах вибрации контуров течения, похожих на ячейки Бенара в жидкости. Взяв одну ячейку, расположенную в
а 0 < x < R 0 < y < h
области , , можно счи-
тать течение периодически продолженным (рис. 2). В таком течении скорость воздушного потока должна быть четной функцией х и нечетной функцией у, то есть
ад ад
0(x, y, t ) = ^Y.Vmn (t )cos max sin nPy
m=0 n=0 (16)
Чтобы записать соотношение для компонент скорости по горизонтали и вертикали, необходимо заметить следующее.
R=h/c
дУх дУу
x
дх ду
= 0
Из условия непрерывности
V V
следует, что х и у должны выражаться через производные от одной и той же
¥( х у,г)
Рис. 2. К выбору структуры разложения решения в ряд по базисным функциям
функции
которая называется
к=-ди
функцией тока: ду
V =ÜE ' дх . Как
Vx
Далее, подставив выражения (16) и (18) в уравнения системы (14) и используя соотношения ортогональности для базисных функций, получим бесконечную систему
V K
уравнений для коэффициентов mn и mn . Так как работать с бесконечной системой невозможно, то получившиеся при этом ряды необходимо каким-то образом обрезать без ущерба для точности преобразований. Модель Лоренца получается,
к„
если считать существенными члены 11,
Vl1, V°2, их удобно обозначить, соответственно, через Х, Y и Z. Итак, мы полагаем
Vx = -Xв sin ax cos ву,
Vy = Xa cos a x sin в y,
9 = Y cosax sin ву - Z ^т2ву. (19)
Подставим эти выражения в первое уравнение системы (14):
dX dX
---в2 sinax sin ву +-a2 sinax sin ву = v(-Xa2 в2 sin ax sin ву - X в4 sinax sin ву -
dt dt v
- Xa4 sin ax sin ву - Xa2 в2 sin ax sin ву) + X 2aвъ sin ax cos ax sin ву cos ву -
- X 2aвъ sin ax cos ax sin ву cos ву + X2 a2 в sin ax cos ax sin в у cos ву -
-X2a2в sin ax cos ax sin ву cos ву + ngYa sin ax sin ву ■ (2q)
В полученном выражении все возникающие комбинации синусов и косинусов приводим
при помощи тригонометрических преобразований к суммам членов вида (15), а затем отбрасываем члены, отличные по структуре от единственной присутствующей в левой
qim /TV Clf) ft Л)
части комбинации вида . Приравнивая коэффициенты в левой и правой части,
получим:
ngYa
следует из рисунка 2, компонента должна быть нечетной по х и четной по у,
V
а компонента y - наоборот, четной по х и нечетной по у. Эти условия будут выполнены, если функцию тока представить в виде:
ад ад
y/(x, y, t ) = ^^Kmn (t) sin max sin nfiy
m=1 n=1 (17)
Тогда для компонент скорости имеем:
Vx (( y, t ) = XXKmn (t )nfisin max cos nPy,
m=1 n=1
ад ад
Vy (x, y, t) = XX Kmn (t) ma cos max cos nfiy.
m=1 n=1 (18)
X =
vX (a(+в)
Со вторым уравнением (14) поступаем таким же образом:
dY cos ax sin в y - dZ sinipy = / (-Ya2 cosax sin в y - Y p2 cosax sin в y + dt dt v +4Z p2 sin 2Py) + XY ap cos2 ax sin в y cos в y - XY ap sin2 ax sin в y cos в y -
- XZaP cosax cos в y sin 2Ру - 2 XYaв cos2 ax sin в y cos в y +
+XZoP cos ax cos вy sin2Py + 2 XZoP cos ax sin в y cos 2ву + Xa cos ax sin ву.
h
(21)
(22)
В левой части выражения (22) присутствуют две пространственные моды — комбинации
cosax sin в y sin2By ..
вида и , поэтому приравнивая коэффициенты в левой и правой частях
этого выражения, получим два уравнения:
Y = —Xa-yY (a2 + в2) + 2 XZoP h
z=XYap- 4Tzp*
(23)
(24)
Таким образом, нами была найдена система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных Х, Y и Z. Чтобы с ней было удобнее работать, имеет смысл привести ее уравнения к безразмерному виду, используя методы теории подобия. Подставим в уравнения (22)-(24) выражения вида:
X = Ах Y = ву 2 = Cz і = Вт, (25)
где А, В, С, D — некоторые постоянные коэффициенты, получим систему уравнений:
Ах ПЯВуа
. -у Ах (а2+в)
Вт (а2 +в) 1 '
В- = ААи Аха - уВу ( + в) + 2 AxCzав
Вт И
Cz = АхВуа/З Вт ~ 2
- 4yCzв2
(26)
Несколько преобразуем данную систему, обозначив точкой производную по безразмерному времени т
BD паау
х =
А (а2 +в)
. Аи АВ у = —--------ха-
И В
АВВ
уВх (а2 + /32)
Вуу (а2 + в) + —СВВ авxz
В
z = -
2С
хуав- 4ВyzP
„ (27)
Подберем коэффициенты А, В, С, D таким образом, чтобы вид уравнений максимально упростился. Положим,
В =
1
ВВ ^¡а
—г--------т т-г = Г 2АСВ в = л
у(а2 + в2) А ( + в2) у ^ ав =1
АВВ
ав = 1
в ; 2С . (28)
Сочетая выражения (28) друг с другом, производя необходимые преобразования и сокращения, получим:
А =
У
(а1 +в)
В =
уу[а
(а1 +вг )3
ав . ПЕО1 в
;
Введем некоторые безразмерные параметры:
Лиа2пя V г =------------г ,
а=у; Пуу(а2 +в2) ; =
; ;
Тогда уравнения (27) примут вид:
х = а(у - х)
С =
4 в2
(а2 +в2 )3
уу[ а
2та в
а2 +в2 1 + с2
(29)
(30)
у = гх - у + xz Z = ху - bz
(31)
Выводы
1. Система уравнений (31) является моделью Лоренца. Она представляет собой динамическую систему с трехмерным фазовым пространством. Мгновенное состояние системы определяется набором трех переменных (х, у, z).
2. Физический смысл переменных, входящих в уравнения системы (31), сле-
дующий. Переменная х характеризует скорость вращения псевдожидкости в ячейке Бенара, переменная у характеризует изменение скорости воздушного потока по высоте слоя, переменная z характеризует отклонение вертикального профиля скорости воздушного потока от линейной зависимости. Абсолютную скорость движения материала можно полу-
чить, сочетая все три переменных одновременно.
3. Параметр с есть отношение эффективной кинематической вязкости к коэффициенту у, то есть у У У . Если провести аналогию с гидродинамикой, где знаменатель рассмотренного выражения является коэффициентом температуропроводности, то у при виброожижении сыпучего материала можно назвать «коэффициентом проводимости скорости воздушного потока» или, наоборот, «коэффициентом затухания скорости воздушного потока». Коэффициент у влияет на интенсивность изменения скорости воздуха по высоте слоя материала.
4. Параметр с в гидродинамике называют числом Прандтля, мы назовем его вибрационным аналогом числа Прандтля.
5. В гидродинамике существует такой критерий подобия, как число Рэлея, при определенных критических значениях которого в конвекционных потоках жидкости возникают ячейки Бенара. Число Рэлея записывается следующим образом:
я = а %^ЛТ
уХ , где X - коэффициент температуропроводности. Критическое значение числа Рэлея определяется по фор-
я =!£+£)
яс 2 ~
муле: с . Вибрационный ана-
лог числа Рэлея будет выглядеть следую-
я = ЛиПЕп
ЯВ
щим образом: у .
6. Параметр г, входящий во второе уравнение системы (31) и представленный в (30), есть не что иное, как отношение
Яс . То есть при значениях г <1 в вибро-ожиженном сыпучем материале не должно возникать циркуляционных потоков материала, подобных ячейкам Бенара в
жидкости, а при значениях г >1 такие ячейки должны появиться.
7. Параметр Ь, входящий в третье уравнение системы (31), определяется
размерами возникающих в материале ячеек.
Библиографический список
1. Блехман И.И. Вибрационное перемещение / И.И. Блехман, Г.Ю. Джанелидзе. М.: Наука, 1964.
2. Блехман И.И. Вибрационная механика / И.И. Блехман. М.: Физматлит, 1993.
3. Спиваковский А.О. Вибрационные конвейеры, питатели и вспомогательные устройства / А.О. Спиваковский, И.Ф. Гончаревич. М.: Машиностроение, 1972.
4. Федоренко И.Я. Анализ поведения сыпучей среды при вибрации на основе теории аттрактора Лоренца / И.Я. Федоренко // Известия Сибирского отделения АН СССР. Серия техн. наук, 1990. Вып. 3. С. 112-115.
5. Федоренко И.Я. Модели синергетики в технологиях перерабатывающих производств / И.Я. Федоренко // Вестник алтайской науки. Вып. 1. Проблемы агропромышленного комплекса. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2001. Т. 2. С. 119-125.
6. Федоренко И.Я. Самоорганизация и стохастичность в технологических машинах и аппаратах / И.Я. Федоренко // Техника в сельском хозяйстве. 1996. № 1. С. 24-27.
7. Членов В.А. Сушка сыпучих мате-
риалов в виброкипящем слое / В.А. Членов, Н.В. Михайлов. М.: Стройиздат,
1967.
8. Федоренко И.Я. Синергетические системы и поведение сыпучей среды под воздействием вибрации / И.Я. Федоренко, Д.Н. Пирожков / / Тр. 2-й Между-нар. науч.-техн. конф. Тобольск: Ново-сиб. гос. акад. водн. трансп., 2004. Ч. 2. С. 238-240.
9. Кузнецов С.П. Динамический хаос /
С.П. Кузнецов. М.: Физматлит, 2006.
356 с.
10. Федоренко И.Я. Критерии подобия гидродинамических моделей виброкипящего слоя сыпучего материала / И.Я. Федоренко, Д.Н. Пирожков // Вестник АГАУ. 2005. № 1. С. 105-108.
+ + +
